(Luận văn thạc sĩ) Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN VĂN CHIỂU

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN
TRONG KHÔNG GIAN METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN VĂN CHIỂU

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN
TRONG KHÔNG GIAN METRIC

Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2020

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Phan Văn Chiểu
Xác nhận
của trưởng khoa Toán

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Bùi Thế Hùng


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn
tơi trong suốt q trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể
các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những
kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tơi những ý kiến đóng
góp q báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 9 năm 2020
Tác giả

Phan Văn Chiểu

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Một số ký hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Định lý điểm bất động Kannan . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Định lý điểm bất động Kannan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Định lý điểm bất động đối với hằng số co là ánh xạ điều khiển 15
Chương 2. Một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ kiểu
Kannan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1. Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Định lý điểm bất động của ánh xạ co kiểu Kannan . . . . . . . . . . .

23

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

iii


Một số ký hiệu và viết tắt

N

tập các số tự nhiên

N∗

tập các số tự nhiên khác không

R

tập các số thực

R+

tập số thực không âm

{xn }

dãy số

lim sup

giới hạn trên

∅

tập rỗng

A∪B

hợp của hai tập hợp A và B

B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

(X, d)

không gian metric

O(x; ∞)

quỹ đạo của ánh xạ T tại điểm x

✷

kết thúc chứng minh

iv

Mở đầu
Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn
của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan
tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngồi nước. Lý thuyết điểm bất
động là một cơng cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến
tính. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học
như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình
tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực, ... Hơn nữa,
nó cịn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học
máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trị chơi, vật lý tốn, sinh học,
kinh tế, ... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói
bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó.
Nguyên lý ánh xạ co Banach [1] là trung tâm của lý thuyết điểm bất
động trên không gian metric. Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach
cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của một lý thuyết
điểm bất động metric. Như ta đã biết mọi ánh xạ co Banach đều là ánh
xạ liên tục. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Liệu có tồn tại ánh xạ
co khơng liên tục nhưng vẫn có điểm bất động hay không? Năm 1968,
Kannan [7] đã chứng minh một lớp ánh xạ co khơng liên tục ln có điểm
bất động duy nhất:
Định lý 1. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là
ánh xạ thỏa mãn tồn tại K <

1
2

sao cho

d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X.
1


Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
Năm 2017, J. Górnicki [4] đã chứng minh định lý điểm bất động cho
ánh xạ liên tục và co kiểu Kannan trên không gian metric compact. Năm
2018, H. Garai, L. K. Dey, T. Senapati [3] đã thiết lập một số định lý điểm
bất động cho ánh xạ liên tục theo quỹ đạo và co kiểu Kannan trên không
gian metric compact bị chặn và không gian metric compact theo quỹ đạo.
Các kết quả của H. Garai, L. K. Dey, T. Senapati [3] hoàn tồn khác biệt
kết quả của J. Górnicki [4]. Mục đích của luận văn là giới thiệu lại một số
kết quả nghiên cứu của các tác giả J. Górnicki [4] và H. Garai, L. K. Dey,
T. Senapati [3] về định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chương 1 chúng tơi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số
mở rộng dạng đơn giản, định lý điểm bất động của ánh xạ Kannan và một
số mở rộng. Ngồi ra chúng tơi cịn trình bày một số định lý điểm bất động
cho ánh xạ co với hằng số là hàm điều khiển.
Chương 2 dành cho việc trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh
xạ co kiểu Kannan trong không gian metric compact, không gian metric
compact theo quỹ đạo, không gian metric compact bị chặn và không gian
metric đầy đủ với điều kiện kiểu Meir- Keeler. Một đặc trưng của ánh xạ
co kiểu Kannan cũng được trình bày.

2


Chương 1

Định lý điểm bất động Kannan
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số định lý điểm bất động
của ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Kannan, định lý điểm bất
động đối với ánh xạ tiệm cận chính quy và định lý điểm bất động đối với
hằng số co là ánh xạ điều khiển. Các kết quả chính của chương này được
chúng tơi trích từ các tài liệu [?], [4]-[6].

