LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
I. CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
2
 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x  a .

 Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là

a , số âm kí

hiệu là  a .
 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
 Với số dương a, số

0  0.

a là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của

0

a  b.

 Với hai số khơng âm a, b, ta có: a < b 
2. Căn thức bậc hai
 Với A là một biểu thức đại số, ta gọi

A là căn thức bậc hai của A.

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị khơng âm.



�A
A2  A  �
A
�

nế
u A �0
nế
u A 0

DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ

A CĨ NGHĨA

Phương pháp:


A có nghĩa  A �0





có nghĩa khi g(x)≠ 0

1
A có nghĩa  A > 0

có nghĩa khi và g(x)≠ 0

 Chú ý: Nếu bài yêu cầu tìm TXĐ thì sau khi tìm được điều kiện x, các em biểu diễn dưới
dạng tập hợp.
 Nếu |f(x)| ≥ a thì f(x) ≥ a hoặc f(x) ≤ -a. ( với a>0)
 Nếu |f(x)| ≤ a thì -a ≤ f(x) ≤ a. ( với a>0)
Bài 1.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

b)
e)

9x  2

c)

3x  2
f)

d)

6x  1

HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi: -3x ≥ 0 ó x �0. Các câu khác làm tương tự:
1

3x  1


b) x 2
Bài 2.

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
d) x e) x
f) x .

c) x

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x

x
 x 2
b) x  2

a)

2

c) x  4

4
2x  3

e)

f)

 x 2

d)

2
x 1

HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi:

 x 2

b) Biểu thức có nghĩa khi:
c) Biểu thức có nghĩa khi :
d)

x

3
2

e)

x 

3
2

f) Biểu thức có nghĩa khi: x+1<0  x  1
Bài 3.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

x2  1

b)

4x2  3

c)

9x2  6x  1

d)

 x2  2x  1

e)

 x 5

f)

2x2  1

HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi :x2+1≥ 0 (luôn đúng) Suy ra: x�R
b) x�R c) x�R d) x  1
e) x  5
f) Vì -2x2-1 <0 với mọi x nên khơng có giá trị nào của x để biểu thức có nghĩa
Bài 4.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

4 x2

b)

x2  16

c)

x2  3

d)

x2  2x  3

e)

x(x  2)

f)

x2  5x  6

HD:
a) x �2
e) x �2 hoặc x �0

b) x �4
c) x � 3
f) x �2 hoặc x �3

2

d) x �1 hoặc x �3


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
Bài 5.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x 1

a)

b)

x1  3

4 x

c)

1

1
d)

x 2 x 1

e)

9  12x  4x2

x 2 x1

f)

HD:
a) x �1 b) x �2 hoặc x �4

c) x �4

3
x�
2
e)

d) x �1

f) x �1

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức trong
căn đưa về dạng rồi áp dụng cơng thức:
�A
A2  A  �
A
�

Bài 1.

nế
u A �0
nế
u A 0

Thực hiện các phép tính sau:

2
a) 0,8 (0,125)

b)

(2)6

e)

�1 1 �
�  �
� 2 2�

c)



3  2

f)

 0,1

2

2

2

d)
Bài 2.

2  3

2

2

Thực hiện các phép tính sau:

a)

 3  2 2

c)

 2  3 2   1 3 2

e)
Bài 3.



0,1



2



5  2 
2

 3 2 2 



b)

 5  2 6 2   5  2 6  2

d)

 3

f)



2

5  2

2

2 

 1

2

2  1 
2



2

2  5

2

2

Thực hiện các phép tính sau:

a)

5 2 6  5  2 6

b)

7  2 10  7  2 10

c)

4 2 3  4 2 3

d)

24  8 5  9  4 5

e) 17  12 2  9  4 2

f)

6  4 2  22  12 2

Bài 4.
a)

Thực hiện các phép tính sau:

5  3 29  12 5

b)

13 30 2  9  4 2
3

c)



3  2 5 2 6


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
d)

5 13 4 3  3 13 4 3

1 3 13 4 3  1 3 13 4 3

e)

ĐÁP SỐ
Bài 1:
a)-0,8 = -0,8|-0,125|=-0,8.0,125= 0,1

1

b) 8 c) 2  3
Bài 2:
a)
b) 4 6
Bài 3:

d) 3 2 2

c) 1

e)

d) 4

1
2 2


f)

e) 2 5

0,1  0,1

f) 2 2  4

a) 2 2
b) Chú ý:
c) Chú ý:
d) Chú ý: ;

e) 4 Chú ý: ; .
f) Chú ý: ;
Bài 4: Ta thực hiện từ trong ra ngoài:
a)

b)
c)
d)
e)

.
( = (.

