Bài giảng môn giải tích

NHTHO.WORDPRESS.COM

Bài giảng mơn
Giải tích 2
TS. NGUYỄN HỮU THỌ

2019-2020

BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Đây là bài giảng mơn Giải tích 2 dành cho sinh viên năm thứ nhất của Khoa Cơ khí và
Khoa Điện – Điện tử của Trường đại học thủy lợi.

Giáo trình chính
Giải tích hàm nhiều biến (Lưu hành nội bộ)
Sách dịch, do Bộ Mơn Tốn Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch
(đã chỉnh lý lần thứ nhất năm 2010)

CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM

1.

Điểm quá trình: chiếm 40%
+ Điểm chuyên cần

+ Điểm tích cực
+ Điểm Kiểm tra giữa kỳ (1 bài KT 50 phút)

2.

Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60%

3.

Điểm học phần = ĐQT + ĐThi

1

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Bài số 1
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG ℝ 3 . MỘT SỐ MẶT CONG TRONG ℝ 3

I. Nhắc lại những vấn đề cơ bản về hệ tọa độ trong không gian
1. Nhắc lại hệ tọa độ Đề các trong ℝ 3 . ng thng v mt phng.
2. Nhắc lại một số đờng bậc hai trong mặt phẳng
Đờng cong trong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F (x , y ) = 0 , các đờng cô nic:
(E) Elip:

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

(H) – Hypecbol:

x 2 y2
−
= ±1
a 2 b2

(P) Parabol:

x 2 = 2py;

(C) - Đờng tròn:

(x − a )2 + (y − b)2 = R 2 ..

y 2 = 2px

II. Mặt trụ. Mặt tròn xoay. Mặt bËc hai
1. MỈt trơ
a. Định nghĩa: Xét một đường cong phẳng (C ) và một đường thẳng L
không song song với mặt phẳng của (C ) .
Mặt trụ là hình trong không gian được sinh ra bởi một đường thẳng dịch chuyển song song với L và tựa
trên (C ) . Đường thẳng chuyển động đó được gọi là đường sinh của mặt trụ. Đường cong (C ) goi là đường
chuẩn.

Nếu (C ) là đường tròn và L là đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn khi đó ta được mặt
trụ trịn xoay.
b. Phương trình của mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước (C ) có phương
trình (trong Oxy ): F (x , y ) = 0 và cho đường sinh song song với trục Oz .
Khi đó phương trình F (x , y ) = 0 trong Oxyz cũng là phương trình của mặt
trụ trong không gian ba chiều.
Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chuẩn+ ic

Kết luận Bất cứ một phương trình trong hệ toạ độ Oxy khuyết một biến đều biểu diễn một mặt trụ với các
đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết.

2

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

x 2 y2
+
=1
.
9
4
Giải + Đây là phương trình của mặt trụ vì khuyết z trong Oxyz với các đường sinh song song với trục Oz .
Mặt cong này được gọi là mặt trụ elliptic.

Ví dụ 1. Vẽ mặt trụ:

Ví dụ 2. Vẽ mặt trụ z = x 2
Giải: Đây mặt trụ với các đường sinh song song với trục Oy vì khuyết
biến y trong phương trình. Mặt cong này được gọi là mặt trụ parabolic.
3. Mặt tròn xoay
a. Định nghĩa: Một mặt cong do xoay đường cong phẳng (C ) quanh
một đường thẳng L không cùng thuộc mặt phẳng chứa (C ) được gọi là
mặt tròn xoay với trục L .
Đường cong (C ) lúc này gọi là đường sinh của mặt trịn xoay.
b. Mơ tả phương trình mặt trịn xoay:
Giả sử đường cong (C ) nằm trong mặt phẳng Oyz có phương trình
f (y, z ) = 0

Khi đường cong này xoay quanh trục Oz , đường cong (C ) sẽ tạo nên mặt
trịn xoay có p/t:

f (± x 2 + y 2 , z ) = 0
Ví dụ 3. Nếu đuờng thẳng z  3y trong mặt phẳng Oyz xoay trịn quanh
trục Oz thì mặt trịn xoay là một mặt nón hai tầng với đỉnh tại gốc toạ độ
và trục là trục Oz . Để có phương trình của mặt nón này chúng ta thay thế
y trong phương trình z  3y bởi ± x 2 + y 2 và sau đó hữu tỷ hố bằng
bình phương:
z = ±3 x 2 + y 2 ⇔ z 2 = 9(x 2 + y 2 ) .
3

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

2. Mặt bậc hai
a. Phương trình tổng quát của mặt bậc hai
Trong không gian ba chiều, dạng tổng quát của phương trình bậc hai có dạng:
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

giả thiết rằng tất cả các hệ số A, B,..., F không đồng thời bằng khơng nên bậc của phương trình thực sự là
bậc 2. Đồ thị của các phương trình này được gọi là mặt bậc hai.
b. Các dạng mặt bậc hai thường gặp
Có chính xác sáu loại mặt bậc hai khơng suy biến:
1.

Ellipsoid.

2.

Hyperboloid một tầng.

3.

Hyperboloid hai tầng.

4.

Mặt nón elliptic.

5.

Paraboloid Elliptic

6.

Paraboloid Hyperbolic.

c. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Mặt ellipsoid:

x 2 y2 z2
+
+
=1
a 2 b2 c2

+ Bậc của x , y , z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mỗi mặt phẳng toạ
độ.
+ Các lát cắt trong mặt phẳng Oxz và Oyz là các ellip:

x2 z2
+
=1;
a 2 c2

y2 z 2
+
=1
b2 c2

+ Lắt cắt trong mặt phẳng nằm ngang z  k là elip:
x 2 y2
k2
+
=
1
−
a 2 b2
c2
và elip này giảm dần kích thước khi k biến thiên từ 0 tới c hoặc c .
x 2 y2 z2
Ví dụ 2. Đồ thị của phương trình 2 + 2 − 2 = 1
a
b
c
là một hyperboloid một tầng.
+ Nếu viết p/trình dưới dạng :

x 2 y2
z2
+
=
1
+
a 2 b2
c2

thì chúng ta nhận thấy lát cắt ngang trong mặt phẳng z  k là các ellip, và các
elip này lớn dần khi dịch chuyển xa mặt phẳng Oxy .

