Chuyên đề về Đạo hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản. Hµm sè §¹o hµm (y = f(x)) (y’ = f’(x)). Hµm sè. §¹o hµm. 1 cos 2 x 1  2 sin x. y=c. 0. y = tanx. y=x. 1. y = cotx. y = xn. nxn-1. y = ex. ex. y = ax. ax. lna. y = lnx. 1/x. y = logax. ln a x. y = 1/x. y x. 1 x2 1 2 x . y = sinx. cosx. y = cosx -sinx 2. §¹o hµm cña hµm hîp. Ta xét hàm số y = f(u(x)). Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x như sau. y x'  f x'  fu' .u x' Bảng đạo hàm của hàm số hợp Hµm sè §¹o hµm y = un y = 1/u. y u. Hµm sè. n.un-1.u’. y = tanu. 1 .u ' u2 1 .u ' 2 u . y = cotu. §¹o hµm. 1 . u’ cos 2 u 1  2 . u’ sin u. y = eu. u’.eu. y = sinu. u’.cosu. y = au. u’.au. lna. y = cosu. - u’.sinu. y = lnu. 1 .u ' u. y = logau. ln a .u ' u. Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x. 3. Các phép toán đạo hàm. Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x). Khi đó *) (u + v)’ = u’ + v’ *) (u - v)’ = u’ – v’ *) (uv)’ = u’v + v’u *) (ku)’ = k.u’ ( k lµ h»ng sè) '.  u  u ' v  v 'u *)    v2 v Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4. §¹o hµm bËc cao cña hµm sè. Đạo hàm bậc n của hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n – 1 của hàm số y = f(x) ( n > 1). II. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n. 1. Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số. Phương pháp. Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp. Nếu yêu cầu tính đạo hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đe được kết quả. Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau 3 2 a) y  x  2 x  3 x  4 b) y  sin x  cos x  tan x c) y  x  2 x. d) y  cot x  3 x  2 Gi¶i. 4. . . '. a) Ta cã y '  x  2 x  3 x  4  3 x  4 x  3 3. 2. 2. b) Ta cã y   sin x  cos x  tan x   cos x  sin x  '. '. .   4x. 1 cos 2 x. 1 x 1 ' ' d) Ta cã y   cot x  3 x  2    3 sin 2 x c) Ta cã y  x  2 x '. 4. '. 3. . Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng. 3 2 a) y   x  3 x  4 x  1 t¹i x0 = -1.. . b) y  sin 2 x  cos x t¹i x0   c) y . x  2 x t¹i x0 = 2 .. . . 4. .. Gi¶i '. a) Ta cã y   x  3 x  4 x  1  3 x  6 x  4 suy ra y ( 1)  3  6  4  13 '. 3. 2. '. 2. b) Ta cã y   sin 2 x  cos x   2cos 2 x  sin x '. '. 2        2cos   sin         4  2  4 2 ' 1 1 4 2 1 ' c) Ta cã y  2 x  2x   2 suy ra y '  2   2 2 2 2 2 x suy ra y   '. . . Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau. x 2  3x  1 2x  1 4 2 b) y  c) y  x  3 x  2 x 1 x2 d) y  sin(2 x  1)  cos(1  x) e) y  3 x  2 a) y . f) y . g) y  tan( x  2 x  1) Gi¶i. x2  4 x  1. 2. 5  2 x  1   2 x  1  x  2    2 x  1 x  2  2 x  4  2 x  1 a) Ta cã y       2 2 2  x2   x  2  x  2  x  2 '. '. '. '. '.  x 2  3 x  1  (2 x  3)( x  1)  ( x 2  3 x  1) x 2  2 x  4 b) Ta cã y      2 2  x  1  x  1  x 1  '. . . '. c) Ta cã y  x  3 x  2  4 x  6 x '. 4. 2. 3. d) Ta cã y   sin(2 x  1)  cos(1  x)   2cos(2 x  1)  sin(1  x) '. '. Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> e) Ta cã y . . f) Ta cã y . . '. '. . 3 2 3x  2 ' 2x  4 x2  4 x  1   2 x2  4 x  1 '. 3x  2 . . g) Ta cã. . . x. '. y '  tan( x 2  2 x  1)  1 x   2 2 cos ( x  2 x  1) 2x . .  2 x 1. 2. x2 x2  4 x  1. '. cos 2 ( x 2  2 x  1). 2x x  1 x cos 2 ( x 2  2 x  1). 2. Dạng 2. Giải phương trình y’ = 0. Phương pháp. Ta tính y’ sau đó giải phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình y’ = 0 biết.. x2 a) y  x 1 x2  2 x  2 d) y  x 1. b) y  x  3 x 3. c) y  4 x  12 x  9 x  1. 2. 3. x 2  3x  3 e) y  x 1 2 x x2 h) y  x 1. g) y   x  2 x  3 4. y’ = 0.. 2. 2. x4 5 f) y   3x 2  2 2 2 2x  x i) y  x 1. Gi¶i '.  x2  x2  2 x x  0 x2  2 x ' a) Ta có y   suy ra y  0   0  x2  2 x  0     2 2  x  1 x  2  x  1   x  1 '. Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.. . b) Ta cã y  x  3 x '. 3.   3x. 2 '. 2. x  0  6 x suy ra y '  0  3 x 2  6 x  0   x  2. Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.. . . '. c) Ta cã y  4 x  12 x  9 x  1  12 x  24 x  9 '. 3. 2. 2. 3  x   2 ' 2 Suy ra y  0  12 x  24 x  9  0   x  1  2 Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x . 3 1 ,x 2 2. '.  x2  2 x  2  x2  2 x d) Ta cã y     2 x  1    x  1 '. suy ra y  0  '. x  0  0  x2  2 x  0    x  1  x  2 x2  2 x 2. Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2. '.  x 2  3x  3  x 2  2 x e) Ta cã y     2  x  1   x  1 '. Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> suy ra y  0  '. x  0  0  x2  2 x  0    x  1  x  2 x2  2 x 2. Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2. '.  x4 5  3x 2    2 x3  6 x f) Ta cã y   2  2 x  0 ' 3 Suy ra y  0  2 x  6 x  0   x   3 '. Vậy phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt x  0, x   3 .. . . '. g) Ta cã y   x  2 x  3  4 x  4 x '. 4. 2. 3. Suy ra y  0  4 x  4 x  0  x  0 Vậy phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0. '. 3. '.  x2  x  2  x2  2 x  3 h) Ta cã y     2 x  1  x  1   '. Suy ra y  0  '. '. x2  2 x  3.  x  1. 2.  x  1  0  x2  2 x  3  0   x  3. Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3. '.  2 x2  x  2 x2  4 x  1 i) Ta cã y     2 x  1  x  1   '.  2  2 x  2x  4x  1 2 ' Suy ra y  0   0  2 x2  4 x  1  0   2   x  1 2  2 x   2 2  2 2  2 Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x  ,x 2 2 2. 3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm. Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lượng giác. VÝ dô 1. Chøng minh r»ng a) y’ – y2 -1 = 0 víi y = tanx. b) y’ + 2y2 + 2 = 0 víi y = cot2x. c) y’2 + 4y2 = 4 víi y = sin2x. Gi¶i a) Ta cã y  '. 1 cos 2 x. Khi đó. 1 sin 2 x 1  sin 2 x  cos 2 x y  y 1   1  cos 2 x cos 2 x cos 2 x 1   sin 2 x  cos 2 x  1  1   0 cos 2 x cos 2 x '. 2. VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.. Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b) Ta cã y   '. 2 sin 2 2 x. 2  2  sin 2 2 x  cos 2 2 x  2 2cos 2 2 x Khi đó y  2 y  2    2 0 sin 2 2 x sin 2 2 x sin 2 2 x '. 2. VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. c) Ta cãy’ = 2cos2x.  . Khi đó y. ' 2.  4 y 2  4cos 2 2 x  4sin 2 2 x  4. VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. III. Bµi tËp tù luyÖn. Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau. x2  x  1 x 1 4 2 d) y  x  x  1 a) y . x2  2 x  2 x 2  3x c) y  x 1 x 1 3 2 3 2 e) y  2 x  3 x  1 f) y  2 x  3 x  1 b) y . Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau. x2 x 1 3 x  1 d) y  x2 a) y . x2 x 1. b) y  x  3 x  2. c) y . 3 x 2  x  1 e) y  2x  1. f) y  2 x  3 x  4. 3. 2. 4. 2. Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng. x 2  3x  3 a) y  t¹i ®iÓm x0 = -1 x 1 4 2 b) y  x  5 x  4 t¹i ®iÓm x0 = 2 2 3 2 c) y  x  5 x  2 x  4 t¹i ®iÓm x0  3 . 3 Bài 4. Giải phương trình y’ = 0 trong các trường hợp sau. x 2  3x  3 a) y  x 1 4 2 d) y  x  5 x  4. 2 x2  2 b) y  x 1 4 2 e) y  2 x  x  4. c) y  x  3 x  2 3. 2. f) y   x  3 x  2 3. I. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1. TiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm: Cho hµm sè y= f(x) (C), x0 lµ mét ®iÓm thuéc vµo TX§ cña hµm sè trªn và tồn tại đạo hàm tại đó. Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0; f(x0)) có phương trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0) NhËn xÐt: ë trªn ta cã y/(x0) lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn. Ta cÇn t×m ®­îc hÖ sè gãc vµ tiÕp ®iÓm trong trường hợp này nếu muốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong nào đó. Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng nào đó. 2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị. Cho hai hµm sè y = f(x) (C1), y = g(x) (C2)..  