1.1. Định lý điểm bất động Banach
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Hàm d : X × X → R
được gọi là metric trên X nếu thỏa mãn
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X.
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó cặp (X, d) gọi là khơng gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric, {xn } là một dãy các
phần tử của X , ta nói {xn } hội tụ đến x ∈ X nếu

lim d(xn , x) = 0.

n→∞

Ta kí hiệu lim xn = x hoặc xn → x khi n → ∞.
n→∞

3


Định lý 1.1.3. Giả sử (X, d) là không gian metric. Khi đó
(i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất.
(ii) Nếu lim xn = a; lim yn = b thì lim d(xn , yn ) = d(a, b).

n→∞

n→∞

n→∞

Chứng minh. (i) Trong X giả sử lim xn = a; lim yn = b . Ta có
n→∞

n→∞

d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) với mọi n.
Cho n → ∞ ta thu được d(a, b) = 0. Điều này kéo theo a = b.
(ii) Với mọi n ta đều có

d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b).
Suy ra

d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).
Tương tự ta cũng có

d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được

|d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).
Theo giả thiết, lim d(xn , a) = lim d(yn , b) = 0. Từ đó suy ra
n→∞

n→∞

lim d(xn , yn ) = d(a, b).

n→∞

Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (X, d) là không gian metric. Dãy {xn } các phần
tử của X được gọi là dãy Cauchy (cơ bản ) nếu lim d(xm , xn ) = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ trong nó.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian metric (X, d) được gọi là compact nếu
mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ trong nó.
4


Định nghĩa 1.1.7. Điểm x
¯ ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T : X → X nếu T x¯ = x¯.
Định lý dưới đây chính là nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co
Banach (1922).
Định lý 1.1.8. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau
d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X,
trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ ∈ X.
Hơn nữa, với mỗi x ∈ X, lim T n x = x
¯.

n→∞

Chứng minh. Lấy x0 ∈ X cố định. Ta xây dựng dãy {xn }n≥1 bởi công thức

xn = T xn−1 với mọi n ≥ 1. Ta có
d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0 , x1 ).
d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ kd(x1 , x2 ) ≤ k 2 d(x0 , x1 ).
Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được

d(xn , xn+1 ) ≤ k n d(x0 , x1 ) với mọi n ≥ 1.
Với m > n, ta có

d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ k n d(x0 , x1 ) + k n+1 d(x0 , x1 ) + ... + k m−1 d(x0 , x1 )
= (k n + k n+1 + ... + k m−1 )d(x0 , x1 )
kn
≤
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
1−k
Từ đó suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy dãy {xn } là dãy Cauchy trong X .
n,m→∞

Vì X đầy đủ nên tồn tại một phần tử x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Vì T
n→∞

liên tục nên

x¯ = lim xn+1 = lim T xn = T ( lim xn ) = T x¯.
n→∞

n→∞

n→∞

5


Vậy x
¯ là điểm bất động của ánh xạ T . Để kết thúc ta sẽ chứng minh x¯ là
duy nhất. Thật vậy, giả sử y¯ là một điểm bất động của T . Khi đó ta có

d(¯
x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ kd(¯
x, y¯).
Suy ra d(¯
x, y¯) = 0 hay x¯ = y¯.
Định lý 1.1.9. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau
d(T x, T y) ≤ k max{d(T x, x); d(T y, y)} với mọi x, y ∈ X,
trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ ∈ X.
Hơn nữa, với mỗi x ∈ X , ta có lim T n x = x
¯.
n→∞

Chứng minh. Với mỗi x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 với mọi n ≥ 1. Nếu tồn tại n ∈ N sao cho xn+1 = xn thì xn

chính là điểm bất động của ánh xạ T. Giả sử xn+1 = xn với mọi n ∈ N.
Khi đó ta có

d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ k max{d(T xn , xn ); d(T xn−1 , xn−1 )}
= k max{d(xn+1 , xn ); d(xn , xn−1 )}
= kd(xn , xn−1 ).
Bằng quy nạp ta suy ra

d(xn+1 , xn ) ≤ k n d(x1 , x0 ), với mọi n ∈ N.
Với m > n ta có

d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (k n + k n+1 + ... + k m−1 )d(x1 , x0 )
kn
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
≤
1−k
6


Suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X . Vì X đầy
n,m→∞

đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt khác từ bất đẳng thức
n→∞

d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯)
≤ k max{d(T xn , xn ); d(T x¯, x¯)} + d(xn+1 , x¯)