4

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

y2 z2
− =1
b2 c2

+ Lát cắt của mặt cong trong mặt phẳng Oyz là hyperbol :
Ví dụ 3 : Mặt hyperboloid hai tầng:

−

x2
y2
z2
−
+
=1
a2
b2
c2

+ Nếu chúng ta viết phương trình theo dạng:

x2
y2
z2
+
=
−1
a2
b2
c2
thì các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z  k với k ≥ c là các ellip hoặc các
điểm riêng biệt, còn các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z  k với k < c là
rỗng.
+ Lát cắt trong mặt phẳng yz là hypecbol :

Ví dụ 4. Đồ thị của phương trình:

z 2 y2
−
= 1.
c2 b2

x 2 y2
z2
+
=
a 2 b2
c2

là một mặt nón elliptic.

+ Mặt cong này giao với các mặt phẳng xz và yz theo các cặp đường thẳng giao nhau
c
z = ± x,
a

c
z =± x
b

+ Giao với mặt phẳng xy tại gốc toạ độ.
+ Tất cả các lát cắt ngang bị căt bởi mặt phẳng z  k với k ≠ 0 là các elip.
+ Khi a  b , mặt nón là mặt nón trịn.
Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic(với a , b cùng dấu):

z = ax 2 + by 2

+Lát cắt thẳng đứng của mặt cong với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng Oyz là
các parabol: z = ax 2 ,

z = by 2

+ Các lát cắt nằm ngang của mặt cong này trong mặt phẳng z  k
là các elip nếu k  0 ,
là gốc toạ độ nếu k  0
và rỗng nếu k  0 .

Ví dụ 6. Mặt paraboloid hyperbolic (với a , b cùng dấu): z = by 2 − ax 2

+ Lát cắt với mặt phẳng yz là parabol z = by 2 mở quay lên và trong mặt phẳng Oxz là parabol
z = −ax 2 mở quay xuống.
5

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

+ Trong tất cả các mặt phẳng y  k song song với mặt phẳng Oxz , các lát cắt là các parabol mở quay
xuống và có các đỉnh chạy dọc theo parabol z = by 2 .
+ Càng gần gốc toạ độ, mặt cong tăng theo y và giảm theo x nên nó có hình dạng của n ngựa hoăc khe
núi, vì vậy, mặt cong này thường đuợc gọi là mặt yên ngựa với gốc toạ độ là tâm yên ngựa.

Về nhà: Tự đọc các Mục 18.1 đến 18.4
Bài tập: Tr. 44, 50, 55.
Đọc trước các Mục 19.1, 19.2, 19.3 chuẩn bị cho Bài số 2:
Hàm nhiều biến. Đạo hàm riêng. Mặt phẳng tiếp xúc.

6

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Bài số 2
HÀM NHIỀU BIẾN. ĐẠO HÀM RIÊNG.
MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG.

I. Hàm số nhiều biến.
1. Định nghĩa: Cho (x , y ) ∈ D ⊆ ℝ 2 = ℝ × ℝ , quy tắc cho tương ứng
mỗi cặp (x , y ) một phần tử duy nhất z ∈ ℝ được gọi là một hàm số của
hai biến x và y , ký hiệu : z = f (x , y ) .
Tương tự ta cũng có khái niệm của hàm số n biến với n ≥ 3 .
Ví dụ:
+ Trong hình học giải tích khơng gian: phương trình z = x 2 − y 2 (p/t
của mặt yên ngựa) là hàm số hai biến x , y , lúc này mặt yên ngựa là đồ thị của hàm số này.
+ Nếu chúng ta cho nhiệt độ tại điểm P biến thiên theo thời gian t , thì T = f (x , y, z , t ) .
2. Miền xác định
Xét hàm số hai biến z = f (x , y ) , miền xác định của nó là tập hợp tất cả các điểm P (x ; y ) trong mặt phẳng
Oxy sao cho tồn tại một tương ứng z .

Tương tự cũng có định nghĩa miền xác định đối với các hàm số trong không gian Oxyz , không gian Oxyzt ,
..
Nếu hàm số cho bởi các công thức, miền xác định là tập hợp tất cả các điểm để cơng thức có nghĩa.
Ví dụ 1:  Xét hàm số :
 Xét hàm số

z = f (x , y ) =

1

.
x −y

{

MXĐ: D = (x, y ) x ≠ y

}

z = g (x , y ) = 9 − x 2 − y 2

{

} {

}

MXĐ: D = (x, y) 9 − x 2 − y 2 ≥ 0 = (x, y ) x 2 + y 2 ≤ 9
 Xét hàm số 3 biến: w = h(x, y, z ) =

2x + 3y + 4z
x 2 + y2 + z 2

{

}

MXĐ: D = (x, y, z ) x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0
3. Giới hạn .

Định nghĩa Cho hàm số z = f (x , y ) xác định trong lân cận của điểm M 0 (x 0, y 0 ) . Ta nói rằng

lim

(x ,y )→(x 0 ,y0 )

7

f (x , y ) = L

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

nếu với mọi điểm ε > 0 nhỏ tuy ý luôn tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi điểm M (x , y ) sao cho

d (M , M 0 ) = (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < ε
thì ta ln có f (x ) − L < ε.
Chú ý: Ta cũng có định nghĩa tương tự đối với hàm 3 biến, hàm n biến ( n > 3 ), các định nghĩa khác về
giới hạn của hàm nhiều biến cũng được định nghĩa tương tự như đối với các hàm một biến.
4. Tính liên tục: Hàm số f (x , y ) được nói là liên tục tại một điểm (x o , yo ) trong miền xác định của nó nếu
giá trị f (x , y ) tiến gần tới f (xo , yo ) khi (x , y ) đủ gần với (x o , yo ) , nghĩa là

x − xo

khi

và

y − yo

đủ bé, hay là

lim

(x ,y )→(x 0 ,y 0 )

f (x, y ) − f (xo , yo )

bé tuỳ ý

f (x , y ) = f (x 0, y 0 ) .