f ( x)  g ( x). Khi đó (C1) tiếp xúc với (C2) khi và chỉ khi hệ phương trình . ' '  f ( x)  g ( x). cã nghiÖm.. Chó ý: Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> + Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) là hai đường cong thì chúng tiếp xúc với nhau tại hai điểm khi hệ trªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt. + Nếu một trong hai đường là đường thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm ph©n biÖt. II. D¹ng to¸n c¬ b¶n. 1. Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm. Phương pháp: Ta cần tìm được toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho. Nhận xét: Trong dạng này ta thường gặp các trường hợp sau + Cho biết tọa độ của tiếp điểm. + Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm được hoành độ tiếp điểm. + Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm được tung độ tiếp điểm. + Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác. Khi đó ta cần giải hệ phương trình để tìm toạ độ của tiếp điểm. 2. Dạng 2. Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phương trình tiếp tuyến với (C) ®i qua ®iÓm M(xM; yM) Phương pháp: C¸ch 1: T×m tiÕp ®iÓm Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0). Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(xM; yM) suy ra yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phương trình này ta tìm được hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1. C¸ch 2: Sö dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc Giả sử đường thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k khi đó nó có phương trình y = k(x-xM) + yM.  f ( x )  k ( x  xM )  y M. Ta cã ®­êng th¼ng y = k(x-xM) + yM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng cong (C)  . /  f ( x)  k. giải hệ này ta tìm được hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng. NhËn xÐt: ë trªn cã bao nhiªu nghiÖm x ta cã bÊy nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M. 3. Dạng 3. Tiếp tuyến cho trước hệ số góc: Phương pháp. C¸ch 1. T×m tiÕp ®iÓm Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0). Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k. Giải phương trình này ta tìm được hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1. NhËn xÐt: Trong d¹ng nµy ta cã thÓ gÆp c¸c bµi tËp nh­ sau: *) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng. *) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k = . 1 sau t×m a. tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng. *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng. *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc  khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan  sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương øng. *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một góc  khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn. k a  tan  hoặc chúng ta dùng tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó 1  ka. tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương øng. III. VÝ dô. Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x)  x  2 x  x  4 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết 3. 2. a) Hoành độ tiếp điểm lần lượt là -1; 3; b) Tung độ tiếp điểm lần lượt là -4.. 2 Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> c) TiÕp ®iÓm lµ giao cña (C) víi trôc hoµnh. Gi¶i. TX§: D   / / 2 Ta cã y  f ( x)  3 x  4 x  1. a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; f ( x0 )  f ( 1)  0 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4 / / Với hoành độ tiếp điểm x0 = 3 ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; f ( x0 )  f (3)  40 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76 b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - 4 ta có x0 = -1 hoặc x0 = 0 / / Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có f ( x0 )  f ( 1)  0 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4 / / Với x0 = 0 ta có f ( x0 )  f (0)  1 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(0)(x+1) – 4 hay y = x – 3. c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình /. /. y  0  x3  2 x 2  x  4  0  ( x  1)( x 2  3 x  4)  0  x  1 / Khi đó f (1)  8 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x – 8. Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x)  x  m( x  1)  1 (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích b»ng 8. Gi¶i TX§: D   Ta cã (Cm) giao víi Oy t¹i ®iÓm A(0; 1 -m) y /  f / ( x)  3 x 2  m . Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m 3. 1 m ; 0) (m  0) suy ra m 1 1 1 m SOAB  | y A | .| xB | |1  m | .| | 8  16 | m | m 2  2m  1 2 2 m m  9  4 5  16m  m 2  2m  1  m 2  14m  1  0      2 2 16 m  m  2 m  1 m  18 m  1  0    m  7  4 3. TiÕp tuyÕn trªn c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm B (. Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB. Vậy với. m  9  4 5 thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8.   m  7  4 3 3 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x)  x  3 x (C ) viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9 b) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y . 1 x 3. Gi¶i. TX§: D   . Ta cã y  f ( x)  3 x  6 x a) Gọi A(xA; yA) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có /. /. 3.  x  1 f / ( x A )  3 x A2  6 x A  9  3 x A2  6 x A  9  0   A  xA  3 Với x A  1 ta có y A  4 khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) – 4 hay y=9x+5. Với xA = 3 ta có yA = 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27 VËy cã hai tiÕp tuyÕn víi (C) cã hÖ sè gãc lµ k = 9 lµ y=9x+5 vµ y= 9x – 27. Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) Gäi M(xM ;yM) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m. TiÕp tuyÕn cÇn t×m vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y . 1 x suy ra hÖ sè gãc cña nã lµ 3. k = -3 (Làm tương tự như phần a) 3 2 Ví dụ 4: Cho hàm số y  2 x  3 x  12 x  5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau a) TiÕp tuyÕn song song víi ®­êng th¼ng y = 6x – 4. b) TiÕp tuyÕn t¹o víi ®­êng th¼ng y  . 1 x  5 mét gãc 450. 2 Gi¶i. TX§: D   . Ta cã y  6 x  6 x  12 a) V× tiÕp tuyÕn song song víi ®­êng th¼ng y = 6x – 4 suy ra hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = 6. Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó ta có /. 2.  1  13  x0  2 y / ( x0 )  6  6 x02  6 x0  12  6  x02  x0  3  0    1  13  x0   2 1  13 20 13  23 Víi x0  ta cã y0  khi đó tiếp tuyến cần tìm là 2 2 1  13 20 13  23 26 13  29 y  6( x  )  y  6x  2 2 2 1  13 7 13  23 Víi x0  ta cã y0   khi đó tiếp tuyến cần tìm là 2 2 1  13 7 13  23 13 13  29 y  6( x  )  y  6x  2 2 2 1 b) V× tiÕp tuyÕn cÇn t×m t¹o víi ®­êng th¼ng y   x  5 mét gãc 450 suy ra hÖ sè gãc cña tiÕp 2 tuyÕn lµ k tho¶ m·n. 1 1  2 k  1  2  k k   2 k  1 0 2  tan 45   1  2k  1 | 2  k |   3 k  2 k  1  k  2 2  k  1  k  3 2 k. sau đó làm tương tự như phần a (Tìm tiếp điểm)..  19  ; 4 .  12 . Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y  2 x  3 x  5 đi qua điểm A  3. 2. Gi¶i. 19  19  ; 4  có hệ số góc k, khi đó nó có dạng y  kx  4  k (d) 12  12 . Gi¶ sö ®­êng th¼ng ®i qua A . Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghịêm. 19  3 2 2 x  3 x  5  kx  4  k (1) 12  2 6 x  6 x  k (2)  Thay (2) vµo (1) ta cã. Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2 x3  3 x 2  5  (6 x 2  6 x) x  4 . 19 (6 x 2  6 x)  8 x3  25 x 2  19 x  2  0 12.  x 1  ( x  1)(8 x 2  17 x  2)  0   x  4  1 x  8 .  19  ; 4  ( Tự viết phương trình tiếp tuyến).  