Vận dụng tiếp cận “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” trong dạy học một số chủ đề số học và đại số cho học sinh trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THU VÂN

VẬN DỤNG TIẾP CẬN “CỤ THỂ – HÌNH ẢNH – TRỪU TƯỢNG”
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THU VÂN

VẬN DỤNG TIẾP CẬN “CỤ THỂ - HÌNH ẢNH - TRỪU TƯỢNG”
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MƠN TỐN
Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân

HÀ NỘI – 2020

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin cảm ơn các thầy cô trường Đại học Giáo dục đã luôn
giảng dạy, giúp đỡ, cung cấp những tài liệu bổ ích và tạo điều kiện thuận lợi
cho em học tập và nghiên cứu trong suốt những năm học vừa qua, giúp em có
thể có đủ kỹ năng và kiến thức để hồn thành được luận văn này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân
– Giảng viên Khoa Toán – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên –
Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc, động
viên, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hồn thành luận văn này.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến trường THCS Phan Chu Trinh, trường THCS
Pascal cùng các cô giáo Nguyễn Thị Hiền – giáo viên trường THCS Phan Chu
Trinh, cô giáo Nguyễn Thị Hồng Vân – giáo viên trường THCS Pascal, Hà Nội,
đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình thực nghiệm sư
phạm.
Vì thời gian có hạn nên luận văn này khơng tránh khỏi những sai sót,
kính mong nhận được những đóng góp nhiệt tình của q thầy cơ và các anh
chị học viên để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2020
Học viên thực hiện

Nguyễn Thu Vân

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

CPA

Concrete – pictorial – abstract (cụ thể – hình ảnh – trừu
tượng)

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THCS

Trung học cơ sở

TIMSS

Xu hướng nghiên cứu khoa học và toán học quốc tế

SGK

Sách giáo khoa

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Tỷ lệ phần trăm học sinh lớp 8 của Singapore đúng các mục trên
TIMSS, 1999 và 2003 [17]................................................................................ 7
Bảng 1.2. Phân bố giới tính của mẫu khảo sát ................................................ 17
Bảng 1.3. Phân bố khối học của mẫu khảo sát................................................ 17
Bảng 1.4. Xếp loại học lực năm học trước của mẫu khảo sát ......................... 17
Bảng 1.5. Ngun nhân khiến HS thích/ khơng thích nội dung Số học/Đại số
......................................................................................................................... 18
Bảng 1.6. Biểu hiện bằng hành động của HS trong khi học Số học/Đại số ... 21
Bảng 2.1. Thiết kế mơ hình cụ thể - hình ảnh - trừu tượng cho số nguyên .... 40
Bảng 3.1. Thống kê kết quả điểm của các bài kiểm tra lớp 6 ......................... 67
Bảng 3.2. Thống kê kết quả điểm của các bài kiểm tra lớp 7 ......................... 68

iii


DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ
Hình 1.1. Hình minh họa giải thích phép cộng trong ví dụ [9]....................... 13
Biểu đồ 1.1. Mức độ hứng thú của HS với nội dung Số học/Đại học ............ 18
Biểu đồ 1.2. Cách giải của HS khi giải bài tốn Số học/Đại số...................... 22
Hình 2.1. Hình ảnh sử dụng que kem minh họa phép tính cộng..................... 31
Hình 2.2. Hình ảnh sử dụng hình khối để minh họa phép tính cộng .............. 32
Hình 2.3. Hình ảnh minh họa phép tính cộng theo mơ hình thanh ................. 32
Hình 2.4. Hình ảnh minh họa phép tính cộng theo hình trịn ......................... 33
Hình 2.5. Hình ảnh minh họa cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.1 .............................. 34
Hình 2.6. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.1 .................................... 34
Hình 2.7. Hình ảnh minh họa cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.2 .............................. 35
Hình 2.8. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.2 .................................... 35
Hình 2.9. Hình ảnh minh họa cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.3 .............................. 36

Hình 2.10. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.3................................... 36
Hình 2.11. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.4................................... 37
Hình 2.12. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.5................................... 38
Hình 2.13. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.6................................... 38
Hình 2.14. Hình ảnh minh họa trường hợp 1 ở ví dụ 2.2.7............................. 39
Hình 2.15. Hình ảnh minh họa trường hợp 2 ở ví dụ 2.2.7............................. 39
Hình 2.16. Hình ảnh cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.8 ............................................ 42
Hình 2.17. Hình ảnh minh họa ví dụ 2.2.9 ...................................................... 43
Hình 2.18. Hình ảnh minh họa ví dụ 2.2.10 .................................................... 44
Hình 2.19. Hình ảnh cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.12 .......................................... 45
Hình 2.20. Hình ảnh cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.13 .......................................... 46
Hình 2.21. Hình ảnh minh họa cho ví dụ 2.2.13 ............................................. 46
Hình 2.22. Hình ảnh minh họa cho ví dụ 2.2.14 ............................................. 47
Hình 2.23. Hình ảnh cấp độ cụ thể trong ví dụ 2.2.15 .................................... 48
Hình 2.24. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.15 ......................... 48
iv