Ví dụ 2:  Hàm số f (x , y ) = xy liên tục tại điểm (x o , yo ) bất kì, vì
xy − x 0yo = xy − xyo + xyo − x 0yo
= x (y − yo ) + (x − x 0 )yo
≤ x y − yo + yo x − xo

nên khi

x − xo

 Hàm số :

và

y − yo

f (x, y ) − f (xo , yo ) → 0 .

dần tới 0 thì

 xy

f (x , y ) =  x 2 + y 2

 0

(x , y ) ≠ (0, 0)
(x , y ) = (0, 0)

không liên tục tại gốc toạ độ (0; 0) . Vì, nếu cho (x , y ) tiến đến (0; 0) dọc theo đường thẳng y  mx với
m ≠ 0 thì

f (x, y ) =

mx 2
m
=
≠ 0 nên không thể dần tới f (0, 0) = 0 khi (x , y ) đủ gần (0; 0) .
2
2 2
x +m x
1 + m2

Các hàm số sơ cấp thì liên tục tại điểm bất kì thuộc miền xác định của nó. Tương tự tính liên tục được định
nghĩa đối với hàm số của ba hay nhiều hơn biến .
5. Đường mức
Định nghĩa: Xét hàm số

z = f (x , y ) . Một đường cong

được gọi là một đường mức nếu nó nằm trong miền xác định
của hàm số, và trên đó z = f (x , y ) có giá trị khơng đổi c .
Ứng dụng: + Mơ tả bản chất hình học của một hàm số
nhiều biến (khi khó vẽ đồ thị của nó).

8

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

+ Trong vẽ bản đồ địa hình với thung lũng, đồi và núi: nhận được một hình ảnh rõ ràng về các sự thể trên
mặt đất trong không gian ba chiều từ sự mô tả trong không gian hai chiều.
Tập hợp các đường mức được gọi là bản đồ trắc địa.

6. Mặt mức
Chúng ta không thể vẽ đồ thị đối với hàm ba biến vì khi đó cần một khơng gian hữu hình bốn chiều để chứa
đồ thị. Tư tưởng của đường mức sẽ dẫn tới khái niệm mặt mức .

Định nghĩa. Xét hàm số ba biến w = f (x , y, z ) . Một mặt cong được gọi là một mặt mức nếu nó nằm
trong miền xác định của hàm số, và trên đó w = f (x , y, z ) có giá trị khơng đổi c .
Ứng dụng : Mặt mức có thể khó vẽ, nhưng kiến thức về chúng có thể giúp chúng ta định dạng ý tưởng
trực giác có ích về bản chất của các hàm số này.
Ví dụ 3: + Xét hàm số w = x + 2y + 3z , có mặt mức là các mặt phẳng x + 2y + 3z = c
+ Hàm số w = x 2 + y 2 + z 2 , có mặt mức là khối cầu đồng tâm

x 2 + y2 + z2 = c .

II. ĐẠO HÀM RIÊNG
1. Định nghĩa: Xét hàm hai biến z  f (x ; y ) , trước hết chúng ta giữ y cố định và cho x biến thiên. Tốc
∂z
độ biến thiên của z theo x được kí hiệu là
và định nghĩa bởi
∂x
z
f (x  x ; y )  f (x ; y )
 lim
x x  0
x
Giới hạn này (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng(cấp một) của z theo x .
Ký hiệu thường sử dụng:

z
f
; z x ; fx ;
; f (x ; y )
x
x x

Tương tự, nếu x cố định và y thay đổi thì đạo hàm riêng của z theo y là :
9

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

z
f (x ; y  y )  f (x ; y )
 lim

y

0
y
y

kí hiệu trong truờng hợp này là :

z
f
; z y ; fy ;
; f (x ; y ) .
y
y y

Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng cho hàm nhiều hơn hai biến.
Quy tắc: lấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số theo một biến chúng ta coi tất cả các biến độc lập

khác là hằng số và khi đó ta thực hiện các phép tốn đạo hàm riêng (theo một biến đó) như các phép
tốn lấy đạo hàm của hàm một biến.
 Ví dụ 4. Xét hàm số : f (x , y ) = x 3 − 3x 2y 3 + y 2 . Tính các ĐHR
 Ví dụ 5
(a) Nếu f (x , y ) = xy 2 + x 3 thì fx = ???; fy = ???? ……
2

(b) Nếu g(x , y ) = xe xy thì g x = ???; g y = ???? …….
.
(c) Nếu h(x , y ) = sin x 2 cos 3y

thì

hx = ???; hy = ????

 Ví dụ 6: Nếu w = f (x , y, z, u, v ) = xy 2 + 2x 3 + xyz + zu + tan uv thì ……
Chú ý: + Trong trường hợp một biến, chúng ta biết đạo hàm có thể coi là phân số: thương của các vi phân
dy và dx .
+ Đối với hàm nhiều biến: đạo hàm riêng không được hiểu theo cách như vậy.

 Ví dụ 7. Định luật khí lí tưởng nói rằng số lượng khí đã có, áp suất p, thể tích V, nhiệt độ tuyệt đối T
được liên hệ với nhau bởi phương trình
pV = nRT
trong đó n là số lượng phân tử gam khí ở điều kiện lí tưởng và R là hằng số.
Ta có
nRT

nRT
pV
p=
, V =
, T =
V
p
nR
∂p
∂V
∂T
nRT
nR
V
nên :
=− 2 ,
=
,
=
∂V
∂T
p
∂ p nR
V
suy ra :

∂p

∂V

∂T

 nRT  nR
= − 2 
∂ V ∂ T ∂ p  V  p

V
nRT
=−
= −1 .
nR
pV

Kết quả bằng -1 : không thể coi các đạo hàm riêng ở vế trái như là các phân số.
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng cấp một
10

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Xét h/số hai biến z  f (x ; y ) có đồ thị là một mặt
cong.
Xét điểm (x 0 , y 0 ) trong mặt phẳng Oxy tương ứng với
điểm (x 0 , y 0 , z 0 ) trên mặt cong. Giữ y cố định tại điểm

y0 nghĩa là chia mặt cong bởi mặt phẳng y = y 0 , và
giao là đường cong z = f (x 0 , y 0 ) trong mặt phẳng đó.
Số

 ∂ z 




 ∂ x 
(x

= fx (x 0 , y 0 )
0

,y 0 )

là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại
x = x 0 . Vì vậy,



 ∂ z 
tan α = 

 ∂ x 

= fx (x 0,y0 ) .

