cac dang toan ve phuong trinh bac hai hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phơng trình bậc hai và định lí Viột.</b>

<i><b>Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.</b></i>
<i><b>Bài 1: Giải các phơng trình</b></i>

1) x2_{6x + 14 = 0 ;} _{2) 4x}2_{– 8x + 3 = 0 ;}
3) 3x2_{+ 5x + 2 = 0 ;} _{4) -30x}2_{+ 30x – 7,5 = 0 ;}
5) x2_{– 4x + 2 = 0 ;} _{6) x}2_{– 2x – 2 = 0 ;}
7) x2_{+ 2}

√2 x + 4 = 3(x + _√₂ ) ; 8) 2 _√₃ x2_{+ x + 1 =}

√3 (x + 1) ;
9) x2_{– 2(}

√3 - 1)x - 2 _√₃ = 0.

<i><b>Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.</b></i>
<i><b>Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau lu«n cã nghiƯm.</b></i>

1) x2_{– 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ;} _{2) x}2_{+ (m + 1)x + m = 0 ;}

3) x2_{– (2m – 3)x + m}2_{– 3m = 0 ;} _{4) x}2_{+ 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;}
5) x2_{– (2m + 3)x + m}2_{+ 3m + 2 = 0 ;} _{6) x}2_{– 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;}

7) x2_{– 2mx – m}2_{– 1 = 0 ;} _{8) (m + 1)x}2_{– 2(2m – 1)x – 3 + m = 0}
9) ax2_{+ (ab + 1)x + b = 0.}

<i><b>Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc </b></i>
<i><b>hai cho trớc.</b></i>

<i><b>Bµi 1: Gäi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x</b></i>2_{3x – 7 = 0.}
TÝnh:

<i>A=x</i>₁2+<i>x</i>₂2; B=|<i>x</i>₁<i>− x</i>₂|<i>;</i>
<i>C=</i> 1

<i>x</i>1<i>−1</i>

+ 1

<i>x</i>2<i>− 1</i>

; D=(3x1+<i>x</i>2) (3x2+<i>x</i>1)<i>;</i>

<i>E=x</i>₁3+<i>x</i>₂3<i>; F=x</i>₁4+<i>x</i>₂4

<i><b>Bµi 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình: 5x</b></i>2_{3x 1 = 0. Không giải phơng trình, tính giá trị}
của các biểu thức sau:

<i>A=2x</i>₁3<i>3x</i>₁2<i>x</i>₂+2x₂3<i>3x</i>₁<i>x</i>₂2<i>;</i>
<i>B=x</i>1

<i>x</i>₂+
<i>x</i>₁
<i>x</i>₂+1+

<i>x</i>₂
<i>x</i>₁+

<i>x</i>₂

<i>x</i>₁+1<i></i>

(

1

<i>x</i>₁<i></i>

1

<i>x</i>₂

)

2

<i>;</i>

<i>C=</i>3x12+5x1<i>x</i>2+3x22

4x1<i>x</i>22+4x

12<i>x</i>₂

.

B i 3 b) Lập ph ơng trình bậc hai cã 2 nghiƯm lµ 1

<i>10 −</i>√72 vµ
1
10+62 .

<i><b>Bài 4: Cho phơng trình x</b></i>2_{2(m -1)x m = 0.}

a) Chứng minh rằng phơng trình lu«n lu«n cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn <i>y</i>1=<i>x</i>1+

1

<i>x</i>2

và y₂=<i>x</i>₂+ 1

<i>x</i>1 .