Hình 2.25. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.16 ......................... 49
Hình 2.26. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.17 ......................... 50
Hình 2.27. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.18 ......................... 51
Hình 2.28. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.19 ......................... 52
Hình 2.29. Mơ hình minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.20........................... 52
Hình 2.30. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.21 ......................... 53
Hình 2.31. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.22 ......................... 54
Hình 2.32. Hình ảnh minh họa cấp độ trừu tượng trong ví dụ 2.2.22 (1) ....... 54
Hình 2.33. Hình ảnh minh họa cấp độ trừu tượng trong ví dụ 2.2.22 (2) ....... 55
Hình 2.34. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.23 ......................... 55
Hình 2.35. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.24 ......................... 56
Hình 2.36. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.25 ......................... 57

Hình 2.37. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.26 ......................... 57
Hình 2.38. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.27 ......................... 58
Hình 2.39. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.28 ......................... 58
Hình 2.40. Hình ảnh minh họa phép tốn trong ví dụ 2.2.29 ......................... 59
Biểu đồ 3.1. Mức độ hứng thú của học sinh sau khi học Số học theo phương
pháp CPA ........................................................................................................ 69

v


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................... iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ ........................................................ iv
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do nghiên cứu đề tài ................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3
4. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 3
5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu .............................................................. 3
6. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 4
7. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 4
8. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 6
1.1. Một số vấn đề cơ bản về phương pháp “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” . 6
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề ...................................................................... 6
1.1.2. Một số khái niệm liên quan ................................................................... 11
1.2. Sơ lược nội dung chương trình Số học và Đại số ở lớp 6 và lớp 7.......... 15
1.3. Thực trạng dạy học Số học và Đại số ở trung học cơ sở ......................... 15

1.3.1. Mục đích điều tra .................................................................................. 15
1.3.2. Phương pháp điều tra ............................................................................ 16
1.3.3. Kết quả điều tra ..................................................................................... 16
1.3.4. Nhận xét chung ..................................................................................... 23
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 23
CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ – HÌNH ẢNH – TRỪU
TƯỢNG VÀO GIẢNG DẠY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ HỌC, ĐẠI SỐ CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ ................................................................. 25
vi


2.1. Các nội dung về Số học và Đại số bậc trung học cơ sở có thể áp dụng
phương pháp cụ thể – hình ảnh – trừu tượng vào giảng dạy ......................... 25
2.1.1. Số học .................................................................................................... 25
2.1.2. Đại số..................................................................................................... 30
2.2. Áp dụng phương pháp cụ thể – hình ảnh – trừu tượng vào giảng dạy Số
học, Đại số ở trung học cơ sở .......................................................................... 30
2.2.1. Dạy học Số học trung học cơ sở theo phương pháp cụ thể – hình ảnh –
trừu tượng ........................................................................................................ 31
2.2.2. Dạy học Đại số trung học cơ sở theo phương pháp cụ thể – hình ảnh –
trừu tượng ........................................................................................................ 56
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 59
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 60
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 60
3.2. Phương pháp thực nghiệm ....................................................................... 60
3.3. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 60
3.3.1. Tổ chức thực nghiệm............................................................................. 60
3.3.2. Đối tượng thực nghiệm ......................................................................... 60
3.3.3. Giáo án mẫu .......................................................................................... 60
3.4. Kết quả thực nghiệm ................................................................................ 67

3.4.1. Kết quả định lượng ................................................................................ 67
3.4.2. Kết quả định tính ................................................................................... 69
Kết luận chương 3 ........................................................................................... 69
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 70
1. Kết luận ....................................................................................................... 70
2. Khuyến nghị ................................................................................................ 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 71
PHỤ LỤC

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do nghiên cứu đề tài
Giáo dục Việt Nam đang bước vào giai đoạn đổi mới, vì vậy cập nhật,
tham khảo các phương pháp dạy và học mới là một trong những vấn đề rất cấp
thiết. Chương I, điều 7, khoản 2 của Luật Giáo dục số 43/2019/QH14 có viết:
“Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và
hợp tác, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Các
chương trình giáo dục trên thế giới cũng đều đang dần thay đổi để tạo sự hứng
thú cho học sinh, từ đó giúp người học phát huy tính chủ động và phát triển tư
duy.
Tốn học là một mơn khoa học đóng một vai trò lớn trong bất kỳ lĩnh
vực nào. Ngay cả các cơng trình kiến trúc, cơng nghệ hiện đại và rất nhiều lĩnh
vực kiến thức khác cũng được liên kết với những khái niệm Tốn học. Vì vậy,
học sinh ở THCS cần đảm bảo nền tảng Toán học vững chắc để có thể dễ dàng
tiếp thu các kiến thức ở các cấp học cao hơn và phục vụ cho cuộc sống, công
việc sau này. Hiện nay, rất nhiều giáo viên vẫn dạy Tốn theo lối truyền thống,
khiến mơn học càng trở nên trừu tượng, khó hiểu. Để giúp học sinh cảm thấy

hứng thú, tích cực hơn, kích thích đam mê đối với mơn Tốn, giáo viên cần
phải tìm ra nhiều phương pháp mới giúp lý thuyết Tốn học khơ khan trở nên
dễ hình dung hơn.
Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trong thế kỉ 21, giáo viên cần
kết hợp nhiều cách trình bày ý tưởng để làm tăng cơ hội tiếp cận với tất cả các
học sinh. Mỗi người học sẽ có một cách học, cách tiếp cận dưới nhiều hình thức
khác nhau như nghe, nhìn, nói, chạm, thao tác, viết… các nội dung kiến thức.
Thông qua các mơn học, giáo viên phải tìm ra các phương pháp tiếp cận dễ
dàng nhất cho học sinh.