DẠNG 3: SO SÁNH CĂN BẬC 2
Phương pháp:
- So sánh với số ).
- Bình phương hai vế .
- Đưa vào (đưa ra ) ngoài dấu căn.
- Dựa vào tính chất: nếu a>b≥0 thì
BÀI TẬP: So sánh:
Bài 1: ; 11 và ; 7 và ; 6 và ;
Bài 2:
a) 2 và
b) -3 và - 5 c) 21, 2 , 15 , d) 2 và
e) 2 - 1 và 2
f) 6 và g) \f(,2 và 1
i) - 1 và 3 j) 2 - 5 và 1
k) \f(,3 và \f(3,4
4

h) - \f(,2 và - 2


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
l) 6 \f(1,4 , 4 \f(1,2 , - , 2 , \f(15,5
m) - 2 và n) 2 - 2 và 3
o) 28, , 2, 36
q) và r) - 7 và 4
p) - 27, 4, 16 , 21

DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức trong
căn đưa về dạng rồi áp dụng công thức:
�A
A2  A  �
A
�

neá
u A �0
neá
u A 0

Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1.

Rút gọn các biểu thức sau:

2
a) x  3 x  6x  9 (x �3)

c)
Bài 2.

b)

x2  2x  1
(x  1)
x1

d)

x2  4x  4  x2 (2 �x �0)
x 2 

x2  4x  4
(x  2)
x 2

* Rút gọn các biểu thức sau:

2
2
2
a) A= 1 4a  4a  2a b)B= x  2y  x  4xy  4y

2
4
2
c)C= x  x  8x  16

x4  4x2  4

x2  10x  25
2x  1
x 5
d)D=

e) E=

(x  4)2 

x2  2

f)F=

2
2
2
2
Bài 3.
Cho biểu thức A  x  2 x  1  x  2 x  1 .
a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

b) Tính A nếu x � 2 .
Bài 4.
Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện: xy  yz  zx  1. Tính:
A x

(1 y2)(1 z2)

1 x2

y

(1 z2)(1 x2)
1 y2

z

(1 x2)(1 y2)
1 z2

ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) x+3+ = x+3+|x-3|=x+3-(x-3)=6
b) 2
c) 1
d) 1 x

(vì x≤ 3 nên |x-3|=-(x-3) )

Bài 2:
a) -2a =|1-2a|-2a.
5

x 4
x2  8x  16


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

Nếu 1-2a ≥ 0  a ≤ 1/2 thì A=(1-2a)-2a=1-4a
Nếu 1-2a<0  a>1/2 thì A=-(1-2a)-2a=-1.
b)B=x-2y-|x-2y|: B=0 nếu x≥ 2y; B=2x nếu x<2y.
c)C=x2+|x2-4|: C=2x2-4 nếu |x|≥ 2; C=4 nếu |x|≤2.
d)D=2x-1- : Nếu x>5 thì D=2x-2; Nếu x<5 thì D=2x.
e) E= ; Nếu hay |x|> thì E=1. Nếu hay |x|< thì E=-1.
f) F= |x-4| + ; Nếu x>4 thì F= x-3; Nếu x<4 thì F=3-x.
Bài 3: a) x �1 hoặc x �1
b) A  2
2
2
Bài 4: A  2 . Chú ý: 1 y  (xy  yz  zx)  y  (x  y)(y  z) ,

1 z2  (y  z)(z  x) , 1 x2  (z  x)(x  y)
Nên A=x(y+z)+z(x+y)+y(x+z)=2(xy+yz+zx)=2.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp:
2

2

 A  B � A  �B ;



�A �0 (hay B �0)
A B��
�A  B

�A �0

�A  0
A  B� �
hay �
�A  B
�A   B


 A  B � A  B hay A   B
 Chú ý:  |A|=B ;
Bài 1.
a)
d)
Bài 2.
a)
d)
Bài 3.
a)
d)
Bài 4.



�A  0
A  B  0� �
�B  0



�B �0
A B� �

2
�A  B



�B �0
A  B� �
�A  B hay A  B



�A  0
A  B  0� �
B 0
�

|A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.

Giải các phương trình sau:

(x  3)2  3 x

b)

x 2 x1  2

e)
Giải các phương trình sau:

2x  5  1 x

b)

2x  1  x  1

e)
Giải các phương trình sau:
x2  x  x

x2  1  x2  1 0

4x2  20x  25  2x  5 c) 1 12x  36x2  5

x  2 x  1  x  1  1 f)

1
1 1
x2  x 
 x
2
16 4

x2  x  3 x

c)

2x2  3  4x  3

x2  x  6  x  3

f)

x2  x  3x  5

2
b) 1 x  x  1

e)

x2  4  x  2  0

Giải các phương trình sau:
6

c)

x2  4x  3  x  2

2
f) 1 2x  x  1


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
x2  2x  1  x2  1

a)

x2  x 

d)

Bài 5.

b)

1
x
4

e)
Giải các phương trình sau:

x4  8x2  16  2  x

2
b) x  3  x  3

3x  1  x  1

a)

4x2  4x  1  x  1

c)

x4  2x2  1  x  1

f)

9x2  6x  1  11 6 2

c)

9x2  12x  4  x2

x2  4x  4  4x2  12x  9

d)
Bài 6.

