Học tốt quan hệ vuông góc trong hình học không gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (464.93 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MƠN TỐN

ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT

QUAN HỆ VNG GĨC TRONG

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

A/ PHẦN MỞ ĐẦU

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TAØI :

Trong q trình dạy tốn ở bậc THPT tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài

tốn hình học khơng gian, tình trạng này có nhiều lý do :

1/ Để học tốt phân mơn HHKG địi hỏi người học phải có tư duy nhại bén, óc

tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số

học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài tốn nào hơi khó là bỏ qua khơng kiên trì

tìm kiếm phương pháp giải.

2/ Phân môn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12.

Do đó đa số học sinh khơng chú ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình

lớp 11, khơng rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các

em đều sợ phần HHKG này.

Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH luơn cĩ một bài tốn HHKG

ở phần bắt buộc,

vì vậy

đe

å giúp các em học sinh

làm tốt hơn bài tốn HHKG

trong

các

k

ỳ

thi tôi mạnh dạn viết đề tài này.

Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài

dạng tốn chủ lực và phương pháp giải để từ đĩ học sinh vận dụng vào giải đề

tốn trong các kỳ thi.

Tơi

rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy cơ cùng

đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn

II/ N

Ộ

I DUNG :

Bài viết gồm các phần sau:

1/ Cách xác định đoạn vng góc hạ từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ dạng

tốn này học sinh tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng

cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa

hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc

giữa đường thẳng và mặt phẳng.

2/ Cách vẽ mặt phẳng

qua M vaø song song v

ớ

i hai

đường thẳng a và b cho trước

,

tìm thiết diện.

T

ừ

dạng tốn này học sinh

vẽ được

mặt phẳng qua M

và

song song v

ớ

i mặt phẳng

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

NĂM HỌC 2011 - 2012

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

cho trước

,

vẽ được

mặt phẳng qua M

và vng góc

v

ớ

i

đường thẳng a cho trước,

vẽ được

mặt phẳng

chứa đường thẳng a

và

vuơng gĩc

v

ớ

i mặt phẳng

cho trước

.

Đồng Xoài, ngày 26 tháng 1 năm 2012

Giáo viên

TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

B/ PHẦN NỘI DUNG

D

ạ

ng 1

:

Cách xác định đọan vng góc hạ từ điểm M đến mặt phẳng (

α

)

TH1 : Ta cĩ định lý : « Nếu từ M có các đọan xiên dài bằng nhau thì hình chiếu của chúng
phải bằng nhau và ngược lại », căn cứ vào định lý này ta xác định chân đường vuơng gĩc hạ từ
điểm M

TH2 : Nếu từ M khơng có các đọan xiên dài bằng nhau thì :
+ Chọn mặt phẳng (β) qua Mvà ( α ) (β)

+ Tìm c = ( α ) (β)

+ Từ M hạ đường vng góc MH đến đường giao tuyến c ⇒MH⊥(α)

Ứ

ng d

ụ

ng 1 :

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (

α

)

: là độ dài MH

Giải:

Nhận xét:Do SA = SB = SC nên bài toán này thuộc TH1
Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC

 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác ABC
 d( S, (ABC)) = SH

Ta có HA =
3
3
a

Xét tam giác SAH: SH  SA2  AH2 a

VSABC =

1
.
3SABC SH=

3 3

12
a



SA ABC,









SA AB,



SAH

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

C
H

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a , SA = SB = SC = 2a

√

a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ?
b/ Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC) ?

