Bài soạn CAC BAI NANG CAO VE CAN THUC

Một số dang toán bồi dỡng hsg
Rút gọn
Bài 1. Tính
A 6 2 5 6 2 5= + +
B 3 2 2 6 4 2= +

C 6 2 5 13 4 3= + +
D 4 8. 2 2 2 . 2 2 2= + + + +
E 10 24 40 60= + + +
F 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3= + + + + + + + +
G 4 5 3 5 48 10 7 4 3= + + +
H 6 2 2 3. 2 12 18. 128= + + +
I 3 5 3 5 2= +
2 3
2
K
2 3 2 2 3
2
6 2 3
+
=
+ +
+
Bài 2. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính tổng:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y )
S x. y. z.
1 x 1 y 1 z
+ + + + + +

= + +
+ + +
Bài 3. Cho ba số a, b, c là 3 số hữu tỉ đôi một khác nhau, chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
(a b) (b c) (c a)
+ +

là số hữu tỉ.
Bài 4. Tính
2
M 15a 8a 15 16= +
với
3 5
a
5 3
= +
Bài 5. Chứng minh công thức sau:
2 2
A A B A A B
A B
2 2
+
=
Bài 6. Tính
a x a x
P
a x a x
+
=

+ +
với
2a
x
1
b
b
=
+
trong đó a >0, b > 0.
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức:
2
1
4x 4
x
M
x 2x x 1
+ +
=

với
x ( 10 6). 4 15= +

Bài 8. Tính giá trị của biểu thức:
2
(x 1) 3
M
x x 1

=

+
với
x 2 3= +
Bài 9. Chứng minh:
a)
3 3
2
3 1 1 3 1 1
=
+ + +
b)
2 2 2 2
1 1
3 3
2
2 2 2 2
1 1
3 3
+ +
=
+
Bài 10. Cho biểu thức:
2
A x 3x y 2y= +
a) Phân tích A thành nhân tử.
b) Tính giá trị của A khi
1
x
5 2
=

;
1
y
9 4 5
=
+
Bài 11. Cho biểu thức:
2
B y 5x y 6x= +
a) Phân tích B thành nhân tử.
b) Tính giá trị của B khi
2
x
3
=
;
18
y
4 7
=
+
c) Tìm các cặp số (x, y) thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
x y 1 0 + =
và B = 0.
Bài 12. Cho
2x 5 x 1 x 10
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
+ +

= + +
+ + + + + +
với x 0. Chứng minh
rằng giá trị của A không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
3
3
1 1 a 1
Q 20 14 2 . 6 4 2 (a 3) a 3a 1 : 1
2 2
2( a 1)



= + + + +


+


Bài 14. Tinh số trị của biểu thức
2
2
2a 1 x
P
x 1 x
+
=
+ +
với

1 a b
x
2 b a

=
ữ

với a > 0,
b > 0.
Bài 15. Rút gọn biểu thức:
3 11 6 2 5 2 6
A
2 6 2 5 7 2 10
+ + +
=
+ + +
B 5 3 5 48 10 7 4 3= + +
C 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + +
D 94 42 5 94 42 5= +
E (4 15)( 10 6) 4 15= +
F 3 5.( 10 2)(3 5)= +

G 5 3 29 12 5=
H 3 30 2 9 4 2= + + +
Bài 16. Cho a + b + c = 0; a, b, c 0. Chứng minh hằng đẳng thức:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +
Bài 17.

a) Chứng minh:
2
a b a b 2(a a b)+ =
với b 0,
a b
b) Rút gọn biểu thức:
A x 2 2x 4 x 2 2x 4= + +
Bài 18. Chứng minh:
6 24 12 8 3 2 1+ + + = +
Bài 19. Rút gọn biểu thức
a)
1 1 1 1
A ...
1 2 2 3 3 4 n 1 n
= + + + +
+ + + +
b)
1 1 1 1
B ...
1 2 2 3 3 4 24 25
= +

Bài 20. Tính giá trị của biểu thức:
1 1 1 1
A :
x 1 x 1 x 1 x 1

= +
ữ ữ
+ +

với
2 2
a b
x
2ab
+
=
; b > a>0.
Bài 21. Tính giá trị của biểu thức:
2
2
2a 1 x
B
1 x x
+
=
+
với
1 1 a a
x
2 a 1 a


=
ữ


; 0 <a<1.
Bài 22. Tính giá trị của biểu thức:

2 2
2
(a 1)(b 1)
M (a b)
c 1
+ +
= +
+
với a,b,c>0 và ab+bc+ca=1
Bài 23. Chứng minh:
2 2
x 4 x 4 2x 4
x x
x x
x
+
+ + =
Với x 2
Bài 24. Cho
1 2
a
2
+
=
;
1 2
b
2

=

. Tính
7 7
a b+
Bài 25. Chứng tỏ rằng số
3 3
x 5 2 5 2= +
là nghiệm của phơng trình
3
x 3x 4 0+ =
.
Bài 26. Số x dới đây có phải là nghiệm của phơng trình
3
x 12x 8 0+ =
không?
3 3
x 4 80 80 4= +
Bài 27. Cho
2 3 2 3
a
2 2 3 2 2 3
+
=
+ +
Chứng tỏ rằng a là nghiệm của phơng trình
3 2
x 5x 2x 10 0+ =
Tìm các nghiệm còn lại.
Bài 28. Chứng minh rằng:

a)

2 4
2 2 2
a b a b
a
b a 2ab b

=
+
(với a>b)
b)
a b b a 1 a b
:
2
2 ab a b
+
=

(với a,b>0)
c)
a a a a
1 . 1 1 a
1 a a 1

+
+ =
ữ ữ
+

(với a>1)
Bài 29. Cho

a a b b 2 b
A ab : (a b)
a b a b

+
= +
ữ
+ +

Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào a và b với a, b>0 và ab.
Bài 30. Tính giá trị của biểu thức sau:
( )
2
3
2x
a y y y
3 xy 3y
x
B
x y
x x y y
+ +

= +

+
tại x = 1997; y = 30303
Bài 31. Cho a > 0, b tuỳ ý và
2
2ab

x
b 1
=
+
. Chứng minh rằng:
b khi b 1
a x a x
E
1
a x a x
khi b 1
b


+

= =

+ +
>


Bài 32. Tính giá trị của biểu thức:
2 2
D (x 4)(x 9)=
tại
13 29
x
2

=
Bài 33. Cho
A a a ab,= +
B b b ab= +
(với a, b>0)
a) So sánh tổng A + B và tích A.B khi
a b 3+ =
và
ab 1=
.
b) Chứng minh rằng nếu
a b+
và
ab
là những số hữu tỉ thì tổng A+B
và tích A.B cũng là những số hữu tỉ.
Bài 34. Giả sử a1. Chứng minh rằng:
2 khi a 2
A a 2 a 1 a 2 a 1
2 a 1 khi a 2



= + + =

>


Bài 35. Cho x0. Tính:
4 4

A ( x x 1)( x x 1)(x x 1)= + + + +
Bài 36. Cho x, y, zR, tính:
A x y z 2 xz yz x y z 2 xz yz
= + + + + + + + +