Tài liệu BOI DUONG HSG TOAN 9

Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
Chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi đại trà
môn : Toán lớp 9 năm học 2004 - 2005
A - Phân môn số học
Trong phân môn số học, tiếp nối chơng trình số học ở các lớp 6, 7, 8. Diện học
sinh giỏi đại trà, căn cứ vào tình hình thực tế, về thời gian, khả năng học sinh, giáo
viên cần tập trung vào 2 vấn đề cơ bản : Các bài toán số học trong dấu căn và bài toán
số học với phơng trình nghiệm nguyên.
Chuyên đề 1 : Số học trong căn thức
I - Sơ lợc vấn đề lý thuyết :
Dạy học sinh lý thuyết phần này về cơ bản học sinh đợc trang bị các vấn đề
sau :
1 - Tính hữu tỷ, tính vô tỷ của biểu thức chứa dấu căn.
2 - Tính hữu tỷ, tính vô tỷ của các biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia,
căn thức giữa số hữu tỷ và số vô tỷ.
3 - Tính đồng dạng của các biểu thức chứa dấu căn.
II - Các dạng toán điển hính của chuyên đề :
Bài 1 :
Cho x, y Q ; x
5
+ y
5
= 2x
2
y
2
. Chứng minh :
xy

1
Q

Bài 2 : Cho
abc
P chứng minh
acb 4
2

I
Bài 3 :
a ) Tìm n N để
94
2
++
nn
Q
b ) Tìm x Q để
6
2
++
xx
Q
Bài 4 : Tìm x, y Z thoả mãn
a )
x
+
y
=
1975
b ) 3
x
- 5

y
=
2000
c )
x
5
11
-
12
+
x
= 3y -
14

y
+ 2
d )
x
+
y
=
yx
+
+ 2
Bài 5 : Tìm m N để :
n
38517
+
+
2038517

=
n
Bài 6 : Cho a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1 (a, b, c Q)
Chứng minh :
)1)(1)(1(
222
+++
cba
Q
Bài 7 : Cho A =
nn )1(
1
...
34
1
23
1
12
1
+
++++
Chứng minh A N với n đủ lớn để A > 1
Bài 8 : Cho 16 số tự nhiên khác 0 thỏa mãn
7
1
...
11
1621
=+++
nnn

Chứng minh : Trong 16 số đó tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 9 : Cho A = 2 + 2
128
2
+
n
Z với n N
Chứng minh : A là số chính phơng
Bài 10 : Tìm a, b, c N thỏa mãn :
3
abcbcbaabc
=

Chuyên đề 2 : Phơng trình nghiệm nguyên
I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết :
1
Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
Dạy học sinh lý thuyết phần này cần trang bị cho học sinh các phơng pháp cơ
bản để giải phơng trình nghiệm nguyên. Hệ thống các phơng pháp giải phơng trình
nghiệm nguyên có thể kể đến là :
1. Phơng pháp đa về dạng tích.
2. Phơng pháp đa về dạng tổng các luỹ thừa.
3. Phơng pháp vận dụng tính chất số :
- Tính chất của số chính phơng
- Tính chất của số nguyên tố
- Tính chất chia hết và chia có d
4. Nhóm phơng pháp phản chứng
- Xét số d từng vế
- Dùng bất đẳng thức
- Phơng pháp cực hạn

5. Phơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm nguyên của phơng trình bậc hai ...
II Các ví dụ điển hình của các phơng pháp trên :
Giải các phơng trình nghiệm nguyên sau :
1 ) x
2
- 656xy - 657y
2
= 1983
2 ) x
2
(x + 2y) - y
2
(y + 2x) = 1991
3 )
2
3
x
2
6y
2
= x + 332
4 ) 2
x
+ 2
y
+ 2
z
= 2336 (x, y, z N
*
)

5 ) x
2
4xy + 5y
2
= 169
6 ) 3x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 4xy + 2xz = 26 - 2yz
7 ) x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
8 ) 3x
2
+ 4y
2
= 6x + 13
9 ) (x + 1)(y + 1) = z
2
10 ) x
4
+ x