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
cosSAH =

 0

60
2

AH

SAH

SA   

Từ cách xác định ở TH1 ta đi đến một nhận xét cho hình chóp đa giác đều:

“ Trong hình chóp đa giác đều thì hình chiếu vng góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy phải trùng với
tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy”

Nhận xét Vì S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) phải trùng với
tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD .Từ đó ta có cách vẽ hình như sau:

* Bước 1: Vẽ hình vng ABCD, lấy giao điẻm hai đường chéo là O

* Bước 2: Từ O dựng đường vng góc với mặt phẳng (ABCD), chọn đỉnh S khác O trên đường
vng góc này

* Bước 3: Nối S với các đỉnh A, B, C, D ta được hình chóp S.ABCD

Giải:

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD) với O = ACBD
VSABCD =

1
.
3SABCD SO
SABCD = a 2

Xét tam giác SAO vng tại O có SA = a 2,
OA =

1 1

2
2 AC2a

2 2 2 3

2 2

a a

SO SA OA a

     

Vậy

3
2

1 3

3 2 6

SABCD

a a

V  a 

Giải:

1/ Nhận xét : ta cần xác định đoạn vng góc hạ từ D
đến mặt phẳng ( ABC)

DB = DC = a, DA = a 2( xét tam giác ABD vuông tại B)
 ta tìm hai mặt phẳng vng góc nhau trong đó có một

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

B D

K
S

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh
bên bằng a 2,Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD

Vớ dú 3: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB  (BCD)

vµ AB = a. Tính khoảng cách:

1) T D n (ABC) 2) Từ B đến (ACD)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
mặt phẳng đi qua D

Ta có :

AB (BCD)  (ABC)(BCD) 
Mà (ABC)(BCD) = BC
Kẻ DH BC  DH ( ABC)

Vậy khoảng cách từ D đến (ABC) là DH = a
3
2
( do DH là đường cao trong tam giác đều BCD)
2/ Tính d( B,(ACD))?

Cách 1 : Gọi M là trung điểm CD, ta có :

( )

, ( )

BM CD

AB CD CD ABM

BM AB ABM

 



  



  

(ACD)(ABM)
Mà (ABM)(ACD) = AM

Kẻ BK AM  BK ( ACD)

Vậy khoảng cách từ B đến (ACD) là BK
Xét tam giác ABM vuông tại B

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 4 7

3 3

BK BA BM a  a  a  d( B,(ACD)) = BK = 
3
7
a

Cách 2 : Nhận xét : ta có BA = BC = BD = a  nếu K là hình chiếu vng góc của B trên (ACD) 
thì KA = KC = KD  K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Do AC = AD = a 2 nên K nằm trên AM, tính BK =
3

7
a

Ứ

ng d

ụ

ng 2 :

Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (

α

) song song với a

Giải:

1/ Tính d(B,(SCD)) ?

Nhận xét : Từ B ta không có các đoạn xiên bằng nhau đến
mặt phẳng (SCD) và cũng không tìm được một mặt phẳng chứa
B và vng góc với (SCD), nhưng B nằm trên cạng AB và
AB//CD nên AB//(SCD)

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
C

M
H

Vớ duù 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,

SA  (ABCD), SA = h. Gọi O là tâm hình vng ABCD. Tính khoảng cách:
1) Từ B đến (SCD) 2) Từ O đến (SCD)

3)Giữa SC và BD 4) Giữa AB và SC

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
Do đó d(B,(SCD)) = d(AB,(SCD))= d(A,(SCD))

Ta có :

( ) ( ) ( )

, ( )

CD AD

CD SA CD SAD SCD SAD

AD SA SAD

 



    



 

Mà (SAD)(SCD) = SD
Kẻ AH SD  AH ( SCD)

Vậy khoảng cách từ B đến (SCD) là AH
Xét tam giác SAD vuông tại A

2 2
2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 a h

AH SA AD h a a h



    

 AH = 2 2

ah
a h
2/ Tính d(O,(SCD)) ?