1


Chương trình giáo dục áp dụng phương pháp “Cụ thể – Hình ảnh – Trừu
tượng” (CPA) là một hướng tiếp cận được triển khai ở nhiều nước trên thế giới,
đặc biệt là Singapore trong nhiều năm nay. CPA là viết tắt của Concrete (Cụ
thể), Pictorial (Hình ảnh) và Abstract (Trừu tượng) - một phương pháp được
phát triển dựa trên nghiên cứu của Jerome Bruner. Ông cho rằng để tiếp cận
một vấn đề, người học cần trải qua ba bước: đầu tiên là xử lý đối tượng thực tế,
sau đó sử dụng hình ảnh để mơ phỏng lại vấn đề, cuối cùng là dùng khái niệm
trừu tượng để giải thích [1]. Lý thuyết này được áp dụng vào Toán Singapore
giúp học sinh hứng thú và ghi nhớ tốt hơn.
Trên thế giới có một số cơng trình nghiên cứu về phương pháp CPA như:
Gujarati J. (2013), “Deepening mathematics teaching and learning through the
concrete-pictorial-abstract approach”, Strategies for Successful Learning, 6(2);
Leong Y.H., Ho W.K., & Cheng L.P. (2015), Concrete-Pictorial-Abstract:
Surveying its origins and charting its future; Putri, H. E. (2015), “The Influence
of Concrete-Pictorial-Abstract (CPA) Approach to The Mathematical
Representation Ability Achievement of the Pre-Service Teachers at Elementary
School”, International Journal of Education and Research, 3(6), 113-126;

Sharma J., & Connor D. (2017), “Developing a concrete-pictorial-abstract
model for negative number arithmetic”, Proceedings of the British Society for
Research into Learning Mathematics, 37(2);… Tuy vậy, hầu hết các đề tài chỉ
tập trung nghiên cứu phương pháp CPA trong giảng dạy các bài tốn ở bậc Tiểu
học, rất ít các đề tài nghiên cứu phương pháp này trong giảng dạy Số và Đại số
ở bậc THCS.
Là một giáo viên, tôi nhận thấy tầm quan trọng của việc ứng dụng
phương pháp CPA trong dạy học Số và Đại số ở trường THCS. Nghiên cứu này
sẽ giúp giáo viên có phương pháp dạy học nội dung Số học và Đại số THCS
hiệu quả hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.

2


Với tất cả những lý do trên, tôi quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài
luận văn của mình: “Vận dụng tiếp cận “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” trong
dạy học một số chủ đề số học và đại số cho học sinh trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận về phương pháp CPA, phân tích một số
nội dung Số và Đại số ở bậc THCS có thể áp dụng phương pháp CPA vào giảng
dạy, từ đó đưa ra biện pháp dạy học cụ thể cho học sinh THCS và đánh giá tính
hiệu quả của đề tài.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nhiệm vụ nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan tới phương pháp CPA.
- Nghiên cứu một số nội dung Số và Đại số ở bậc THCS (có thể áp dụng
phương pháp CPA vào giảng dạy).
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu thực tiễn
- Điều tra thực trạng dạy và học Số và Đại số ở bậc THCS.
- Đề xuất biện pháp dạy học áp dụng phương pháp CPA trong một số

chủ đề về Số và Đại số THCS.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đưa ra kết quả nghiên cứu.
4. Câu hỏi nghiên cứu
- Giáo viên đã áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy Số và Đại số ở
THCS hay chưa?
- Áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy Số và Đại số THCS có giúp
nâng cao chất lượng dạy học hay không?
5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Các nội dung Số và Đại số ở THCS có thể áp dụng phương pháp CPA
để giảng dạy.

3


5.2. Khách thể nghiên cứu
Học sinh trường THCS Phan Chu Trinh và THCS Pascal, Hà Nội.
6. Phạm vi nghiên cứu
6.1. Phạm vi về không gian
Trường THCS Phan Chu Trinh và THCS Pascal, Hà Nội.
6.2. Phạm vi về thời gian
Thời gian nghiên cứu từ 03/2020 đến 12/2020.
6.3. Phạm vi về nội dung
Áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy một số vấn đề về số học, đại
số cho học sinh trung học cơ sở.
7. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài vận dụng tổng hợp một số phương pháp như sau:
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu và nghiên cứu các lý luận của các nhà giáo dục, tâm lý học,…
về phương pháp CPA.

- Đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu: Phân tích các nguồn tư
liệu (sách, tạp chí khoa học, nghiên cứu khoa học, khóa luận, luận văn,…) về
phương pháp CPA trong giảng dạy, các nội dung Số và Đại số THCS.
7.2. Phương pháp điều tra thực tiễn
- Phương pháp quan sát: Quan sát tiến trình dạy học trong các giờ học
Số và Đại số ở THCS.
- Phương pháp điều tra bảng hỏi: Phát bảng hỏi cho học sinh và giáo viên
tại THCS để nắm bắt được thực trạng giảng dạy áp dụng phương pháp CPA
trong nội dung Số và Đại số.
7.3. Phương pháp thống kê Toán học
Sử dụng phương pháp thống kê Tốn học, trong đó chủ yếu sử dụng phần
mềm SPSS để xử lý số liệu điều tra khảo sát, kết quả thực nghiệm sư phạm.