12  3 2 VÝ dô 6. Cho hµm sè y  x  3 x  3 x  5 (C ) VËy cã ba tiÕp tuyÕn víi (C) ®i qua ®iÓm A . nhau.. a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với. b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường th¼ng y = kx + m. Gi¶i a) Giả sử trên (C) có hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau. Ta cã y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x+1)2. Khi đó ta có -1 = y'(x1 ).y'(x1 ) = 9.(x1 +1) 2 .(x 2 + 1) 2  0  1  0 v« lý Suy ra gi¶ sö lµ sai hay ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. b) VÝ dô 7. Cho hµm sè y =. 1 3 2 x - x có đồ thị (C) 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0). Gi¶i §­êng th¼ng (∆) ®i qua A(3; 0) vµ cã hÖ sè gãc k cã d¹ng: y = k(x - 3) +) (∆) lµ tÕp tuyÕn víi (C).  k = x2  2 x   1 3 2  x  x  k ( x  3) 3 ThÕ (1) vµo (2):. (1) (2). HÖ cã nghiÖm.. 1 3 x  x 2  ( x 2  2 x )( x  3) 2. x0  2x3 -12x2 + 18x = 0   x  3  +) Víi x1 = 0  k1 = 0  PTT2: y = 0 +) Víi x2 = 3  k2 = 3  PTT2: y = 3x - 9. Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán y = 0 vµ y = 3x – 9.. x2  x  1 Ví dụ 8. Tìm a để đồ thị hàm số y  (C) tiÕp xóc víi (P) : y = x2 + a. x 1 Gi¶i. Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  x2  2 x (1) 2x = ( x  1)2  Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P)   2  x  x  1  x 2  a (2)  x  1 HÖ cã nghiÖm Gi¶i (1)  x = 0 ThÕ vµo (2)  a = - 1 Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).. x2  2x  2 VÝ dô 9. Cho ®­êng cong y  (C) x 1 Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này vu«ng gãc víi nhau. Gi¶i: Gäi M(a; 0)  Ox; ∆ lµ ®­êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc k: y = k(x - a). 1  k  1   ( x  1)2  (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C)   k ( x  a)  x  1  1  x 1. (1) (I). HÖ cã nghiÖm.. (2). 1  k ( x  1)  x  1  (1)  x  1  k ( x  a)  x  1  1 (2) x 1  (2) - (1) . 1 k (1  a)  (3) x 1 2. k  1  KÕt hîp (3) vµ (1) ta cã:  k 2 (1  a)2 (4) k  1   4 (4)  k2(1 - a)2 + 4k - 4 = 0 Tõ M kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau tíi (C)  HÖ trªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt k1, k2 vµ k1.k2 = -1..  a 1   4  (1  a)2  1 . a  1  a = - 1, a = 3. VËy c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ (-1; 0); (3; 0) Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tương đương mà chỉ có a và k. Nhận thấy nếu tính được. 1 theo a và k thay vào phương trình (1) thì được một hệ mới tương đương trong đó có một x 1 phương trình chỉ chứa a và k từ đó ta có phép biến đổi như trên và cách giải này là ngắn gọn. Lop12.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> x2  2x  2 VÝ dô 10. Cho ®­êng cong y  x 1. (C). Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vu«ng gãc víi nhau. Gi¶i: (∆) lµ ®­êng th¼ng ®i qua M(a; b) vµ cã hÖ sè gãc k nªn PT (∆): y = k(x - a) + b.. 1  k  1   ( x  1)2  (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C)   k ( x  a)  b  x  1  1  x 1 1  k ( x  1)  x  1   x 1    k ( x  a)  b  x  1  1 x 1  LÊy (4) - (3) . (1) HÖ cã nghiÖm.. (2) (3) (4). 2 1 k (1  a)  b (5)  k (1  a)  b   x 1 x 1 2.  k 1  2 KÕt hîp (5) vµ (1) ta cã hÖ   k (1  a)  b   k  1   2   . (6). ( k  1 v× tõ (1) nÕu k = 1 th×  x, hÖ v« nghiÖm.). k 1   2 2 2 k (1  a)  2((1  a)b  2)k  b  4  0 (7) V× tõ M kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau tíi (C)  hÖ trªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt k1, k2 vµ k1.k2 = - 1.  a 1  2   b  4  1 (8) 2  1  a   (1  a)2  2((1  a)b  2)  b2  4  0 (9)  a 1  (1  a)2  b2  4 1  a  b  0 . (10) (11). (I). ThÕ (10) vµo (9): 2[(1 - a)b + 2]  0  (1 - a)b + 2  0 Tõ (10)  (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b.  (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b) V× 2+ (1 - a)b  0  1 - a + b  0. Lop12.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> VËy ta cã tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ ®­êng trßn t©m I(1; 0) b¸n kÝnh R = 2, bá ®i 4 ®iÓm lµ giao các đường thẳng x = 1 và - x + y + 1 = 0 với đường tròn đó là các điểm (1;  2); ( 1 . 