tªn ®ò tµi h¬íng dén häc sinh mét vµi ph¬¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lëp ph¬¬ng tr×nh s¸ng kiõn kinh nghiöm – gi¶i to¸n b»ng c¸ch lëp ph¬ng tr×nh tªn ®ò tµi híng dén häc sinh mét vµi ph¬ng ph

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (109.76 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tên đề tài: Hớng dẫn học sinh một vài phơng pháp giải

bài toán bằng cách lập phng trỡnh

Phn mt:

t vn

I.Lời mở đầu

Gii bi toỏn bằng cách lập phơng trình thực tế là khơng khó đối với một
số đối tợng học sinh khá giỏi, nhng cũng không phải dễ với đối tợng học sinh này
và nhất là không dễ với đại đa số học sinh. Trong nhiều năm nghiên cứu và giảng
dạy khối 9 THCS thấy rằng, khi gặp loại toán này chỉ một bộ phận học sinh khá
giỏi làm đợc, nhng vẫn đang cịn lúng túng, lập luận thiếu sót, cha chặt chẽ, cách
suy diễn vấn đề còn sơ sài khơng mang tính sâu sắc, bao trùm, đại đa số học sinh
hiểu đợc lý thuyết các bớc tiến hành giải một bài tốn bằng cách lập phơng trình
ở lớp 8. Song thực tế đi vào giải thì đang cịn gặp rất nhiều khó khăn. Cơ bản
phải nắm tổng quát của vấn đề, bài toán cho biết những gì và cần tìm những gì.
Cách chọn ẩn số sao cho chính xác, đặt điều kiện cho ẩn và tìm đợc mối quan hệ
giữa các dữ kiện bài cho, lập đợc phơng trình đó mới là điều quan trọng nhất,
việc giải và biện luận, trả lời phần nào đơn giản hơn. Tuy vậy trong quá trình giải
bài tốn bằng cách lập phơng trình, qua các bớc học sinh còn bộc lộ rất nhiều hạn
chế về phơng pháp giải, cách chọn ẩn số, cách lập luận thiếu lơgíc, cha chặt chẽ.
Trong cách giải, biện luận vẫn còn nhiều sơ suất dẫn đến mất nghiệm của phơng
trình. Để khắc phục những thiếu sót trên và giúp học sinh có cách nhìn tổng qt
hơn, tơi chỉ nêu một vài kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp giải một số
bài toán thờng gặp mà học sinh còn hay lúng túng. Hy vọng rằng những cách
h-ớng dẫn ,giải thích của tơi sẽ phần nào giúp học sinh nâng cao hơn về phơng pháp
giải bài tốn này. Trong q trình nghiên cứu và hớng dẫn chắc chắn khơng tránh
khỏi phần thiếu sót, kính mong đợc bạn bè và đồng nghiệp trao đổi, góp ý giúp
nhau trong công tác và giảng dạy học sinh.

II.Thùc trạng của học sinh về tình hình học tập và giải toán bằng cách lập

ph

ơng trình

1. Thực trạng tình hình học tập của học sinh

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

* Với bộ mơn tốn với nhiều nội dung kiến thức trong chơng trình rất đa dạng,
trừu tợng, học sinh cha thực sự nắm vững, cha làm chủ đợc kiến thức, chỉ nói
riêng trong một mơn tốn mà tơi đang nghiên cứu một phần của dạng tốn lập
phơng trình mà học sinh cịn lúng túng trong khi giải.

Tuy học sinh có nắm đợc các bớc giải nhng đi vào phần cụ thể nh chọn ẩn,
đặt điều kiện còn cha chuẩn. Cách sử dụng các giả thiết, các mối liên hệ với nhau
để lập phơng trình còn đơn giản cha thể hiện sự rằng buộc của các dữ kiện.

Khi nhận xét và chọn kết quả học sinh vẫn quên với điều kiện của ẩn dẫn
đến lấy nghiệm khơng chính xác...

* Phần đa học sinh khơng có sự liên tởng với thực tế trong làm tốn khơng hiểu
đợc sự lơgíc trong giải tốn, thờng suy nghĩ rời rạc, không đặt trong các mối
quan hệ về công việc, về sự vật, hiện tợng trong khơng gian và thời gian nên
th-ờng khó lập luận để dẫn đến lập phơng trình . Vấn đề ở chỗ là phải hớng dẫn,
khắc phục cho học sinh những tồn tại thiếu sót trên, dần dần xây dựng cho các
em trở thành kỹ năng cơ bản trong q trình giải loại tốn này.