4


7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tiến hành dạy học theo phương pháp CPA ở một số lớp, đối chứng kết
quả trước khi dạy và sau khi dạy ở những lớp đó.
8. Cấu trúc luận văn
Ngồi các phần như mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo,
luận văn được trình bày trong ba chương.
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Áp dụng phương pháp cụ thể - hình ảnh – trừu tượng vào
giảng dạy một số vấn đề về số học, đại số cho học sinh trung học cơ sở
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

5

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề cơ bản về phương pháp “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng”
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Nghiên cứu của Jerome Bruner cho rằng trẻ em học các khái niệm trừu
tượng thông qua cách tiếp cận từ các đồ vật cụ thể, biểu diễn chúng bằng hình
ảnh để hiểu các khái niệm trừu tượng một cách thấu đáo [5]. Trong số những
đóng góp to lớn của ông, một trong những quan niệm nổi tiếng nhất là quan
niệm về các phương thức đại diện “mang tính biểu tượng”. Quan niệm này tạo
nền tảng cho rất nhiều phương pháp giảng dạy liên quan đến toán học, đặc biệt
là phương pháp tiếp cận “cụ thể - hình ảnh – trừu tượng” đang phổ biến tại
Singapore ngày nay.
Là một thuộc địa thương mại của Anh vào năm 1819, Singapore gia nhập
Malaysia vào năm 1963 nhưng rút lui hai năm sau đó và trở thành một thành
phố-nhà nước độc lập. Dân số Singapore rơi vào khoảng 5,6 triệu người, ít hơn
dân số của Hà Nội hiện nay. Năm 1970, Tổng sản phẩm quốc nội (GDP) bình
quân đầu người của Singapore là khoảng $300. Đến năm 2000, thu nhập bình
quân đầu người của nó là khoảng $25.000, một trong những mức cao nhất trên
thế giới. [8, tr. 5] Singapore chú trọng đến giáo dục được coi là lý do chính cho
thành cơng kinh tế của nó. Năm 1999, học sinh lớp 8 của Singapore đạt điểm
trung bình cao nhất trong số học sinh từ 38 quốc gia tham gia TIMSS, 46% học
sinh của Singapore nằm trong số 10% hàng đầu của tất cả những người dự thi.
Trong năm 2003, học sinh lớp 8 của Singapore giữ được điểm trung bình cao
nhất của học sinh từ 46 quốc gia [17].

6


Bảng 1.1. Tỷ lệ phần trăm học sinh lớp 8 của Singapore đúng các mục trên
TIMSS, 1999 và 2003 [17]
Lĩnh vực Tốn

1999 (% đúng)

2003 (% đúng)

Tổng thể

76

74

Số

80

78

Đo lường

76

74

Hình học

73

71

Thống kê

81

79

Đại số

69

69

Thứ hạng

1 (*)

1 (**)

học

* trên 38 quốc gia
** trên 46 quốc gia
Để đạt được điều này, chương trình giáo dục Toán học của Singapore
phải được đổi mới, đặc biệt là Singapore đã ứng dụng phương pháp tiếp cận
“cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” trong dạy học mơn Tốn. Phương pháp tiếp
cận CPA đã được chứng minh là đặc biệt hiệu quả với những học sinh gặp khó
khăn với mơn tốn [18]. Đây là một cách tiếp cận phù hợp với cách học của
học sinh dựa trên nghiên cứu tâm lý hành vi, giúp học sinh hiểu bản chất hơn
là cách học theo cơng thức để giải tốn nhưng không hiểu bản chất.
Kể từ khi ra đời vào đầu những năm 1980, phương pháp CPA luôn là
một chiến lược giảng dạy quan trọng được Bộ Giáo dục Singapore ủng hộ. Kể

cả trong tài liệu giáo trình để triển khai trong năm 2013 cũng có trình bày:
“Phương pháp tiếp cận [dựa trên hoạt động] đặc biệt hiệu quả để dạy các khái
niệm và kỹ năng toán học tại cấp tiểu học và trung học cơ sở, nhưng cũng có
hiệu quả ở các cấp cao hơn. Học sinh tham gia vào các hoạt động để khám phá