<i><b>Bài 5: Không giải phơng trình 3x</b></i>2_{+ 5x 6 = 0. HÃy tính giá trị các biểu thức sau:}
<i>A=</i>₍3x₁<i> 2x</i>_{2) (}3x₂<i>− 2x</i>₁₎; B= <i>x</i>1

<i>x</i>2<i>−1</i>

+ <i>x</i>2

<i>x</i>1<i>−1</i>

<i>;</i>

<i>C=</i>_|<i>x</i> 1<i>− x</i>2|; D=

<i>x</i>1+2

<i>x</i>₁ +
<i>x</i>2+2

<i>x</i>₂

<i><b>Bµi 6: Cho phơng trình 2x</b></i>2_{4x 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phơng trình hÃy thiết lập}
ph-ơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1

<i><b>Bài 7: Cho phơng tr×nh 2x</b></i>2_{– 3x – 1 = 0 cã hai nghiệm x1 ; x2. HÃy thiết lập phơng trình ẩn y cã hai}
nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:

¿

<i>a</i>¿<i>y</i>₁=<i>x</i>₁+2¿<i>y</i>₂=<i>x</i>₂+2¿ b¿ ¿ ¿<i>y</i>₁=<i>x</i>1

2
<i>x</i>₂ ¿<i>y</i>2=

<i>x</i>₂2
<i>x</i>₁ ¿ {

<i><b>Bài 8: Cho phơng trình x</b></i>2_{+ x 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm}
y1 ; y2 tho¶ m·n:

¿

<i>a</i>¿<i>y</i>₁+<i>y</i>₂=<i>x</i>1

<i>x</i>₂+
<i>x</i>2

<i>x</i>₁¿
<i>y</i>1

<i>y</i>₂+
<i>y</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm.</b></i>
<i><b>Bài 1: </b></i>

a) Cho phơng trình (m – 1)x2_{+ 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).}
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m – 1)x2_{– 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.}
Tìm m để phơng trình có nghiệm.

a) Cho phơng trình: (m – 1)x2_{– 2mx + m – 4 = 0.}
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a – 3)x2_{– 2(a – 1)x + a – 5 = 0.}

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phõn bit.
<i><b>Bi 2:</b></i>

a) Cho phơng trình: 4x

2

<i>x</i>4+2x2+1<i></i>

<i>2 (2m 1) x</i>

<i>x</i>2+1 +<i>m</i>

2

<i>− m−6=0</i> .
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

b) Cho phơng trình: (m2_{+ m – 2)(x}2_{+ 4)}2_{– 4(2m + 1)x(x}2_{+ 4) + 16x}2_{= 0. Xác định m để phơng}
trình có ít nhất một nghiệm.

<i><b>Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax</b><b>2</b><b>_{+ bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho}</b></i>

<i><b>tr-íc.</b></i>
<i><b>Bµi 1: Cho phơng trình: x</b></i>2_{2(m + 1)x + 4m = 0}

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm cịn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2.

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12_{+ 2x2}2_{– x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.}
<i><b>Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:</b></i>

a) (m + 1)x2_{– 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ;} _{(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18}
b) mx2_{– (m – 4)x + 2m = 0 ;} _2(x12_{+ x2}2_{) = 5x1x2}

c) (m – 1)x2_{– 2mx + m + 1 = 0 ;} _4(x12_{+ x2}2_{) = 5x1}2_x22
d) x2_{– (2m + 1)x + m}2_{+ 2 = 0 ;} _{3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.}
<i><b>Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:</b></i>

a) x2_{+ 2mx – 3m – 2 = 0 ;} _{2x1 – 3x2 = 1}
b) x2_{– 4mx + 4m}2_{– m = 0 ;} _{x1 = 3x2}

c) mx2_{+ 2mx + m – 4 = 0 ;} _{2x1 + x2 + 1 = 0}
d) x2_{– (3m – 1)x + 2m}2_{– m = 0 ;} _{x1 = x2}2
e) x2_{+ (2m – 8)x + 8m}3_{= 0 ;} _{x1 = x2}2

f) x2_{– 4x + m}2_{+ 3m = 0 ;} _x12_{+ x2 = 6.}
<i><b>Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i>

a) Cho phơng trình x2_{– (2m – 3)x + m}2_{– 3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ;}
x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6.

b) Cho phơng trình 2x2_{+ (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân}
biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1.

