Slide bài giảng điện tử Lý thuyết xác suất thống kê toán

CHƯƠNG 1

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN


Chương 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1. Biến cố ngẫu nhiên
2. Xác suất của biến cố
3. Các định lý xác suất


Chương 1
§1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.1 Chỉnh hợp
Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an . Mỗi nhóm có thứ tự
gồm k phần tử khác nhau (0≤ k ≤ n) được lấy từ n phần tử đã
cho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
• Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu Akn
Ank  n(n  1)(n  2)...(n  k  1) 

• Chú ý:

Ann  Pn  n!

n!
(n  k )!


Chương 1

§1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.2 Hốn vị
Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử: a1, a2,…an . Mỗi
cách sắp xếp n phần tử này theo thứ tự nhất định được gọi là
một hoán vị của n phần tử.
• Số hốn vị của n phần tử kí hiệu Pn
Pn =1.2…n = n!
• Chú ý: P0 = 0! = 1


Chương 1
§1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.3 Tổ hợp
Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an . Mỗi nhóm khơng kể
đến thứ tự gồm k phần tử khác nhau (0≤ k ≤ n) được lấy từ n
phần tử đã cho được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
• Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu Ckn :
n!
C 
(n  k )!k!
k
n

• Chú ý: C n0  C nn  1

C nk  Cnn  k


Chương 1
§1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.4 Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an . Mỗi nhóm có thứ tự
gồm k phần tử (0≤ k ≤ n) được lấy từ n phần tử đã cho, trong
mỗi nhóm các phần tử có mặt khơng q k lần được gọi là
một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.
~
k
A
• Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử kí hiệu: n
~

Ank  n.n...n  n k

• Chú ý: k có thể lớn hơn n


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.1 Phép thử và biến cố
• Phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát nào đó mà ta
quan tâm.
• Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta khơng dự đốn được
kết quả nào sẽ xảy ra.
• Trong phép thử ngẫu nhiên có kết quả đơn giản và kết quả
phức hợp.


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.1 Phép thử và biến cố

• Các kết cục của phép thử được gọi là biến cố.
Phân loại biến cố
• Biến cố chắc chắn(U): là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử
được thực hiện


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.1 Phép thử và biến cố
• Biến cố khơng thể có (V): là biến cố khơng thể xảy ra khi phép
thử được thực hiện
• Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra
khi phép thử được thực hiện.
Biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu bởi các chữ cái hoa A,B,C…


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.2 Mối quan hệ giữa các biến cố
2.2.1 Biến cố đồng khả năng:
Các biến cố A1, A2, … An là biến cố đồng khả năng nếu có
cơ sở nói rằng khả năng xảy ra hoặc khơng xảy ra của các biến
cố đó là như nhau.
• Ví dụ: Gọi S là biến cố: “ Mặt sấp xuất hiện”
Gọi N là biến cố: “ Mặt ngửa xuất hiện” khi gieo đồng
xu đồng chất hai mặt.


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.2.2 Tổng của các biến cố :
Tổng của n biến cố A1, A2, … An là biến cố A xảy ra khi
và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố đó xảy ra.
n

A  A1  A2  ...  An   Ai
i 1


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.2.3 Tích của các biến cố :
Tích của n biến cố A1, A2, … An là biến cố A xảy ra khi và
chỉ khi tất cả n biến cố đó xảy ra.
n

A  A1. A2 ... An   Ai .
i 1


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.2.4 Biến cố xung khắc:
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu
chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử.
Các biến cố A1, A2, … An được gọi là xung khắc từng đôi
nếu hai biến cố bất kỳ trong chúng xung khắc với nhau.


Chng 1

Đ2. BIN C NGU NHIấN

ã Chỳ ý: - Cỏc biến cố A1, A2, … An xung khắc từng đôi ta có:
Ai.Aj = V với i ≠ j
- Hai biến cố A và B được gọi là không xung khắc
nhau nếu chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử.