2; 2 ); (. 1  2;  2 ). VÝ dô 11. Cho ®­êng cong: y . 2x2  x  1 (C) x 1. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 7 mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đường cong (C) mà hai tiếp tuyến đó hợp với nhau góc.  = 450. Gi¶i:. Gäi M  ®t: y = 7  M(a; 7). Phương trình đường thẳng (∆) qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + 7.. 2  (1) k  2  ( x  1)2 (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C)   HÖ cã nghiÖm. 2  k ( x  a)  7  2 x  1  (2)  x 1 2   k ( x  1)  2( x  1)  x  1 (3)  k ( x  a)  7  2 x  1  2 (4)  x 1 LÊy (4) - (3): 3 . 4 1 k (1  a)  4 (5)  k (1  a)  7   x 1 x 1 4. k  2  2 KÕt hîp (5) vµ (1)    k (1  a)  4   k  2  2  4    k  2   2 2 k (1  a)  8k (2  a)  0 (6) Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn hîp víi nhau gãc. y. . 1. = 450.. . Kh«ng mÊt tÝnh chÊt tæng qu¸t Ta gi¶ sö:. 1  450  2. 2 O. 1  tan 2 1  k2  k1   tan 1  1  tan 2 1  k2. 2. 1 x.  k1 - k1.k2 = 1 + k2 (7) V× (6) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt mµ. c  0  cã mét nghiÖm b»ng 0 vµ mét a nghiÖm kh¸c 0. Lop12.net. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  a 1  a 1   VËy tõ (6)   k1  0 hoÆc  k1  0 (8) k  0 k  0  2  2  k1  0 hoÆc k   1  2. KÕt hîp (8) vµ (7) ta cã: .  k1  1  k2  0. a  1  NÕu k1 = 1, tõ (6) :  a  3 (1  a)2  8(2  a)  0 . a=52 2 .. a  1  NÕu k2 = -1 , tõ (8) :  a  3  (1  a)2  8(2  a)  0 . a =-32 6. VËy c¸c ®iÓm t×m ®­îc lµ : M1;2 ( 5  2 2 ; 7); M3;4( 3  2 6 ; 7) Ví dụ 12. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai (P) sau : y = x2 - 3x + 2 (1) vµ y = - x2 + 7x - 11 (2) Gi¶i: Gäi tiÕp tuyÕn chung lµ : y = ax + b. Gäi M0(x0 ; y0) vµ M ' 0 ( x ' 0 ; y ' 0 ) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn víi Parabol (1) vµ (2) Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña hai ®­êng ta cã hÖ sau :. (1)  a  2 x0  3  a  2 x '  7 (2)  0 HÖ cã nghiÖm.  2 x  3 x  2  ax  b (3) 0 0 0   x '20  7 x '0  11  ax '0  b (4) Tõ (1) vµ (2)  x 0  5  x ' 0 (5) Tõ (3) vµ (4)  (5  x ' 0 )  2  x ' 0  11 2. 2. Gi¶i ra t×m ®­îc x ' 0(1)  2  a1  3; b1  7. x '0(2)  3  a2  1; b2  2 KÕt luËn: TiÕp tuyÕn chung lµ: y = 3x - 7 vµ y = x – 2. Ví dụ 13. Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong có phương trình:. y. (m  1) x  m xm. (m  0). Gi¶i: Gọi đường thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến cố định của họ đường cong.  Hệ phương trình sau có nghiệm m ≠ 0. Lop12.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  m2 m  1  x  m  ax  b   2  m a  ( x  m)2 LÊy (3) - (4):. (1) (2).  m2 m  1   ax  b  xm  2  m  a( x  m)  x  m. 1 m(a  1)  b  1  xm 2m 2. KÕt hîp (2) vµ (5) ta ®­îc:. a. (3) (4). (5). 1 (m(a  1)  b  1)2 2 4m.  (a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 = 0  (a  1)2  0  a = 1  Phương trình này thỏa mãn m ≠ 0  2( a  1)( b  1)  0   b  1  (b  1)2  0  Kết luận: Vậy họ đường cong có một tiếp tuyến cố định là: y = - x - 1 IV. Bµi tËp tù luyÖn. Bài 1. Cho (Cm ) : y  x  mx  1 . Tìm m để (Cm ) cắt đường thẳng y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1), 3. 2. B, C sao cho tiÕp tuyÕn víi (Cm ) t¹i B vµ C vu«ng gãc víi nhau. Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y . 1 3 2 x  x  mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường 3 3. 1 3. 2 . 3 3 2 Bµi 3. Cho hµm sè y  x  3 x  1 (C ) . CMR: Trªn (C) cã v« sè cÆp ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn t¹i tõng th¼ng y   x . cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm cố định. 3 2 Bµi 4. Cho y  x  3 x  9 x  5 (C ) . T×m tiÕp tuyÕn víi (C) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. 3 2  y  x  4 x  7 x  4 (C1 ) Bµi 5. Cho  Viết phương trình tiếp tuyến với hai đồ thị trên tại giao 3 2  y  2 x  5 x  6 x  8 (C2 ). ®iÓm cña chóng. 