(x 0 ,y0 )

Tương tự, giao của mặt cong với mặt phẳng x = x 0 là đường cong z = f (x 0 , y 0 ) ,và đạo hàm riêng còn lại
là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại y = y 0 , và

 ∂ z 


= f (x y ) .
tan β = 
 ∂ y  (x0 ,y0 ) y 0, 0
3. Đạo hàm riêng cấp cao
Đối với hàm hai biến z  f (x ; y ) , các đạo hàm riêng fx = fx (x , y ) và fy = fy (x , y ) cũng là các hàm số hai
biến, và có thể chúng cũng có các đạo hàm riêng.
Như vậy các đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa thông qua đạo hàm riêng cấp một
∂f
∂f
= fx và
= fy .
∂x
∂y

 Khi đó các đạo hàm riêng cấp hai theo x là:
∂  ∂ f  ∂ 2 f
∂
∂  ∂ f 
∂ 2f
∂



=
fx = fxx và
=
f = fyx
 =
 =


2
∂ x  ∂ x  ∂ x
∂x
∂ x  ∂ y  ∂ x ∂ y
∂x y
 Các đạo hàm riêng theo y là:
∂  ∂ f 
∂ 2f
∂
∂  ∂ f  ∂ 2 f
∂
 =
=


=
f
=
f
=
f = fyy .
và



xy
∂ y  ∂ x  ∂ y ∂ x
∂y x
∂ y  ∂ y 
∂y y
∂ y2
 Các đạo hàm riêng cấp hai thuần tuý:
∂ 2f
∂ 2f
fxx =
fyy =
và
∂ x2
∂ y2
Ý nghĩa: biểu thị tốc độ biến thiên của tốc độ biến thiên của f .
11

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

 Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp:

∂2 f
∂x ∂y

và

2019 -2 020

∂2 f
.
∂y ∂x

Ý nghĩa:
* fyx =

∂2 f
chỉ ra tốc độ biến thiên của f theo hướng y của tốc độ biến thiên của f theo hướng x .
∂x ∂y

* fxy =

∂2 f
chỉ ra tốc độ biến thiên của f theo hướng x của tốc độ biến thiên của f theo hướng y
∂y ∂x
Câu hỏi: Giữa các đạo hàm riêng hỗn hợp có mối liên hệ gì?

 Ví dụ 8. Xét f (x , y ) = x 3e 5y + y sin 2x .
Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp :
fxy = 15x 2e 5y + 2 cos 2x ,

fyx = 15x 2e 5y + 2 cos 2x .

∂2 f

∂2 f
= fyx =
, tức là thứ tự lấy đạo hàm riêng trong trường hợp này không quan
∂y ∂x
∂x ∂y
trọng. Tuy nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng.

dễ thấy

fxy =

∂2 f
∂2 f
và fyx =
∂y ∂x
∂x ∂y
fxy (x 0 , y 0 ) = fyx (x 0 , y 0 ) .

Điều kiện quan trọng : Nếu fxy =
và liên tục tại điểm đó thì

tồn tại đối với tất cả các điểm gần (x 0 , y 0 )

Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn hai, cũng như các đạo hàm cấp cao của các hàm số nhiều hơn hai biến, được
định nghĩa tương tự.

Xét w  f (x ; y ; z ) thì :


∂ 3f

∂

=

∂x
 ∂ x ∂ y ∂ z

4

∂ f
∂

=
 ∂ z ∂ y ∂ x 2
∂z


 2

 ∂ f 
= f
= fz yx ,

 ∂ y ∂ z  ( zy )x


 ∂3 f


 = ( f ) = f , ...


xxy z
xxyz
2 

∂
y
∂
x


III. MẶT PHẲNG TIẾP XÚC ĐỐI VỚI MẶT CONG
Xét mặt cong z  f (x ; y ) , mặt phẳng y = y 0 giao với mặt cong
này theo đường cong (C 1 ) có phương trình là
z = f (x , y 0 ) ,

và mặt phẳng

x = x 0 giao với mặt cong này theo đường cong

(C 2 ) có phương trình là :
12

z = f (x 0 , y ) .

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Độ dốc của các đường thẳng tiếp xúc đối với các đường cong này tại điểm P = (x 0 , y 0 , z 0 ) là các đạo hàm
riêng : fx (x 0 , y 0 ) và fy (x 0 , y 0 ) . Hai đường thẳng tiếp xúc này xác định một mặt phẳng, nếu mặt cong đủ
trơn gần P0 thì mặt phẳng này sẽ tiếp xúc đối với mặt cong tại P0.
1. Định nghĩa: Cho P0 là một điểm trên mặt cong có p/t z  f (x ; y ) , T là mặt phẳng qua P0 và cho P là
một điểm bất kì khác trên mặt cong. Nếu, khi P tiến tới P0 dọc theo mặt cong, góc giữa đoạn thẳng P0 P và
mặt phẳng T tiến tới khơng, thì T được gọi là mặt phẳng tiếp xúc đối với mặt cong tại P0 .

Chú ý: Một mặt cong không nhất thiết có mặt phẳng tiếp xúc tại P0
, xét nửa mặt nón z = x 2 + y 2 . Rõ ràng các đường cong (C1) và
(C2) khơng có đường thẳng tiếp xúc tại gốc toạ độ, và các đạo hàm
riêng không tồn tại ở đây. Kể cả khi các đường cong (C1) và (C2) đủ
trơn để có các đường thẳng tiếp xúc tại P0, mặt cong có thể vẫn
khơng có mặt phẳng tiếp xúc tại P0, bởi vì quan hệ không trơn gần
P0 trong miền giữa (C1) và (C2).
2. Véc tơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng tiếp xúc:
Xét mặt cong có p/t z  f (x ; y ) .
Giả sử tồn tại mặt phẳng tiếp xúc tại điểm P0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) . Các véc tơ V1 và V2 tiếp xúc với đường
cong (C1) và (C2) tại P0:

V1 = i + 0 j + fx (x 0, y 0 )k tiếp xúc với (C1) tại P0
V2 = 0i + j + fi (x 0, y 0 )k tiếp xúc với (C2) tại P0.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc:

i j
k
N = V2 × V1 = 0 1 fy (x 0, y 0 ) = fx (x 0, y 0 )i + fy (x 0, y 0 ) j − k

1 0 fx (x 0, y 0 )
Phương trình mặt phẳng cần tìm là
fx (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0

hay là :

z − z 0 = fx (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 )(y − y 0 )

.