= k max{d(xn+1 , xn ); d(T x¯, x¯)} + d(xn+1 , x¯).
Cho n → ∞, ta thu được

d(T x¯, x¯) ≤ kd(T x¯, x¯)
Điều này kéo theo d(T x
¯, x¯) = 0. Tức là T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất
động của T . Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯. Khi đó ta có

d(¯
x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ k max{d(T x¯, x¯); d(T y¯, y¯)} = 0.
Suy ra x
¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động của duy nhất của T .
Định lý 1.1.10. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau
d(T x, T y) ≤ k max{d(T x, y); d(T y, x)} với mọi x, y ∈ X,
¯ ∈ X.
trong đó k ∈ [0, 21 ) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
Hơn nữa với mỗi x ∈ X , ta có lim T n x = x
¯.
n→∞

Chứng minh. Với mỗi x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 với mọi n ≥ 1. Khi đó ta có
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ k max{d(T xn , xn−1 ); d(T xn−1 , xn )}
= kd(xn−1 , xn+1 )
≤ k(d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )).
Từ đó suy ra

d(xn+1 , xn ) ≤

k
k
d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ), ở đây h =
.
1−k
1−k
7


Bằng quy nạp ta suy ra

d(xn+1 , xn ) ≤ hn d(x1 , x0 ), với mọi n ∈ N.
Với m > n ta có

d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
≤
1−h
Suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X . Vì X đầy
n,m→∞

đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt khác từ bất đẳng thức
n→∞

d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯)
≤ k max{d(T xn , x¯); d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯)
= k max{d(xn+1 , x¯); d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯).
Cho n → ∞, ta thu được

d(T x¯, x¯) ≤ kd(T x¯, x¯)
Điều này kéo theo d(T x
¯, x¯) = 0. Tức là T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất
động của T . Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯. Khi đó ta có

d(¯
x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ k max{d(T x¯, y¯); d(¯
x, T y¯)} = kd(¯
x, y¯).
Suy ra x
¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động của duy nhất của T .
Định lý 1.1.11. Giả sử (X, d) là không gian metric compact và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều co sau
d(T x, T y) < d(x, y), với mọi x, y ∈ X, x = y.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X.

8


Chứng minh. Xét hàm số f : X → R xác định bởi f (x) = d(x, T x) với
mọi x ∈ X. Khi đó f liên tục trên X . Vì X compact nên f đạt được giá
trị nhỏ nhất trên X , tức là tồn tại x
¯ ∈ X sao cho

f (¯
x) = d(¯
x, T x¯) ≤ f (x) = d(x, T x) với mọi x ∈ X.
Ta chứng minh T x
¯ = x¯. Thật vậy, giả sử T x¯ = x¯. Khi đó theo giả thiết
ta có

f (T x¯) = d(T 2 x¯, T x¯) < d(¯
x, T x¯) = f (¯
x).
Điều này mâu thuẫn với f (¯
x) ≤ f (x) với mọi x ∈ X. Vậy T x¯ = x¯. Do đó

x¯ là điểm bất động của T . Tính duy nhất điểm bất động của ánh xạ T là
hiển nhiên.

1.2. Định lý điểm bất động Kannan
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Ta nói rằng
ánh xạ T : X → X là Kannan nếu tồn tại K <

1
2

sao cho

d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X.
Hằng số K ∈ (0, 21 ) nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số
Kannan.
Bổ đề 1.2.2. Giả sử C là tập con khơng rỗng, đóng của khơng gian metric
đầy đủ (X, d) và T : C → C là ánh xạ thỏa mãn tồn tại K ∈ [0, 1) sao

cho

d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X.
Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số a, b ∈ R sao cho 0 ≤ a < 1 và b > 0.
Khi đó nếu với mỗi x ∈ C , tồn tại u ∈ C sao cho d(u, T u) ≤ ad(x, T x)
và d(u, x) ≤ bd(x, T x) thì T có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ C tùy ý. Xét dãy {xn } trong C thỏa mãn

d(T xn+1 , xn+1 ) ≤ a.d(T xn , xn )
9


d(xn+1 , xn ) ≤ b.d(T xn , xn ) với mọi n ∈ N.
Từ bất đẳng thức

d(xn+1 , xn ) ≤ b.d(T xn , xn ) ≤ b.an .d(T x0 , x0 ),
ta suy ra dãy {xn } là Cauchy trong C . Vì C đầy đủ nên tồn tại v ∈ C sao
cho lim xn = v. Mặt khác, ta lại có
n→∞

d(T v, v) ≤ d(T v, T xn ) + d(T xn , xn ) + d(xn , v)
≤ K{d(v, T v) + d(xn , T xn )} + d(T xn , xn ) + d(xn , v) với mọi n ∈ N.
Từ đó suy ra