<i><b>Bài 4: Cho phơng trình: x</b></i>2_{+ 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.}

a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

<i><b>Bài 5: Tìm m để phơng trình: x</b></i>2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 - 2 x2.

<i><b>Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.</b></i>
<i><b>Bài 1: </b></i>

a) Cho phơng trình: x2_{– mx + 2m – 3 = 0. T×m hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình}

không phụ thuộc vào tham số m.

b) Cho phơng trình bËc hai: (m – 2)x2_{– 2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình có nghiệm,}
hÃy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thc vµo tham sè m.

c) Cho phơng trình: 8x2_{– 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2.}
Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1.
<i><b>Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)</b></i>2_x2_{– (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng trình có nghiệm, hãy}
tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham s m.

<i><b>Bài 3: Cho phơng trình: x</b></i>2_{2mx m}2_{– 1 = 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả món: <i>x</i>1
<i>x</i>2

+<i>x</i>2

<i>x</i>1

=<i></i>5
2 .

<i><b>Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x</b></i>2_{– 2(m + 1)x + m = 0.}
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.

b) Khi phng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.

<i><b>Bµi 5: Cho phơng trình (m 4)x</b></i>2_{2(m 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh r»ng nếu phơng trình có hai}

nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.

<i><b>D¹ng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bËc hai.</b></i>
<i><b>KiÕn thøc cÇn nhí:</b></i>

<i><b>1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng </b></i>
trình kia:

XÐt hai phơng trình:

ax2_{+ bx + c = 0 (1)}
a’x2_{+ b’x + c’ = 0 (2)}
trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m.

Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1), ta
cú th lm nh sau:

<i><b>i)</b></i> Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ
phơng trình:

ax₀2+bx₀+<i>c=0</i>

a'k2<i>_x</i>

02+b'kx₀+c'=0

(<i>∗)</i>

¿{

¿

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.

<i><b>ii)</b></i> Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
<i><b>2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bc hai tng ng vi nhau.</b></i>

Xét hai phơng trình:

ax2_{+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)}
a’x2_{+ b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)}

Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả
tập nghiệm là rỗng).

Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng
hợp sau:

<i><b>i)</b></i> Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức lµ:
¿

<i>Δ</i>₍₃₎<0

<i>Δ</i>_{(4 )}<0
¿{

¿
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.

<i><b>ii)</b></i> Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

¿

<i>Δ</i>₍₃₎<i>≥0</i>
<i>Δ</i>₍₄₎<i>≥ 0</i>
<i>S</i>₍₃₎=<i>S</i>_{(4 )}

<i>P</i>₍₃₎=<i>P</i>_{(4 )}

¿{ { {

¿

Chú ý: Bằng cách đặt y = x2_{hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 n nh sau:}

<i>bx+ay =c</i>
<i>b'x+a'y= c'</i>

{

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:

- Tỡm iu kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x2_.

- Kiểm tra lại kết quả.

<i><b>-Bi 1: Tỡm m hai phơng trình sau có nghiệm chung:</b></i>

2x2_{– (3m + 2)x + 12 = 0}
4x2_{– (9m – 2)x + 36 = 0}

<i><b>Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:</b></i>
a) 2x2_{+ (3m + 1)x – 9 = 0;} _6x2_{+ (7m – 1)x – 19 = 0.}

b) 2x2_{+ mx – 1 = 0;} _mx2_{– x + 2 = 0.}

c) x2_{– mx + 2m + 1 = 0;} _mx2_{– (2m + 1)x 1 = 0.}
<i><b>Bài 3: Xét các phơng trình sau:</b></i>

ax2_{+ bx + c = 0 (1)}
cx2_{+ bx + a = 0 (2)}

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
<i><b>Bài 5: Cho hai phơng trình:</b></i>

x2_{+ x + a = 0}
x2_{+ ax + 1 = 0}

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trỡnh trờn tng ng.