Ví dụ 10. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong : z = f (x , y ) = 2xy 3 − 5x 2 tại điểm (3, 2, 3) .

Giải: + Kiểm tra xem điểm (3, 2, 3) nằm trên mặt cong đã cho.
13

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

+ Ta có fx = 2y 3 − 10x và fy = 6xy 2 nên fx (3,2) = −14 và fy (3, 2) = 72 .
+ Vậy phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là …
(Chú ý giải thích tại sao tồn tại mặt phẳng tiếp xúc ?????)
Ví dụ 11. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu :

x 2 + y 2 + z 2 = 14

tại điểm (1, 2, 3) .

Đáp số: Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là
1
2
z − 3 = − (x − 1) − (y − 2) hay là x + 2y + 3z = 14 .
3
3

Phương pháp khác : Ta thấy phương trình xác định z là hàm ẩn của x và y , và sẽ tìm các đạo hàm
riêng bằng đạo hàm hàm ẩn. Với phương pháp này chúng ta có phương trình mặt phẳng tiếp xúc là
 ∂ z 
 ∂ z 
 

z − z 0 =   (x − x 0 ) +   (y − y 0 ) .
 ∂ x 
 ∂ y 
P
P
0

0

Ví dụ 12. Tìm mặt phẳng tiếp xúc của ví dụ 2 bằng phương pháp vừa đề nghị.
+ Trước hết chúng ta giữ y cố định và đạo hàm hàm ẩn đối với x , dẫn đến
2x + 2z

+ Từ đó

∂z
∂x

=0

∂z

∂z
x
y
= − . Tương tự,
=− .
∂x
z
∂y
z

+ Tại điểm P0 = (1,2, 3) , các đạo hàm riêng có các trị số:

 
 
1
2
 ∂ z 
∂ z 
và   = − .
  = −
 ∂ y 
3

3
 ∂ x 
P
P
0

0

1
2
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc là: z − 3 = − (x − 1) − (y − 2) .
3
3
Về nhà:
Bài tập: Tr. 61, 68, 73.
Đọc trước các Mục: 19.4+ 19.5 để chuẩn bị cho Bài số 3: Vi phân. Đạo hàm theo hướng. Gradient

14

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Bài số 3
VI PHÂN. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG. GRADIENT

I. SỐ GIA VÀ VI PHÂN. BỔ ĐỀ CƠ BẢN

1. Nhắc lại: Xét hàm số một biến: y  f (x ) có đạo hàm tại
điểm x 0 . Nếu ∆ x là một số gia từ x 0 tới điểm x 0 + ∆x , ta
có số gia tương ứng của y:
∆y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) .
Định nghĩa đạo hàm: f '(x 0 ) = lim

∆x → 0

∆y
∆x

(nếu giới hạn đó

tồn tại) và ta nói rằng: hàm số đó có đạo hàm tại điểm x 0 .

 Có thể viết ở dạng tương đương
∆y = f '(x 0 ) ∆x + ε ∆x

 Vi phân của hàm số là

trong đó ε → 0 khi ∆x → 0 .

dy = f ′(x 0 )dx .

Chú ý : Đối với hàm số một biến y  f (x )
+ Có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
+ Có đạo hàm tại một điểm thì sẽ khả vi tại điểm đó.
+ dy biến thiên theo y dọc theo tiếp tuyến.

2. Vi phân của hàm hai biến
Xét hàm số z  f (x ; y ) và cho (x 0 , y 0 ) là một điểm tại
đó các đạo hàm riêng fx (x 0 , y 0 ) và

fy (x 0 , y 0 ) đều tồn tại.

+ Số gia của z là :
∆z = f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f (x 0 , y 0 )

+ Ta có thể viết dưới dạng:
∆z = fx (x 0 , y 0 ) ∆x + fy (x 0 , y 0 ) ∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y (*)

15

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

trong đó ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0 .
Khác hẳn với hàm một biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng fx và fy tại (x 0 , y 0 ) chưa đủ đảm bảo tính
đúng đắn của (*).
Bổ đề cơ bản. Giả thiết hàm số z  f (x ; y ) và các đạo hàm riêng của nó fx và fy xác định tại điểm
(x 0 , y 0 ) và tại lân cận của điểm này. Giả thiết thêm là fx và fy liên tục tại (x 0 , y 0 ) . Khi đó số gia
∆ z có thể biểu thị dạng (*) trong đó

ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0 .

Định nghĩa: Cho hàm số z  f (x ; y ) sao cho các đạo hàm riêng của nó fx và fy xác định tại điểm
(x 0 , y 0 ) , (tức fx (x 0 , y 0 ) , fy (x 0 , y 0 ) tồn tại) và ở lân cận của điểm này hơn nữa các đạo hàm riêng đó liên

tục tại (x 0 , y 0 ) , khi đó ta nói rằng z  f (x ; y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ) , và định nghĩa vi phân dz bởi :
dz = fx (x 0 , y 0 ) dx + fy (x 0 , y 0 ) dy .

Vi phân dz thường được viết theo các dạng tương đương
dz =

∂z
∂x

dx +

∂z
∂y

dy

hoặc

df =

∂f
∂x

dx +

∂f
∂y

dy

Chú ý. + Với giả thiết hàm số khả vi, ta có thể chứng minh rằng mặt cong z  f (x ; y ) có một tiếp diện
tại (x 0 , y 0 , z 0 ) và dz là sự thay đổi theo z dọc theo mặt phẳng này
+ Hàm số z  f (x ; y ) khả vi tại một điểm thì liên tục tại đó (vì khi ∆x và ∆y → 0 thì ∆ z → 0 .)
+ Sự tồn tại của các đạo hàm riêng fx và fy tại một điểm không kéo theo sự liên tục của f (x ; y ) tại
điểm này,

 xy

x 2 + y 2
Ví dụ 9: Xét hàm số f (x , y ) = 

 0
ta tính được: f (0 + ∆x , y ) − f (0, 0) =

(x , y ) ≠ (0, 0)
(x , y ) = (0, 0)

(0 + ∆x )0
= 0 , tương tự đối với biến y , do đó
(0 + ∆x )2 + 02

fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 , nhưng hàm số không liên tục tại (0,0).