1
K +1
d(T xn , xn ) +
d(xn , v)
1−K
1−K

K +1 n
1
≤
a .d(T x0 , x0 ) +
d(xn , v) với mọi n ∈ N.
1−K
1−K

d(T v, v) ≤

Cho n → ∞ ta thu được T v = v . Vậy v là điểm bất động của T.

Định lý 1.2.3. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ Kannan với hằng số K . Khi đó T có điểm bất động duy nhất

z ∈ X và với mỗi x ∈ X , ta có
lim T n x = z

n→∞

và

d(T n+1 x, z) ≤ K

K
1−K

n

.d(x, T x) với mọi n ∈ N.

Chứng minh. Với mỗi x ∈ X , ta đặt u = T x. Khi đó ta có

d(u, T u) = d(T x, T u) ≤ K.{d(x, T x) + d(u, T u)}.
Từ đó suy ra

d(u, T u) ≤

K
.d(x, T x),
1−K
10


ở đây

K
1−K

< 1 và d(u, x) = d(T x, x). Lấy x0 ∈ X cố định. Ta định nghĩa

dãy {xn } trong X xác định bởi

xn = T n x0 với mọi n ∈ N.
Theo Bổ đề 1.2.2, tồn tại z ∈ X sao cho lim xn = z và T z = z . Giả sử
n→∞

v ∈ X là điểm bất động của T . Khi đó
d(z, v) = d(T z, T v) ≤ K{d(z, T z) + d(v, T v)} = 0.
Từ đó suy ra z = v . Vậy z là điểm bất động duy nhất của T. Mặt khác

với mỗi x ∈ X , ta có

d(T n+1 x, T n x) ≤ K{d(T n x, T n+1 x) + d(T n−1 x, T n x)}.
Điều này kéo theo

d(T n+1 x, T n x) ≤

K
.d(T n x, T n−1 x).
1−K

Từ đó bằng quy nạp ta suy ra

d(T n+1 x, z) = d(T n+1 x, T z)
≤ K{d(T n x, T n+1 x) + d(z, T z)}
= K.d(T n x, T n+1 x)
n
K
.d(x, T x) với mọi n ∈ N.
≤K
1−K

Định lý 1.2.4. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau
d(T x, T y) ≤ K{d(T x, y) + d(T y, x)}, với mọi x, y ∈ X,
trong đó K ∈ [0, 21 ) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ ∈ X.
Hơn nữa, với mỗi x ∈ X , lim T n x = x
¯.

n→∞

11


Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1.
Khi đó ta có

d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ K{d(T xn , xn−1 ) + d(T xn−1 , xn )}
= Kd(xn+1 , xn−1 )
≤ K{d(xn+1 , xn ) + d(xn−1 , xn )}
Từ đó suy ra

d(xn+1 , xn ) ≤

K
K
d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ), ở đây h =
.
1−K
1−K

Với m > n ta có

d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 )
hn

≤
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
1−h
Suy ra

lim d(xn , xm ) = 0. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X . Vì X là

n,m→∞

đầy đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt khác từ bất đẳng thức
n→∞

d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯)
≤ K{d(T xn , x¯) + d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯)
≤ K{d(xn+1 , x¯) + d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯)
≤ K{d(xn+1 , x¯) + d(T x¯, x¯) + d(xn , x¯)} + d(xn+1 , x¯).
Suy ra

