Gián án Tiết 45 - 46: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Tiết45, 46 phương trình tổng quát
của mặt phẳng
r
z
M0



x
11/27/13

O

n

M

y


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa: SGK/77
r
r
Vectơ n khác vectơ 0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt
nó
phẳng () nếu . nằm trên đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng ()

r
Ký hiệu: n ^ (a )

Em hÃy đọc định nghĩa SGK trang 77 và
điền vào chỗ trống .


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa: SGK/77

r
A. Vectơ u là vtpt của ()

r
B. Chỉ có vectơ n là vtpt của ()
r
u
r
C. Cả hai vectơ n và m là vtpt
của ().

D. Cả ba vectơ trên là vtpt
của ().

Một mặt phẳng có vô số
vectơ pháp tuyến

r
u

r
n

u
r
m

Vậy hÃy quanmột vào hình vẽ có
Em theo em sát mặt phẳng và
bao chọn phươngpháp tuyến?
nhiêu vec tơ án đúng


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r
Trong không gian cho điểm M0 và một vectơ n
Mặt phẳng ) hoàn toàn được xác
nếu biết một(điểm thuộc nó và một
định
vectơ pháp tuyến của nó.



r
n

M0

Theo em có tồn tại một mặt phẳng đi qua M0
và vuông góc với vectơ trên không? Nếu có thì
có bao nhiêu mặt phẳng như thế?

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Hai vectơ không cùng
phương và cùng song

b) Chú ý:

r
r
Hai vectơ a và b nói trên

hoặc nằm trên ( )


còn gọi là cặp vectơ chỉ phương

r
b

của mặt phẳng ().

r
a



Bằng trực quan em có nhận xét gì về quan hệ
giữa vectơ a, vectơ b và ()?

r
b

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r
a

Đáp số: Hình 2 và hình 3


Em hÃy cho
biết hình
nào mặt
phẳng () có
cặp vectơ chỉ
phương?

Hình 1

r
b

r
a


Hình 2

r
b
Hình 3

r
a


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r
r r
Đặt n = [ a , b ]

α

r
b

r
n

r
a

rrr r r
rr r r r
,^

Gỵilêi: [ anb ] ^a a vµ n ^ bb ^ b
Trả ý:
và [ a, ]

rr
Vậy em có xét rxét quan hệ giữa vectơ
Em có nhậnnhậngì vềgì rvề quan hệ giữa nn
với mặt phẳng ()? và b ?
và hai vectơ a


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
b) Chú ý:

r
r
Hai vectơ a và b nói trên

gọi là cặp vectơ chỉ phương
còn

r
b

của mặt phẳng ().

r
r r
n = [ a, b]là một vectơ

của () .
pháp tuyến

r
n



nếu
là
Vậyhàng A, B, Cmặt ba điểm
không thẳng
trong
phẳng
() thì
r

uur uuu
r
n = [ AB, AC ] là một vectơ pháp
tuyến của () .

r
a



r
n
A

B
C


2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Bài toán:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ().

r
M0(x0;y0;z0) () n là một vectơ

z
M0

pháp tuyến của ()

Tìm điều kiện để ®iĨm M  ()
Gi¶i:
Gi¶ sưrM = (x; y; z). M  () 
uuuuu r
uuuuu r
r
M 0 M ^ n Û M 0 M .n = 0

α

x

r

n
M

O

 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (*)
Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0

(1)

y


2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
*. Định lí: SGK/ 78
b) Định nghĩa



Phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 0
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
c) Chú ý
r
Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) vµ cã vtpt n = ( A; B : C )



thì phương trình của nó là:
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0

Nếu mặt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình:
r

Ax + By + Cz + D = 0 th× n = ( A; B : C ) lµ mét vtpt cđa nã.


3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Em hÃy đọc SGK trang 80 rồi lựa chọn phương trình
mặt phẳng ë cét A sao cho phï hỵp víi kÕt ln ë cét B:
Cét A
1. Ax+ By + Cz = 0
2. By + Cz + D = 0

Cét B
a. Song song víi trơc Ox
hc chøa trơc Ox
b. Song song víi mp Oxy
hc trïng víi mp Oxy

3. Ax + Cz + D = 0

c. Đi qua gốc toạ độ

4. Cz + D = 0

d. Song song víi trơc Oz
hc chøa trơc Oz
e. Song song víi trơc Oy
hc chøa trơc Oy

VÝ dơ: 1 - c


3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Em hÃy ®äc SGK trang 80 råi cho biÕt trong c¸c PT
sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0),
B=(0; -2; 0) vµ C= (0; 0; 5):

A)

x
y
z
+
+ =0
1 - 2
5

B)

x
y
z
+
+ =1
1 - 2
5

C)

x
y
z
+
+ =1
1
2
5

Phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo
đoạn chắn của mặt phẳng.


4. Ví dụ



Tóm tắt
r
Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt n = ( A; B; C )
thì phương trình của nó là: A(x x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

 NÕu mỈt phẳng () là mặt phẳng có phươg trình:
r

Ax + By + Cz + D = 0 th× n = ( A; B; C ) lµ mét vtpt cđa nã.

VÝ dơ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P = (1; -2 ; 3) và song song với
r

mặt phẳng 2x – 3y + z + 5 = 0.

n = (2;- 3;1)

Giải

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt
phẳng 2x 3y + z + 5 = 0 nªn nã cã mét vtpt lµ:
r

Q

2x – 3y + z + 5 = 0

n = (2;- 3;1) Vậy phương trình của nó là:
2(x – 1) – 3(y + 2) + z – 3 = 0.
hay
2x – 3y + z – 11 = 0

α

P


4. Ví dụ
Ví dụ 2:

Viết phương trình mặt phẳng qua ba ®iĨm P = (1; 0; 0),
Q = (0; 2: 0) và R = (0; 0; 3)

uuu Giải
r
PQ = (- 1;2;0)

uur
PR = (- 1;0;3)

Mặt phẳng (PQR) có vectơ pháp tuyến là:

r
uuu uur
r
ổ 0 0 - 1 - 1 2ữ
ử
ỗ2
ữ
n = [ PQ, PR ] = ỗ
=
ỗ0 3 ; 3 - 1 ; - 1 0 ữ (6; 3; 2)
ữ
ỗ
ố
ứ
và đi qua điểm P nên có phương trình là:


6(x 1) + 3(y - 0) + 2(z – 0) = 0 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
C¸ch 2: Mặt phẳng (PQR) có phương trình theo đoạn chắn là:

x y z

+ + = 1 Û 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
1 2 3


4. Ví dụ
Ví dụ 3:

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB,
biết A = (1;2;-2), B = (1; 2; 1)
Giải

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB th×:

1+ 1 3 + 2 - 2 + 1
5 1
I =(
+
+
) = (1; ;- )
2
2
2
2 2
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và
vuông góc với đường thẳng AB nªn cã thĨ
uur
chän: AB = (0;- 1;3)

A

B

I

5
1
0( x - 1) - 1( y - ) + 3( z + ) = 0
2
2
hay

- y + 3z + 4 = 0.

α

lµm vtpt pháp tuyến của nó. Vậy PT của nó là:


Em ®· chän ®óng !


Em đà chọn sai ! HÃy kiểm tra
lại.