Nhận xét : OI//SA và OI =
1

2 SA với I là trung điểm SC

OK//AD và OK =
1

2 AD với K là trung điểm CD
 (OIK) //(SAD)

CD(SAD) nên CD (OIK) (SCD) (OIK)
Mà (OIK)(SCD) = IK

Kẻ OEIK  OE ( SCD)

Vậy khoảng cách từ O đến (SCD) là OE
Xét tam giác OIK vuông tại O

2 2
2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 4 4(a h )

OE OI OK h a a h



    

 OE = 2 2 2

ah
a h

Ứ

ng d

ụ

ng 3 :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài

đoạn vng góc chung của a và b hoặc bằng khoảng cách từ đường thẳng a

đến một mặt phẳng chứa đường b và song song với đường a

Cách tìm đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b :

+Chọn mặt phẳng (β)⊃b❑❑❑,❑❑❑(β)//a

+Từ điểm M thích hợp trên đường a hạ MH⊥(β)

+Từ H dựng a/ // a ⇒a❑

∩b=I

+Từ I dựng IJ // MH ( J nằm trên đường a)
⇒ IJ là đọan vng góc chung của a và b

THĐB :

Nếu a chéo b và a vng góc với b thì

:

+ Chọn mặt phẳng (β)⊃b❑❑❑,❑❑❑(β)⊥a

+ Tìm H là giao điểm của a và ( β¿

+Từ H dựng HI vng góc với b ⇒ IH là đọan vng góc chung của a và b

Giải tiếp ví dụ 3:

3/ Tính khoảng cách giữa SC và BD

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

C
O

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

Ta có

( )

, ( )

BD AC

BD SA BD SAC BD SC

AC SA SAC

 



    



 

Như vậy BD và SC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng 
 vng góc với nhau, hình chiếu vng góc của B trên mặt 
 phẳng (SAC) là điểm O

Ta có : BO (SAC). Từ O dựng OH SC 
 OH là đoạn vng góc chung của SC và BD

Xét tam giác SAC có OH // AE và OH =
AE

2 2
2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

2 2

a h

AE SA AC h a a h



    

2 2

2
2

ah
AE

a h

 



Vậy khoảng cách giữa SC và BD là OH = 2 2 2 2
ah

a h
4/ Tính khoảng cách giữa AB và SC

Ta có AB // (SCD) nên d ( AB,SC) = d( AB, (SCD)) = d( A, (SCD))
Vì CD (SAD)  (SCD) (SAD)



SAD







SCD



SD , kẻ AI SD  AI (SCD)

Xét tam giác SAD :

2 2
2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 a h

AI SA AD h a a h



    

Vậy d ( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AI = 2 2
ah
a h

Ứ

ng d

ụ

ng 4:

xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)thì :

Bước1:Xác định giao điểm cuả a và (P) , giả sử là điểm A

Bước2:Trên a chọn điểm M khác điểm A, từ M ta xác định đoạn vng góc MH

đến mặt phẳng (P)

Bước3:Xác định hình chiếu của a trên mặt phẳng (P)là b, từ đó xác định góc

giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Giải:

a/ Nhận xét : SD và (ABCD) có điểm chung là D, chọn điểm S
Từ S ta có SA  (ABCD)

SD là đường xiên có hình chiếu trên (ABCD) là AD

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

C
O

Vớ duù 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,

SA  (ABCD), SA = a 3. Gäi O là tâm hình vuông ABCD. Tớnh gúc to bi

a/ SD và (ABCD) b/ SC và (SAB) c/ SB và (SAC)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 (SD ABCD, ( )) ( SD AD, )SDA

Xét tam giác SAD vuông tại A

tanSDA =

 0

3 60

SA a

SDA

AD  a   

b/ Nhận xét : SC và (SAB) có điểm chung là S, chọn điểm C
Từ C ta tìm đường vng góc với mặt phẳng (SAB)

Ta có

( )

, ( )

CB AB

CB SA CB SAB

SA AB SAB

 



  



 

SC là đường xiên có hình chiếu trên (SAB) là SB


(SC SAB,( )) (SC SB, ) CSB

  

Xét tam giác SBC vng tại B có SB = SA2 AB2 2a

 1

tan

2 2

BC a

CSB

SB a

    arctan1

2
CSB

 

c/ Nhận xét : SB và (SAC)có điểm chung là S, chọn điểm B
Từ B ta tìm đường vng góc với mặt phẳng (SAC)

Ta có

( )

, ( )

BO AC

BO SA BO SAC

SA AC SAC

 



  



