KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------

TỐN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN
TAYLOR


KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC,
HYPERBOLIC
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x

Từ khai triển hàm y = e  Khai triển sinx,
cosx,Mũ
sinhx,
chẵncoshx
x2 x4
  1 n x 2 n  2 n 1 
cos x 1 
  ... 
o x
,x 0
2
2! 4!
(2n)!
x
e x 1  x   ...
2!
x3

  1 n x 2 n1  2 n2 
sin x x 
 ... 
o x
,x 0
3!
(2n  1)!
Mũ
lẻ
Tươngtựnhưsin x, cos x nhưngkhông
đandấu
 shx, chx
2
2n
x3
x 2 n 1
x
x
shx x   ... 
 o x 2 n 2 , chx 1   ... 
 o x 2 n 1 
3!
 2n  1!
2!
(2n)!

x3
tgx  x   o x 4 , x  0
3

 

Chú ý phần dư cosx,
sinx, chx, shx: o nhỏ của


KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x),
LN(1 + x)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm nghịch đảo
– inverse function
--------------------(Tổng cấp số nhân):
1
1
n n
n
n
2


1  x    x  o x ,
1  x  x      1 x  o x n 
1 x
1 x
Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị
thức Newton (1 + x)n
1  x   1  x     1 x 2        n  1 x n  o x n 
2!
n!
VD:

Khai

triển f  x  3 1  x đến
cấp
3
2
3
1
MacLaurint
hàm
x
1
1
x
1
1
1
x
Gia 1  x  3 1     1    1  2   o x 3 , x  0





3 3  3  2! 3  3  3  3!
ûi:
ln(1 + x): 1/
(1+x) 

xn/n,

x 2 x3
( 1) n  1 n
ln1  x   x 
  
x  o x n 
2 3
n


BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN:
7 HÀM
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm
ex
cos x
sin x
1
1 x
1
1 x

1  x 



ln1  x 

Khai trieån

x 2 x3
xn
1  x    
2! 3!
n!
2n
x2 x4
x
n
1
      1
x 2n
2! 4!
 2n !
2 n 1
x3 x5
x
n
x
      1
x 2 n 1
3! 5!
 2n  1!
n

1  x  x  x      1 x n
2

3

Phần dư
Lagrange
ec
x n 1
 n  1!
cos sin  c 2 n 2
x
 2n  2!
cos sin  c 2 n 3
x
 2n  3!
1
n 1
  1 n 1
x
1  c  n 2

1  x  x 2  x3   x n

   1 2
    n  1 n
1  x 
x  
x
2!
n!
n
x2 x3 x 4
n 1 x

x
 
     1
2 3 4
n


PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG,
HIỆU, TÍCH
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng,
hiệu, tích (đhàm, tphân) các hàm cơ

bản. p dụng kh/tr MacLaurint cơ bản
VD: Khai triển ML đến f  x  e x  2  5 ln1  x 
1 x
caáp 3:
2
2




x
x
Gia f  x   1  x   ...  21  x  x 2  ...  5 x 
 ...  o x 3 
2
2





ûi:
VD: Khai trieån MacLaurint f  x  cos x cosh x
2
đến cấp 3: x 2


x
3
3 
Gia f  x  1 
 o x  1   o x   1  o x 3 , x  0
2!
2!



ûi:
Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm,

tích phân (coi chừng C!)
VD: Khai triển ML ñeán f  x  ln x  1  x 2  1





KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG
1/(1  x)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Với thương (tỷ số, phân số) 1
1 x
2 hàm số: Dùng
Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc

phải xuất hiện số 1!
x
1
VD:
Khai
triển a / e , caáp
2 b/
, caáp
3
2x
cos x
MacLaurint
2
2



1
1
1

x
x
x
2
2 
Gia a / e x  
  1  x   o  x   1    o  x  
2 1 x 2 2 
2!
 2 4

ûi:
2
2
2
x
x
1
1
3 
3 
b/

1    o x      o x    ...
2
3
cos x 1   x 2!  o x  
 2
  2


1
VD: Khai trieån MacLaurint f  x  
x2  4x  3
đến cấp 2
1
1 1
1  1 1
1
1 
Gia f  x  
 

  



x  1 x  3 2  x  1 x  3 2  3 1  x 3 1  x 
ûi:


KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HP
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt
từng

bước.