1+K
1
d(xn+1 , x¯) +
d(xn , x¯).
1−K
1−K
Cho n → ∞ ta thu được d(T x
¯, x¯) = 0. Tức là T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm
d(T x¯, x¯) ≤

bất động của T . Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯ , khi đó ta có

d(¯
x, y¯) = d(T x¯, T y¯)
12


≤ K{d(T x¯, y¯) + d(T y¯, x¯)}
= 2Kd(¯
x, y¯).
x, y¯) = 0. Điều này kéo theo x¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm
Vì K ∈ [0, 12 ) nên d(¯
bất động duy nhất của T .
Định nghĩa 1.2.5. Cho (X, d) là không gian metric. Ánh xạ T : X → X
được gọi là tiệm cận chính quy nếu lim d(T n+1 x, T n x) = 0 với mọi x ∈ X .
n→∞

Định lý 1.2.6. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ tiệm cận chính quy sao cho

d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X,
ở đây K < 1 là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Với x ∈ X , ta có

d(T n+1 x, T m+1 x) ≤ K{d(T n x, T n+1 x) + d(T m x, T m+1 x)},
với mọi m, n. Cho m, n → ∞, bởi tính tiệm cận chính quy của T , ta suy
ra

lim d(T n+1 x, T m+1 x) = 0.

n,m→∞

Vậy dãy {T n+1 x} là Cauchy trong X. Vì X đầy đủ nên tồn tại x
¯ ∈ X sao
cho lim T n x = x
¯. Mặt khác, ta lại có
n→∞

d(¯
x, T x¯) ≤ d(¯
x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T x¯)
≤ d(¯
x, T n+1 x) + K{d(T n x, T n+1 x) + d(¯
x, T x¯)}.
Điều này kéo theo

d(¯
x, T x¯) ≤

K
1
d(T n x, T n+1 x) +
d(¯
x, T n+1 x),
1−K
1−K

với mọi n. Cho n → ∞, ta được T x
¯ = x¯. Tính duy nhất điểm bất động
của ánh xạ T là hiển nhiên.
13

Định lý 1.2.7. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ liên tục và tiệm cận chính quy sao cho

d(T x, T y) ≤ M d(x, y) + K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X,
ở đây K ≥ 0, M ∈ [0, 1) là các hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy
nhất z ∈ X và T n x → z với mọi x ∈ X .
Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1.
Khi đó với mỗi n ∈ N và k ∈ N∗ , ta có

d(xn+k , xn ) ≤ d(xn+k , xn+k+1 ) + d(xn+k+1 , xn+1 ) + d(xn+1 , xn )
≤ d(xn+k , xn+k+1 ) + M d(xn+k , xn ) + d(xn+1 , xn )
+ K{d(xn+k , xn+k+1 ) + d(xn , xn+1 )}.
Từ đó suy ra

(1 − M )d(xn+k , xn ) ≤ (K + 1){d(xn+k , xn+k+1 ) + d(xn , xn+1 )},
với mọi n ∈ N và k ∈ N∗ . Bởi tính tiệm cận chính quy của T nên cho

n → ∞ ta thu được lim d(xn+k , xn ) = 0 với mọi k ∈ N∗ . Vậy {xn } là
n→∞

dãy Cauchy trong X . Vì X là đầy đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯.
n→∞

Bởi tính liên tục của T kéo theo T x
¯ = x¯. Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho

T y¯ = y¯, khi đó ta có
d(¯
x, y¯) = d(T x¯, T y¯)
≤ M d(¯
x, y¯) + K{d(¯
x, T x¯) + d(¯
y , T y¯)}
= M d(¯
x, y¯).
x, y¯) = 0. Điều này kéo theo x¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm
Vì M ∈ [0, 21 ) nên d(¯
bất động duy nhất của T . Mặt khác ta có

d(T n x, x¯) = d(T n x, T n x¯)
14


≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+1 x¯)
≤ d(T n x, T n+1 x) + M d(T n x, T n x¯) + Kd(T n x, T n+1 x).
Điều này kéo theo

d(T n x, x¯) ≤

K +1
d(T n x, T n+1 x),
1−M

với mọi n. Cho n → ∞ ta được T n x → x
¯ với mọi x ∈ X.