 

SB là đường xiên có hình chiếu trên (SAC) là SO
 (SB SAC,( )) ( SB SO, )OSB

Xét tam giác SBO vuông tại O

 2 1  1

sin arcsin

2 2 2 2 2

a
OB

OSB OSB

SB a

    

Giải:

Nhận xét:Ta cần xác định góc 300 là góc giữa SO với mặt phẳng (SCD)

SO và (SCD)có điểm chung là S, chọn điểm O
Từ B ta tìm đường vng góc với mặt phẳng (SAC)

Từ O ta khơng có các đoạn xiên bằng nhau nên ta cần tìm một mặt
phẳng chứa O và vng góc với (SCD)

Gọi K là trung điểm CD

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

C
O

O K

Ví dụ 5: Cho h×nh chãp đều S.ABCD cã đường cao SO = h, tạo với mặt bên

(SCD) một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

Ta có

( )

, ( )

CD OK

CD SO CD SOK

SO OK SOK

 



  



 

CD(SCD) (SOK)(SCD)
(SOK)(SCD)SK

Kẻ OH SK  OH (SCD)

SO là đường xiên có hình chiếu trên (SCD) là SH
 (SO SCD,( )) ( SO SH, )OSH 300

Xét tam giác SOK ta có

0 2

.tan 30 2

3 3

h h

OK SO   AD OK 

Vậy

2 3

1 1 4 4

. .

3 3 3 9

SABCD ABCD

h h

V  S SO h

Dạng 2:

Vẽ mặt phẳng

thỏa điều kiện về song song hay vng góc

Trong dạng toán này ta chỉ cần nắm vững một dạng cơ bản là vẽ mặt phẳng ( α ) qua M vaø ( α

) // a ,

( α ) // b , các dạng khác ta đều đưa về dạng cơ bản để vẽ .Phương pháp này giúp học sinh học tốt hơn vì 
 khơng cần phải nhớ nhiều, ngồi ra dạng cơ bản được hình thành từ một định lý rất quen thuộc với các em 
 trong bài đường thẳng song song với mặt phẳng , đó là định lý “ Nếu một đường thẳng a song song với 
 một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa a và cắt (P) theo một giao tuyến b thì b//a”

D

ạ

ng c

ơ

b

ả

n: Vẽ mặt phẳng (

α

) qua M và (

α

) // a , (

α

) // b .tìm thiết

diện ?

Phương pháp: +Chọn mặt phẳng ( β¿ qua M và ( β¿ chứa đường thẳng a
⇒(α)∩(β)=c .Vậy a// c

+ làm tương tự cho đường thẳng b

Giải: Nhận xét:Để vẽ được mặt phẳng (P) trước hết ta chọn một mặt phẳng chứa M và AB 
 hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (ABCD) thỏa điều kiện chứa M và AB , nên ta sử dụng (P)//AB

a/Chøng minh MQ//SD

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

Vớ dú 1:Cho hình chóp S.ABCD cú đáy ABCD là hình vng cạnh a; mặt bên
SAB là tam giác đều; SC = SD = a 3. M là điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng
(P)qua M song song với AB và SC cắt BC , SB, SA lần lượt tại tại N, P, Q
a/Chứng minh MQ//SD

b/ Tứ giác MNPQ hình gì?

c/ Đặt AM = x



0 x a



. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x. Tìm x để
diện tích này nhỏ nhất

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
*

 





 





 





//
// ( )
P AB

ABCD AB P ABCD MN AB N BC

M P ABCD




    



  

Nhận xét:Lúc này ta có hai điểm M, N nằm trong (P), tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa
 M hay N và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SBC) thỏa điều kiện chứa N và SC , 
 nên ta sử dụng (P)//SC

 





 





 





//
// ( )
P SC

SBC SC P SBC NP SC P SB

N P SBC




    



  

Nhận xét:Lúc này ta có ba điểm M, N,P nằm trong (P),
 tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa một trong ba điểm M, N,
 P và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SAB) thỏa 
 điều kiện chứa P và AB , nên ta sử dụng (P)//AB

 





 





 





//
// ( )
P AB

SAB AB P SAB PQ AB Q SA

P P SAB




    



  



 

P 



SCD



MQ

Bây giờ ta chứng minh MQ//SD

Do
//
//
//

MN AB
MN CD
AB CD




Mà

 





  



//
, //
,
NP SC

MN NP P P SCD

SC CD SCD




 



 

Ta lại có













 

SAD SCD SD

MQ SD

SAD P MQ

  




  

b/ Tứ giác MNPQ hình gì?