3 Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) y  x  1  k ( x  1) tại giao điểm của nó với trục Oy. Tìm k để tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bµi 7. Cho hµm sè (C ) : y . 1 3 x  2 x 2  x  4 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các 3. trường hợp sau a) Cã hÖ sè gãc k = - 2. b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 600. c) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 150. d) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 750. e) TiÕp tuyÕn t¹o song song víi ®­êng th¼ng y = - x + 2. f) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = 2x – 3. g) TiÕp tuyÕn t¹o víi ®­êng th¼ng y= 3x + 7 gãc 450. 3 2 Bµi 8. Cho hµm sè (C ) : y  x  3 x  2 a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(. 23 ;  2) . 9. b) T×m trªn ®­êng th¼ng y = - 2 nh÷ng ®iÓm kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) vu«ng gãc víi nhau. Lop12.net. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bµi 9. Cho hµm sè (C ) : y   x  3 x  2 . T×m trªn trôc hoµnh nh÷ng ®iÓm kÎ ®­îc ba tiÕp tuyÕn víi (C). (§H SPHN2- KB-1999) 3 Bài 10. Cho hàm số (C ) : y  x  x  6 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(2; 0). (§H THHN- 1994). 3. 3x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 450. x 1 4x  3 Bµi 12. Cho hµm sè (C ) : y  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với đường thẳng y = x 1 Bµi 11. Cho hµm sè (C ) : y . 3x gãc 450.. Bài 13. Tìm trên Oy những điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến với (C ) : y . x 1 . x 1. x2  x  1 Bµi 14. Cho hµm sè (C ) : y  . T×m M trªn (C) sao cho tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M c¾t hai trôc x 1 Ox, Oy t¹i A, B t¹o ra tam gi¸c OAB vu«ng c©n. Bµi 15. Cho hµm sè (C ) : y . (HVBCVTHN - 1997).. 2 x  5x . CMR: TiÕp tuyÕn víi (C) t¹i mäi ®iÓm M tïy ý lu«n t¹o víi x2 2. hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. Bài 16. Tìm các điểm trên đồ thị (C ) : y . 1 3. th¼ng y   x . 2 . 3. 1 3 2 x  x  mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường 3 3. (§H Ngo¹i Ng÷ Hµ Néi 2001). Bài 17. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị (C ) : y  x  3 x  9 x  5 . 3. 2. (ĐH Ngoại Thương TPHCM 1998). Bài 18. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị. 1 (C ) : y  x3  mx 2  x  m  1 3 ( Häc viÖn quan hÖ quèc tÕ 2001). 3 2 Bài 19. Tìm điểm M trên đồ thị (C ) : y  2 x  3 x  12 x  1 sao cho tiếp tuyến với (C) tai M đi qua gốc tọa độ. ( §H C«ng §oµn 2001). 3 2 Bài 20. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị (Cm ) : y  x  mx  m  1 . Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó. ( §H an ninh 2000_ k A). 3 2 Bài 21. Cho đồ thị hàm số (C ) : y  x  3 x  2.  23  ; 2  .  9 . a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A . b) Tìm trên đường thẳng y = -2 điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và chúng vuông gãc víi nhau. 3 Bài 22. Cho hàm số y  x  3 x (C ) . Tìm các điểm trên đường thẳng x = 2 kẻ được đúng ba tiếp tuyÕn víi (C). ( §H cÇn th¬ 2000_ k A). Bµi 23. Cho hµm sè y . 2 x  1 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song x 1. với đường thẳng y = -x. ( ĐH đà lạt 2000_ k A). 3 Bài 24. Cho hàm số y  3 x  4 x (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(1; 3). ( §H t©y nguyªn 2000_ k A). Lop12.net. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bµi 25. Cho hµm sè y  x  3 x  1 (C ) . §­êng th¼ng y = 5 tiÕp xóc víi (C) t¹i A vµ c¾t (C ) t¹i 3. điểm B, tìm tọa độ điểm B. ( ĐH tây nguyên 2000_ k D). 