<i><b>Bài 6: Cho hai phơng trình:</b></i>

x2_{+ mx + 2 = 0 (1)}

x2_{+ 2x + m = 0 (2)}
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.

c) Xác định m để phơng trình (x2_{+ mx + 2)(x}2_{+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân bit}

Tóm tắt lí thuyết:

Cách giải phơng trình bậc hai: ax2_{+ bx + c = 0 ( a}_₀₎



<b>_{= b}</b>

<b>2</b>

<b>_{- 4ac}</b>

* NÕu _{> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt}

x1 =

-b -
2a



; x2 =

-b +
2a



* NÕu _{= 0 phơng trình có nghiệm kép: x}₁_{= x}₂₌
-b
2a

* NÕu _{< 0 thì phơng trình vô nghiệm}

<b>Chú ý 1: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức</b>

nghiêm thu gọn.

_{' = b'}2_{- ac}

* NÕu _{' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biÖt}

x1 =

-b' - '
a



; x2 =

-b' + '
a



* NÕu _{' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x}₁_{= x}₂₌
-b'

a

* NÕu _{' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.}

<b>Chú ý 2:</b>

* Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 và x2 =

c
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

* NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 và x2 =

c
a

<b>Chú ý 4:</b>

* Hệ thức viét trong trờng hợp phơng tr×nh cã nghiƯm

1 2

1 2

-b
x x =

a
c
x .x

a



<b>Bài tập áp dụng.</b>
<b>Bài tập 1:</b>

Giải các phơng trình bậc hai sau

TT _{Các phơng trình cần giải theo} TT _{Các phơng trình cần giải theo}_'

1.

_{6 x}

2

_{- 25x - 25 = 0}

_1.

_x

2

_{- 4x + 2 = 0}

2.

6x

2

_{- 5x + 1 = 0}

_2.

_9x

2

_{- 6x + 1 = 0}

3.

7x

2

_{- 13x + 2 = 0}

_3.

_-3x

2

_{+ 2x + 8 = 0}

4.

3x

2

_{+ 5x + 60 = 0}

_4.

_x

2

_{- 6x + 5 = 0}

5.

2x

2

_{+ 5x + 1 = 0}

_5.

_3x

2

_{- 6x + 5 = 0}

6.

5x

2

_{- x + 2 = 0}

_6.

_3x

2

_{- 12x + 1 = 0}

7.

x

2

_{- 3x -7 = 0}

_7.

_5x

2

_{- 6x - 1 = 0}

8.

x

2

_{- 3 x - 10 = 0}

_8.

_3x

2

_{+ 14x + 8 = 0}

9.

4x

2

_{- 5x - 9 = 0}

_9.

_-7x

2

_{+ 6x = - 6}

10. 2x

2

_{- x - 21 = 0}

_{10. x}

2

_{- 12x + 32 = 0}

11.

6x

2

_{+ 13x - 5 = 0}

_{11. x}

2

_{- 6x + 8 = 0}

12. 56x

2

_{+ 9x - 2 = 0}

_{12. 9x}

2

_{- 38x - 35 = 0}

13. 10x

2

_{+ 17x + 3 = 0}

13. x

2

_-

_{2 3}

_{x + 2 = 0}

14. 7x

2

_{+ 5x - 3 = 0}

14. 4

2

_x

2

_{- 6x -}

₂

_{= 0}

15. x

2

_{+ 17x + 3 = 0}

15. 2x

2

_-

_{2 2}

_{x + 1 = 0}

<b>Bµi tËp 2:</b>

Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x2_{+ 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15}

b) x2_{+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1}

c) 2x2_{- 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3}

d) 5x2_{- x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

f) - 4x2_{+ x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5}

g) x2_{- x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1}

h) -x2_{- 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7}

i) 8x2_{- x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)}

k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1

<b>Bài tập 3: Cho phơng trình: x</b>2_{- 2(3m + 2)x + 2m}2_{- 3m + 5 = 0}

a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:

m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng

x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1

c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kộp.

