chuyen de phuong trinh bac hai

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề Giải, biện luận ph

ơng trình bậc hai

A.Lý thuyết

1. Định nghĩa

: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax2_{+ bx + c = 0 (a} _{0) (1) trong đó a, b, c là các}

hệ số đẵ biết, x là ẩn.

2. C«ng thøc nghiƯm

:

<i>Δ</i> = b2_{– 4ac}

<i>Δ</i> < 0 ph¬ng trình vô nghiệm

<i></i> = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = - <i>b</i>

2<i>a</i>

<i>Δ</i> > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 ¿<i>− b</i>+

√

<i>Δ</i>

2<i>a</i> ; x2 ¿

<i>− b −</i>

√

<i>Δ</i>
2<i>a</i> .

<i>Δ</i> ’ = b’2_{– ac. (} <i>_b'</i>

=<i>b</i>/2 )

<i>Δ</i> ’ < 0 phơng trình vô nghiệm.

<i></i> = 0 phơng trình có nghiÖm kÐp: x1= x2 = -

<i>b'</i>
<i>a</i>

<i>Δ</i> ’ > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
<i>_x</i>₁₌<i>− b</i>

<i>'</i>
+

√

<i>Δ'</i>

<i>a</i> ; x2 ¿

<i>− b ' −</i>

√

<i>Δ'</i>

<i>a</i> .

3. HÖ thøc Vi-Ðt:

* NÕu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) th×

¿

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂=<i>−b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>₁.<i>x</i>₂=<i>c</i>

<i>a</i>

¿{

¿

*øng dơng:
+NhÈm nghiƯm:

- NÕu a + b + c = 0 th× (1) cã hai nghiÖm x1 = 1; x2 = <i>c</i>

<i>a</i>
- NÕu a - b + c = 0 th× (1) cã hai nghiÖm x1 = - 1; x2 = <i>− c</i>

<i>a</i>

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2_{– 4P} _{0 thỡ hai s ú}

là hai nghiệm của phơng trình X2_{– SX + P = 0 .}

4. Mét sè bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax

2

_{+ bx + c = 0 (a}

₀₎

1) Phơng trình có nghiệm: <i>_,'</i>₀

;

2) Phơng trình có nghiệm: <i>_,'</i>_>₀

;

3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

{

<i>, '</i>0

<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>c</i>

<i>a</i>0

4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:

{

<i>, '</i>0

<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>c</i>

<i>a</i>0

;

5) Phơng trình có hai nghiệm dơng

{

<i>, '</i>₀
<i>x</i>1+<i>x</i>2=<i></i>

<i>b</i>
<i>a</i>0
<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>c_a</i>0

; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm

{

<i>, '</i>₀
<i>S</i>=<i>x</i>1+<i>x</i>2=<i></i>

<i>b</i>
<i>a</i>0
<i>P</i>=<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>c_a</i>0

;

5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi-

Ð

t:

1) 1

<i>x</i>1

+ 1

<i>x</i>2

=<i>x</i>1+<i>x</i>2

<i>x</i>1.<i>x</i>2

=<i>S</i>

<i>P</i> ;

2) <i>x</i>₁2+<i>x</i>

22=<i>x</i>

12+2<i>x</i>₁.<i>x</i>₂+<i>x</i>

22<i>−2x</i>₁.<i>x</i>₂=

(

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂

)

2

<i>−</i>2<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>S</i>
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

3)

<i>x</i>1.<i>x</i>2¿2

¿
¿

1
<i>x</i>₁2

+ 1
<i>x</i>₂2

=<i>x</i>12+<i>x</i>22

¿

;

4) <i>x</i>12<i> x</i>1.<i>x</i>2+<i>x</i>222=

(

<i>x</i>1+<i>x</i>2

)

(

(<i>x</i>12+2<i>x</i>1.<i>x</i>2+<i>x</i>22)<i></i>3<i>x</i>1.<i>x</i>2

)

=<i>S</i>(<i>S</i>

2

<i></i>3<i>P</i>)=<i>S</i>3<i></i>3 PS
<i>x</i>₁3+<i>x</i>₂3=(<i>x</i>₁+<i>x</i>₂)

;

B.Bài tập áp dụng.

Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH KQ TT PTBH KQ

1 x2_{- 11x + 30 = 0} _{5; 6} ₄₁ _x2_{- 16x + 84 = 0}

2 x2_{- 10x + 21 = 0} _{3; 7} ₄₂ _x2_{+ 2x - 8 = 0}

3 x2_{- 12x + 27 = 0} _{3; 9} ₄₃ _5x2_{+ 8x + 4 = 0}

4 5x2_{- 17x + 12 = 0} _12/5;1 ₄₄

x2_{– 2(} 2

√

3+√¿ ¿ x + 4

√

6 = 0

5 3x2_{- 19x - 22 = 0} _22/3;-1 ₄₅ _11x2_{+ 13x - 24 = 0}

6 _x2_{- (1+}

√

2 )x +

_√

₂ = 0

_√

₂ ;1 46 x2 - 11x + 30 = 0

7 x2_{- 14x + 33 = 0} ₄₇ _x2_{- 13x + 42 = 0}

8 6x2_{- 13x - 48 = 0} ₄₈ _11x2_{- 13x - 24 = 0}

9 3x2_{+ 5x + 61 = 0} ₄₉ _x2_{- 13x + 40 = 0}

10 _x2_-

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

12 x2_{- 6x - 16 = 0} ₅₂ _3x2_{- 2}

√

3 x - 3 = 0

13 2x2_{+ 3x + 1 = 0} ₅₃

x2_{- 2}

√

2 x + 1 = 0

14 x2_{- 5x + 6 = 0} ₅₄

x2_{- 2}

₍

√

3−1

)