Giải các phương trình sau:

a)

x2  1  x  1  0

d)

x2  4  x2  4x  4  0

b)

x2  8x  16  x  2  0 c) 1 x2  x  1  0

ĐÁP SỐ
Bài 1:

5
2
x�
x  1; x  

2 c)
3
a) x �3 b)
Bài 2:
x 

a)
Bài 3:

4
3 b) x  � 3

c) x  2

d) x  2

e) x �2

d) vô nghiệm e) x  3

1
x�
4
f)

f) vô nghiệm

a) x  0 b) x  1 c) vô nghiệm d) x  �1; x  � 2 e) x  2 f) vô nghiệm
Bài 4:
a) x  1; x  2

b) vô nghiệm c) x  1
d) vô nghiệm e) x  2; x  3; x  1
f)
Bài 5:

x

2 2
2 4
;x 
3
3

x  0; x  

1
2

a)
b) x  3; x   3  1; x   3  1 c)
Bài 6:
a) x  1 b) vô nghiệm c) x  1
d) x  2

x  1; x 

1
5
x  1; x 
2 d)

3

II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA
Phương pháp:
 Khai phương một tích:

A.B  A. B (A �0, B �0)
7


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
A. B  A.B (A �0, B �0)

Nhân các căn bậc hai:

A

B

 Khai phương một thương:

A
B
A
B

Chia hai căn bậc hai:

(A �0, B  0)


A
(A �0, B  0)
B

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1.

Thực hiện các phép tính sau:

a) 12  2 27  3 75  9 48

b) 2 3( 27  2 48  75) c)  2 2  3

d)  1


e)


f)
Bài 2.

3  2  1 3  2
11  7 

11  7





2

2

Thực hiện các phép tính sau:

2 3  2 3

a)
c)



6  2  3  2

Bài 3.

21 12 3  3

b)




d) 4  15 10  6 4  15

3 2

e) 13 160  53 4 90

6 2

f)

2  12  18 128

Thực hiện các phép tính sau:

a) 2 5  125  80  605
8 3  2 25 12  4

d)
Bài 4.

d)

b) 15  216  33  12 6 c)

192

2  3  6  2

e)

3 5  3 5

f) 

2  1   2  1
3

3

Thực hiện các phép tính sau:

10  2 10
8

5  2 1 5
a)

Bài 5.

3 5  3 5

2

3  5.  3  5 
10  2

2 3
2 3

2 3
2 3

2 8  12
5  27


30  162 c)
b) 18  48
1

e)

2  2 3



Thực hiện các phép tính sau:

8



1
2  2 3

f)

5  2  8 5
2 54
2


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
a) A  12  3 7  12  3 7

b) B  4  10  2 5  4  10  2 5

c) C  3  5  3  5
ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) 13 3
Bài 2:

Chú ý:
a)
Bài 3:



4 �2 3
2� 3 

2
2

b)

a) 4 5 b)
Bài 4:
a) –2
Bài 5:

c) 11 4 6

b) 36

3 3

6

b)

6
2



3 �1
2

2



d) 2  2 3

c) 4

d) 1

e) 4 5

f)

2

d) 2

d) 2

f) 2

3 �1

c) 2

c) 0

e) 10

e) 10

31

f) 14

2 2 2
Chứng tỏ A  0, B  0,C  0 . Tính A , B ,C  A   6 ; B  5  1, C  10

DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1.

Rút gọn các biểu thức:
15  6

a)

35  14

b)

2  3  6  8  16

Bài 2.

x y
x1

c)
Bài 3.

8  12

c) 2 5  2 10  3  6

x  xy

f)

a a b b b a
ab  1

Rút gọn các biểu thức sau:
x x y y

a)

2 15  2 10  6  3

e) y  xy

2  3 4

d)

10  15

y 1





x y



2

x 2 x  1
x 2 x 1

b)

 y 2



y 1

(x  1)4

2

(x �1, y �1, y  0)

Rút gọn và tính:
9

(x �0)


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
a 1
b1

a)

:

b 1
a  1 với a  7,25; b  3,25 b) 15a2  8a 15  16 với

2

c) 10a  4a 10  4 với

a

2
5

5
2

3
5

5
3

a

2
2
2
2
d) a  2 a  1  a  2 a  1 với a  5

ĐÁP SỐ
Bài 1:
3 2

3

5
7 b) 2

a)

c) 1 2

x

e)

d) 1 2 . Tách 16  4  4

a b

y

f)

ab  1

Bài 2:
x 1
xy

a)

b)

x 1

1
1
0

y

1
c) 1 x nếu
và x  1 nếu y  1

a 1 5
;
b 1 3

Bài 3: a)

c) 5

b) 4

d) 2

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.

a)

Giải các phương trình sau:

9x  7
d)

2x  3

2x  3
2
x 1

7x  5

ĐS: a)

x

b)

 7x  5
e)

x1

2
c)

4x  20  3

1
3
7

x   ;x 
2 b) vô nghiệm c)
2
2

4x2  9  2 2x  3

x 5 1

9x  45  4
9
3

d) x  6

e) x  9

DẠNG 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1.
a)
Bài 2.

So sánh các số:

7  2 và 1

b)

8  5 và

7 6

c)

2005  2007 và

2006

Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:

a b
� ab
a) 2

b)

d) a  b  c � ab  bc  ca

a b  a  b

e)

a b
a b
�
2
2
10

c)

a  b

1
� a b
2


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

Bài 3.

