Cac cau hinh hoc trong de thi HSG toan 8 giai chi tiet

Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI
HỌC SINH GIỎI TỐN 8
Tham gia Nhóm: Chun đề Tốn THCS để cập nhật nhiều
hơn
Tại: />Câu 1 :

Cho hình vng ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm

bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD
tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân.
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng
hàng.

Hướng dẫn giải

a. Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vng nên ta có OB = OC
�C
�  450 . Mặt khác: BE = CM ( gt )
Và B
1
1

Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
�O
�
� OE = OM và O

1
3
� O
�  BOC
�  900 vì tứ giác ABCD là hình vng
Lại có O
2
3
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

� O
�  EOM
�
O
 900 kết hợp với OE = OM � ∆OEM vuông cân tại O
2
1

b. Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vng � AB = CD và AB // Chọn đáp án
D.
+ AB // CD � AB // CN �

AM BM

( Theo ĐL Ta- lét) (*)
MN MC

Mà BE = CM (gt) và AB = CD � AE = BM thay vào (*)
Ta có :

AM AE
� ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)

MN EB

c. Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
�  OH
� ' E ( cặp góc so le trong)
Từ ME // BN � OME
�  450 vì ∆OEM vng cân tại O
Mà OME
� ' B  450  C
�
� MH
1
� ∆OMC : ∆BMH’ (g.g)
�

OM MH '
�  CMH
� ' ( hai góc đối đỉnh)

,kết hợp OMB
OB
MC

� ∆OMB

∽ ∆CMH’ (c.g.c)

�
� ' C  450
� OBM
 MH

� ' C  BH
� ' M  MH
� ' C  900 � CH '  BN
Vậy BH

Mà CH  BN ( H � BN) � H �H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm).
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn
đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống
đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống
đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Hướng dẫn giải
a. Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO  DFO ( g  c  g )
Suy ra: BE = DF
Do đó : Tứ giác BEDF là hình bình hành.
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

�  KDC
�
b. Ta có: �
ABC  �
ADC � HBC

Chứng minh : CBH : CDK ( g  g )
�

CH CK

� CH .CD  CK .CB .
CB CD
H

C

B
F
O

A

E
K

D

c. Chứng minh : AFD : AKC ( g  g ) �
Chứng minh : CFD : AHC ( g  g ) �
Mà : CD = AB �

AF AK

� AD. AK  AF . AC
AD AC

CF AH

CD AC

CF AH

� AB. AH  CF .AC
AB AC

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 2
(đfcm).
Câu 3. Cho hình vng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường
chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh:
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn
nhất.
Hướng dẫn giải
a. Chứng minh: AE  FM  DF

� AED  DFC � đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC � đpcm
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

� ME  MF  a không đổi

� SAEMF  ME.MF lớn nhất � ME  MF (AEMF là hình vng)
� M là trung điểm của BD.
Câu 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau
tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh
bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện
tích). Tính SABCD.

Hướng dẫn giải
a. Lập luận để có
Lập luận để có


OM OD

,

AB BD

ON OC

AB AC

OD OC

DB AC

OM ON
 OM = ON

AB
AB

b, Xét ABD để có

OM DM

AB
AD

(1), xét ADC để có

OM AM

DC
AD

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

(2)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Từ (1) và (2)  OM.(

1
1
AM  DM AD


1
)
AB CD
AD
AD

từ đó có (OM + ON). (

1
1
1
1
2

) 2 



AB CD
AB CD MN

S AOB OB S BOC OB
S
S


 AOB  BOC  S AOB .S DOC S BOC .S AOD
,
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC

C.

Chứng minh được S AOD S BOC
 S AOB .S DOC ( S AOD ) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172
(đơn vị DT)
Câu 5:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH
(HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vng góc
với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ
dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác
BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .

Hướng dẫn giải
1. + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
+

CD CA

(CDE
CE CB

∽  CAB đồng dạng)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
� �
Suy ra: BEC
ADC  1350 (vì tam giác AHD vng cân tại H theo giả thiết).