1.3. Định lý điểm bất động đối với hằng số co là ánh
xạ điều khiển
Ta kí hiệu các khơng gian hàm điều khiển:

1
1
S := {f : (0, ∞) → [0, ) : f (tn ) → kéo theo tn → 0}.
2
2
1
1
U := {f : (0, ∞) → [0, ) : f (tn ) → kéo theo tn → 0}.
3
3
V := {f : (0, ∞) → [0, 1) : f (tn ) → 1 kéo theo tn → 0}.
Định lý 1.3.1. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ từ X vào chính nó. Giả sử tồn tại f ∈ S sao cho

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X; x = y.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ và T n x → x¯ với mọi x ∈ X .
Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1.
Nếu tồn tại n0 sao cho xn0 +1 = xn0 thì xn0 là điểm bất động của ánh xạ

T . Bây giờ ta giả sử xn = xn+1 với mọi n. Khi đó theo giả thiết ta có
d(xn+1 , xn ) = d(T n+1 x0 , T n x0 )
1

≤ {d(T n x0 , T n+1 x0 ) + d(T n−1 x0 , T n x0 )}
2
15


1
= {d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn−1 )}.
2
Điều này kéo theo d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) với mọi n. Vậy dãy {d(xn+1 , xn )}
đơn điệu giảm các số thực khơng âm. Do đó tồn tại γ ≥ 0 sao cho

lim d(xn+1 , xn ) = γ.

n→∞

Giả sử γ = 0. Bởi giả thiết, ta có

d(xn+2 , xn+1 ) ≤ f (d(xn+1 , xn )){d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn , xn+1 )} với mọi n.
Điều này suy ra

d(xn+2 , xn+1 )
≤ f (d(xn+1 , xn )) với mọi n.
d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn , xn+1 )
Cho n → ∞ ta được lim f (d(xn+1 , xn )) ≥ 21 . Từ f ∈ S nên suy ra γ = 0.
n→∞

Vậy lim d(xn+1 , xn ) = 0. Mặt khác, với m > n ta có
n→∞

d(xn+1 , xm+1 ) ≤ f (d(xn , xm )){d(xn , xn+1 ) + d(xm , xm+1 )}

1
≤ {d(xn , xn+1 ) + d(xm , xm+1 )}.
2
Cho n → ∞ ta thu được

lim d(xn+1 , xm+1 ) = 0. Vậy dãy {xn } là

n,m→∞

Cauchy trong X . Vì X là đầy đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt
n→∞

khác, ta lại có

d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯)
≤ f (d(¯
x, xn )){d(T x¯, x¯) + d(T xn , xn )} + d(T xn , x¯) với mọi n.
Từ đó suy ra

d(T x¯, x¯) ≤

f (d(¯
x, xn ))
1
d(xn , xn+1 ) +
d(xn+1 , x¯),
1 − f (d(¯
x, xn ))
1 − f (d(¯

x, xn ))

với mọi n. Cho n → ∞ ta suy ra d(T x
¯, x¯) = 0. Vậy T x¯ = x¯. Do đó x¯ là
điểm bất động của ánh xạ T . Tính duy nhất điểm bất động là hiển nhiên.
Vậy định lý được chứng minh.

16


Định lý 1.3.2. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ từ X vào chính nó. Giả sử tồn tại f ∈ U sao cho

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x)+d(y, T y)+d(x, y)} với x, y ∈ X; x = y.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ và T n x → x¯ với mọi x ∈ X .
Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1.
Nếu tồn tại n0 sao cho xn0 +1 = xn0 thì xn0 là điểm bất động của ánh xạ

T . Bây giờ ta giả sử xn = xn+1 với mọi n. Khi đó theo giả thiết ta có
d(xn+1 , xn ) = d(T n+1 x0 , T n x0 )
1
≤ {d(T n x0 , T n+1 x0 ) + d(T n−1 x0 , T n x0 ) + d(T n x0 , T n−1 x0 )}
3
1
= {d(xn+1 , xn ) + 2d(xn , xn−1 )}.
3
Điều này kéo theo d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) với mọi n. Vậy dãy {d(xn+1 , xn )}

đơn điệu giảm các số thực khơng âm. Do đó tồn tại γ ≥ 0 sao cho

lim d(xn+1 , xn ) = γ.