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A  x  2  4  x

b) B  6  x  x  2

c) C  x  2  x

ĐÁP SỐ
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
a) A  2 � x  3

b) B  4 � x  2

c) C  2 � x  1

III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A2B  A B

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì

2
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B  A B

 Với A.B ≥ 0 và B  0 thì

A

B

2
 Với A ≥ 0 và A �B thì

2
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B   A B

A

AB
B

C
A �B



+ Với B > 0 thì

B



A B
B

C( A mB)
A  B2

C
 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì

A� B



C( A m B )
A B

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1.
a)
c)

Thực hiện các phép tính sau:

125  4 45  3 20  80
2

27
48 2 75


4
9 5 16

� 5 5 �
�5 5 �
1

 1�
�
�
�
�
�
�
�
1

5
1

5
�

�
�
�
e)

Bài 2.

a)

A2B   A B

b)
d)



99  18  11 11  3 22

3

9
49
25


8
2
18

1

f)

3 2

1



3 2

Thực hiện các phép tính sau:

7  5 6 2 7
6
5



2
4
7  2 4 7

2
b)
11

62



2
6 2



5
6


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
� 6 2 5 � 1
1
1

�
�

�
�:
1

3
5
3 2  5
3 2  5
�
� 5 2
d)

c)

1

1



3 3 2

e)



2 3 3 13 48

1

5 1

3 12
6

6 2

f)
ĐÁP SỐ:

Bài 1:

7 3

c) 6

a) 5 5 b) 22
Bài 2:

32 7  20
9
a)

17 6
b) 6

d)

c)



5 2
12

30
6

f) 2 3

e) 4

3
e) 2

d) 3

f) 1

DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Đơn giản biểu thức rồi thay số.
Bài 1.

Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

x  11

A

x  2  3 , x  23 12 3

a)

c)

C

E

b)

a4  4a2  3

1

1

h 2 h 1

d)

2x  2 x2  4
x2  4  x  2 , x  2( 3  1)

1



2(1 a) 2(1 a)

D

a4  12a2  27 , a  3  2

e)
a

B

f)



a2  2
1 a3 , a  2

1
h 2 h 1 , h  3

� 3
�� 3
�
F �
 1 a ��
:
 1�
�
2
� 1 a
��
� 1 a
�
,

3
2 3
1

23
B

2
7
1 a  a
ĐS: a) A  x  2  3  2 3 b)

d)

D

2 h 1
2 2
h 2

E
e)

1
x 2



31
2

c)

C

Giải các phương trình sau:
12

a2  1
a2  9

 5 2 6

f) F  1 a  3  1

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.




LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

a)
c)

x  1  4x  4  25x  25  2  0

1
3
x1
x  1
9x  9  24
 17
2
64
b) 2

9x2  18  2 x2  2  25x2  50  3  0

2

2
d) 2x  x  6x  12x  7  0

2
e) (x  1)(x  4)  3 x  5x  2  6

ĐS: a) x  2 b) 290

e) x  2; x  7

c) vô nghiệm d) x  1�2 2

DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài 1.

Cho biểu thức:

a) Tính

S2; S3

Sn  ( 2  1)n  ( 2  1)n

(với n nguyên dương).

.

S
 S .S  S

b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m n , ta có: m n m n m n
c) Tính
Bài 2.

S4

.

a) Chứng minh rằng:
Bài 3.

Sn  ( 3  2)n  ( 3  2)n

Cho biểu thức:

S2n  Sn2  2

S2, S4

Sn  (2  3)n  (2  3)n

Cho biểu thức:

a) Chứng minh rằng:

b) Tính

S3n  3Sn  Sn3

b) Tính

S3, S9

(với n nguyên dương).

.
(với n nguyên dương).
.

ĐÁP SỐ:
Bài 1:

S  6; S3  10 2
a) 2
Bài 2:

b) Chứng minh

Sm n  Sm n  SmSn

2
2
2
a) Sử dụng hằng đẳng thức a  b  (a  b)  2ab
Bài 3:

b)

c)

S4  34

S1  2 3; S2  10; S4  98

3
3
3
S  Sn3  3Sn
a) Sử dụng hằng đẳng thức a  b  (a  b)  3ab(a  b) . Chứng minh 3n
.

b)

S1  4; S3  61; S9  226798

.

IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép
biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở
13


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới
dấu căn.
Trong tất cả các bài toán rút gọn, nếu bài chưa cho điều kiện của x thì các em phải đi tìm
điều kiện trước khi thực hiện rút gọn.
Chú ý: Sau khi rút gọn biểu thức A, ta thường có các câu hỏi đi kèm sau:
1. Tính giá trị của A tại x= x0: Thông thường các em phải biến đổi x0 rồi mới thay vào A.

2. Tìm x để A=a; A>a; Aphải so sánh x với điều kiện trước khi kết luận.
3. Tìm GTLN, GTNN:
4. Chứng minh A>a; Abiểu thức đúng.
5. Tìm x nguyên để A nguyên:

A
Bài 1. Cho biểu thức:

x 1
x2



a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
ĐS: a) x �0, x �4

A
b)

2 5 x
4 x .
x2

2 x



b) Rút gọn biểu thức A.