7


và tìm hiểu các khái niệm tốn học và kỹ năng… Từ các thao tác cụ thể và kinh
nghiệm, học sinh được hướng dẫn để khám phá toán học trừu tượng như khái
niệm hoặc kết quả… Trong hoạt động, học sinh giao tiếp và chia sẻ hiểu biết
của họ bằng cách sử dụng các đại diện cụ thể và hình ảnh. Vai trò của giáo viên
là của một người hỗ trợ hướng dẫn học sinh thông qua mức độ hiểu biết cụ thể,
hình ảnh và trừu tượng, bằng cách cung cấp khung lý thuyết thích hợp và sự
phản hồi”. [12, tr. 23]
Mặc dù phương pháp CPA hiện đã nổi tiếng trong và ngồi Singapore
hay trong cộng đồng giáo dục tốn học, nhưng rất ít cơng trình học thuật tìm
hiểu nguồn gốc của phương pháp tiếp cận CPA. Trong tài liệu [8] có chỉ ra
rằng, có một sự tương ứng giữa phương pháp “Cụ thể - Hình ảnh - Trừu tượng”
của Singapore với lý thuyết “Hoạt động - Hình tượng - Tượng trưng” của
Bruner. Trong thực hành giảng dạy toán học ở Singapore, khái niệm biểu tượng
của Bruner là trọng tâm của khái niệm cụ thể - hình ảnh - trừu tượng. “Cụ thể”
không chỉ giới hạn ở “những thao tác cụ thể”, mà còn là “những kinh nghiệm
cụ thể”, bao gồm các hoạt động và các thao tác thích hợp. Do đó, quan điểm về
“Cụ thể” này rất phù hợp với quan điểm “Hoạt động” của Bruner, cũng là về
kiến thức toán học được thể hiện qua các hành động. Cịn về “Hình ảnh” có thể
hiểu là “hình ảnh đại diện”, tương ứng chặt chẽ với quan điểm "Hình tượng"
của Bruner. Tiếp theo, chúng ta có thể suy ra rằng "Trừu tượng" về mặt khái
niệm không khác xa so với sự nhấn mạnh ngôn ngữ - biểu tượng trong quan
điểm "Tượng trưng" của Bruner.

Chương trình Tốn của Singapore đang rất nổi tiếng hiện nay, nhưng
trước đó quốc gia này cũng chỉ sử dụng các giáo trình của nước khác. Năm
1981, Phịng Kế hoạch và Phát triển chương trình giảng dạy Singapore thấy
được sự cần thiết của bộ sách giáo khoa riêng nên bắt đầu xây dựng chương
trình mới. Xem xét một số sách giáo khoa của Singapore, ví dụ như tài liệu [7],
phần giới thiệu chương trình của sách giáo khoa có thứ tự sau: bối cảnh “đời

8


thực” cung cấp cho một tình huống hoặc vấn đề đáng chú ý (như: một vấn đề
về việc chia thành nhiều phần), một mơ tả trực quan về tình huống hoặc các
vấn đề liên quan khác (như: bánh nướng hình trịn), và trừu tượng hóa từ dạng
trực quan thành dạng biểu tượng (như: làm việc với các phân số). Từ đó, ta thấy
một trình tự phản ánh chặt chẽ các giai đoạn của phương pháp CPA. Tuy nhiên,
sự “Cụ thể” như được trình bày trong sách giáo khoa của Singapore dường như
đã lệch đi khỏi quan niệm ban đầu của Bruner về hoạt động, chuyển thành mô
tả đơn thuần về một hoạt động. Nói cách khác, các tác giả sách giáo khoa dường
như đã mở rộng sự “Cụ thể” không chỉ bao gồm hành động cụ thể, mà còn bao
gồm cả việc mô tả về một hoạt động thông qua bài đọc.
Trong các tài liệu của Bộ Giáo dục Singapore [13], [14], [15] , phương
pháp CPA được đưa vào giảng dạy đầu tiên chỉ được áp dụng cho các cấp Tiểu
học vào đầu những năm 1980. Cho đến năm 1990, cách tiếp cận CPA mới được
chính thức xác nhận là một phương pháp giảng dạy được khuyến nghị cho cấp
Trung học cơ sở. Tuy nhiên, có một đặc điểm có vẻ khác với Bruner: cụ thể,
hình ảnh và trừu tượng được mô tả trong các tài liệu của Bộ Giáo dục là “mức
độ hiểu biết” [14, tr 10; 12, tr. 23], cịn trong tài liệu của Bruner khơng sử dụng
ngơn ngữ của “cấp độ” mà liên quan nhiều hơn đến việc sắp xếp theo trình tự
thời gian. Ở đây, ta cần phải hiểu hoạt động tâm lý của học sinh trong một tình
huống giải quyết vấn đề khơng chỉ dừng lại ở một cấp độ duy nhất. Học sinh

có khả năng vận dụng thành thạo hơn ở cấp độ “Trừu tượng”, khi đã có các
cơng cụ để xử lý các nhiệm vụ tốn học phức tạp hơn.
Sau đó, xuất hiện một sự khác biệt giữa quan niệm “Cụ thể” được sử
dụng bởi những người viết Dự án Toán Tiểu học vào đầu những năm 1980 và
những người viết tài liệu giáo trình được thực hiện vào năm 2013. Quan niệm
“Cụ thể” gần đây đã quay lại quan niệm ban đầu của Bruner, được nhấn mạnh
là sự trải nghiệm của học sinh. Vai trò của giáo viên là cung cấp kinh nghiệm