Ta có
//
//
//
PQ AB
MN PQ
MN AB






Mặt khác SC = SD nên

 
   
//
,
//
//
SCD SDC
SD MQ

PNM SCD QMN SDC

SC NP
MN CD




  





Vậy tứ giác MNPQ là hình thang cân
c/ Tính diện tích MNPQ?

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
MNPQ 2 .

MN PQ

S   QK

với QK là đường cao của hình thang MNPQ
Ta có MN = AB = a

Xét tam giác SBC có NP//SC nên

NP BN

SC BC

Xét hình vng ABCD có MN//AB nên

BN AM

BC  AD

Suy ra

NP AM SC AM

NP x

SC  AD   AD 

Xét tam giác SAB có PQ//AB nên

PQ SQ

AB SA
Xét tam giác SAD có MQ//SD nên

SQ DM

SA  DA

Suy ra

PQ DM AB DM

PQ a x

AB  AD   AD  

Kẻ đường cao QK của hình thang MNPQ, ta có MK = 2 2

MN PQ x



Xét tam giác MQK : QK =

2 2 11

2
x

MQ  MK 

với MQ = NP
Vậy





MNPQ

a x x

S  

*/ Tìm x để diện tích MNPQ là nhỏ nhất ?
Ta có 0  x a 2a x 0

Theo bất đẳng thức Cô Si ta có





2
2

2
a x x
a x x     a

 

11
4

MNPQ
a
S

 

.Dấu « = » xảy ra khi 2a – x = x  x = a, khi đĩ M trùng D

V

ấ

n

đề

:

Vẽ mặt phẳng (

α

) qua M

và

(

α

)//

(β)

ø.tìm thiết diện ?

Phương pháp : + Sử dụng tính chất :

¿
(α)//(β)

a⊂(β)

⇒a//(α)
¿{

quay về dạng cơ bản

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD =

2a, tam giác SAB vuông cân tại A.M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = x

(0< x< a). Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần
lượt tại N, P, Q

a/ Tứ giác MNPQ hình gí?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

Giải :

a/ Do (P) //( SAB) nên (P)//SA, (P)//SB và (P)//AB

 





 





 





//
// ( )
P AB

ABCD AB P ABCD MN AB N BC

M P ABCD



    

  
*

 





 





 





//
// ( )
P SB

SBC SB P SBC NP SB P SC

N P SBC



    

  
*

 





 





 





//
// ( )
P SA

SAD SA P SAD MQ SA Q SD

M P SAD




    



  



 

P 



SCD



PQ

Vì MN//AB, AB//CD nên MN//CD, suy ra

 





 





//
//
P CD

SCD CD PQ CD

P SCD PQ




 



  

suy ra MN//PQ

Mặt khác
//

//
SA MQ

MN AB MN MQ

SA AB


 


 

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang vuông
b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x.

MNPQ 2 .

MN PQ

S   MQ

. Ta có MN = AB = a
Xét tam giác SAD có MQ//SA nên

MQ DM

SA  DA

. (2 ) 2

2 2

SA DM a a x a x

MQ

DA a

 

   

Xét tam giác SCD có PQ//CD nên

PQ SQ

CD SD

Xét tam giác SAD có MQ//SA nên

SQ AM

SD  AD

Suy ra

. .