16

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

II. Đạo hàm theo hướng
1. Trường vô hướng
Cho hàm số w = f (x, y, z ) xác định trong một miền D , khi đó ta nói rằng ta đã xác định một trường vơ
hướng trên miền D đó.
2. Đạo hàm theo hướng. Gradient

 Nhận xét: Cho f (x , y, z ) : xác định trên một miền của không gian ℝ 3 ,
P là một điểm trong miền này, khi đó tốc độ biến thiên của hàm f theo
hướng dương của các trục Ox , Oy , và Oz được xác định bởi các đạo
hàm riêng

∂ f ∂f
∂f
,
, và
.
∂ x ∂y
∂z

 Câu hỏi: Có thể xác định được tốc độ biến thiên của f nếu chúng ta di chuyển P không theo hướng

trục toạ độ?

a. Gradient của một hàm số

Gradient của hàm số w = f (x, y, z ) là một vec tơ, ký hiệu là grad f , được xác định bởi :

grad f =

∂f
∂f
∂f
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z

(1)

Ví dụ 1: Xét hàm số f (x , y, z ) = 2x + 3xy − z 2 , ta có

grad f = (2 + 3y ).i + 3x . j - 2z .k ⇔ grad f = ((2 + 3y ), 3x , −2z ) .
b. Đạo hàm theo hướng

 Khái niệm : Xét điểm P = (x, y, z ) và R = xi + yj + zk là véc tơ chỉ vị trí của P , một hướng xác định
bởi véc tơ đơn vị u. Di chuyển P theo hướng u đến một điểm rất gần

Q = (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) ,

hàm f sẽ thay đổi một lượng là ∆f .
Khoảng cách giữa P và Q là ∆s =| ∆R | , phân số

∆f
là tốc độ biến thiên trung bình của f (về mặt
∆s

khoảng cách) khi di chuyển từ P đến Q (Chú ý s là tham số tự nhiên).
Giá trị giới hạn của

∆f
df
∆f
khi Q tiến đến P là :
= lim
∆
s
→
0
∆s
ds
∆s

(2)

được gọi là đạo hàm của f tại điểm P theo hướng u, hay đơn giản đạo hàm theo hướng của f .

17

nhtho.wordpress.com

Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

Chẳng hạn, nếu f là hàm nhiệt độ,

2019 -2 020

df
biểu diễn tốc độ biến thiên tức thời của nhiệt độ theo khoảng cáchds

theo cách nào nhanh nhất để nhiệt độ trở lên nóng hơn

tại P khi chúng ta di chuyển điểm P theo

hướng xác định u.
c. Cách tính: Giả sử hàm

f (x, y, z ) có các đạo hàm riêng liên tục theo các biến x , y và z , véc tơ đơn vị

u cùng với hướng cần tính đạo hàm với . Khi đó

df
= (grad f ).u
ds

df
= grad f cos θ

ds

hay là:

(6)
(7)

trong đó θ là góc giữa grad f và u.
d. Một số tính chất:
Tính chất 1: Đạo hàm theo hướng

df
theo một hướng nào đó cho trước là tích vơ hướng của grad f và
ds

véc tơ đơn vị theo hướng đó

Chú ý: + Đạo hàm theo hướng
+ Giá trị

df
của một hàm nhiều biến là đại lượng vô hướng
ds

df
phụ thuộc vào hướng cần tính đạo hàm và tọa độ điểm P .
ds

+ Nếu hàm số f (x, y, z ) khả vi tại điểm P thì tại điểm đó nó có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm
đó.

Như vậy, vectơ grad f bao hàm tự bên trong nó đạo hàm theo hướng
của f tại P theo mọi hướng có thể.
Nếu chọn u cùng hướng với hướng của grad f , thì θ = 0 và cos θ = 1 ,
từ (7) thấy rằng

df
đạt giá trị lớn nhất - có nghĩa là f tăng nhanh nhất ds

theo hướng này. Do vậy giá trị lớn nhất này chính là | grad f | .
Tính chất 2: Hướng của véc tơ grad f trùng với hướng mà theo hướng đó hàm f tăng nhanh nhất.

18

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Tính chất 3 : Độ dài của véc tơ grad f là tốc độ tăng lớn nhất của f .
Ví dụ 2: Nếu f (x , y, z ) = x 2 − y + z 2 , tìm đạo hàm theo hướng

df
tại điểm P (1, 2,1) theo hướng của véc
ds

tơ v = 4i − 2 j + 4k .

Giải : + Tại điểm P (1,2,1) ta có gradf = (2xi − j + 2zk )(1,2,1) = 2i − j + 2k .
+ Véc tơ đơn vị theo hướng đang xét :
u=

df
2
1
2
= (grad f ).u = (2i − j + 2k)( i − j + k) = 3 .
ds
3
3
3

Công thức (6) bây giờ dẫn đến :
Vậy, hàm f

v
4i − 2 j + 4 k
2
1
2
=
= i− j+ k.
|v|
3
3
3

16 + 4 + 16

coi như được tăng thêm 3 đơn vị theo đơn vị độ dài tại đó khi chúng ta di chuyển điểm

P (1, 2,1) theo hướng đã cho.