Nên �
AEB  450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
BE  AB 2  m 2

2. Ta có:

BM 1 BE 1 AD
 �  � (do BEC
BC 2 BC 2 AC

∽

ADC )

mà AD  AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên

BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
 �  �


(do ABH : CBA )
BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE

�
�  1350 � �
Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM
 BEC
AHM  450

3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM cịn là phân giác góc BAC.
Suy ra:

GB AB
AB ED
AH
HD


 ABC : DEC  
 ED // AH  
, mà
GC AC
AC DC
HC
HC

Do đó:

GB HD
GB
HD
GB
HD

�

�

.
GC HC
GB  GC HD  HC

BC AH  HC

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ
đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ
đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng
minh rằng:
a) DK = CI
b) EF // CD
c) AB2 = CD.EF
Hướng dẫn giải
a. Tứ giác ABCK có:
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

AB // CK (AB // CD, K � CD)
AK // BC (gt)
� ABCK là hình bình hành
� CK = AB
� DK = CD – CK = CD – AB

(1)

Chứng minh tương tự, ta có DI = AB
� IC = CD – DI = CD – AB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC
A

B

F

E

D

K

I

C

b.  DEK có AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
AE AB
=
EK DK

(3)

 FIC có AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
AF AB
=
FC IC

(4)

Mà: DK = IC (câu a)
Từ (3), (4), (5) suy ra:
 AKC có

(5)
AE AF
=
EK FC

AE AF
� EF // KC (định lý Ta-lét đảo)
=
EK FC

� EF // CD

c. Ta có:

AB CK
=
(vì AB = CK)
CD CD

(6)

 BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:
CK BE
=
CD BD

 BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có:
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

(7)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

BE EF
=
BD DI

Mà DI = AB
BE EF
=
BD AB

Suy ra:

AB CK BE EF
=
=
=
CD CD BD AB

Từ (6), (7), (8) suy ra:
�

(8)

AB EF
� AB2 = CD. EE
=
CD AB

Câu 7: Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên
cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vng góc với BF (H
thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác
AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng: .

Hướng dẫn giải
�
� (cùng phụ BAH
� )
1. Ta có DAM
= ABF

AB = AD ( gt)
� = ADM
�
BAF
= 900

(ABCD là hình vuông)

� ΔADM = ΔBAF (g.c.g)

=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên. AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
� = 900 (gt)
Mặt khác. DAE

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

b. Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g)


AB BH
BC BH
=
=
hay
( AB=BC, AE=AF)
AF AH
AE AH

� = HBC
�

� )
Lại có HAB
(cùng phụ ABH
� ΔCBH : ΔEAH (c.g.c)
�

2
2
SΔCBH
SΔCBH �BC �
BC �
= 4 (gt) � �
= � �, mà
= 4 nên BC2 = (2AE)2
�
�
S
SΔEAH �AE �
ΔEAH
�AE �

� BC = 2AE � E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
3. Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
�

AD AM
AD CN
=

�
=
CN MN
AM MN

Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
�

MN MC
AB MC
AD MC
=
�
=
=
hay
AN AB
AN MN
AN MN

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT
2

2

2

2

AD � �AD � �CN � �CM � CN 2 + CM 2 MN 2
� �
=
=1
� �+ � �= � �+ � �=
MN 2
MN 2
�AM � �AN � �MN � �MN �

(Pytago)
2

2

1
1
1
AD � �AD �
� �
� �+ � �= 1  AM 2  AN 2  AD 2
�AM � �AN �

(đpcm)

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ
trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vng góc với tia BM,
đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì
tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.
c) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
BH, DH. Chứng minh .

