Chuyen deTich vo huong cua hai vecto

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (107.05 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giá trị lợng giác của một góc bÊt kú

Bµi 1 :

Chứng minh rằng với mọi góc  bất kỳ từ 00đến

180 ta lu«n cã sin2x cos2x 1

 

Bµi 2 :

Cho biÓu thøc

4cos 5sin
cos sin

P  

 






a.Với giá trị nào của góc  thì biểu thức khơng xác định
b. Tìm giá trị của P biết tan 2

Bµi 3 :

Tính giá trị các biÓu thøc sau

0 0 0 0 0

. cos 0 cos 20 cos 40 ...cos160 cos180
. tan 5 tan10 tan15 ...tan 80 .tan 85

a A
b B

     



0 0 0 0 0 0

. cos1 .cos 2 .cos3 ...cos178 .cos179 .cos180
c C

Bài 4 : Tìm

. sin

a xkhi biÕt

1
cos

3
x
. cos

b xkhi biÕt sinx0,3

. cos

c xvµ sinx khi

2
sin cos

3
x x
Bµi 5 :

a. Chøng minh r»ng víi mäi gãc  kh¸c 900, ta cã

1 tan

cos




 

b. Chøng minh r»ng víi mäi gãc  00vµ

180

  , ta cã

1
1 cot

sin




 

Bµi 6 :

Cho

3 2
sin

  

(

00  900

).

TÝnhtan
Bµi 7 :

Cho

2 1
sin cos

x x 

TÝnh :

4 4

6 6

. sin .cos
. sin cos
. sin cos

a x x

b x x

c x x



Bµi 8 :

BiÕt tan cot m
T×m :

2 2

4 4

6 6

. tan cot
. tan cot
. tan cot

a

b
c

 




Bµi 9 :

Cho tam gi¸c ABC. H·y chØ ra c¸c số bằng nhau trong các số sau đây

cos ; cot ; tan ;cos ;sin ;cot ; tan ;cos ; sin ;sin ; cos

2 2 2 2 2 2

A A A A B C B C

A A A A A  

   tan ;

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

cot ;
2
B C

;sin(B C );cos(B C ) ; tan(B C );cot(B C )
Bµi 10 :

Chøng minh c¸c biểu thức sau không phụ thuộc vào , x

2 0 8 8 0 6 6 4 0

2 2

. cot 30 (sin cos ) 8cos 60 (sin cos ) 6cos (90 )
cot cos sin cos

cot cot

a P

x x x x

b Q

x x

    

     

  

 

 

Bµi 11 :

Rót gän c¸c biĨu thøc sau

6 6 4 4

. 2(sin cos ) 3(sin cos )

a A      

2 2

. tan sin

cos

c C x x

x

  

2 2

. (tan cot ) (tan cot )

b B x x  x x

1 1 1

. . 2

sin 1 cos 1 cos
d D

x x x

  

 

2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0

. sin 54 3sin 126 sin 36 cos 126 3cos 126 cos 36

e E     

Bµi 12 :

Chứng minh các hằng đẳng thức

2 2 2 2

. tan sin tan sin
1 sin cos

cos 1 sin

a x x x x

x x

b

x x

 





 4 2 4 4 2 4

1 cot 1 tan
.

1 cot 1 tan

. sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin 4

x x

c

x x

d x x x x x x

 



 



Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng

Dạng1 : Bài toán tính tích vô hớng cđa hai vect¬

Bài 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi G là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác. Tính các tích
vơ hớng sau : AB AC. ; AB BC. ; AG AC. ; AG CD. ; AG BC.

         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a. Tìm cosin của các góc (AB AC, );(AB BC, );(AB CB, )

     

 

b. Gọi H là hình chiếu của A trªn BC. TÝnh HB HC.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC cã AB=7, AC=5, A=1200
a. Tính các tích vô hớng AB AC AB BC. ; .

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

b. Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác (M là trung điểm của BC)
Bài 4 : Tam giác ABC có AB c BC a AC b ;  ; 

TÝnh c¸c tÝch v« híng AB AC AB BC. ; .
   

Bài 5 : Cho hình thang vng ABCD, đờng cao AB = 2, đáy lớn BC = 3, đáy nhỏ AD = 2
Tính các tích vơ hớng AB CD BD BC. ; . ; AC BD. ; AI BD.

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
 

(I là trung điểm cđa CD)

Bài 6 : Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vng và
N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính MA MB MC MD.  .

   

;

NA AB.

 

;

NO BA.

 

Dạng 2 : Chứng minh các đẳng thức về tích vơ hớng hoặc độ dài của vectơ

Bài 7 : Cho hai điểm A và B. O là trung điểm của AB, M là một điểm tuỳ ý.

Chøng minh r»ng MA MB OM.  2 OA2
 

Bài 8 : Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Có AC và BD kà hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại
E. Chứng minh rằng :

. .

AE AC BE BD AB 
 

Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :
a. MA MC MB MD  

   

b. MA MC MB MD.  .
   

.