3 x
x2

c) x  16

� x2
x  2 �(1 x)2
A �

.
�
�x1
�
x  2 x  1� 2 .
�

Bài 2. Cho biểu thức:

a) Rút gọn A nếu x �0, x �1. b) Tìm x để A dương
ĐS: a) A  x  x

b) 0  x  1

A
Bài 3. Cho biểu thức:

c)

2 x9

x 5 x  6

max A 


c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

1
1
khi x 
4
4.

x  3 2 x 1

x  2 3 x .

b) Tìm x để A  1.

a) Rút gọn A.

x 1

A

x3

ĐS: a)

b) 0  x  9; x �4.

A

Bài 4. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
A

c) Tìm x để A  2 .

a a 1 a a 1 �
1 �� a  1
a  1�

 �a 

�
��
a a a a �
a �� a  1
a  1�
.
b) Tìm a để A  7
c) Tìm a để A  6 .

2a  2 a  2

ĐS: a)

a

b)

A
Bài 5. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

a  4; a 

15 x  11

1
4

c) a  0, a �1.

3 x2 2 x3

x  2 x  3 1 x
3 x .


b) Tìm x để

A

1
2.

14

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
A

2 5 x
x3

ĐS: a)

Bài 6. Cho biểu thức:

b)

ĐS: a)

1
121 .

�
x �� x  3
x2
x2 �
A �
1
:


��
�
� 1 x �� x  2 3 x x  5 x  6�.
b) Tìm x để A  0 .

a) Rút gọn A.

A

x

x2
1 x

b) 0 �x  4.

A
Bài 7. Cho biểu thức:

a2  a
a a  1

2a  a



a

1
.

b) Tìm a để A  2 .

a) Rút gọn A.

ĐS: a) A  a  a

b) a  4

c)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

min A  

1
1
khi a 
4
4.

2

Bài 8. Cho biểu thức:

b) Tìm a để A  0 .

a) Rút gọn A.

A

�a
1 �� a  1
a  1�
A � 


��
�
�2 2 a �� a  1
a  1�
�
��
�.

1 a
a

ĐS: a)

Bài 9. Cho biểu thức:

b) a  1

a) Rút gọn A.
ĐS:

b) Tìm a để

Cho biểu thức:

ĐS: a)

Bài 11.

3 x

a) Rút gọn A.

ĐS: a)

1 6 .

c) Chứng minh rằng

b) x  4; x �9; x �25.
� 1
1 �� a  1
a  2�
A �


�
�: �
a ��
a 1�
� a 1
� a2
�.
b) Tìm a để

A

1
6.

a2
3 a

A

�x  5 x �� 25 x
x3
A �
 1��
:


�x  25
��x  2 x  15
x

5
�
��

5

Cho biểu thức:

A

6

b) Tìm x để A  1.

a) Rút gọn A.

A

c) a  3 2 2 .

�2a  a  1 2a a  a  a �a  a
A  1 �

.
�
� 1 a
�2 a  1
1

a
a
�
�
.

A

Bài 10.

c) Tìm a để A  2 .

b) a  16.
15

2
3.
x  5�
�
x  3�
�.


Bài 12.

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
�x  1 x  1�� 2
x
1 �
A �

:


��
�
�x  1 x  1��x2  1 x  1 x  1�.
Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A khi x  3 8 .

4x
2

ĐS: a) 1  x

x

Bài 13.

b) x  2

Cho biểu thức:

c)

1
5

c) Tìm x để A  5 .

; x  5
.

�
y  xy �� x
y
x  y�
B  �x
:


��
�

x  y �� xy  y
xy  x
xy �
�
.

a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B khi x  3, y  4  2 3 .

ĐS: a) B  y  x

b) B  1.
B

Bài 14.

Cho biểu thức:

y

Cho biểu thức:

a) Rút gọn B.
ĐS:

Bài 16.

Cho biểu thức:

a) Rút gọn B.
ĐS:

Bài 17.

Cho biểu thức:

a) Rút gọn B.
ĐS:

Bài 18.

2x

.

1 x

x  x  2 xy  2 y 1 x .

x

ĐS: a)

Bài 15.

xy  2y



b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y  625 và B  0,2 .

a) Rút gọn B.
B

x3

Cho biểu thức:

a) Rút gọn B.

b) x� 2;3;4 .
�
�1
1 � 2
1 1� x3  y x  x y  y3
B �
.
  �:
� 
�
�x
�
y�
x3y  xy3
�
� x  y x y�
�
�
.

b) Cho x.y  16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.

� 1
� 1
3 ab ��
3 ab � a  b �
B�

.�

�
�
�
�:
� a  b a a  b b ��
� a  b a a  b b � a  ab  b�
�
��
�
�
�
b) Tính B khi a  16, b  4 .

� x y
B�

� x y
�

x  y �

�:
y x �
�
3

3



x y



2

 xy

x y

.

b) Chứng minh B �0 .
� a 1
ab  a �� a  1
ab  a �
B�

 1��
:


 1�
� ab  1
�� ab  1
�
ab  1
ab  1
�
��
�.
b) Tính giá trị của B nếu a  2  3 và

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu
ĐS:

a  b 4 .
16

b

31
1 3 .