x - 2

_√

₃ =
0

15 3x2_{+ 2x + 5 = 0} ₅₅ _11x2_{+ 13x + 24 = 0}

16 2x2_{+ 5x - 3 = 0} ₅₆ _x2_{+ 13x + 42 = 0}

17 x2_{- 7x - 2 = 0} ₅₇ _11x2_{- 13x - 24 = 0}

18 _3x2_{- 2}

√

3 x - 2 = 0 58 2x2 - 3x - 5 = 0

19 -x2_{- 7x - 13 = 0} ₅₉ _x2_{- 4x + 4 = 0}

20

_√

₂ _x2_{– 2(}

√

3−1¿ x -3

√

2 = 0

60 x2_{- 7x + 10 = 0}

21 3x2_{- 2x - 1 = 0} ₆₁ _4x2_{+ 11x - 3 = 0}

22 x2_{- 8x + 15 = 0} ₆₂ _3x2_{+ 8x - 3 = 0}

23 2x2_{+ 6x + 5 = 0} ₆₃ _x2_{+ x + 1 = 0}

24 5x2_{+ 2x - 3 = 0} ₆₄ _x2_{+ 16x + 39 = 0}

25 x2_{+ 13x + 42 = 0} ₆₅ _3x2_{- 8x + 4 = 0}

26 x2_{- 10x + 2 = 0} ₆₆ _4x2_{+ 21x - 18 = 0}

27 x2_{- 7x + 10 = 0} ₆₇ _4x2_{+ 20x + 25 = 0}

28 5x2_{+ 2x - 7 = 0} ₆₈ _2x2_{- 7x + 7 = 0}

29 4x2_{- 5x + 7 = 0} ₆₉ _-5x2_{+ 3x - 1 = 0}

30 x2_{- 4x + 21 = 0} ₇₀ _x2_{- 2}

√

3 x - 6 = 0

31 5x2_{+ 2x -3 = 0} ₇₁ _x2_{- 9x + 18 = 0}

32 4x2_{+ 28x + 49 = 0} ₇₂ _3x2_{+ 5x + 4 = 0}

33 x2_{- 6x + 48 = 0} ₇₃ _x2_{+ 5 = 0}

34 3x2_{- 4x + 2 = 0} ₇₄ _x2_{- 4 = 0}

35 x2_{- 16x + 84 = 0} ₇₅ _x2_{- 2x = 0}

36 x2_{+ 2x - 8 = 0} ₇₆ _x4_{- 13x}2_{+ 36 = 0}

37 5x2_{+ 8x + 4 = 0} ₇₇ _9x4_{+ 6x}2_{+ 1 = 0}

38 x2_{– 2(}

√

3+

_√

2¿ x + 4

_√

6

= 0

78 2x4_{+ 5x}2_{+ 2 = 0}

39 x2_{- 6x + 8 = 0} ₇₉ _2x4_{- 7x}2_{- 4 = 0}

40 3x2_{- 4x + 2 = 0} ₈₀ _x4_{- 5x}2_{+ 4 = 0}

Bµi tËp 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 _{+ y}2_{= 61 , x.y = 30}

b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

c) x + y = 30, x2 _{+ y}2_{= 650} _g) _{x - y = 5, x.y = 66}

d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 _{+ y}2_{= 25 x.y = 12}

Bài tập 3.Không giải phơng trình,hÃy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a) x2_{+ 6x + 8 = 0} _e) _x2_{+ 13x + 42 = 0}

b) 11x2_{+ 13x - 24 = 0} _f) _11x2_{- 13x - 24 = 0}

Tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22 .

Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ:

√

3+

√

2
6 vµ

√

3<i>−</i>

√

2

6 .

b)Không giải phơng trình, hÃy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau: 3x2_{- 5x - 2 = 0.}

Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a) 2x2_{+ bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

c) ( b - 1 )x2_{- ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.}

Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x2_{+ kx - 23 = 0 cã hai nghiƯm tr¸i dÊu.}

b) 12x2_{+ 70x + k}2_{+ 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng.}

c) x2_{- ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1.}

Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
a) x2_{- 4x – m}2_{= 0} _d) _x2_{+ ( m + 3 )x + m + 1 = 0}

b) 2x2_{- 3x + m - 1 = 0} _e) _x2_{- ( 1 + 2m )x + m = 0}

c) x2_{+ 2( m - 2 )x + m}2_{= 0} _f) _{( 2m}2_{+1 )x}2_{- 2( m}2_{+ 2 )x + 1 = 0}

Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vơ nghiệm.

a) x2_{+ x - m = 0} _d) _x2_{- ( m - 1 )x + 1 = 0}

b) 2x2_{- 3x + m - 1 = 0} _e) _x2_{+ 2x + m}2_{= 0}

c) x2_{+ 2( m - 2 )x + m}2_{= 0} _f) _{( m}2_{+1 )x}2_{- 2( m + 3 )x + 1 = 0}

Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có
nghiệm kÐp.

a) 3x2_{- 2x + m = 0} _c) _4x2_{+ mx + m}2_{= 0}

b) 5x2_{+ 18x + m = 0} _d) _4x2_{+ mx - 5 = 0}

Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x2_{- 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .}

a)Giải phơng trình khi a = 13.

b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân bit.

Bài tập 11.Cho phơng trình: x2_{+ ( m + 1 )x + m = 0 .}

a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.

b)Tính y = x12 + x22 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x1, x2 là nghiệm của phơng trình đẵ cho.

Bµi tập 12.Cho phơng trình: x2_{- 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .}

a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.

b)Tỡm m sao cho 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

Bµi tập 13.Cho phơng trình: 3x2_{+ mx + 12 = 0 .}

a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm cịn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x2_{- 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .}

a) Chøng minh r»ng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ khơng phụ thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức 1

<i>x</i>₁+
1
<i>x</i>₂+

3

<i>x</i>₁<i>x</i>₂=2 .
Bµi tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x2_{- 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .}

a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b)Trong trêng hỵp cã nghiƯm h·y tÝnh theo m tỉng S và tích P của các nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.

Bài tập 16.Cho phơng trình: x2_{- (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .}

a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghim i nhau.

Bài tập 17.Cho phơng trình: x2_{- 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .}

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phng trỡnh cú hai nghim bng nhau.