3 Bài 26. Cho hàm số y  x  3 x  2 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) đi qua điểm A(1; 0). ( §H an ninh nh©n d©n 2000_ k D). Bài 27. Tìm các điểm trên trục hoành kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị. x2  x  3 (C ) : y  x2 2 x2  x  1 Bài 28. Cho đồ thị (C ) : y  . CMR trªn ®­êng th¼ng y = 7 cã bèn ®iÓm sao cho tõ mçi x 1 ®iÓm kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) vµ t¹o víi nhau mét gãc 450. Bài 29. Cho đồ thị (C ) : y  x . 1 . Tìm tậ hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy thoả mãn x. a) Từ đó không kẻ được tiếp tuyến nào với đồ thị (C). b) Từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C). c) Từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C). d) Từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C). e) Từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đo vuông góc với nhau.. x2  2 x  2 Bài 30. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0) tới đồ thị (C ) : y  . x 1 ( ĐH dược 1999).. x2  x  1 Bài 31. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 0 ) tới đồ thị (C ) : y  . x 1 ( §H x©y dùng 1995). Bài 32. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị (C ) : y .  x2  x  1 . x 1. ( §Hsp vinh 1998).. x2  4 x  5 Bài 33. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 1 ) tới đồ thị (C ) : y  . x2 ( ĐH đà lạt 1999).. I. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1. Khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n. Ta cã  a  b   n. n.  C a .b k 0. k n. k. nk.  Cn0 a n  Cn1a n1.b  ...  Cnn1a.b n1  Cnn .b (1). Trong đó: + a, b lµ hai sè thùc. + n là số nguyên dương. NhËn xÐt: + Trong khai triển trên số mũ của a giảm dần từ trái sang phải, ngược lại số mũ của b tăng dần từ trái sang phải. Số mũ của a và b trong mỗi số hạng cộng lại đều bằng n. + Trong khai triÓn trªn cã n + 1 sè h¹ng. k k nk + Sè h¹ng tæng qu¸t trong khai triÓn (1) lµ T  Cn a .b (0  k  n) . k 1 k 1. + Sè h¹ng thøc k trong khai triÓn (1) lµ Cn a 2. Một vài khai triển thường dùng. Ta cã. Lop12.net. .b nk 1 (1  k  n  1) .. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  x  1. n. n.   Cnk x k  Cn0  Cn1 x  ...  Cnn1 x n1  Cnn x n (2) k 0. Thay x = 1 vào hai vế của (2) ta có đẳng thức sau n. 2   Cnk  Cn0  Cn1  ...  Cnn1  Cnn n. k 0. Thay x = - 1 vào hai vế của (2) ta có đẳng thức sau n. 0   Cnk  Cn0  Cn1  ...  Cnn1 (1) n1  Cnn (1) n k 0. 3. Mèi liªn hÖ cña hai hµm sè b»ng nhau. Ta cã hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x). NÕu f(x) = g(x) th× f’(x) = g’(x) II. Dạng toán tính tổng của tổ hợp liên quan tới đạo hàm. Ta cã mét vµi chó ý khi gÆp tÝnh tæng cña tæ hîp 0. + Nếu trong vế tính tổng không có Cn thì ta cần dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x cả hai vế sau đó thay x bằng một giá trị thích hợp. 0 1 + Nếu trong một vế tính tổng không có Cn và Cn thì ta dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x hai lần sau đó thãy bằng một giá trị thích hợp. III. VÝ dô. VÝ dô 1. Chøng minh r»ng 2008 1 2 2008 2009 a) 2009.2  C2009  2C2009  ...  2008C1009  2009C2009 b) 2009.2008.2.  x  1. 2007. 2 3 2008 2009  2C2009  3.2C2009  ...  2008.2007C1009  2009.2008C2009. Gi¶i 2009. 0 1 2 3 2008 2008 2009 2009  C2009  C2009 x  C2009 x 2  C2009 x3  ...  C2009 x  C2009 x (*). a) Ta cã §¹o hµm hai vÕ cña (*) theo x ta cã. 2009  x  1. 2008. 1 2 2008 2007 2009 2008 (a)  C2009  C2009 x  ...  2008C2009 x  2009C2009 x. Thay x = 1 vào đẳng thức (a) ta có 1 2 2008 2009 2009.22008  C2009  2C2009  ...  2008C1009  2009C2009. Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh. b) §¹o hµm hai vÕ cña (*) hai lÇn theo x ta cã. 2009.2008. x  1. 2007. 2 3 2008 2006 2009 2007  2C2009  3.2C2009 x  ...  2008.2007C2009 x  2009.2008C2009 x. Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có 2 3 2008 2009 2009.2008.22007  2C2009  3.2C2009  ...  2008.2007C1009  2009.2008C2009. VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.. Lop12.net. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>