9


học tập thích hợp, trải nghiệm cụ thể, có thể ở dạng các hoạt động, bối cảnh
thực tế hoặc sử dụng các thao tác.
Ngoài ra, quan niệm của Bruner cũng tương đối phù hợp với các nhà lý
thuyết khác như Piaget và Dienes, những người tin rằng quá trình học tập bắt
đầu từ sự tham gia tích cực hoặc trải nghiệm với các tình huống cụ thể trước
khi chuyển sang sự thừa nhận một đặc tính bất biến trong số những kinh nghiệm
cụ thể. Theo lý thuyết kiến tạo của J. Piaget, người dạy sẽ định hướng người
học chủ động tìm tịi, khám phá, phát hiện tri thức mới. Theo đó, có ba hình
thức khám phá: qua hành động; qua hình ảnh hay các mơ hình, sơ đồ; qua các
kí hiệu ngơn ngữ, mệnh đề… Từ đây, có thể thấy hoạt động học tập của người
học được chia thành ba bước: phân tích sự vật, mơ hình hóa và kí hiệu hóa. Cịn
Dienes đã đề xuất ba giai đoạn để học khái niệm bắt đầu bằng việc chơi vô thức
trong các tình huống cụ thể (xây dựng), sau đó là nhận ra một điều gì đó có ý
nghĩa trong các vở kịch (chuyển từ xây dựng sang phân tích), kết thúc bằng một
khoảnh khắc nhìn sâu và hiểu được ý nghĩa (phân tích). Đối với Dienes, khái
niệm của Piaget về sự phát triển nhận thức được sắp xếp theo ba giai đoạn cảm giác nhạy bén, hoạt động cụ thể và hoạt động chính thức được phản ánh
trong sự hình thành của mọi khái niệm [6]. Quan điểm chung giữa ba nhà lý
thuyết là sự tồn tại của các giai đoạn song song, được sắp xếp theo trình tự
tương tự từ cụ thể đến trừu tượng mặc dù chúng có thể khác nhau trong từng

giai đoạn cụ thể.
Tuy vậy, có một vài sự khác biệt trong quan điểm của Bruner và của Jean
Piaget, "cụ thể" có xu hướng gắn liền với các đối tượng hơn là hành động.
Tương tự, theo Richard R. Skemp có trình bày năm 1986, “trừu tượng” có thể
được định nghĩa là kết quả cuối cùng của q trình trừu tượng hóa bằng cách
so sánh những điểm tương đồng chứ không phải như quan niệm của Bruner về
hoạt động trong một hệ thống biểu tượng [12]. Thêm vào đó, khái niệm “cụ
thể” hay “trừu tượng” cịn chưa được phân biệt rõ ràng, ví dụ như: một nhà toán

10


học sẽ coi các cơng thức tốn học là “cụ thể” trong khi nó lại là sự “trừu tượng”
đối với học sinh không quen với nhiệm vụ. Đối với điều này, các quan niệm
mà Bruner đề cập vẫn là những hướng dẫn hữu ích. Theo Bruner, học tập khái
niệm bắt đầu bằng trải nghiệm từ các hành động thực tế được thực hiện, sau đó
được chuyển thành hình ảnh của trải nghiệm mang tính biểu tượng, cuối cùng
là dùng khái niệm trừu tượng để giải thích [5].
Trên thế giới gần đây cũng có một số tài liệu nghiên cứu về phương pháp
CPA như: Gujarati J. (2013), “Deepening mathematics teaching and learning
through the concrete-pictorial-abstract approach”, Strategies for Successful
Learning, 6(2); Leong Y.H., Ho W.K., & Cheng L.P. (2015), ConcretePictorial-Abstract: Surveying its origins and charting its future; Putri, H. E.
(2015), “The Influence of Concrete-Pictorial-Abstract (CPA) Approach to The
Mathematical Representation Ability Achievement of the Pre-Service Teachers
at Elementary School”, International Journal of Education and Research, 3(6),
113-126; Sharma J., & Connor D. (2017), “Developing a concrete-pictorialabstract model for negative number arithmetic”, Proceedings of the British
Society for Research into Learning Mathematics, 37(2);… Tuy vậy, hầu hết các
đề tài chỉ tập trung nghiên cứu phương pháp CPA trong giảng dạy và hiệu quả
của phương pháp này ở bậc Tiểu học, rất ít các đề tài nghiên cứu phương pháp
này trong giảng dạy Số và Đại số ở bậc THCS.

1.1.2. Một số khái niệm liên quan
1.1.2.1. Phương pháp tiếp cận cụ thể – hình ảnh – trừu tượng
Phương pháp CPA hay cách tiếp cận “cụ thể - hình ảnh - trừu tượng”,
giúp học sinh xây dựng kỹ năng thay vì chỉ chú ý đến nội dung, cho phép học
sinh hiểu lý thuyết rõ ràng hơn, ghi nhớ tốt hơn.
Bruner cho rằng để tiếp cận một vấn đề, người học cần trải qua ba bước,
đầu tiên là xử lý đối tượng thực tế, sau đó sử dụng hình ảnh để mô phỏng lại
vấn đề, cuối cùng là dùng khái niệm trừu tượng để giải thích.

11


Bước đầu tiên trong phương pháp CPA là cụ thể hóa. Giáo viên sẽ đưa
ra những hình khối, vật dụng mà học sinh có thể chạm vào và cảm nhận như bộ
xếp hình, xúc xắc, que tính… để biểu đạt các phép tính. Sau đó, học sinh chuyển
sang tiếp nhận vấn đề bằng hình ảnh và củng cố kiến thức về các khái niệm
bằng sơ đồ. Các sơ đồ này rất hữu ích trong việc học về các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia, phân số hay số thập phân. Cuối cùng, khi đã được nhìn và sờ, học
sinh sẽ chuyển sang tiếp nhận khái niệm tốn học.
Ta có thể giải thích các khái niệm “cụ thể”, “hình ảnh”, “trừu tượng” như
sau [9]:
“Cụ thể”: Ở cấp độ cụ thể, các đối tượng hữu hình, chẳng hạn như thao
tác, được sử dụng để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Ví dụ về các cơng cụ cụ thể
bao gồm: bộ xếp hình, xúc xắc, que tính, các cơng cụ để đo lường… Hầu hết
mọi thứ mà học sinh có thể chạm vào và thao tác để giúp tiếp cận và giải quyết
một vấn đề đều được sử dụng ở mức độ cụ thể.
“Hình ảnh”: Ở cấp độ hình ảnh, các biểu diễn được sử dụng để tiếp cận
và giải quyết vấn đề. Chúng có thể bao gồm các hình vẽ (ví dụ: vịng trịn, dấu
chấm,… để đại diện cho hình ảnh của các đối tượng), sơ đồ, biểu đồ và đồ thị.
Những hình ảnh này là hình ảnh đại diện cho các thao tác cụ thể. Điều quan

