Tài liệu HSG toán 9 2010-2011 vòng 2

javascript:document.body.contentEditable='true'; document.designMode='on';
void 0
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
NĂM HỌC: 2010-2011
Môn Toán 9- (Thời gian làm bài:120 phút)
Bài 1: (4 điểm)
1. Chứng minh:
223246
−−+
là một số nguyên.
2. Rút gọn biểu thức:
A=
24
422
2
2
++−
−+
xx
xx
với x
2
≥
Bài 2: (4 điểm)
1. Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức :
x
2
+ y
2

- 2xy – 4 = 0
2. Cho hàm số: y = ax + b
Biết
( )
.1000)2010();4()3();2(1
=≤≥
fffff
Tính
)2011(f
.
B i 3à : (5 điểm)
1. Cho x;y > 0 và x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
32
;
2
1
yx
xy
P
xy
M
+
+==
2. Giải hệ phương trình:






=+
=+
xyy
xyx
29
66
2
2
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường
tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B
kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M.
a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.
b) Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất.
c) Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là
hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào?
Bài 5: (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A
và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng vuông
góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E.
Chứng minh tam giác BED cân.
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
( dưới đây là hướng dẫn sơ lược cách giải đề thi, chưa được kiểm chứng
– không phải hướng dẫn chấm )
Bài 1: (4 điểm)
1.Chứng minh:
223246
−−+
là một số nguyên.

2.Rút gọn biểu thức:
A=
24
422
2
2
++−
−+
xx
xx
với x
2
≥
Hướng dẫn:
1.
.3)12()22()12()22(223246
22
=−−+=−−+=−−+
Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm.
2.A=
2)2)(2(
)22(
2)2)(2(
)2)(2(2)2()2(
24
422
2
2
2
++−+

−++
=
++−+
−++−++
=
++−
−+
xxx
xx
xxx
xxxx
xx
xx
2
1
)22(2
22
+
=
−+++
−++
=
xxxx
xx
.
Bài 2: (4 điểm)
1.Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức :
x
2

+ y
2
- 2xy – 4 = 0
2.Cho hàm số: y = ax + b
Biết
( )
.1000)2010();4()3();2(1
=≤≥
fffff
Tính
)2011(f
.
Hướng dẫn:
1. Ta giải hệ phương trình:



=−−+
+=
042
32
22
xyyx
xy
.
Thế
32
+=
xy
v o à phương trình thứ hai ta được




−=
=
⇒



−=
−=
⇒=++⇔=++⇔=−+−++
7
1
5
1
0)5)(1(05604)32(2)32(
222
y
y
x
x
xxxxxxxx
Vậy ta có các điểm
cần tìm là (-1;1) và (-5;-7).
2. Từ điều kiện
( )
)4()3();2(1 ffff
≤≥
ta thấy

)(xf
vừa nghịch biến vừa đồng
biến do đó a = 0 và
)(xf
=b mà
1000)2010(
=
f
suy ra b = 1000.
Do đó
)2011(f
= b = 1000.
B i 3à : (5 điểm)
1.Cho x;y > 0 và x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
32
;
2
1
yx
xy
P
xy
M
+
+==
2.Giải hệ phương trình:






=+
=+
xyy
xyx
29
66
2
2
Hướng dẫn: 1.Áp dụng BĐT Cauchy ta có
2
1
2
)(
2
2
=
+
≤
yx
xy
, suy ra
.2
2
1
≥=
xy
M

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5.
Ta có
142
)(
12
2
2
4
.3
2
1
)
1
2
1
(3
32
2222222
=+
+
=+
++
≥+
+
+=
+
+=
yxyxxy
xy

yx
xy
yx
xy
P
.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5.
2.





=−+
=−+
⇔





=+
=+
029
066
29
66
2
2
2

2
xyy
xyx
xyy
xyx
Cộng theo vế 2 phương trình trên ta được

.30)3(09)(6)(02966
2222
=−⇒=−−⇔=+−−−⇔=−++−+
yxyxyxyxxyyxyx
Thế vào phương trình đầu tiên và giải, ta được các nghiệm là

))}12(3;23());12(3;23{();(
+−−−=
yx
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường
tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B
kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M.
a)Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.
b)Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất.
c)Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là
hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào?
Hướng dẫn:
Q


a) Đầu tiên ta chứng minh ba điểm C,M,D thẳng hàng ( tự chứng minh).
Nhận xét CABD là hình thang có AC // BD và OM là đường trung bình.

Suy ra MO vuông góc với CD, suy ra CD là tiếp tuyến của (O) tại M.
b) Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC=AH, BD=BD hay AC.BD=AH.BH
mà AH.BH
44
)(
22
ABBHAH
=
+
≤
nên GTLN của AC.BD là
4
2
AB
, đạt được khi
AH=BH hay AC=BD. Khi AC=BD,
BDMACM
∠=∠
,CM=MD suy ra
)..( cgcBDMACM
∆=∆
, suy ra AM=BM hay M là điểm chính giữa cung AB.
c)Gọi E là trung điểm NB, F là trung điểm OE. Ta sẽ chứng minh điểm P luôn nằm
trên đường tròn tâm F bán kính FN.
Hạ NQ vuông góc với MB, Q thuộc MB. Ta có
).(~
2
;90
0
ggNQMNEONBM

NOB
NOENQMNEO
∆∆⇒∠=
∠
=∠=∠=∠
mà F,P lần
lượt là trung điểm OE, MQ. Do đó
MNOPNFMNPONFNPMNFO
∠=∠⇒∠=∠⇒∆∆
~
mà
)..(~ cgcONMFNP
NM
NP
NO
NF
∆∆⇒=
mà ON=OM do đó FN=FP hay P luôn nằm
trên đường tròn tâm F bán kính FN ( cố định).
Bài 5: (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A
và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng vuông
góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E.
Chứng minh tam giác BED cân.
Hướng dẫn:
Gọi F là giao điểm của CD với (O), H là trực
tâm tam giác ACD. I là trung điểm BD. K là
giao điểm EH và AD.
Ta có ED
⊥

DC, AH
⊥
DC suy ra ED // AH; EA
⊥
AC, DH
⊥
AC suy ra EA // DH.
Do đó EDHA là hình bình hành.Suy ra K là
trung điểm EH và AD. mà AB=BI=ID,
suy ra K là trung điểm BI suy ra EIHB là hình
bình hành, suy ra EI//BH,
bởi vậy EI
⊥
BD mà I là trung điểm BD nên tam
giác EBD cân tại E (đpcm).