Hướng dẫn giải
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC. Chứng minh  EBD đồng dạng với

 ECA

(g-g)
- Từ đó suy ra

EB ED

� EA.EB  ED.EC
EC EA

b) Kẻ MI vng góc với BC ( I �BC ) . Ta có  BIM đồng dạng với

 BDC (g-

g)
�

BM
BI

� BM .BD  BI .BC (1)

BC BD

Tương tự:  ACB đồng dạng với

 ICM (g-g) �

CM CI

� CM .CA  CI .BC (2)
BC CA

Từ (1) và (2) suy ra BM .BD  CM .CA  BI .BC  CI .BC  BC ( BI  CI )  BC 2 (khơng
đổi)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT
E

D
A
M
Q

B

P

I

H

C

c) Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (g-g)
�

BH BD
2 BP BD
BP BD

�

�

DH DC
2 DQ DC
DQ DC

�  DCQ
�
- Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (c-g-c) � BDP
�  PDC
�  90o � CQ  PD .
�  PDC
�  90o � DCQ
mà BDP

Câu 9:Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình
thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt
AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh .
c) Biết Tính  ?
d) Nếu . Chứng minh BD > AC.

Hướng dẫn giải
a/ Ta có

OA OB
OM ON
 OM=ON.


Do MN//DC 
AC BD
DC DC

b/ Do MN//AB và CD 
Do đó:

OM AM
OM DM


và
.
CD

AD
AB
AD

OM OM AM  MD


 1 (1)
DC AB
AD

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Tương tự:

ON ON

1 (2)
DC AB

Từ (1);(2) 

MN MN
1
1
2


2 


DC AB
DC AB MN

c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ
số giữa 2 cạnh đáy tương ứng.
Do vậy :
Nhưng

S AOB OB
S AOD OA


và
S AOD OD
S COD OC

S
S
OB OA
 AOB  AOD

S AOD S COD
OD OC

 S 2 AOD S AOB .S COD a 2 .b 2 nên S AOD ab .
2

Tương tự S BOC ab .Vậy S ABCD  a  b 

d/ Hạ AH, BK vng góc với CD tại H và K
Do Dˆ  Cˆ  90 0 nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có AEˆ D  BCˆ D Cˆ  Dˆ  AD  AE .
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC  DH>KC  DK > CH.
Theo định lý pitago cho tam giác vng BKD ta có :
2
2
DB 2  BK 2  DK 2  AH 2  CH 2  AC 2 (Do AH  BK ) � BD  AC .

ĐẶT BỢ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt online tại biểu mẫu:

/>9

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Câu 10:

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF

cắt nhau tại H.
Tính tổng:
Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN.
Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một
điểm cố định.
Hướng dẫn giải
a. Trước hết chứng minh:
Tương tự có:
Nên

S ( HBC )
HD
=
S ( ABC )
AD

HE S ( HCA) HF S ( HAB)


;
BE S ( ABC ) CF S ( ABC )

S ( HBC )  S ( HCA)  S ( HAB )
HD HE HF
HD HE HF
�




=
=1
S ( ABC )
AD BE CF
AD BE CF

b. Trước hêt chứng minh

 BDH :  BEC � BH.BE = BD.BC

Và  CDH :  CFB � CH.CF = CD.CB.
� BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm)
A

E

F

H
M

I
B

K
N

D

C

O

c. Trước hết chứng minh:  AEF :  ABC � �
AEF  �
ABC
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

�  CBA
�
Và  CDE :  CAB � CED
�
� �
mà EB  AC nên EB là phân giác của góc DEF.
AEF  CED

Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.

Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
d. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC,
�
� .(1)
ta có  OMH =  ONC (c.c.c) � OHM
 OCN
�  OCH
� .(2)
Mặt khác ta cũng có  OCH cân tại O nên: OHC
�  OHB
� � HO là phân giác của góc BHC
Từ (1) và (2) ta có: OHC

Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giác của góc BHC nên O
là điểm cố định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
Câu 11: Cho hình vng ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ
trên cạnh BC. Tia Ax vng góc với AM cắt đường thẳng CD tại K.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng
CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.
2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE.
3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì
tam giác CME ln có chu vi khơng đổi.
4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng khơng
phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Hướng dẫn giải
1. + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE
+ Chỉ ra tam giác AMK vng cân tại A để có AE  KM

+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vng góc với
nhau nên MNKE là hình thoi.

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT
A

B

M

N
I

D

K

2:

E

+ Từ tính chất hình vng có  ACK = 45

C

G

0.