Đầu

tiên

khai

triển

MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) &
cắt
luỹ thừa
yêu
cầutra
(Có
Chúđến
ý quan
trọng:được
Luôn
kiểm
thể
thứ
tự).
điềổi
kiện
u(0)
= 0!
VD:
Khai
triển a / sin  x 2  b / cos x đến
cấp
4
3

MacLaurint
u
Gia a / u x 2 & u  0 0  sin u u 
 ... x 2  o x 4 
3!
12
ûi:


2
4


 x2 x4


x
x
1
4
4 
b / 1  
 o x   1   
  o x    1  u  ...
2
 2 24
    2  24
     



u
VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y =


KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ
KTR ML
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0

Khai triển Taylor f(x) quanh x = x : Đổi biến
t = x – x0 và sử dụng khai triển Mac Laurint

Cách
2: f(t)
Biến đổi để (x – x0) xuất hiện
cho
hàm
trực tiếp trong hàm số!
VD: Khai triển Taylor f  x  1 quanh x 2 đến
cấp
3
0
x
hàm
Giải: Cách 1: t = f  x  1  1 1  1 1  1  t   


x t  2 2 1 t 2 2  2

x–2
1

1
1
Cách 2: Tạo (x – 2) f  x  
 
 x  2  2 2 1   x  2 2
trong hàm
VD: Khai triển Taylor f  x  3 x quanh x  8 đến
cấp
2
0

13
hàm

x

2

 1    x  2 


Gia 3  x  2   8  21 
 21  
  ...


8 
8

 3 


ûi:


ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano
+ Ngắt bỏ VCB
VD:
Tính
VD:
Tìm
VD:
Tìm
(SGK/8
0)

3

x3
4 
x
4
x  x 
 o  x 



o

x
6
x  sin x

 lim 6
lim

lim
3
3
3
x 0
x 0
x 0
x
x
x

sin 3x  4 sin 3 x  3 ln1  x 
sin 3 x  3 ln 1  x 
lim

lim
x 0
x 0
x2
e x  1 sin x





ln 1  x  
 1
lim 

2

x  0 x 1  x 
x


1 

2 
lim  x  x ln1   
x 
 x 

x  1  x  ln1  x 
x 0
x 2 1  x 
 x  ln1  x  x ln1  x  
lim 2
 2
x 0
x 1  x  
 x 1  x 

lim

ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính gần đúng & ước lượng sai số:
phần dư Lagrange
n

f ( x) 
k 0

f

k

 x0 

k!

k

 x  x0  ,   Rn 

f  n 1  c 
(n  1)!

x  x0

n 1

, c   x0 , x 

VD: Tính gần đúng giá trị số e với độ
-4
c
chính
xác
10
(SGK/79)
1
1
1
e
3
Gia e 1      
, c   0,1  e S ,  
 n  1!
 1!  2!   n!  n  1!
ûi:

S

Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng
trong khai triển hàm y = ex để có thể
-4
xấp
xỉ
e
với

độ
chính
xác
10
VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx  x

với độ chính xác 10-4


VI PHÂN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm khả vi tại x0  y = Ax + o(x), x 
0 : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính
theo x và vô cùng bé bậc
cao
của
x
y

C

:
y

f

x

Vi phân: dy = Ax =

f  x0  x 
f’(x)dx
Nhận xét: Hàm có
y
đạo hàm  Có vi
f  x0 
phân:
Hàm
khả
vi
x
1/ C: hằng số 
f '  x0  x
dC = 0 & d(Cy) =
x0 x0  x x
O
Cdy Vi phân
2/
tổng,

hiệu,

tích, thương:

d  u v  du dv
d  uv  vdu  udv

u  vdu  udv

d  

v2
v


VI PHÂN HÀM HP
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

độc
lập 
phân  y  f  x  , x : bieán
  dy  y ' dx
 y  f  x  , x  x t  : hàm
hợp


cấp 1:
 Vi phân cấp 1:
Vi

bất biến!
VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y =
sinx,
= cost
Gia x
b / dy cos xdx  cos x sin tdt hoaëc
y sin cos t   dy 
ûi:
Vi
phân x : Biến
độc

lập
 d 2 y  f ' ' dx 2 , d 3 y 
caáp cao:
y  f  x  , x  x t   d 2 y  f ' ' dx 2  f ' d 2 x  d 2 x  x' ' dt 2 
VD: Tính d2y: a/ y = arctgx
arctgx,
= sint
2x
2
ÑS a / d 2x
y 
dx
2 2
1  x 
:

b/ y =

sin t 2
b / d y  y ' ' dx 
dt
2
1 x
2

2