<b>Bài tập 4: Cho phơng trình: x</b>2_{- 2(m - 2)x + m}2_{- 3m + 5 = 0}

a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:

m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.

<b>Bµi tËp 5:</b>

Cho phơng trình: x2_{- 2(m - 2)x + 2m}2_{+ 3m = 0}

a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:

m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trờn cú nghim kộp.

<b>Bài tập 6: Cho phơng trình: x</b>2_{- 2(m + 3)x + m}2_{+ 3 = 0}

a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = x2

<b>Bµi tập 7: </b>

Cho phơng trình : ( m + 1) x2_{+ 4mx + 4m - 1 = 0}

a) Gi¶i phơng trình với m = -2

b) Vi giỏ tr nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vơ nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2

<b>Bài tập 8: </b>

Cho phơng trình : 2x2_{- 6x + (m +7) = 0}

a) Giải phơng trình với m = -3

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vơ nghiệm

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = - 2x2

<b>Bài tập 9: </b>

Cho phơng trình : x2_{- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0}

a) Giải phơng tr×nh víi m = 4

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vơ nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2

<b>Bài tập 10:</b>

Biết rằng phơng trình : x2_{- 2(m + 1 )x + m}2_{+ 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

x = 1. Tìm nghiệm còn lại

<b>Bài tập 11:</b>

Biết rằng phơng trình : x2_{- 2(3m + 1 )x + 2m}2_{- 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã}

mét nghiƯm

x = -1 . Tìm nghiệm còn lại

<b>Bài tập 12:</b>

Biết rằng phơng tr×nh : x2_{- (6m + 1 )x - 3m}2_{+ 7 m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã}

mét nghiệm

x = 1. Tìm nghiệm còn lại

<b>Bài tập 13:</b>

Biết rằng phơng trình : x2_{- 2(m + 1 )x + m}2_{- 3m + 3 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã}

một nghiệm

x = -1. Tìm nghiệm còn lại.

<b>Bài tập 14: Cho phơng trình: x</b>2_{- mx + 2m - 3 = 0}

a) Giải phơng trình với m = - 5

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình khơng phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình cú hai nghim phõn bit

<b>Bài tập 15: Cho phơng trình bËc hai</b>

(m - 2)x2_{- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0}

a) Giải phơng trình với m = 3

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trỡnh cú hai nghim phõn bit

f) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

<b>Bài tập 16:Cho phơng trình: x</b>2_{- 2(m- 1)x + m}2_{- 3m = 0}

a) Giải phơng trình với m = - 2

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm cịn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8

e) T×m giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22

<b>Bài tập 17: Cho phơng tr×nh: mx</b>2_{- (m + 3)x + 2m + 1 = 0}

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 khơng phụ thuộc m

<b>Bµi tËp 18: Cho phơng trình: x</b>2_{- (2a- 1)x - 4a - 3 = 0}

a) Chøng minh r»ng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biÓu thøc A = x12 + x22

<b>Bài tập 19: Cho phơng trình: x</b>2_{- (2m- 6)x + m -13 = 0}

a) Chøng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22

<b>Bài tập 20: Cho phơng trình: x</b>2_{- 2(m+4)x + m}2_{- 8 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2

<b>Bài tập 21: Cho phơng trình: ( m - 1) x</b>2_{+ 2mx + m + 1 = 0}

a) Giải phơng trình với m = 4

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thc vµo m

<b>Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x</b>1, x2 của phơng trình

mx2 _{- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mÃn điều kiện}

<i>x</i>₁2

+<i>x</i>₂2=1

<b>Bài tập 23:</b>

Cho phng trỡnh x2_{- 2(m - 2)x + (m}2 _{+ 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng trình có 2}

nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mÃn 1

<i>x</i>1

+ 1

<i>x</i>2

=<i>x</i>1+<i>x</i>2
5

<b>Bài tập 24:</b>

Cho phơng trình: mx2 _{- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).}

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

b) T×m mét hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

<b>Bài tập 25: Cho phơng trình x</b>2 _{- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0} ₍₁₎

Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) cú nghim x1 = 2x2.