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

V. CĂN BẬC BA
3
 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x  a .

 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.

 A B �

3

A 3B



3

3

3

A.B  A. B

3

 Với B  0 ta có:

A

B

3

A

3

B

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

Phương pháp: Áp dụng công thức:

 3 a

3 3

a  a;

3

a

3
3
2
2
3
và các hằng đẳng thức: (a  b)  a  3a b  3ab  b ,

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2) ,
Bài 1.
a)

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2)

Thực hiện các phép tính sau:

3

( 2  1)(3 2 2)

3
3
d)  4  1   4  1
3

Bài 2.

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

b)
3

e)

3

(4  2 3)( 3  1)

c)

64  3 125  3 216

 3 9  3 6  3 4  3 3  3 2

Thực hiện các phép tính sau:

3
3
a) A  2  5  2  5

3
3
b) B  9  4 5  9  4 5

3

c) C  (2  3). 26  15 3

d)

D  3 3 9 

125 3
125
 3 9 
27
27

ĐÁP SỐ:
Bài 1:
a)
Bài 2:

3

21

b)

31

c) 3

3
d) 12 2  2

3

�
1� 5 �
2� 5  �
�
� 2 �
a) A  1. Chú ý:
3

�3� 5 �
9 �4 5  �
�
� 2 �
b) B  3. Chú ý:
3
c) C  1. Chú ý: 26  15 3  (2  3)

17

e) 5.


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
d) D  1. Đặt

a  3 3 9 

125
125
5
b  3 3 9 
a3  b3  6, ab 
27 ,
27 
3 . Tính D3 .

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
1 1 1
  1
Chứng minh rằng, nếu: ax  by  cz và x y z
3

Bài 1.
thì
Bài 2.

3

3

3

ax2  by2  cz2  3 a  3 b  3 c .

Chứng minh đẳng thức:
x  y  z  33 xyz 

1
2

2
2
2
 3 x  3 y  3 z �
�3 x  3 y   3 y  3 z   3 z  3 x  �
�

ĐÁP SỐ:
Bài 1:
3

3

3

ax  by  cz  t 
Đặt

a

t
3

x

,b 

t
3

y

,c 

t
z3 . Chứng tỏ VT  VP  3 t

Bài 2: Khai triển và rút gọn ta được vế trái

DẠNG 3: SO SÁNH HAI SỐ
A B �

Phương pháp:
Bài 1.

A 3B

So sánh:

3
3
a) A  2 3 và B  23
ĐS: a) A  B b) A  B

Bài 2.

3

3
b) A  33 và B  3 133
c) A  B

So sánh:

3
3
a) A  20  14 2  20  14 2 và B  2 5

ĐS: a) A  B . Chú ý: 20 �14 2   2 � 2 .
3

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp:

3

A  B � A  B3

18

3
3
c) A  5 6 và B  6 5


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

Bài 1.

Giải các phương trình sau:
3

a)
d)

2x  1  3

b)

3 3

x  9x2  x  3

x

e)

3

3

2  3x  2

c)

3

x  1  1 x

5 x  x  5

10
3

ĐS: a) x  13 b)
c) x  0; x  1; x  2
Bài 2.
Giải các phương trình sau:

e) x  5; x  4; x  6

d) x  1

3
3
3
a) x  2  x  1  3
b) 13 x  22  x  5

c)
ĐS: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
a) x  3 b) x  14; x  5
c) x  7

3

x 1  x 3

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1.

Rút gọn các biểu thức sau:

20  45  3 18  72

a)

c)
Bài 2.



�1 1 3
�1
4

2
200 �:
�

5
�8
d) �2 2 2

6  5  120
2

Rút gọn các biểu thức sau:

1
a)
Bài 3.

b) ( 28  2 3  7) 7  84

5 3



4 2 3

1
5 3

b)

1

6 2

c) 2  3

2 2  3  2   1 2 2  2 6  9

4
c)
Bài 4.
a)
Bài 5.
a)

Bài 6.

2

2



6 3 3

Chứng minh các đẳng thức sau:
2

a)



 2  5

2



4

 2  5 2

b)

2 3  2 3  6

8

d) 11 6 2  11 6 2  6
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

2  3 và 10

b)
A

Cho biểu thức:
Rút gọn biểu thức A.

Cho biểu thức:

2003  2005 và 2 2004

c)

5 3 và

3 5

2x x  1 3 11x


x  3 3 x x2  9 với x ��3.

b) Tìm x để A < 2.

c) Tìm x nguyên để A nguyên.

�x  1 x  1 x2  4x  1�x  2003
A �


.
�
2
�x  1 x  1
� x
x

1
�
�
.
19

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 7.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A
Bài 8.

1
x x  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  1 6x  9x2  9x2  12x  4

Bài 9.

Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

A

x 1
x3
� x2
x  2� x  1
Q�


.
�
�x  2 x  1 x  1 � x
�
�
.
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.

Bài 10.
a)

Cho biểu thức:
Rút gọn Q.

Bài 11.
a)

� 1
1 �
a 1
M �

�:
a  1� a  2 a  1 với a  0,a �1.
�a  a
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức M.
b) So sánh giá trị của M với 1.