trọng là giáo viên phải giải thích mối liên hệ này.
“Trừu tượng”: Ở cấp độ trừu tượng, các biểu diễn tượng trưng được sử
dụng để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Các biểu diễn này, hay cịn gọi là cơng
thức, có thể bao gồm số hoặc chữ cái. Điều quan trọng là giáo viên phải giải
thích cách các ký hiệu có thể cung cấp một cách ngắn hơn và hiệu quả để biểu
diễn các phép tốn.
Trong phần này, tơi trình bày một ví dụ, để minh họa rõ hơn cho các
khái niệm “cụ thể”, “hình ảnh”, “trừu tượng”.
Ví dụ: Mẹ của Mai đã nướng một ít bánh quy cho bữa tiệc sinh nhật của
con gái bà. Trong mẻ đầu tiên, cô đã nướng được 26 chiếc bánh quy. Ở mẻ thứ

12


hai, cô nướng được 35 chiếc bánh quy. Hỏi mẹ của Mai đã nướng bao nhiêu
chiếc bánh quy?
Cấp độ cụ thể: Để giải quyết vấn đề, học sinh có thể sử dụng các chiếc
bánh thật (hoặc các khối hình, xúc xắc…) để kết hợp 26 chiếc bánh và
35 chiếc bánh, thu được tổng cộng 61 chiếc bánh.
Cấp độ hình ảnh: Một cách tiếp cận bằng hình ảnh bên dưới, GV có thể
cho học sinh sử dụng hình khối với cơ sở là 10, để thể hiện một cách đại
diện rằng 26 chiếc bánh cộng với 35 chiếc bánh mang lại tổng cộng 61
chiếc bánh.
Hình 1.1. Hình minh họa giải thích phép cộng trong ví dụ [9]

Cấp độ trừu tượng: Học sinh có thể tiếp cận vấn đề bằng cách sử dụng
thuật tốn truyền thống, cơng thức cộng số để thực hiện phép tính.
1.1.2.2. Đặc điểm của phương pháp tiếp cận cụ thể – hình ảnh – trừu tượng
Phương pháp CPA có thể mang lại lợi ích cho tất cả người học, nhưng
đã được chứng minh là đặc biệt hiệu quả với những học sinh gặp khó khăn về

tốn học vì nó cho học sinh thấy sự tiến bộ dần dần từ các vật thể hữu hình sang
các hình ảnh và cuối cùng là các biểu tượng mà họ đã trải nghiệm tốn học ở
nhiều dạng khác nhau [10]. Nó cung cấp cho học sinh các chiến lược để giải
quyết các vấn đề tốn học thay vì chỉ đơn giản là tìm kiếm câu trả lời [18]. Cách
tiếp cận này cũng không phụ thuộc vào cấp lớp. Mặc dù, một học sinh có thể

13


đã ở cấp độ trừu tượng đối với phép cộng và trừ các số nguyên có nhiều chữ
số, nhưng học sinh đó cũng có thể đang ở cấp độ cụ thể đối với phép cộng và
trừ các phân số, trong đó các thao tác là cần thiết để xây dựng sự hiểu biết về
khái niệm này. Do đó, một học sinh có thể ở nhiều cấp độ nhận thức khác nhau
tùy thuộc vào các khái niệm toán học mà chúng được học. Nhìn chung, giáo
viên ở tất cả các cấp lớp được khuyến khích tiếp cận tốn học thơng qua phương
thức CPA để đáp ứng nhu cầu nhận thức toán học của học sinh.
1.1.2.3. Ưu và nhược điểm của phương pháp tiếp cận cụ thể – hình ảnh – trừu
tượng
Một trong những ưu điểm của phương pháp CPA là học sinh được làm
chủ các khái niệm, trái ngược với việc học thuộc lịng các quy tắc và cơng thức.
Phương pháp CPA rất trực quan, sinh động, kích thích mọi giác quan của người
học. HS có thể sờ, nhìn, nghe, thơng qua hoạt động cụ thể để làm cầu nối đến
những khái niệm trừu tượng.
Tuy nhiên, với mơ hình tốn học CPA, giáo viên sẽ phải liên tục bồi
dưỡng nghiệp vụ, kỹ năng, để có thể thực hiện dạy học theo phương pháp này.
Các bộ dụng cụ minh họa (xúc xắc, bộ xếp hình, que tính…) cũng cần có cho
mỗi học sinh để sử dụng trong cấp độ “cụ thể”. Những điều này tạo gánh nặng
tài chính cho gia đình học sinh và cả nhà trường.
1.1.2.4. Tầm quan trọng của phương pháp tiếp cận cụ thể – hình ảnh – trừu
tượng