2.Kết quả đánh giá chất lợng học sinh đối với nội dung giải toán bằng cách 
lập phơng trình

Trớc khi nghiên cứu tơi đã khảo sát, nắm bắt tình hình, qua kiểm tra đối
t-ợng học sinh cho thấy chất lt-ợng còn nhiều hạn chế.

Qua khảo sát một lớp 9 với 40 học sinh kết quả nh sau:

TT Xếp loại Số lợng học sinh Tỉ lƯ % Ghi chó

1 Giái 0 0

2 Kh¸ 4 10

3 Trung b×nh 14 35

4 Ỹu 22 55

Từ thực trạng trên tôi đã mạnh dạn nghiên cứu cải tiến phơng pháp, hớng
dẫn cho học sinh một số cách giải, cách đặt vấn đề để lập đợc một phơng trình,
tiến tới giải bài tốn một cách bình thờng.

Phần hai:

Giải quyt vn

1.Cơ sở lý thuyết các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình

ớc 1 : Lập phơng trình
a. Chọn ẩn số

b. Biu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
c. Lập phơng trình biểu thị mối tơng quan giữa các đại lợng
B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

íc 3 : KiĨm tra trong c¸c nghiƯm cđa phơng trình (nếu có), nghiệm nào thoÃ
mÃn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Bây giờ chúng ta đi giải quyết một số bài toán bằng cách lập phơng trình thông
thờng.

Bi toỏn1: Mt ngi i xe đạp dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B dài 60 km trong
một thời gian nhất định. Sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB, anh nhận thấy vận
tốc thực tế chỉ bằng 2

3 vận tốc dự định nên trên đoạn đờng còn lại anh đã tăng
vận tốc thêm 3 km/h. Tuy vậy anh vẫn đến B chậm mất 40 phút. Hỏi vận tốc dự
định của ngời đi xe đạp ?

u ý : Thơng thờng loại tốn này, u cầu của bài tốn là gì thì ta chọn yêu cầu đó
làm ẩn số và tiến hành đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

Đây là tốn chuyển động nên ta dựa vào mối liên hệ giữa quãng đờng, vận
tốc, thời gian (s = v.t, v = s

t , t =
s

v ) để tìm mối liên hệ giữa các đại lợng.

Trên cơ sở đó, dựa vào các dữ kiện của bài tốn để lập phơng trình. Khi giải chú

ý vận dụng các bớc giải phơng trình, tìm đợc nghiệm cần so sánh với điều kiện
của ẩn, có thể loại nghiệm hoặc lấy nghiệm và trả lời.

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi vận tốc dự định của ngời đi xe đạp là x. Điều kiện : x > 0 và
đơn vị tính x là km/h

Khi biết vận tốc và quãng đờng ta có thể xác định đợc thời gian
Do đó thời gian ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB là: 60

x (giê)

Vận tốc đi thực tế nửa quãng đờng AB là: 2

3 x (km/h)
Và thời gian đi thực tế nửa quãng đờng AB là: 2

3 x=
45

x ( giê)

Vận tốc đi nửa quãng đờng AB còn lại là: x+3 (km/h)
Thời gian đi nửa quãng đờng AB còn lại là: 30

x+3 (giê)

Do chËm 40 phót b»ng 2

3 giờ cộng với thời gian dự định đi mới bằng thời gian
đi thực tế. Do vậy ta có phơng trình sau 45

x +

x+3=

x +

2
3

B

ớc 2: Giải phơng trình
45

x +

x+3=

x +

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

45. 3(x+3)+30 .3x=60 . 3(x+3)+2.x(x+3)

135x+405+90x=180x+540+2x2+6x

2x239x

+135=0

Phơng trình trên có 2 nghiệm x1=15 và x2=4,5.

B

c 3: Đối chiếu với điều kiện bài toán ta thấy x=4,5 km/h là khơng thích
hợp do thời gian nửa quãng đờng AB đi trớc lại ít hơn thời gian nửa quãng đờng
đi sau mặc dù tăng vận tốc. Vậy vận tốc dự định của ngời đi xe đạp là 15km/h.