<b>Bài tập 26: Cho phơng tr×nh mx</b>2_{- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0}

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm
nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phơ thc vµo m.

<b>Bµi tËp 27:</b>

a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm
nghiệm chung đó?

x2 _{- (m + 4)x + m + 5 = 0} ₍₁₎

x2 _{- (m + 2)x + m + 1 = 0} ₍₂₎

b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của phơng trình (2)
và ngợc lại.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

x2 _{- (2m - 1)x + m – 2 = 0}

Tìm m <i>x</i>1
2

+<i>x</i>₂2 có giá trị nhỏ nhất

<b>Bài tập 29: Gọi x</b>1; x2 là nghiệm của phơng trình:

2x2 _{+ 2(m + 1)x + m}2 _{+ 4m + 3 = 0}

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

<b>Bµi tËp 30: Gäi x</b>1, x2 là các nghiệm của phơng trình.

x2 _{+ 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0}

Tìm m để

¿

<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2

¿

có giá trị nhỏ nhất.

<b>Bài tập 31: Cho phơng trình: x</b>2_{- m + (m - 2)}2_{= 0}

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x1x2 + 2x1 + 2x2

<b>Bài tập 32: Cho phơng trình: x</b>2 _{- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho}

2 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mÃn 10x1x2 +

<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2

t giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
đó.

<b>VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC </b>
<b>CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO</b>

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

<i>- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x</i>1<i> và x</i>2 (thường là a

 0 và   0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là
tham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

<i>Ví dụ 1: Cho phương trình : mx</i>2 6



<i>m</i>1



<i>x</i>9



<i>m</i> 3



0

<i>Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệmx</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức : <i>x</i>1<i>x</i>2 <i>x x</i>1. 2

<i>Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x</i>1<i> và x</i>2 l à :





2



2



2





0 0 0 0

' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1

' 3 21 9( 3) 0

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

 

     

  

  

   

           

         

   



Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

1 2

1 2

6( 1)
9( 3)

<i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>x x</i>

<i>m</i>




 








 _



</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm <i>x</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức :

1 2 1. 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>Ví dụ 2: Cho phương trình : x</i>2



2<i>m</i>1



<i>x m</i> 2 2 0.

<i>Tìm m để 2 nghiệm x</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức : 3<i>x x</i>1 2 5



<i>x</i>1<i>x</i>2



 7 0

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm <i>x</i>1&<i>x</i>2 là :

2 2

' (2<i>m</i> 1) 4(<i>m</i> 2) 0

     

2 2

4<i>m</i> 4<i>m</i> 1 4<i>m</i> 8 0

     

7
4 7 0

4

<i>m</i> <i>m</i>

    

Theo hệ thức VI-ÉT ta có:

1 2

2
1 2

2 1
2

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x x</i> <i>m</i>

  




 

 _{và từ giả thiết}3<i>x x</i>1 2 5



<i>x</i>1<i>x</i>2



 7 0. Suy ra
2

2

2

3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0

2( )

3 10 8 0 ₄

( )

3

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>TM</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>KTM</i>

    

     





    

 _


Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm <i>x</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức : 3<i>x x</i>1 2 5



<i>x</i>1<i>x</i>2



 7 0

<b>Bài tập áp dụng</b>

1. Cho phương trình : <i>mx</i>22



<i>m</i> 4



<i>x m</i>  7 0

<i>Tìm m để 2 nghiệm x</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức : <i>x</i>1 2<i>x</i>2 0

2. Cho phương trình : <i>x</i>2



<i>m</i> 1



<i>x</i>5<i>m</i> 6 0

<i>Tìm m để 2 nghiệm x</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức: 4<i>x</i>13<i>x</i>2 1

3. Cho phương trình : 3<i>x</i>2 



3<i>m</i> 2



<i>x</i>



3<i>m</i>1



0.