2 2

PQ AM CD AM a x x

PQ

CD  AD   AD  a 

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

Vậy



2

 

2



2 2

2 4

2 .( )

2 2 8 8

MNPQ

x

a a x a x a x a x

S

  

 

  

V

ấ

n

đề

:

Vẽ mặt phẳng (

α

) qua M vaø (

α

)

a

:

Ta có định lý:

( )

//( )
( )

b

b a b

a



 

 


  , căn cứ vào định lý trên ta có phương pháp vẽ mặt phẳng như sau:
 Phương pháp: + Tìm b a , c a

+ Nếu b không qua M thì b// ( α ),nếu b qua M thì b (α)

+Làm tương tự cho đường thẳng c
+ quay về dạng cơ bản

Giải :

Nhận xét : Trước hết ta phải xác định mặt phẳng( ) Muốn vậy ta tìm hai đường thẳng không

cùng phương và vuông góc với AB
Ta có

//( )

BC AB

BC

M BC 

 


 

Mặt khác
//( )
SA AB
SA

M SA 

 




 

Vậy mặt phẳng () là mặt phẳng đi qua M và song song với hai đường thẳng BC và SA

 





 





 





//
// ( )
BC

ABCD BC ABCD MN BC N CD

M ABCD





    


  
*

 





 





 





//
// ( )
SA

SAB SA SAB MQ SA Q SB

M SAB





    

  
*

 





 





 





//
// ( )
BC

SBC BC SBC QP BC P SC

Q SBC





    

  

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

S
A
B
C
D
M
N
P
Q
I
E

Vớ dú 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với
AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là một điểm trên cạnh AB;
() là mặt phẳng qua M vng góc với AB. Đặt x = AM (0 < x < a).

a) T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD với mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM


 

 



SCD



NP.Suy ra thiÕt diƯn tạo bởi h×nh chãp S.ABCD với mặt phẳng ()l MNPQ

Ta có
//

//
//

MN BC

MN PQ
PQ BC






Mặt khác:

// //
//

SA AD

MN BC AD MQ MN

MQ SA

 



 




Vậy MNPQ là hình thang vng

b/ MNPQ 2 .
MN PQ

S   MQ

Xét hình thang ABCD , gọi I là trung điểm AD, E là giao điểm của MN và CI
 MN = ME + EN , ME = a = AI = ID = CI

Xét tam giác CID:

EN CE

ID CI , mà

CE BM

CI  BA

.
ID BM

EN a x

BA

   

 MN = 2a – x

Xét tam giác SAB:





MQ BM SA BM

MQ a x

SA  BA   BA  

Xét tam giác SBC:

PQ SQ

BC SB 
Xét tam giác SAB:

SQ AM

SB  AB

Suy ra

PQ AM BC AM

PQ x

BC  AB   AB 

Vậy MNPQ 2 . 2





MN PQ

S   MQ a a x

Vấn đề :

Vẽ mặt phẳng (

α

) chứa đường thẳng a và (

α

)

(β)

:

Ta có định lý:

( ) ( )
( )

( )
( )

M

b

M b

b

 






 



 

 



 



  , căn cứ vào định lý trên ta có phương pháp vẽ mặt phẳng 
như sau: Phương pháp: + Tìm b (β)

+ Nếu b và a có điểm chung thì b (α)

+ Neáu b và a không có điểm chung thì b// ( α )
+ quay về dạng cơ bản

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

Ví dụ 4:Cho h×nh chãp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) vµ
SA = a

√

3 . Gäi () lµ mặt phẳng chứa AB và vuụng gúc vi (SCD).

a) Xác định rõ mặt phẳng (). mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

Giải :

Nhận xét : Để xác định mặt phẳng( )ta tìm đường thẳng vng góc với

mặt phẳng (SCD)
Ta có
( )

CD AD
CD SAD
CD SA
 
 

 
Suy ra











 



( )
SCD SAD

SCD SAD SD AH SCD

Ke AH SD

 



   



 

Vậy mặt phẳng () chính là mặt phẳng (ABH)
Do AB//CD nên (ABH)// CD

 





 





 





//
//
CD

SCD CD SCD HK CD

H SCD





   

  
Ta có
//
//
//
HK CD
HK AB
AB CD





AH  (SCD)  AH KH

Vậy thiết diện tạo bởi () và hình chóp S.ABCD là hình thang vng ABKH
b/ TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.