2. Chọn ẩn số, đặt điều kiện cho ẩn số là yếu tố rất quan trọng

Để lập đợc phơng trình ta phải khéo trọn ẩn số và tìm sự liên quan giữa các
đại lợng, thông thờng ta chọn ẩn gắn liền với yêu cầu của bài (nh bài toán 1).
Trong q trình giải tốn ta vẫn gặp những bài mà chọn ẩn theo yêu cầu của bài
cũng có khi giải rất khó và dài. Thậm chí có bài khó tìm lời giải, bởi vậy có thể
ta chọn ẩn số là một yếu tố (đại lợng) khác có liên quan mật thiết với yêu cầu của
bài, bài tốn sau đây là một thí dụ.

Bài tốn2: Một chiếc tàu thuỷ đi từ bến sông A đến bến sông B hết 5 giờ. Từ bến
sông B về bến sông A tàu đi hết 7 giờ. Hỏi nếu một chiếc bè đợc thả trơi theo
dịng sơng thì sẽ đi từ bến A đến bến B hết bao lâu ?. Biết rằng ở lợt đi cũng nh ở
lợt về tàu thuỷ không dừng lại ở chỗ nào và vẫn giữ nguyên vận tốc riêng của nó
(vận tốc riêng là vận tốc khi nớc yên lặng).

Phân tích: Nếu thông thờng ta chọn ẩn theo yêu cầu bài tốn gọi x là thời gian
chiếc bè trơi theo dịng sơng từ A đến B khi đó bài tốn sẽ có mối liên hệ giữa các
đại lợng quãng đờng, vận tốc và thời gian, nhng ta vẫn cha biết cụ thể quãng
đ-ờng s (từ A đến B) và vận tốc dòng nớc, nên muốn giải ta vẫn phải đặt ẩn phụ nữa
hoặc có thể dài rất dài.

Ta dựa vào mối quan hệ vận tốc tàu thuỷ, vận tốc dịng nớc với thời gian, qng
đờng có thể sẽ đơn giản hơn.

Cụ thể ta không chọn ẩn là thời gian bè trôi từ A đến B. Mà ta chọn ẩn x là
khoảng cách (quãng đờng) từ A đến B. Điều kiện của ẩn x>0, tính bằng km

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi x là khoảng cách từ bến sông A đến bến sơng B. Điều kiện x>0,
đơn vị tính km. Từ đây ta vận dụng mối tơng quan các đại lợng để tìm vận tốc
ng-ợc xi của tàu thu nh sau:

Vận tốc xuôi dòng của tàu thuỷ là vx = x
5 .
Vận tốc ngợc dòng của tàu thủ lµ vn= x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ đó ta có : vxuụi =vtu+vnc
vngc=vtu- vnc

Suy ra vxuôi - vngợc = 2vnớc

Theo bài ra ta có phơng trình x
5 -

x

7 = 2vníc

B

íc 2: Gi¶i phơng trình x
5 -

x

7 = 2vníc
⇔2vn íc=7x −5x

⇔vn íc= x

35⇔x=35vníc

x: quãng đờng, vnớc: vận tốc, t=35 giờ.

B

ớc3: Nh vậy với quãng đờng x, vận tốc dịng nớc vnớc thì mảng bè trơi với
vận tốc dịng nớc đi từ A đến B thì phải mất thời gian là 35 giờ ở bài toán này ta
khơng giải cụ thể ẩn mình đặt ra (có những bài tìm rõ ra x) ẩn x chỉ là trung gian,
đến công thức x=35vnớc cũng nh khẳng định bài tốn với vận tốc dịng nớc là vậy,
qng đờng là vậy thì phải đi hết 35 giờ. Đây có thể coi là đáp số của bài tốn
sau khi ta lý giải các yếu tố trên.

3. H ớng dẫn cho học sinh các cách lập ph ơng trình trên cơ sở tìm mối liên hệ 
giữa các yếu tố, các đại l ợng trong bài toán.

Thực tế học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản trong chơng trình
học mơn tốn các cơng thức tốn học các phép tính để lập phơng trình, mối quan
hệ giữa các đại lợng với nhau. Chẳng hạn liên quan trong mơn vật lí (s,v,t), các
thành phần tỉ lệ các chất trong trong bộ mơn hố học, trong thực tế đời sống, lao
động sản xuất nh tốn cơng việc, vịi nớc chảy trong tự nhiên, tốn dịng nớc
vv...Trong từng dạng bài nó cũng có những đặc trng riờng.

Bài toán 3:Toán liên quan về thành phần hoá học.