Bài 12.

a)

� 2
�
1
x 3 �
x 2�
P �


�
�
�
� 2 x
x  1 2 �
2x  x �
� x  x1
�
�.

Cho biểu thức
Tìm điều kiện để P có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P với x  3 2 2 .

Bài 13.
a)

Bài 14.

Cho biểu thức:
Rút gọn B.

�
�2x  1
��
x
1 x3
�
B�

.�
 x�
� 3
� 1 x
�
� x  1 x  x  1��
�
� với x �0 và x �1.
b) Tìm x để B = 3.

Cho biểu thức:

�
�1
1 � 2
1 1� x3  y x  x y  y3
A �

.
  �:
� 
�
�x
�
y�
x3y  xy3
�
� x  y x y�
�
�

với x  0, y  0 .
a) Rút gọn A.
b) Biết xy  16 . Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.

P
Bài 15.

Cho biểu thức:

1
x 1



x
x x.
x

a)

Rút gọn P.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi
ĐÁP SỐ:

20

1
2.


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
Bài 1:
a) 15 2  5
Bài 2:

b) 21

2
a)  3 b) 2
Bài 3:
Biến đổi VT thành VP.
Bài 4:

c)

a) 2  3  10

Bài 5:

A

a)
Bài 6:

1

b)

3x
x 3

d) 54 2

c) 11

3
3

2003  2005  2 2004

b) 6  x  3; x �3

a) x �0; x ��1

b)

A

x  2003
x

c)

5 3 3 5

c) x�{6; 0; 2; 4; 6; 12}.

c) x�{2003;2003}.

Bài 7:

max A 

4
1
x
3 khi
4.

Bài 8:
Sử dụng tính chất a  b �a  b , dấu "=" xảy ra  ab �0 .

min A  1 khi

1
2
�x �

3
3.

Bài 9:
x�{49;25;1;16;4}. Chú ý:

A  1

4
x  3 . Để A  Z thì

x �Z và

x  3 là ước của 4.

Bài 10:

Q

a)
Bài 11:

M
a)
Bài 12:

2
x1
a 1
a

b) x�{2;3}.

 1

1
a

b) M  1.

a) x �1; x �2; x �3
Bài 13:
a) B  x  1
Bài 14:

P
b)

2 x
c) P  2  1.

x

b) x  16 .

21


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
x y

b) min A  1 � x  y  4 .

xy
a)
Bài 15:

a)

P

x 1
1 x

b) P  3 2 2 .

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. KHÁI NIỆM HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số
· Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn
xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y là hàm số của x, x là biến số.
Ta viết: y  f (x), y  g(x),...

x
f (x0)
· Giá trị của f (x) tại 0 kí hiệu là
.
· Tập xác định D của hàm số y  f (x) là tập hợp các giá trị của x sao cho f (x) có nghĩa.
· Khi x thay đổi mà y ln nhận một giá trị khơng đổi thì hàm số y là hàm hằng.
2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y  f (x) là tập hợp tất cả các điểm M (x; y) trong mặt phẳng toạ độ
Oxy sao cho x, y thoả mãn hệ thức y  f (x) .
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập R.

x , x �R : x1  x2 � f (x1)  f (x2)
a) y  f (x) đồng biến trên R Û ( 1 2
)
x , x �R : x1  x2 � f (x1)  f (x2)
b) y  f (x) nghịch biến trên R Û ( 1 2
)

Bài 1.

2
Cho hai hàm số f (x)  x và g(x)  3 x .

� 1�
ff(3), �
 �
, f (0), g(1), g(2), g(3)
�
2
�
a) Tính
.

ĐS: b)

a  1; a  

3
2.

f (x) 
Bài 2.

Cho hàm số

b) Xác định a để 2 f (a)  g(a) .

x 1
x 1.

a) Tìm tập xác định của hàm số.

2


b) Tính f 4  2 3 và f (a ) với a  1.

c) Tìm x nguyên để f (x) là số nguyên.

2
d) Tìm x sao cho f (x)  f (x ) .

22


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9

ĐS: a) x �0, x �1
Bài 3.

Cho hàm số

b)

f (x) 

f  4  2 3    3 2 3 ,

b) Chứng minh rằng f ( x)   f (x), x �D .

Tìm tập xác định của các hàm số sau:
3

2

a) y  x  2x  x  1
d)

y

b)

3 x1
x 2

y

x1
(x  1)(x  3)

c)

e) y  x  5  x  3

ĐS: a) x�R b) x �1; x �3 c) x�R
Bài 5.

a1
a  1 c) x�{0;4;9} d) x  0

x 1  x1
x 1  x1 .

a) Tìm tập xác định D của hàm số.
ĐS: a) D  R \{0}
Bài 4.

f (a2) 

y

1
x2  2x  3

f) y  x  2  2  x

d) x �1; x �2 e) x �5

f) x �2

2
Chứng tỏ rằng hàm số y  f (x)  x  4x  3 nghịch biến trong khoảng (�;2) và đồng

biến trong khoảng (2; �) .
HD: Xét
Bài 6.

.

3
Chứng tỏ rằng hàm số y  f (x)  x luôn luôn đồng biến.

HD: Xét
Bài 7.

f (x1)  f (x2)

f (x1)  f (x2)

.