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.2.5 Biến cố đối lập:
Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu
chúng là hai biến cố xung khắc và khi thực hiện phép thử nhất
thiết một trong hai biến cố đó phải xảy ra.
• Biến cố đối lập của biến cố A kí hiệu: A

 A  A  U

 A. A  V


Chương 1
§2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
2.2.6 Hệ đầy đủ các biến cố:
Hệ n biến cố A1,A2,…,An được gọi là hệ đầy đủ các biến
cố nếu chúng là hệ các biến cố xung khắc từng đôi và khi thực
hiện phép thử nhất thiết một trong các biến cố đó phải xảy ra.
• Chú ý:

n

 Ai  U
 i 1
 A .A  V
 i j

i  j; i, j  1.. n


Chương 1
§3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
3.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất.
3.1.1 Định nghĩa:
Trong một phép thử có n kết cục đồng khả năng với m
kết cục thuận lợi cho biến cố A. Xác suất của biến cố A, kí
kiệu P(A) là tỷ số:

m
P ( A)  
n

Số kết cục thuận lợi cho A
Số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra


Chng 1
Đ3. XC SUT CA BIN C
3.1.2 Tớnh cht:
ã

0 P(A) ≤ 1

•

P(U) = 1

•

P(V) = 0


Chương 1
§3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
3.2 Định nghĩa thống kê về xác suất.
3.2.1 Định nghĩa 1.
Giả sử ta thực hiện phép thử nào đó n lần. Gọi nA là số
lần biến cố A xuất hiện. Khi đó:

nA
f n ( A) 
n
được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử


Chng 1
Đ3. XC SUT CA BIN C
ã Vớ d: tung 100 lần đồng xu thấy có 52 lần mặt sấp xuất hiện.
Ta có fn(A)=52/100
Số lần tung (n) Số lần xuất hiện Tần suất fn(A)
mặt sấp (nA)
Buffon

4040

2048

0.5069

Pearson

12000

6019

0.5016

Pearson

24000

12012

0.5005


Chương 1
§3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Nhận xét: Khi số phép thử n nhỏ thì fn(A) thay đổi rõ rệt cịn
khi n khá lớn thì tần suất fn(A) càng dao động ít đi và khi n đủ
lớn thì fn(A) sẽ dao động xung quanh 1 vị trí cân bằng p

khơng đổi nào đó.


Chương 1
§3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
3.2 Định nghĩa 2.
Xác suất của biến cố A trong một phép thử là giá trị
cân bằng p không đổi khi số phép thử tăng lên vô hạn.
Chú ý: Khi n đủ lớn ta lấy: p = P(A) ≈ fn(A)


Chương 1
§3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
3.2.2 Nguyên lý xác xuất nhỏ, xác suất lớn
• Nguyên lý xác suất nhỏ: nếu một biến cố có xác suất nhỏ
(gần 0) biến cố đó hầu khơng xảy ra trong một lần thực hiện
phép thử.
• Nguyên lý xác suất lớn: nếu một biến cố có xác suất lớn
(gần 1) biến cố đó hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thực
hiện phép thử.


Chương 1
§4. CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
4.1 Định lý nhân xác suất .
4.1.1 Xác suất có điều kiện
Xác suất của biến cố A được tính sau khi biến cố B đã
xảy ra, gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện
biến cố B đã xảy ra, ký hiệu P(A/B)
Cơng thức tính

P ( AB )
P( A / B) 
P( B)

với P(B) > 0


Chương 1
§4. CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
4.1.1 Xác suất có điều kiện
Ví dụ: Một kiện hàng có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy
lần lượt khơng hồn lại 2 sản phẩm. Tìm xác suất để lần thứ 2
lấy được chính phẩm (biến cố A) biết lần đầu lấy được chính
phẩm (biến cố B).
Khi biến cố B đã xảy ra kiện hàng cịn 7 chính phẩm và 2
phế phẩm. Do đó n=9, m=7 ta có P(A/B) = 7/9.