Ngi ta đổ thêm 200g nớc vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của
dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trớc đó khi đổ thêm nớc thì dung dịch chứa bao
nhiêu nớc?

Phân tích: Muốn làm tốt bài tốn này thì học sinh phải nắm vững cơng thức tính
nồng độ phần trăm của dung dịch

C%=sè gam chÊt tan/khối lợng dung dịch

Nm c s liờn h gia nng độ dung dịch trớc và sau khi đổ thêm nốc để có cơ
sở lập phơng trình.

Gi¶i:

B

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta có nồng độ phần trăm của dung dịch khi đó là 40

x+40

Sau khi đổ thêm 200g nớc vào thì khối lợng của dung dịch: x+40+200=x+240
Do đó nồng độ phần trăm của dung dịch sau khi đổ nớc là: 40

x+240

Vì nồng độ của muối giảm 10% nên ta có phơng trình sau:
40

x+40 -

x+240 =

10
100

B

ớc 2: Giải phơng trình
40

x+40 -

x+240 =

10
100

400(x+240)400(x+40)=(x+40)(x+240)

400x+96000400x+16000=x2+40x+240x+9600

x2+280x 70400=0

Phơng trình trên có 2 nghiệm x1=160 và x2=-440 (lo¹i)

B

ớc 3: Đối chiếu với điều kiện bài toán ta thấy x=160 là hợp lệ vậy trớc
khi đổ thêm nớc trong dung dịch có 160g nớc.

Bài tốn 4: Tốn liên quan đến cơng việc

Hai đội thuỷ lợi cùng đào một con mơng. Nếu mỗi đội làm một mình cả con
m-ơngthì thời gian tổng cộng cả hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì
cơng việc hồn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con

mơng trong bao lâu?

Phân tích: ở loại tốn này ta xác định hồn thành tồn bộ cơng viẹc là 1 cơng việc
trên cơ sở ta xác định 1 giờ cả hai đội làm đợc bao nhiêu cơng việc. Vì vậy ta tìm
một giờ mỗi đội làm đợc bao nhiêu cơng việc. Vậy ta có thể chọn ẩn là thời gian
làm việc của một đội này (hoặc đội kia) trên cơ sở phân tích lơgíc. Ta có thể chọn
ẩn số và xác định mối tơng quan giữa các yếu tố để giải bài tốn này.

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi x là thời gian một đội (gọi là đội I) làm một mình thì xong con
mơng x>0 đơn vị tính là giờ.

Thì thời gian làm một mình của đội kia (đội II) sẽ là 25-x
Trong 1 giờ đội I làm c 1

x công việc (xong con mơng)

i II làm đợc 1

25− x c«ng viƯc

Ta biết 1 giờ cả hai đội làm đợc 1

6 c«ng việc.
Vậy theo bài ra ta có phơng trình 1

x +

25− x =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải phơng trình 1

x +

25 x =

6 Mẫu số chung 6x(25-x)

6(25 x)+6x=x(25 x)

1506x+6x=25x x2

x225x

+150=0

Phơng trình này cã 2 nghiƯm x1=15 vµ x2=10

B

ớc 2: Đối chiếu với điều kiện cả hai nghiệm đều thoã mãn.

Nếu đội I làm một mình thì hết 15 giờ, đội II làm một mình thì hết 10 giờ
Nếu đội I làm một mình thì hết 10 giờ, đội II làm một mình thì hết 15 giờ

Bài tốn 5: Tốn liên quan n vũi nc

Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nớc. Nếu
mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhát làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi
nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Phõn tớch: õy ta xác định trong 1 giờ

Trong 1 giê vßi thø nhÊt chảy bao nhiêu phần bể ?

Vũi th hai trong 1 giờ chảy bao nhiêu phần bể, và cả hai 2 vòi chảy trong 1 giờ
là bao nhiêu phần bể.? Ta giúp học sinh thấy đợc sự lơgíc, mối liên hệ giữa các
đại lợng đợc xác định rõ ràng, nên dẫn đến lập phơng trình khơng có gì là phức
tạp. Học sinh có khả năng khái quát, trù tợng, với thực tế cơng việc, của cuộc
sống thì việc làm càng đơn giản hơn.

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi thời gian vịi thứ nhất chảy đầy bể một mình là x, x>0, đơn vị
tính là giờ.