3
+ x
2
+ x = y
2
+ y
11 ) y
2
- 2 x
2
= 1 (x, y là số nguyên tố )
12 ) x
y
+ 1 = z (x, z là số nguyên tố)
13 ) x(x + 1)( x
2
+ x + 2) = 2y
2
14 ) 5(x
2
+ xy + y
2
) = 7(x + 2y)
15 ) 8y
2
- 25 = 3xy + 5x
16 ) x
3
- y
3

= xy + 8
17 ) x
2
- y
3
= 7
18 )
2
1
2
111
=++
xyyx
(x, y N)
19 ) 2
x
+ 57 = y
2
20 ) x
2
+ y
2
= 3z
2
(x, y N
*
)
III . ứng dụng giải phơng trình nghiệm nguyên :
Bài 1 : Tìm x Q để x
2

+ x + 6 là số nguyên chính phơng
2
Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
Bài 2 : Tìm x Z sao cho :
64
3
+

x
x
là bình phơng của một phân số
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó bằng lập phơng tổng các chữ số
của nó.
Bài 4 : Nhân dịp tết, đại diện các cụ hội cựu chiến binh anh chị đoàn thanh niên, các
em thiếu nhi gồm 15 ngời mang 50 tặng phẩm cùng loại đến tặng một trại mồ côi. Mỗi
cụ góp 4 tặng phẩm, mỗi anh chị góp 6 tặng phẩm, mỗi em học sinh góp 1 tặng phẩm.
Hỏi có bao nhiêu cụ, anh chị, thiếu nhi?
Bài 5 : Tìm các số nguyên dơng a và b sao cho nghiệm của phơng trình sau là số
nguyên : x
2
- abx + a + b = 0 (a b)
B - Phân môn đại số
Trong phân môn đại số, ở lớp 9 thực tế học sinh cần tập trung ở 3 chuyên đề
chính là : Chuyên đề căn thức, chuyên đề hệ phơng trình, chuyên đề phơng trình bậc
hai - hệ viet và ứng dụng. Ngoài ra cần giành thời gian nhất định cho chuyên đề bất
đẳng thức và cực trị đại số.
Chuyên đề 1 : Căn thức
I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết :
Trong chuyên đề này học sinh cần vận dụng thành thạo các phép biến đổi căn
thức và kỹ năng biế đổi đồng nhất để giải quyết các vấn đề :

1.Bài toán rút gọn biểu thức ( Các phơng pháp rút gọn biểu thức có chứa dấu căn) đặc
biệt lu ý đến các bài toán có điều kiện kèm theo.
2.Chứng minh đẳng thức chứa dấu căn hoặc chứng minh biểu thức chứa dấu căn thoả
mãn ĐK nào đó.
3.Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức chứa dấu căn.
4.Phơng pháp tìm cực trị của một số biểu thức chứa dấu căn.
5.Bài toán tính toán giá trị có liên quan đến biểu thức có chứa dấu căn.
Lu ý :
- Tối thiểu các vấn đề trên phải đợc giải quyết đến căn bậc 3
- Các bài tập có sự biến dạng ít nhất về dạng hình thức yêu cầu của bài toán.
II Các dạng toán điển hình của chuyên đề
Bài 1 : Cho biểu thức A =
222
1
1.
1
.2
1
.2
nn
nm
m
n
nm
m
+

+
+
+
+
(m 0 , n 1)
a ) Rút gọn A
b ) Tìm giá trị của A với m =
33
257257
++
c ) Tìm GTNN của A
Bài 2 : Chứng minh : A =
26
4813532
+
++
là một số nguyên
Bài 3 : Tính tổng : S =
2005200620062005
1
...
3223
1
212
1
+
++
+

+
+
Bài 4 : Trục căn thức ở mẫu : A =
33
93221
2
+
Bài 5 : Chứng minh :
3
Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
1 )
22
22
baabaa
ba