Chứng tỏ rằng hàm số

HD: Xét

f (x1)  f (x2)

y  f (x) 

x1
x  2 nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó.

.

Bài 8.
Chứng tỏ rằng hàm số y  f (x)  3 x  2 2  x nghịch biến trong khoảng xác định của
nó.

f (x1)  f (x2)
HD: y  f (x)  2  x  1. Xét
.
Bài 9.

3
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f (x)   x  x  x  6 trên đoạn [0;2] .

HD: Xét
Bài 10.

f (x1)  f (x2)

Chứng tỏ hàm số ln nghịch biến trên R Þ ff(2) � (x) �f (0) .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

HD: Xét

f (x1)  f (x2)

y  f (x) 

x 2
x  1 trong đoạn [3; 2] .

Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Þ ff(3) � (x) �f (2)

2
2
y   x; y   x  1
3
3
Bài 11. Vẽ đồ thị của hai hàm số
trên cùng một hệ trục toạ độ. Có nhận xét
gì về hai đồ thị này.
23


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
HD: Hai đồ thị song song với nhau, cách nhau 1 đơn vị.
Bài 12. Cho hàm số y  f (x)  x .
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến.
b) Trong các điểm A(4;2), B(2;1), C(9;3), D(8;2 2) , điểm nào thuộc và điểm nào không thuộc
đồ thị của hàm số.

HD: a, Xét

f (x1)  f (x2)

b, Các điểm thuộc đồ thị là: A; C; D.
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Khái niệm hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y  ax  b với a �0.
2. Tính chất
Hàm số bậc nhất y  ax  b xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau:
a) Đồng biến trên R nếu a  0
b) Nghịch biến trên R nếu a  0 .
3. Đồ thị
· Đồ thị của hàm số y  ax  b ( a �0) là một đường thẳng:
– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
– Song song với đường thẳng y  ax nếu b �0; trùng với đường thẳng y  ax nếu b  0 .
· Cách vẽ đồ thị hàm số y  ax  b ( a �0):
– Khi b  0 thì y  ax . Đồ thị của hàm số y  ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O(0; 0)
và điểm A(1; a) .
– Nếu b �0 thì đồ thị y  ax  b là đường thẳng đi qua các điểm A(0; b) ,

�b �
B�
 ;0�
� a �.

4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
) : y  a�
x  b�( aa�
�0 ):

Cho hai đường thẳng (d) : y  ax  b và (d�
�
a  a�
(d) P (d�
)� �
b �b�
�
·
) � a.a�
 1
· (d)  (d�

�
a  a�
(d) �(d�
)�
b b

Ã

à (d) ct (dÂ) a ạ aÂ

5. Hệ số góc của đường thẳng y  ax  b (a �0)
· Đường thẳng y  ax  b có hệ số góc là a.
· Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y  ax  b (a �0) với tia Ox:
0
0
+ a  90 thì a > 0
+ a > 90 thì a < 0.
· Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

· Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1) và B(x2; y2) là:
24


LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 9
k=
Dạng 1: Kiểm tra đồ thị hàm số có phải là hàm số bậc nhất không? đồng biến hay nghịch
biến?
-Đồ thị y=ax+b là bậc nhất nếu a ≠ 0, đồng biến nếu a >0; nghịch biến nếu a<0
Bài 1.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Với các hàm số bậc nhất, hãy cho
biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến?
a) y  5 2x

b) y  x 2  1

2
y  x
3
e)

d) y  3(x  1)  x
ĐS:
Các hàm số bậc nhất là:a,b,d, e,
Với: a, nghịch biến
b, đồng biến

c) y  2(x  1)  2x
f)

y  x

1
x

d, đồng biến

e, nghịch biến



Bài 2.
Cho hàm số y  3 2 x  2.
a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: 0; 1; 3 2; 3 2 .
c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: 0; 1; 5 2; 5 2 .
ĐS:
a, Đồng biến
b, y={2; 5- ; 9; 13-6 ;}
Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm của hai đồ thị.
1. Để vẽ đồ thị hàm số, ta tìm hai điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi nối chúng lại ( thường tìm giao
với hai trục tọa độ).
Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
a) Vẽ đồ thị hàm số y=|f(x)|:
Cách 1: Dùng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ.
Cách 2:
- Vẽ đồ thì hàm số y=f(x)
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của y=f(x) (P1).
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của y=f(x) lên phía trên Ox ta được P2.

- Đồ thị y=|f(x)| là P1 và P2.
b) Vẽ đồ thị hàm số y=f(|x|):
- Vẽ đồ thì hàm số y=f(x)
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị bên phải Oy của y=f(x).
- Đồ thị y=f(|x|) là phần bên phải và phần lấy đối xứng
2.

Để tìm giao điểm đồ thị hàm số y=f(x) với y=g(x). Ta xét phương trình hồnh độ giao điểm :
f(x)=g(x), tìm được x0 rồi tính y0=f(x0) suy ra giao điểm A(x0;y0).
Dạng 3: Các dạng lập phương trình đường thẳng
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(; B(
Cách 1: Phương trình đường thẳng là:
25