Tính chất 4: Gradient của hàm f (x, y, z ) tại điểm P0 là pháp tuyến của mặt mức của f tại điểm P0 .
Phương trình của mặt cong bất kì trong ℝ 3 đều có thể viết dưới dạng f (x , y, z ) = c0 , và do đó có thể xem xét
như là mặt mức của hàm w = f (x, y, z ) . Nếu P0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) là một điểm trên mặt này, thì Tính chất 4 cho
rằng véc tơ

 ∂f 
 ∂f 
 ∂f 
N = gradf =   i +   j +   k
 ∂x P
 ∂y P
 ∂z P
0

0

0

là pháp tuyến của tiếp diện tại P0 , do vậy nếu N ≠ 0 thì phương trình của tiếp diện của mặt cong là

 ∂f 
 
 ∂x 

P0







P







P

(x − x ) +  ∂∂yf  (y − y ) +  ∂∂zf  (z − z ) = 0;
0

0

0

0

(10)

0

Và phương trình của pháp tuyến của mặt cong tại P0 là:
19

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

(x − x ) (y − y ) (z − z )
0

 ∂f 
 
 ∂x 

P0

=

0

 ∂f 
 
 ∂y 

P0

=

0

 ∂f 
 
 ∂z 

2019 -2 020

.

P0

Ví dụ 3: Tìm phương trình của tiếp diện và pháp tuyến của mặt xy 2z 3 = 12 tại điểm P (3, −2,1)

Giải: + Mặt này là mặt mức của hàm f (x, y, z ) = xy 2z 3 .
+ Véc tơ grad f tại điểm (3, −2,1) là VTPT của mặt tại điểm này:

grad f

(3,-2,1)

= (y 2z 3i + 2xyz 3 j + 3xy 2z 2 k)

(3,-2,1)

= 4i − 12 j + 36k = 4 (i − 3 j + 9k )

+ Do đó phương trình của tiếp diện là : (x − 3) − 3(y + 2) + 9(z − 1) = 0

hay là :

x − 3y + 9z = 18 .

+ Pháp tuyến của mặt cong tại điểm P (3, −2,1) nhận gradf
tuyến là:

(x − 3) (y + 2) (z − 1)
1

=

−3

=

9

P

là VTCP, do đó phương trình của pháp

.

Về nhà:
Bài tập: Tr. 82
Đọc trước Mục: 19.6 + 19.9 + 19.10 chuẩn bị cho Bài số 4
Đạo hàm hàm hợp. Đạo hàm hàm ẩn

20

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

Bài số 4
ĐẠO HÀM HÀM HỢP. ĐẠO HÀM HÀM ẨN

1. Đạo hàm hàm hợp.
 Nhắc lại trường hợp hàm một biến: Cho y = f (x ) và x = g(t ) với t ∈ D , khi đó ta có hàm hợp y = f
được xác định bởi y = ( f

g )(t ) = f g(t ) . Nếu f , g là các hàm khả vi thì y = f g (t ) cũng là hàm khả vi





theo biến t và đạo hàm của y theo biến t đước tính thơng qua quy tắc dây chuyền:

dy dy dx
.
=
dt
dx dt

(1)

 Đối với hàm nhiều biến:
a) Trường hợp 1: Giả sử w = f (x, y ) trong đó: x = g(t ) và y = h(t ) là các hàm khả vi. Khi đó hàm hợp

w = f g (t ), h(t ) = F (t ) là hàm một biến khả vi và đạo hàm của nó được xác định bởi :


dw
∂w dx ∂w dy
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt

(2)

Đây là quy tắc dây chuyền trong đối với hàm hai biến.
 Ví dụ 1: Cho w = 3x 2 + 2xy − y 2 ở đó x = cos t và y = sin t , tìm

dw
.
dt

Giải + Ta có :

∂w

∂w
= (6x + 2y );
= (2x − 2y )
∂x
∂y
dx
dy
= − sin t ;
= cos t .
dt
dt
+ Từ công thức (2) ta có :

dw
= (6x + 2y )(− sin t ) + (2x − 2y ) cos t
dt

+ Đổi biến x = cos t và y = sin t , ta có thể viết biểu thức này chỉ theo biến t,

(

)

dw
= (6 cos t + 2 sin t )(− sin t ) + 2 cost − 2 sin t (cos t )
dt

= −6 sin t cos t − 2 sin2 t + 2 cos2 t − 2 sin t cos t
= 2 cos 2t − 4 sin 2t .
 Cách khác: Thay ngay từ đầu theo biến t rồi lấy đạo hàm, dẫn đến

w = 3 cos2 t + 2 sint cos t −sin2 t

21

g

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

(

2019 -2 020

)

dw
= 6 cos t (− sin t ) + 2 sin − sint + 2 cos2 t − 2 sin t cos t .
dt

và :

Tổng quát: Công thức (2) mở rộng đối với số biến trung gian bất kì.
+ Nếu w  f (x , y, z ) ở đó x , y và z là những hàm của t , thì

dw ∂w dx ∂w dy ∂w dz

=
+
+
.
dt
∂x dt ∂y dt ∂z dt
+ Tương tự đối với trường hợp w = f (x 1, x 2 ,..., x n ) trong đó x i = x i (t ),

i = 1,2,..., n .

x = x (t, u )
b) Trường hợp 2: Nếu w = f (x, y ) , trong đó 
. Khi đó w = f x (t, u ), y(t, u ) là hàm phụ thuộc



y = y(t, u )


vào hai biến mới t, u và các đạo hàm riêng theo các biến mới được xác định bởi:

∂w ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y
=
+
∂t
∂x ∂t ∂y ∂t
 Ví dụ 2: Xét : w = f (x , y ) = e x sin y với x = t 2u;

và

∂w ∂w ∂x ∂w ∂y
=
+
.
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u

y = tu 2 .

Tổng quát:

x = x (t, u )

 Nếu w = f (x, y, z ) , trong đó 
y = y(t, u ) . Khi đó w là hàm phu thuộc hai biến mới t và u và các đạo

z = z (t, u )
hàm riêng của chúng được xác định bởi

∂ w ∂ w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
=
+
+
∂t
∂ x ∂t ∂ y ∂t ∂z ∂t

và

∂ w ∂w ∂x ∂ w ∂y ∂w ∂z
.

=
+
+
∂u
∂ x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
 Tương tự ta cũng đạt được công thức dây chuyền đối với hàm số : w = f (x 1, x 2 ,..., x n ) , trong đó

x i = x i (t1, t2,..., tk ),

i = 1, 2,..., n .