Bài tập 18.Cho phơng tr×nh: x2₊

√

3 x -

_√

₅ = 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2. Không giải phơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a) ₁
<i>x</i>₁+

1
<i>x</i>₂

b) <i>_x</i>

12+<i>x</i>₂2 c) 1

<i>x</i>₁2

+ 1
<i>x</i>₂2

d) <i>_x</i>

13+<i>x</i>₂3

Bài tập 19.Cho phơng trình: x2_{- 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .}

a)Giải phơng trình khi m = 1.

b) Chøng minh r»ng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức <i>A</i>=<i>x</i>₁(1<i> x</i>₂)+<i>x</i>₂(1<i> x</i>₁) không phụ

thuộc vào giá trị của m.

Bài tập 20.Cho phơng trình: x2_{- m x + m - 1 = 0 .}

a)Giải phơng trình khi m = 5.

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A = <i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2 .

Bài tập 21.Cho phơng trình: x2_{-2(m+1)x + m}2_{+4m-3 = 0.}

a)Vi giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?

b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?

Bµi tËp 22.Cho phơng trình : x2_{+(2m-5)x-3n = 0}

a)Giải phơng trình khi m=3 vµ n=2/3

b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?

Bµi tËp 23. Cho phơng trình: x2_{2(m-1)x +2m – 3 = 0}
a) Chøng minh víi víi mäi m phơng trình luôn có nghiệm

b) Xỏc nh m phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm cịn lại.
Bài tập 24. Cho phơng trình : x2_{2(m+1)x +m}2_{+ 2 =0}

a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm ph©n biƯt x1, x2

b)Tìm m để hai nghiệm x1, x2 tho món x1- x2 =4

Bài tập 25.Cho phơng trình : x2_{-4x +m =0 (1)}

a)TÝnh  hc của phơng trình (1) theo m

b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ?

c) Tỡm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn <i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2=12

d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 , hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ

nhÊt .

Bµi tËp 26.

Cho phơng trình x2_{-8x +m =0 (1)}

a)Giải phơng trình (1) khi m = 12

b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?

c)Tỡm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2

Bµi tập 27.Cho phơng trình : x2_{2(a-1)x + 2a 5 = 0.}

a) Chứng minh rằng phơng trình cã nghiƯm víi mäi a.

b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < 1 < x2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a)Giải phơng trình (1) với m=3.

b)Tỡm giỏ trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1) thoả mãn x12 + x22 = 4.

Bài tập 29.Cho phơng trình: x2_{+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)}

a. Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm ph©n biƯt víi mäi m.

b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x22 + 4 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất

Bµi tËp 30.Cho phơng trình x2_{- 2mx + m}2_{- m +1 =0(1)}

a.Tỡm m để phơng trình (1) có nghiệm kép.

b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 2 +x22 - x1x2 = 15

Bµi tËp 31.Cho phơng trình x2_{- (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham số k).}

a. Chứng minh rằng phơng trình (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi k ?

b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 t giỏ tr nh nht. Tỡm

giá trị nhỏ nhất ấy ?

Bài tập 32.Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x2_{+ 4x – 2m = 0 (1)}

a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b)Giải phơng trình vi m = 6

Bài tập 33.Cho phơng trình : 2x2_{+ (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)}

a) Giải phơng trình (1) khi m = -1

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mäi m

c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đơi nghiệm kia.

Bµi tËp 34.Cho phơng trình: x2 _{+ 2(m+1)x + m}2 _{+ 4 m + 3 = 0 (1) (x lµ Èn, m lµ tham sè)}

a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

b)Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x1+2x2- x1x2+7 = 0

Bài tập 35. Cho phơng tr×nh : <i>x</i>2  2(<i>m</i> 1)<i>x</i>2<i>m</i> 50
a) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với mọi a.

b) a bng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vo m..

Bài tập 36. Cho phơng trình: <i>x</i>2 8<i>x</i><i>m</i>0
a) Giải phơng trình (1) khi m = 12.

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kÐp ?

</div>

<!--links-->