Phương pháp CPA mang lại lợi ích cho tất cả người học, đã được chứng
minh là đặc biệt hiệu quả với những học sinh gặp khó khăn về tốn học vì nó
cho học sinh thấy một q trình, từ các vật thể hữu hình sang các hình ảnh và
cuối cùng là các biểu tượng mà họ đã trải nghiệm toán học ở nhiều dạng khác
nhau (Jordan, Miller & Mercer, 1998). Nó cũng cung cấp cho học sinh các
chiến lược để giải quyết các vấn đề tốn học thay vì chỉ đơn giản là tìm kiếm
câu trả lời (Sousa, 2008). Cách tiếp cận này cũng không phụ thuộc vào cấp lớp.

14


Mặc dù học sinh THCS có thể đã ở cấp độ trừu tượng đối với phép cộng và trừ
các số tự nhiên có nhiều chữ số, nhưng học sinh đó có thể ở cấp độ cụ thể đối
với phép cộng và trừ các phân số trong đó các thao tác cụ thể là cần thiết để
xây dựng sự hiểu biết về các khái niệm này. Do đó, học sinh có thể sẽ ở các cấp
độ nhận thức khác nhau tùy thuộc vào các khái niệm toán học mà học sinh đã
biết. Nhìn chung, giáo viên ở tất cả các cấp lớp được khuyến khích tiếp cận
tốn học thơng qua các phương thức đa dạng để đáp ứng nhu cầu nhận thức
tốn học của học sinh.
1.2. Cấu trúc chương trình Số học và Đại số ở lớp 6 và lớp 7
Chương trình Số học và Đại số cấp THCS ở lớp 6 và lớp 7 được trình
bày trong sách giáo khoa như sau:
Lớp 6:
Chương I: Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên [1].
Chương II: Số nguyên [1].
Chương III: Phân số [2].
Lớp 7:
Chương I: Số hữu tỉ. Số thực [3].
Chương II: Hàm số và đồ thị [3].
Chương III: Thống kê [4].

Trong tài liệu này, tôi chủ yếu nghiên cứu về các chủ đề Số học 6 (số tự
nhiên, số nguyên, phân số), Số học 7 (số hữu tỉ), Đại số 7 (hàm số, đơn thức).
Một số nội dung về số tự nhiên, về phân số và số hữu tỉ, học sinh đã được học
từ bậc Tiểu học. Ở bậc THCS, các nội dung này sẽ được bổ sung thêm các khái
niệm mới, quy tắc mới…
1.3. Thực trạng dạy học Số học và Đại số ở trung học cơ sở
1.3.1. Mục đích điều tra
Thơng qua việc tìm hiểu cách dạy của giáo viên cũng như hứng thú của
học sinh khi học phần Số học và Đại số ở THCS Phan Chu Trinh, THCS Pascal,

15


ta có thể thấy được thực trạng dạy và học nội dung Số học và Đại số, từ đó tìm
hiểu nguyên nhân tại sao học sinh chưa hứng thú với nội dung này. Trong luận
văn này, tôi điều tra mẫu gồm 231 học sinh ở 3 lớp 6A5, 6A6, 7A7 tại trường
THCS Phan Chu Trinh, 2 lớp 7A1, 7A2 tại trường THCS Pascal.
1.3.2. Phương pháp điều tra
Ở đây, tôi sử dụng phương pháp phương pháp quan sát và phương pháp
điều tra bảng hỏi.
- Phương pháp quan sát: quan sát tiến trình dạy học “Bài 1. Mở rộng khái
niệm phân số” trong sách giáo khoa Toán 6 (tập 2), của giáo viên bộ mơn Tốn
lớp 6A5 trường THCS Phan Chu Trinh.
- Phương pháp điều tra bảng hỏi: cần xây dựng công cụ điều tra và phát
bảng hỏi cho học sinh lớp 6A5, 6A6, 7A7 tại trường THCS Phan Chu Trinh,
lớp 7A1, 7A2 tại trường THCS Pascal để nắm bắt được mức độ hứng thú của
học sinh khi học Số học/Đại số.
1.3.3. Kết quả điều tra
1.3.3.1. Về tiến trình dạy học của giáo viên
Tiến trình của tiết dạy được quan sát là “Bài 1. Mở rộng khái niệm phân

số” trong sách giáo khoa Toán 6 (tập 2). Biên bản quan sát tiến trình dạy học
được đính kèm ở phần phụ lục. Tiết dạy có những điểm đáng chú ý sau:
- GV giảng dạy đầy đủ nội dung của tiết học theo phân phối chương trình.
- GV dạy học theo phương pháp truyền thống, phần lý thuyết thì chủ yếu
“thầy đọc – trị chép”, đưa ra ví dụ minh họa lý thuyết, sau đó cho học sinh làm
bài tập và chữa bài.
- GV chưa đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ, chủ yếu chỉ đưa ra bài tập
theo “mẫu” để HS giải theo.
Qua tiến trình dạy học của tiết dạy này, ta có thể thấy giáo viên thường
“né tránh” những PPDH mới, chủ yếu vẫn sử dụng nhưng phương pháp truyền
thống để giảng dạy. Bài giảng tuy đầy đủ nội dung trong sách giáo khoa và theo

16