2. Đạo hàm dưới dấu tích phân.
Cho hàm số

f (x, y ) : xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền chữ nhật đóng
d

a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d , khi đó hàm F (x ) =

∫ f (x, y)dy

là hàm khả vi trên [a;b ] và ta có:

c
d

d
d 

 ∫ f (x , y )dy  =
F (x ) =
dx
dx  c


22

d

∂

∫ ∂x (f (x, y ))dy.
c

nhtho.wordpress.com


Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

 Ví dụ 5: Xét hàm số f (x , y ) = x 3e 5y + y sin 2x ,

0 ≤ x ≤ π / 2,

2019 -2 020

0 ≤ y ≤ 1.

+ Hàm số này thỏa mãn các điều kiện nêu trên trong miền đang xét,
1

+ Xét F (x ) =

∫ f (x, y)dy

, khi đó ta có:

0
1

d
( f (x , y )dy ) =
dx ∫0

1

∫
0

1
3

∂
( f (x , y ))dy = ∫ (3x 2e 5y + 2y cos 2x )dy =  x 2e 5y + y 2 cos 2x 

∂x
5
0

3
3
= x 2e 5 + cos 2x − x 2 .
5
5

1
0

3. Hàm ẩn
a. Ví dụ mở đầu :
Ví dụ 6: Xét phương trình:

x 2y 5 − 2xy + 1 = 0 ,

sau đó đạo hàm hai vế theo biến x (coi y là hàm của x ) ta nhận được: x 2 .5y 4

(3)

dy
dy
+ 2xy 5 − 2x
− 2y = 0 ,
dx
dx

dy
2y − 2xy 5
= 2 4
, với đk mẫu số khác không.

dx
5x y − 2x
Để ý rằng: trong (3) ta khơng dễ dàng tìm được cơng thức hiện y = f (x ) , tuy nhiên ta vẫn có thể tìm được đạo
hàm của y theo x .
do vậy:

Ví dụ 7: Xét phương trình :

F (x , y ) = x 2 + y 2 = 1

(4)

là p/t của đường trịn đơn vị và đó là đường mức của hàm số F (x , y ) = x 2 + y 2 . Đồ thị của (4) không phải là
đồ thị của một hàm số. Cụ thể, nếu y 0 > 0 thì (x 0 , y 0 ) thuộc đồ thị của hàm số

y = f1(x ) = 1 − x 2

(5)

y = f2 (x ) = − 1 − x 2 .

(6)

và nếu y 0 < 0 thì (x 0, y 0 ) thuộc đồ thị hàm số

Khi đó ta nói (5) và (6) là những hàm ẩn được xác định từ phương trình (4).

23

nhtho.wordpress.com

Bài giảng mơn Giải tích 2

TS. Nguyễn Hữu Thọ

2019 -2 020

b) Định nghĩa hàm ẩn.
 Định nghĩa: Hàm y = f (x ) sao cho F x , f (x ) = c (với mọi x ∈ D f ) được gọi là hàm ẩn xác định bởi


phương trình F (x, y ) = c .
Chú ý:
+ Xét phương trình: x 2 + y 2 = −1
hay
(7)
x 2 + y2 = 0
Từ (7) ta thấy: Đồ thị của hàm thứ nhất là tập rỗng, của hàm thứ hai chỉ là một điểm nên không tồn tại hàm ẩn .
+ Từ phương trình F (x, y, z ) = c , ta cũng có thể nhận được hàm ẩn (2 biến) z = f (x, y ) nếu

F (x, y, f (x, y )) = c với mọi (x , y ) ∈ D f .
Câu hỏi đặt ra:
1. Liệu có phải ln tìm được hàm ẩn từ phương trình F (x , y ) = c ?
2. Khơng tìm được cơng thức cụ thể của hàm ẩn thì ta có tìm được cơng thức tính đạo hàm của hàm ẩn
hay khơng?
b) Định lý hàm ẩn
Định lý: Xét phương trình F (x , y ) = c trong đó hàm z = F (x , y ) có đạo hàm riêng liên tục trên lân cận
của điểm (x 0 , y 0 ) và giả sử rằng F (x 0 , y 0 ) = c và Fy (x 0, y 0 ) ≠ 0 . Khi đó tồn tại khoảng I chứa x 0 và tồn tại
đúng một hàm khả vi y = f (x ) xác định trên I thỏa mãn: y 0 = f (x 0 ) và F x , f (x ) = c .



F
dy
Hơn nữa, đạo hàm của hàm số (ẩn) này xác định từ cơng thức:
=− x .
dx
Fy
Chú ý: Định lí này chỉ phát biểu mang tính lí thuyết, khẳng định sự tồn tại hàm ẩn y = f (x ) , nó khơng cho ta
một cơng thức xác định hàm ẩn.
(8)
 Ví dụ 8: Xét phương trình : F (x , y ) = x 2y 5 − 2xy + 1 = 0 .

+ Dễ thấy rằng điểm (1,1) nằm trên đồ thị, do vậy đồ thị của nó là khơng rỗng.
+ Ta có Fx = 2xy 5 − 2y và Fy = 5x 2y 4 − 2x
+ Tại mọi điểm của đồ thị mà ở đó Fy = 5x 2y 4 − 2x ≠ 0 ( chẳng hạn điểm

(1,1) ), định lí bảo đảm rằng

phương trình (8) xác định một hàm ẩn y = f (x ) . Khi đó

(

)

Fx = 2xy − 2y ,
Giả sử

5

Fx
dy
2y − 2xy 5
Fy = 5x y − 2x , và ta có:
=− = 2 4
.
dx
Fy
5x y − 2x

phương trình F (x , y, z ) = c

(

2 4

)

xác định một hàm ẩn z = f (x, y ) nào đó

tức là:

∂F
w = F x , y, f (x , y ) = c . Nếu
≠ 0 tại điểm (x 0 , y 0 , z 0 ) trên mặt F (x , y, z ) = c , thì trong lân cận của


∂z
điểm này xác định duy nhất một hàm ẩn z = f (x, y ) sao cho z 0 = f (x 0, y 0 ) , và hơn nữa các đạo hàm riêng
của hàm số này được xác định bởi:

F
F
∂z
∂z
=− y .
= − x và
∂x
Fz
∂y
Fz

24

nhtho.wordpress.com