Thời gian vịi thứ hai chảy một mình dầy bể là x+2 (giờ)
Cả hai vòi chảy đầy bể hết 2 giờ 55 phút đổi bằng 35

12 giờ
Vậy trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc 1

x (bÓ )

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đợc 1

x+2 (bĨ)

Trong 1 giờ cả hai vịi chảy đợc 35
12 bể
Theo bài ra ta có phơng trình 1

x +

x+2 =

35
12

B

ớc 2: Giải phơng trình
1

x +

x+2 =

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

⇔35x+70+35x=12x(x+2)

⇔70x+70=12x224x

⇔12x2−46x −70=0

⇔6x −23x −35=0

Ph¬ng trình trên có 2 nghiệm x1=5 và x2=- 7

6 (loại)

B

ớc 3: Trả lời kết hợp điều kiện của bài toán phơng trình x=5 thoÃ mÃn
Vậy: vòi thứ nhất chảy một mình trong năm giờ thì bể đầy

vòi thứ hai chảy một mình trong 7 giờ thì bể đầy

4. Các biện pháp tổ chức thực hiện

- Sau khi thấy tình hình học tậpcủa học sinh về nội dung này tơi đã có kế hoặch
khảo sát tình hình chất lợng của học sinh.

- Khi nghiên cứu thực hiện tơi chia thành 4 tổ nhóm và phân loại đối tợng học
sinh, nắm bắt tình hình xem các em nắm bắt lý thuyết giải tóan này thế nào,
ph-ơng pháp giải Khả năng học sinh học sinh đến đâu.?

- Cho học sinh tự nghiên cứu phơng pháp giải một số dạng bài cho các em làm và
tìm ra những chỗ bế tắc và những thắc mắc của các em.

- Hớng dẫn cho cả lớp, từng tổ các dạng bài, các phơng pháp giải theo logic của
từng dạng bài.

- Kiểm tra tình hình học tập và làm bài tập của các em. Đánh giá sự tiến bộ của
các em.

Phần 3:

Kết luận

1. Kết quả nhiên cứu

* Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện nội dung, ph ơng pháp giải bài toán

bng cỏch lp phng trỡnh, tôi nhận thấy đạt đợc một số kết quả sau:

- Học sinh phần nào có ý thức trách nhiệm hơn về việc tự học và chịu khó nghiên
cứu bài.

- Đã biết cách phân tích tóm tắt bài tốn để tìm ra đờng lối giải.

- Đối với tốn lập phơng trình học sinh chủ động khơng cịn lúng túng nh khi cha
nghiên cứu hớng dẫn nội dung này.

- Học sinh đã biết vận dụng lý thuyết giải, biết chọn ẩn số và biết tìm mối liên hệ
giữa các dữ kiện trong bài tốn.

- Lập đợc phơng trình, giải phơng trình và trả lời bài tốn chính xác.

* Đánh giá kết quả qua kiểm tra đã có nhiều tiến bộ

Cơ thể :

TT Xếp loại Trớc khảo sát Sau khảo sát Tăng(Giảm) Ghi

chú
Số lợng Tỉ lệ Số lợng Tỉ lệ Số lỵng TØ lƯ

1 Giái 0 0 2 5% 2 5%

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3 Tr. b×nh 14 35% 16 40% 2 5%

4 Ỹu 22 55% 15 37,5% 7 17,5%

* Bµi häc kinh nghiÖm

- Nắm vững và phân loại đối tợng học sinh cụ thể giỏi, khá, trung bình, yếu, kém.
- Tìm những nguyên nhân khách quan và chủ quan của một dạng, sự quan tâm
của gia đình và ý thức học tập của các em.

- Nắm bắt tâm lý, sự hứng thú về mơn học của học sinh, từ đó tìm hiểu và tạo
điều kiện giúp các em yêu thích mơn học.

- Tìm những chơng trình, bài tốn ngắn gọn, dễ hiểu, dễ gần với đời sống sinh
hoạt ca con ngi.

- Đánh giá đợc sự tiến bộ của các em, khuyến khích các em thi đua nhau trong
học tập.

2. Kiến nghị đề xuất

Khi ngiên cứu thực hiện đề tài này tơi cha có khoảng thời gian dài tích luỹ
nên dù sao trong q trình thực hiện khơng tránh khỏi thiếu xót. Kính mong bạn
bè và đồng nhiệp góp ý để tơi rút kinh nghiệm.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>