n→∞

Giả sử γ = 0. Bởi giả thiết, ta có

d(xn+2 , xn+1 ) ≤ f (d(xn+1 , xn )){d(xn+1 , xn+2 )+d(xn , xn+1 )+d(xn+1 , xn )},
với mọi n. Điều này suy ra

d(xn+2 , xn+1 )
≤ f (d(xn+1 , xn )),
d(xn+1 , xn+2 ) + 2d(xn , xn+1 )
với mọi n. Cho n → ∞ ta được lim f (d(xn+1 , xn )) ≥ 31 . Từ f ∈ S nên
n→∞

suy ra γ = 0. Vậy lim d(xn+1 , xn ) = 0. Mặt khác, với m > n ta có
n→∞

d(xn+1 , xm+1 ) ≤ f (d(xn , xm )){d(xn , xn+1 ) + d(xm , xm+1 ) + d(xn , xm )}
1
≤ {2d(xn , xn+1 ) + 2d(xm , xm+1 ) + d(xn+1 , xm+1 )}.
3
17


Từ đó suy ra

d(xn+1 , xm+1 ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xm , xm+1 ) với mọi m > n.

Cho n → ∞ ta thu được

lim d(xn+1 , xm+1 ) = 0. Vậy dãy {xn } là

n,m→∞

Cauchy trong X . Vì X là đầy đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt
n→∞

khác ta có

d(¯
x, T x¯) ≤ d(¯
x, xn+1 ) + d(T xn , T x¯)
≤ d(¯
x, xn+1 ) + f (d(¯
x, xn )){d(T x¯, x¯) + d(T xn , xn )) + d(T xn , x¯)},
với mọi n. Từ đó suy ra

(1−f (d(¯
x, xn )))d(T x¯, x¯) ≤ d(¯
x, xn+1 )+f (d(¯
x, xn )).{d(xn , xn+1 )+d(¯
x, xn )}
với mọi n. Cho n → ∞ ta suy ra d(T x
¯, x¯) = 0. Vậy T x¯ = x¯. Tính duy
nhất điểm bất động là hiển nhiên. Vậy định lý được chứng minh.

Ví dụ 1.3.3. Giả sử X = [0, 1] với metric tự nhiên d(x, y) = |x − y|. Xét

ánh xạ T : X → X bởi

Tx =

x
3,
1
6,

nếu 0 ≤ x < 1,
nếu x = 1.

Khi đó T khơng thỏa mãn điều kiện co Banach và co Kannan. Mặt khác,
với mọi x, y ∈ X ta có

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x) + d(y, T y) + d(x, y)},
ở đây f ∈ U là hàm xác định bởi

f (x) =

− 12t + 31 , nếu 0 < t ≤ 1,
1
4 , nếu t = 0.

Vậy tất cả các giả thiết của Định lý 1.3.2 được thỏa mãn. Hơn nữa, x
¯=0
là điểm bất động duy nhất của T.
18

Định lý 1.3.4. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ liên tục, tiệm cận chính quy. Giả sử tồn tại f ∈ V sao cho

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x)+d(y, T y)+d(x, y)} với x, y ∈ X; x = y.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ và T n x → x¯ với mọi x ∈ X .
Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức

xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1.
Nếu tồn tại n0 sao cho xn0 +1 = xn0 thì xn0 là điểm bất động của ánh xạ T .
Bây giờ ta giả sử xn = xn+1 với mọi n. Giả sử lim supn,m→∞ d(xn , xm ) > 0.
Theo giả thiết ta có

d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xm+1 ) + d(xm+1 , xm )
≤ d(xn , xn+1 ) + d(xm+1 , xm ) + f (d(xn , xm )){d(xn , xn+1 )
+ d(xm , xm+1 ) + d(xn , xm )},
với mọi n, m. Điều này kéo theo

1 + f (d(xn , xm ))
d(xn , xm )
≤
với mọi n, m.
d(xn , xn+1 ) + d(xm , xm+1 ) 1 − f (d(xn , xm ))
Sử dụng lim supn,m→∞ d(xn , xm ) > 0 và tính tiệm cận chính quy của T
kéo theo

lim sup
n,m→∞

1 + f (d(xn , xm ))

= +∞.
1 − f (d(xn , xm ))

Từ đó suy ra

lim sup f (d(xn , xm )) = 1.
n,m→∞

Do f ∈ V nên lim supn,m→∞ d(xn , xm ) = 0. Điều này mâu thuẫn với

lim sup d(xn , xm ) > 0.
n,m→∞

Vậy lim supn,m→∞ d(xn , xm ) = 0 và dãy {xn } là Cauchy trong X . Vì X là
đầy đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Do T liên tục nên T x¯ = x¯.
n→∞

19