+
+
=+
2 )
22
22
baabaa
ba


+
=
Bài 6 : Cho ax
3

= by
3
= cz
3
và
1
111
=++
zyx
.
Chứng minh
333
3
222
zbyax cbac
++=++
Bài 7 : Cho x > 2 và
104
=+
xx
. Tính giá trị của A =
2
42
2


x
xx
Bài 8 : Cho x =
)

1
(
2
1
);
1
(
2
1
b
by
a
a
+=+
(a, b 1)
Tính giá trị của P =
1.1
1.1
22
22
+

yxxy
yxxy
theo a, b
Bài 9 : Chứng minh các BĐT sau :
a )
11
+
abba

ab (a 1 ; b 1)
b )
22
)()( dcba
+++

2222
dbca
+++
c )
))(( dbca
++

cdab
+
(a, b, c, d 0)
d )
1
2
2
2
++
++
xx
xx
2
e )
2
>
+

+
+
+
+
ab
c
ca
b
cb
a
(a, b, c cùng dấu)
f ) Cho a
2
+ b
2
= 1 Chứng minh :
11
+++
abba

22
+
g )
ba
ab
ab
ba
+
+
+

2
5
(a, b > 0)
Bài 10 : Tìm cực trị của mỗi biểu thức
a ) A =
5252
22
++++
xxxx
b ) B =
)(23)(49 yxyx
++++
Biết x
2
+ y
2
= 1
c ) C =
10612
2222
++++++
yyxyyxyx
d ) D =
1
1
+
++
x
xx

e ) E =
)2)(2(4)1)(1(2)1)(1(
+++++
accbba

Với a, b, c 2 thỏa mãn
393
2
3
2
5
=++
cba
f ) F =
cabcba
+++++
với a, b, c 0 và a + b + c = 1
g ) Cho
2
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+

+
cba
. Tìm GTLN của G = abc
Chuyên đề 2 : Hệ phơng trình
I sơ lợc các vấn đề lý thuyết
1.Vấn đề số nghiệm
- Giải quyết tối thiểu đến số nghiệm của hệ phơng trình có một phơng trình bậc nhất
và một phơng trình bậc 2.
- Cần đề cập đến số nghiệm của hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối và dầu căn
2.Vấn đề tìm tập nghiệm của hệ phơng trình (Giải hệ)
- Học sinh cần đợc trang bị tất cả các phơng pháp giải hệ.
- Học sinh nắm chắc cách giải một số hệ cơ bản.
4
Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
3.Vấn đề quan hệ giữa các yếu tố trong nghiệm của hệ :
*Cần đề cập đến 2 dạng toán cơ bản
- Tìm điều kiện để biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện cho trớc.
- Chứng minh biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn ĐK cho trớc.
*Cần lu ý đến các khía cạnh bất đẳng thức, cực trị, số học trong các ĐK trên.
4.Vấn đề quan hệ giữa các hệ phơng trình :
- Giải quyết quan hệ tơng đơng và quan hệ nghiệm chung
II Các dạng toán điểm hình
Bài 1 : Tìm số nghiệm của các hệ sau theo tham số



=
=+
4-3my-mx
25yx

22




=+
=+
2a12xy
2ayx
22



=
=
42y-mx
2m-y-x





=+
=+
2yx
2x my
Bài 2 : Giải các hệ PT sau :

=++
=+
012y8xyx
12y8x
23
22





=+
=+
x31y
3y1x
2
2





=+
=+
1yx
1yx
44
33

x -
x
z
z
y
y
111
==
= 1







=
=++
4
12
2
111
2
z
xy
zyx

=
=+
6
13
5
x
y
y
x
yx



=
=+
23
521
yx
yx





=+
=+
28
21
yyxx

xyyx
Bài 3 : Cho hệ PT :



=++
+=
myxm
mymx
22)1(
1
a ) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn xy lớn nhất (nhỏ nhất ) nếu có
b ) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (x, y)
c ) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) mà
12
=
yx
Bài 4 : Tìm giá trị của tham số để :
a >



=
=
1y-mx
m2x
2
y
và

=
+=
1my-x
12x
2
my
tơng đơng
b >



=
=+
23y-2x
m12my -mx
và



=+
=
4ymx
2-mmy-x
có nghiệm chung
5