Bài soạn Cac BT cuc tri dung BDT Cauchy

BÀI TẬP VỀ ĐẲNG THỨC CÔ-SI
Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và
ayx 2
=+
(a > 0).
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A =
yx
11
+
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =
xx
−+−
235
Bài 3: Cho
15
=+
yx
, tìm giá trò nhỏ nhất, giá trò lớn nhất của biểu thức:
B =
34
−+−
yx
Bài 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A =
x
xx
2
562
2
+−
trong đó x > 0.
Bài 5: Cho a, b, x là những số dương. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

( )( )
x
bxax
P
++
=
Bài 6: Cho
0
≥
x
, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q =
( )
12
172
2
+
++
x
xx
Bài 7: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức M =
3
346
+
++
x
xx
Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức N =
x
x 2000
3

+
Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và
6
≥+
yx
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
yx
yxP
1612
35
+++=
Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
yx
yxyx
Q
−
++
=
22
2,1
Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =
1
25
4
−
+
x
x
Bài 12: Cho
10

<<
x
, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B =
xx
4
1
3
+
−
Bài 13: Cho x, y, z
≥
0 thỏa mãn điều kiện
azyx
=++
a) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =
zxyzxy
++
b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B =
222
zyx
++
Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện
12
≥++
zyx
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức P =
x
z
z
y

y
x
++
Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện
azyx
=++
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q =






+








+






+

z
a
y
a
x
a
111
Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện
1=++ cba
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A =
( )( )( )
( )( )( )
cba
cba
−−−
+++
111
111
Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện
1
=+
yx
và x > 0. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức:
B =
32
yx
Giải
Bài 1:
xy

≤

2
2
2
axya
a
ayx
≤⇒==
+
1
A =
2
2
2
a
a
a
xy
yx
=≥
+
(dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = a)
Vậy min A =
2
a
(khi và chỉ khi x = y = a)
Bài 2: ĐKXĐ:

235
≤≤
x
max A
2
= 36
⇔
max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14)
Bài 3: ĐKXĐ:
4
≥
x
;
3
≥
y
B
≥

8

⇒
min B =
8
(khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3)
max B
2
= 16
⇒
max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)

Bài 4: A =
3103
2
5
23
2
5
−=−⋅≥−+
x
x
x
x
(dấu “=” xảy ra
⇔

x
x
2
5
=

⇔

10
2
1
=
x
)
Vậy min A =

310
−
(khi và chỉ khi
10
2
1
=
x
)
Bài 5: P =
( ) ( )
( )
2
2 baba
x
ab
xba
x
ab
x +=++⋅≥+++
(dấu “=” xảy ra
⇔

abx
=
)
Vậy min P =
( )
2
ba

+
(khi và chỉ khi
abx
=
)
Bài 6: Q =
( )
( )
4
1
8
2
1
2
1
8
2
1
12
161
2
=
+
⋅
+
≥
+
+
+
=

+
++
x
x
x
x
x
x
(dấu “=” xảy ra
⇔

1
8
2
1
+
=
+
x
x

⇔
x = 3)
Vậy min Q = 4 (khi và chỉ khi x = 3)
Bài 7: ĐKXĐ:
0
≥
x
M =
( )

10252
3
25
3
3
253
2
=≥
+
++=
+
++
x
x
x
x
(dấu “=” xảy ra
⇔
4
3
25
3 =⇔
+
=+ x
x
x
)
Vậy min M = 10 (khi và chỉ khi x = 4)
Bài 8: N =
3

100010002000
22
≥++=+
xx
x
x
x

3
2
10001000
xx
x
⋅⋅
= 3 . 100 = 300
(dấu “=” xảy ra
⇔

x
x
1000
2
=

⇔
x = 10)
Vậy min N = 300 (khi và chỉ khi x = 10)
Bài 9: P =
( )
y

y
x
x
y
y
x
xyx
16
2
12
3212
1612
32
⋅+⋅+≥








++






+++

= 12 + 12 + 8 = 32 (dấu “=” xảy ra
⇔

x
x
12
3
=
và
y
y
16
=
)
⇔

2
=
x
và
4
=
y
)
Vậy min P = 32 (khi và chỉ khi
2
=
x
;
4

=
y
)
Bài 10: Q =
( )
( )
8162
162,3
2
=≥
−
+−=
−
+−
yx
yx
yx
xyyx
(dấu “=” xảy ra
⇔