<i>Tìm m để 2 nghiệm x</i>1 và <i>x</i>2 thoả mãn hệ thức : 3<i>x</i>1 5<i>x</i>2 6

<b>Hướng dẫn cách giải: </b>

Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1
và ví dụ 2 ở chỗ

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm <i>x</i>1<i>x</i>2 và tích nghiệm <i>x x</i>1 2nên

<i>ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

nghiệm <i>x</i>1<i>x</i>2 và tích nghiệm <i>x x</i>1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví

dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:

16
0 &

15

<i>m</i> <i>m</i>

-Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
<i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>x x</i>
<i>m</i>
 

 




 _



- Từ <i>x</i>1 2<i>x</i>2 0 Suy ra:

1 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1

3

2( ) 9

2( ) 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



  



 

 ₍₂₎

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: <i>m</i>2127<i>m</i>128 0  <i>m</i>1 1;<i>m</i>2 128

BT2: - ĐKXĐ:  <i>m</i>2 22<i>m</i>25 0 11 96<i>m</i>11 96

- Theo VI-ÉT:

1 2

1 2

1
(1)

5 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x x</i> <i>m</i>

  




 


- Từ : 4<i>x</i>13<i>x</i>2 1. Suy ra:



 



1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 3( )

1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1

7( ) 12( ) 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  


     

  


      ₍₂₎

- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :

0
12 ( 1) 0

1
<i>m</i>
<i>m m</i>
<i>m</i>


 _{  }


 _{(thoả mãn ĐKXĐ)}

BT3: - Vì  (3<i>m</i> 2)24.3(3<i>m</i>1) 9 <i>m</i>224<i>m</i>16 (3 <i>m</i>4)2 0_{với mọi số thực m nên}

phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.

- -Theo VI-ÉT:

1 2

1 2
3 2
3 ₍₁₎
(3 1)
3
<i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i>
<i>x x</i>


 



 
 _



- Từ giả thiết: 3<i>x</i>1 5<i>x</i>2 6. Suy ra:



 



1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

8 5( ) 6

64 5( ) 6 . 3( ) 6

8 3( ) 6

64 15( ) 12( ) 36

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

     

  

      
(2)

- Thế (1) vào (2) ta được phương trình:

0

(45 96) 0 ₃₂

15
<i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i>



  
 _

 _{(thoả mãn )}

<b>VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI</b>

Cho phương trình: <i>ax</i>2<i>bx c</i> 0<i>_{(a  0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2}</i>

<i><b>nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….</b></i>
Ta l p b ng xét d u sau:ậ ả ấ

<b>Dấu nghiệm</b> <i>x</i>1 <i>x</i>2 <i>S</i> <i>x</i>1<i>x</i>2 <i>P x x</i> 1 2  <i><b>Điều kiện chung</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i>cùng dấu,</i>   P > 0   0   0 ; P > 0

<i>cùng dương,</i> + + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S > 0

<i>cùng âm</i>   _{S < 0} _{P > 0} _{  0} _{  0 ; P > 0 ; S < 0.}

<i>Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:</i>





2 2

2<i>x</i>  3<i>m</i>1 <i>x m</i>  <i>m</i> 6 0 _{có 2 nghiệm trái dấu.}
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

2
2

(3 1) 4.2.( 6) 0

0 ( 7) 0

2 3

6

0 0 ( 3)( 2) 0

2

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>P</i> <i>P</i> <i>P</i> <i>m</i> <i>m</i>

      

      

 

     

  _ _ 

      

  



Vậy với 2<i>m</i>3_{thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.}

<b>Bài tập tham khảo:</b>

1. <i>mx</i>2 2



<i>m</i>2



<i>x</i>3



<i>m</i> 2



0 có 2 nghiệm cùng dấu.
2. 3<i>mx</i>22 2



<i>m</i>1



<i>x m</i> 0 có 2 nghiệm âm.