MA2MC2MB2MD2

Bµi 10 : Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm thoả mÃn JAJBJC0

   

(Khi đó J đợc gọi là tâm
tỉ cự của A, B, C theo bộ số (  , , )) với 0. Chứng minh với mọi điểm M ta có :

2 2 2 2 2 2 ( ) 2

MA MB MC JA JB JC MJ

        

Từ đó suy ra, nếu tam giác ABC có trọng tâm G thì với mọi điểm M ta có :
MA2 MB2MC2 GA2GB2GC23MG2

Phát biểu bài toán tổng quát cho nếu J là tâm tỉ cự của hệ n điểm

A A A1, 2, ,...,3 An



theo bé sè



  1, 2, ,...,3 n



 Ap dụng : Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, I là điểm xác định bởi :
IA3IB 2IC0

   
a. Chứng minh BCDI là hình bình hành

b. M là một ®iĨm t ý, chøng minh : MA23MB2 2MC22MI2IA23IB2 2IC2

Bµi 11 : Cho tứ giác ABCD. Gọi I và I lần lợt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh r»ng :
AB2BC2CD2DA2 AC2BD24IJ2

Bµi 12 : Cho tam giác ABC với AD, BE, CF là c¸c trung tuyÕn. Chøng minh r»ng :

2 2 2 2 2 2

. . . . 0

. ( )

4
a BC AD CA BE AB CF

b AD BE CF BC CA AB

  

    

      

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 14 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngồi các tam giác vng cân đỉnh A là ABD và
ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM DE

Bµi 15 : Cho 4 ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng ABCD AC2BD2 AD2BC2

Bài 16 : Tứ giác ABD có hai đờng chéo AC và BD vng góc với nhau tại M, P là trung điểm của

đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng : MPBC MA MC MD MB.  .

   

Bµi 17 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 4
AC
AM

, N là trung
điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân

Bài 18 : Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ EF AC F BC( ), M và N lần lợt là
trung điểm AE và DC. Chứng minh rằng : MN DF

Bài 19 : Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của cạnh
AB và G là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh : OGCD

Dạng 4 : Tìm quỹ tích điểm thoả mãn điều kiện về tích vơ hớng hay độ dài

của vectơ

Bài 20 : Cho hai điểm cố định A, B có khoảng cách bằng a
a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA MB k.

b. Tìm tập hợp các điểm N sao cho AN AB. 2a2

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Bài 21 : Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng thẳng , H là hình chiếu của A trên . Với mỗi điểm
M trên , lấy điểm N trên tia AM sao cho AN AM. AH2

 

. Tìm tập hợp các điểm N
Bài 22 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho :

. . .

4
a
MA MB MB MC MC MA  
     

Bµi 23 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các ®iÓm M sao cho

2 2

. ( )( ) 0

. 2 . ( )

a MA MB MA MC

b MB MB MC a a BC

  

  

   
 

Bµi 24 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

2 2 2 2

. . .

. 0

a AM AB AC AB

b MA MB CA CB



   

   

Bµi 25 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

2 2 2

. . ( )

AM AB AC AB a   MB MC a BC
   

Bài 26 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M di động trong
góc BAC sao cho : AB AH AC AK.  . AI2 trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vng góc của
M lên AB v AC

Bài 27 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 MB2 k
Bài 28 :

a. Tìm tập hợp những điểm M thoả mÃn :

2 2

MA MB k

   với A, B cố định,  0và k
khơng đổi.

b. Cho tam gi¸c ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho

2 2 2

MA MB MC k

    với k
là số cố định cho trớc khi :

1)  0
2)  0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bµi 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai trung tuyến BE và CF

Bài 30 : Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp sao cho P thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AM.
Tính góc giữa hai vectơ AP



vµ DN



Bài 31 : Cho tứ giác ABCD. M, N lần lợt là trung điểm của AC và BD. Tính MN theo các cạnh và
hai đờng chéo của tứ giỏc

Bài 32 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :

3
1 cos cos cos

A B C

   

Bµi 33 : Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC a 3, M là trung điểm của cạnh BC. Biết r»ng :

2
a
AM BC
 

. Tính độ dài cạnh AB và AC.

Bài 34 : Cho tứ giác ABCD, biết : AB AD BA BC CB CD DC DA.  .  .  . 0

      

Chứng minh rằng : ABCD là hình bình hành

Bài 35 : Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có : MA2MB2 MC2MD2.
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Dng 6 : S dng tớch vơ hớng để giải các bài tốn cực trị

Bài 36 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm và M là điểm tuỳ ý.

a. Chøng minh r»ng MA BC MB CA MC AB.  .  . 0
      

b. Chứng minh rằng : MA2MB2MC2 GA2GB2GC2 3MG2, từ đó suy ra vị trí của
điểm M sao cho MA2MB2MC2đạt giá trị nhỏ nhất

Bµi 37 : Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là một ®iÓm tuú ý
a. Chøng minh r»ng

2 2 2 2 2( 2 2)

MA  MB MC MD  OB  OA
b. Xác định vị trí điểm M để MA2 MB2MC2đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 38 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác, M là một điểm tuỳ ý

a. Chøng minh r»ng vect¬ v MA MB   2MC
   

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
b. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh rằng :

MA2 MB2 2MC2 2MO v.
 

c. T×m tập hợp những điểm M thoả mÃn MA2MB2 2MC2 0

d. Giả sử M di động trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm vị trí điểm M sao cho

2 2 2

MA MB  MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.