4
16
=−⇔
−
=−
yx
yx
yx
, kết hợp điều kiện

5
=
xy
ta được
x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5)
Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5)
Bài 11: A =
( ) ( )
24410.24
1
25
1424
1
25
14
=+=+
−
−≥+
−
+−
x
x
x
x
(dấu “=” xảy ra
⇔

( )
2
7

1
25
14
=⇔
−
=−
x
x
x
)
2
Vậy min A = 24 (khi và chỉ khi
2
7
=
x
)
Bài 12: B =
( ) ( )
( )
2
323477
14
1
3
27
14
1
3
+=+=+

−
⋅
−
≥+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
(dấu “=” xảy ra
⇔

( )
( )
2
13
14
1
3
−=⇔
−
=
−
x

x
x
x
x
)
Vậy min B =
( )
2
32
+
(khi và chỉ khi
( )
2
13
−=
x
)
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được:
( )
7
14
1
34
1
3
+
−
+
−
=+

−
x
x
x
x
xx
?
Ta đặt
( )
c
x
xb
x
ax
xx
+
−
+
−
=+
−
14
1
34
1
3
Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7
Bài 13: a)
2
22

yx
xy
+
≤
;
2
22
zy
yz
+
≤
;
2
22
xz
zx
+
≤
222
zyxzxyzxy
++≤++
;

( ) ( )
zxyzxyzyxzxyzxy
++−++≤++
2
2
3A
2

a
≤
; A
≤

3
2
a
(dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z =
3
a
)
Vậy max A =
3
2
a
(khi và chỉ khi x = y = z =
3
a
)
b) B =
( ) ( )
zxyzxyzyxzyx
++−++=++
2
2
222
B =

( )
zxyzxya
++−
2
2
B min
⇔
( )
zxyzxy
++
max
⇔

3
2
a
zxyzxy =++
(theo câu a)
Lúc đó B =
33
2
22
2
aa
a
=−
(khi và chỉ khi x = y = z =
3
a
)

Bài 14: P
2
=
y
xz
x
zy
z
yx
x
z
z
y
y
x 22
2
222
+++++
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được:
x
yz
zyxx
z
z
yx
z
yx
y
x
4

...
4
4
222
=≥+++
y
xz
xzyy
x
x
zy
x
zy
z
y
4
...
4
4
222
=≥+++
z
yx
yxzz
y
y
xz
y
xz
x

z
4
...
4
4
222
=≥+++
Do đó P
2

≥

( ) ( ) ( )
zyxzyxzyx
++=++−++
34
P
2

≥
3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z = 4)
Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)
Bài 15:
x
yzx
x
yzx
x

zyxx
x
a
4
22
422
1
≥
+
≥
+++
=+
;
y
xzy
y
xzy
y
zxyy
y
a
4
22
422
1
≥
+
≥
+++
=+

;
z
yxz
z
yxz
z
yxzz
z
a
4
22
422
1
≥
+
≥
+++
=+
;
Do đó Q
≥

( )
64
64
4
4
=
xyz
xyz

(dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z =
3
a
)
Vậy min Q = 64 (khi và chỉ khi x = y = z =
3
a
)
3
Bài 16:
011
>+=−⇒=++
cbacba
Tương tự
01
>−
b
;
01
>−
c
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( )( )
cbcbcba
−−≥−+−=−−+=+
11211111
Tương tự
( )( )

cab
−−≥+
1121
;
( )( )
bac
−−≥+
1121
Suy ra
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
222
1118111 cbacba
−−−≥+++
=
( )( )( )
cba
−−−
1118
A =
( )( )( )
( )( )( )
8
111
111
≥
−−−
+++
cba
cba

(dấu “=” xảy ra
⇔

3
1
111
===⇔−=−=−
cbacba
)
Vậy min A = 8 (khi và chỉ khi
3
1
===
cba
)
Bài 17: Nếu
0
≤
y
thì B
0
≤
(1)
Nếu y > 0 thì:
5
32
5
108
5
33322

5
33322
1
yxyyyxxyyyxx
yx
=⋅⋅⋅⋅≥++++=+=
Suy ra
3125
108
5
1
108
32
2
32
≤⇒






≤
yx
yx
(2)
Vậy B
3125
108
≤

(dấu “=” xảy ra
⇔
5
3
;
5
2
32
==⇔=
yx
yx
)
Từ (1) và (2) suy ra: max B =
3125
108
(khi và chỉ khi
5
2
=
x
;
5
3
=
y
)
4