3.



<i>m</i>1



<i>x</i>22<i>x m</i> 0 có ít nhất một nghiệm khơng âm.

<b>VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC</b>
<b>NGHIỆM</b>

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta ln phân tích được:
<i>A m</i>

<i>C</i>

<i>k B</i>



 _

 _{(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)} _(*)

Thì ta thấy : <i>C m</i> _{(v ì}<i>A </i>0₎  min<i>C m</i>  <i>A</i>0

<i>C k</i> _{(v ì}<i>B </i>0₎  max<i>C k</i>  <i>B</i>0

<i>Ví dụ 1: Cho phương trình : x</i>2



2<i>m</i>1



<i>x m</i> 0

Gọi <i>x</i>1 và <i>x</i>2<i> là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :</i>

2 2

1 2 6 1 2

<i>A x</i> <i>x</i>  <i>x x</i> _{có giá trị nhỏ nhất.}

Bài giải: Theo VI-ÉT:

1 2

1 2

(2 1)

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x x</i> <i>m</i>

  







Theo đ ề b ài :





2

2 2

1 2 6 1 2 1 2 8 1 2

<i>A x</i> <i>x</i>  <i>x x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x x</i>





2

2
2

2 1 8

4 12 1

(2 3) 8 8

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

  

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Suy ra: min<i>A</i>8 2<i>m</i> 3 0 <i>hay</i>

3
2

<i>m </i>

<i>Ví dụ 2: Cho phương trình : x</i>2 <i>mx m</i> 1 0

Gọi <i>x</i>1 và <i>x</i>2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất của biểu thức sau:





1 2

2 2

1 2 1 2

2 3

2 1

<i>x x</i>
<i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>




  

Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :

1 2

1 2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x x</i> <i>m</i>

 


 






1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2( 1) 3 2 1

2 1 ( ) 2 2 2

<i>x x</i> <i>x x</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i>

    

    

      

<i><b>Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn</b></i>

Ta biến đổi B như sau:









2

2 2

2 2

2 2 1 1

1

2 2

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>B</i>

<i>m</i> <i>m</i>

    _

  

 

Vì









2

2

2

1

1 0 0 1

2
<i>m</i>
<i>m</i> <i>B</i>
<i>m</i>

     


Vậy max B=1 <i>_{m = 1}</i>

Với cách thêm bớt khác ta lại có:









_

_





2 2 2 2 ₂

2 2 2

1 1 1 1

2 1 4 4 2 ₂ ₁

2 2 2 2

2 2 2 2 2

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>_m</i>

<i>B</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

       _
   
  
Vì













2
2
2

2 1

2 0 0

2
2 2
<i>m</i>
<i>m</i> <i>B</i>
<i>m</i>

     

Vậy
1
min 2
2

<i>B</i>  <i>m</i>

<i><b>Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện </b></i>

<i>cho tham số B để phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.</i>

2
2

2 1

2 2 1 0

2

<i>m</i>

<i>B</i> <i>Bm</i> <i>m</i> <i>B</i>

<i>m</i>



     

 <i>(Với m là ẩn, B là tham số)</i> (**)

Ta có:   1 <i>B B</i>(2 1) 1 2  <i>B</i>2<i>B</i>

Để phương trình (**) ln có nghiệm với mọi m thì   0
hay 2<i>B</i>2<i>B</i>  1 0 2<i>B</i>2 <i>B</i>  1 0



2<i>B</i>1

 

<i>B</i>1



0

1

2 1 0 ₂

1 0 1 ₁

1
2

2 1 0 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Vậy: max B=1 <i>_{m = 1}</i>
1

min 2

2

</div>

<!--links-->