+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM.
3:

+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK

nên EK = MB + ED.
+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK
Nên AI là trung trực của MK
Do đó ME = EK.
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a.
4:

+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó
1
1
1
1


.
2
2 =
2
AM
AG
AK
AG 2

+ Tam giác AKG vng tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do
đó AK2 . AG2 = KG2 . AD2.
+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có
1
1
1
AK 2  AG 2
1

AK . AG = a ( AK + AG ), hay
,
suy
ra
=

2
2
AK
AG
a2
AK 2 . AG 2
a2
2

2

2

2

2

Câu 12: Cho hình vng ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm
M chuyển động trên cạnh DC (MD, MC) chọn điểm N trên cạnh
BC sao cho MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F.
1. Chứng minh:  ABF  AMC
2.Chứng minh AFM = AEN = 90o

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

3. Chứng minh SAEF = SAMN
4. Chứng minh chu vi  CMN không đổi khi M chuyển động trên
DC
5. Gọi H là giao điểm của MF và NE . Chứng Minh: MH.MF + NH.NE
= CN2 + CM2
Hướng dẫn giải
A

B

F
N

H
I

E

K

D

M

C

1. Chứng minh:  ABF ∽  AMC
-Ta cm: �
ABF  �
ACM  450
�
�
�  450 bằng 450 )
- BAF
( vì cùng cộng với góc CAN
 MAC
suy ra :  ABF ∽  AMC
2. Chứng minh:  �
AFM  �
AEN    90o
Từ ABF ∽  AMC (g.g)
=>

AF
AB

AF AM



(1)
AM
AC
AB
AC

�  BAC
�  450 (2)
Có MAF
Từ 1 và 2 =>  AFM ∽  ABC
=> �
AFM  �
ABC   90o
C/M hồn tồn tơng tự có: �
AEN  900
vì vậy: �
AFM  �
AEN    90o
3. S

 AEF

= 1/2 S

 AMN

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Có  AFM ∽  AEN =>

AF
AE

AM
AN

=>  AEF =  AMN (c.g.c) =>

SAEF
AF 2
(
) (1)
SAMN
AM

�
Có: FAM
 450 , �
AFM  900
=>  AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2
=> (

AF 2
1
) =
AM
2

Thay vào (1) ta đợc

SAEF
1
=
hay: S  AEF = 1/2 S  AMN
SAMN
2

4.. C/M chu vi  CMN không đổi
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN
�
� .
 ADK =  ABN => AK = AN và BAN
 DAK
do đó  AMN =  AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi  CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi  CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC
5. Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2
Kẻ HI  MN tại I
- Cm:  MHI ∽  MNF => MH.MF =MI.MN
- Cm:  NHI ∽  NME => NH.NE =NI.NM

- suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN 2
- áp dụng định lí Pitago vào  CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2
Vậy: MH.MF + NH.NE = MC2 +CN2

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Câu 13: Cho tam giác ABC nhọn (ABcắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a
vng góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a. Chứng minh ABC đồng dạng EFC.
b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b
cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI =
HK.
c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:
Hướng dẫn giải
A

F
K

G
H

I

B

E

M

C

N

D

CE CA

a. Ta có  AEC :  BFC (g-g) nên suy ra
CF

Xét  ABC và  EFC có

CB

CE CA

và góc C chung nên suy ra  ABC :  EFC ( cCF CB

g-c)
b. Vì CN //IK nên HM  CN � M là trực tâm  HNC
� MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD

Do M là trung điểm BC nên � NC = ND
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

� IH = IK ( theo Ta let)

c.

Ta có:

Tương tự ta có

AH S AHC S ABH S AHC  S ABH S AHC  S ABH




HE SCHE S BHE SCHE  S BHE
S BHC

BH S BHC  S BHA
CH S BHC  S AHC


và
BF
S AHC
CG
S BHA

AH BH CH S AHC  S ABH S BHC  S BHA S BHC  S AHC





S BHC
S AHC
S BHA
HE HF HG

=

S AHC S ABH S BHC S BHA
S BHC S AHC




�6 .
+
S BHC S BHC S AHC S AHC
S BHA S BHA

Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu
bằng.

***************

/>ansp
(Tác giả: Nguyễn Quốc Tuấn)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)