Xét tam giác SAD : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3

3 3

a
AH

AH AD SA a  a  a  

SA 2 = SH.SD

2 3
2
SA
SH a
SD
  

Xét tam giác SCD :

3 3 3

2 4 4 4

a

KH SH

KH CD a

CD SD  a    

Vậy ABKH 2 .

AB KH

S   AH

a+ 3 7 3

4 .( )

2 2 16

a a a



M

Ộ

T S

Ố

ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẫN KINH NGHIỆM
 Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, mặt bên (SAB)  đáy và SA = SB = b.
Tính khoảng cách:

a) Từ S đến (ABCD)

b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm của AB.
c) Từ AD đến (SBC).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB  (BCD) và AB = a. Tính khoảng cách:
a) Từ D đến (ABC)

b) Từ B đến (ACD)

Bµi 3:Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại A , SA = SB = SC = a

√

2 , BC = a
a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) ?

b/ Tính góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC) ?

Bµi 4:Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc A bằng 600 ,
SA = SB = SD = 2a

√

a/ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC ?
b/ Chứng minh (SAC) ( ABCD) và SB BC ?

c/ Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) , tính tan ϕ ?

Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a và AB = b. Mặt bên
SAD là tam giác đều, (P) là mặt phẳng qua điểm M trên đoạn AB và song song với SA và BC,
mặt phẳng (P) cắt CD; SC; SB lần lợt tại I; J; K

a, Chøng minh MIJK lµ hình thang cân

b, Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) theo a vµ x = AM.

Bµi 6: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm trên AB và CD và (P) là mặt phẳng qua MN
và song song víi SA

a, Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC)

b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P)
c, Tìm điều kiện của M; N để thiết diện là hình thang

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O; M là điểm di động trên SC và (P) là
mặt phẳng qua AM và song song với BD

a, Chứng minh (P) luôn chứa một ng thng c nh

b, Tìm các giao điểm H và K của (P) với SB và SD. Chøng minh

SB SD SC

SHSK SM lµ mét h»ng sè

c, Thiết diện của hình chóp với mp(P) có thể là hình thang đợc hay không

Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a; M và P là hai điẻm di động trên các cạnh AD và BC sao
cho AM=CP=x (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo một
thiết diện

a, Chứng minh thiết diện là hình thang cân
b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ nhất

BAØI 9 : Tứ diện SABC có ABC❑ =900 , AB = 2a , BC = a

√

3 , SA ( ABC), SA = a.Gọi M
là

trung điểm của AB .

a/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ?

b/ Tính đường cao AK của tam giác AMC ?

c/ Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) ?
d/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMC) ?

BÀI 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA=SB=SC=SD= a

√

2
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC .

a/ Chứng minh rằng (SIK) (SBC) ?

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB ?

BAØI 11 : Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/
a/ Chứng minh rằng BC/ (A/B/CD)

b/ Tính đơ dài đọan vng góc chung của AB/ và BC/

c/ Tính góc giữa hai đường thẳng : AB/ và BC/ , AC/và CD/

C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao

2/ Dạy và học với máy tính HHKG lớp 11 và 12
3/ Tuyển tập các bài tốn HHKG của Lê hồnh Phị

4/ Phương pháp giải toán HHKG của trường chuyên Lê Hồng Phong

D/ PHẦN KẾT LUẬN

Kết quả thực hiện

:

Nội dung đề tài này,tôi đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 11 trong thời gian 14 tiết, trong
đó 8 tiết đầu tơi dạy và khắc sâu phần tính khoảng cách và tính góc, thời gian 6 tiết sau đó tơi
hướng dẫn cho học sinh phương pháp vẽ 4 dạng mặt phẳng trong quan hệ song song và vuông
góc , phần này tơi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên.Khi tôi dạy cho học sinh vấn

đề này, tơi thấy các em rất thích thú, khi gặp một đề bài tương tự các em đã vận dụng cách
giải một cách linh hoạt. Tơi hy vọng với nội dung đề tài này tơi sẽ giúp ích được cho học sinh một
số kinh nghiệm học hình học khơng gian thuần tuý để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua
đĩ các em sẽ giải được đề bài HHKG tổng hợp, các em sẽ tự tin hơn trong phịng thi và kết quả các
kỳ thi sẽ đạt cao hơn.

Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây

NĂM HỌC 2011-2012 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

NĂM HỌC MƠN TỐN ĐIỂM TỪ 5 – 10 ĐIỂM TỪ 8-10 HỌC SINH GIỎI KHEN THƯỞNG

3 KHỐI SL % SL % TOÁN

2006-2007 182 104 57,1 18 17,3 2 Bằng khenUBND TỈNH

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

Kiến nghị :

Nhiệm vụ hàng đầu của người giáo viên dạy Toán là làm sao cho học sinh u thích mơn
Tốn, chăm chú nghe giảng trong giờ dạy của mình và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Hiện
nay có rất nhiều học sinh cảm thấy mơn Tốn trừu tượng, khó hiểu, khơng nhớđược cơng thức
ít liên quan đến đời sống thực tại. Do đó khi trực tiếp giảng dạy mơn Tốn tơi ln cố gắng
tìm phương pháp hay để các em tiếp cận vấn đề của Toán học dễ dàng hơn. Sáng kiến trên là

một phần nhỏ trong suy nghĩ của tôi, tôi hy vọng q thầy cơ cũng như tơi tìm kiếm nhiều
phương pháp hay, trực quan, dễ hiểu để học sinh của chúng ta ngày càng giỏi hơn, thi đậu
nhiều hơn nữa.

Dù đã cố gắng rất nhiều trong việc phân tích các ví dụ nhưng cũng khĩ tránh khỏi những
sai sĩt.Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của q thầy cơ để bài viết được hoàn hảo hơn.

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TỐN

________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

NHẬN XÉT VAØ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG

NHẬN XÉT VAØ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

SỞ GIÁO DỤC BÌNH PHƯỚC

________________________________________________________________________________

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM

</div>

Học tốt quan hệ vuông góc trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MƠN TỐN

ĐỀ TÀI:

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP</b>

<b>HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT</b>

<b>QUAN HỆ VNG GĨC TRONG</b>

<b>HÌNH HỌC KHƠNG GIAN</b>

GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN

A/ PHẦN MỞ ĐẦU

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TAØI :

Trong q trình dạy tốn ở bậc THPT tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài

tốn hình học khơng gian, tình trạng này có nhiều lý do :

1/ Để học tốt phân mơn HHKG địi hỏi người học phải có tư duy nhại bén, óc

tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số

học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài tốn nào hơi khó là bỏ qua khơng kiên trì

tìm kiếm phương pháp giải.

2/ Phân môn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12.

Do đó đa số học sinh khơng chú ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình

lớp 11, khơng rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các

em đều sợ phần HHKG này.

Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH luơn cĩ một bài tốn HHKG

ở phần bắt buộc,

vì vậy

đe

å giúp các em học sinh

làm tốt hơn bài tốn HHKG

trong

các

k

ỳ

thi tôi mạnh dạn viết đề tài này.

Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài

dạng tốn chủ lực và phương pháp giải để từ đĩ học sinh vận dụng vào giải đề

tốn trong các kỳ thi.

Tơi

rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy cơ cùng

đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn

II/ N

<b>Ộ</b>

I DUNG :

Bài viết gồm các phần sau:

1/ Cách xác định đoạn vng góc hạ từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ dạng

tốn này học sinh tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng

cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa

hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc

giữa đường thẳng và mặt phẳng.

2/ Cách vẽ mặt phẳng

<i>qua M vaø song song v</i>

<i>ớ</i>

<i>i hai </i>

<i>đường thẳng a và b cho trước</i>

,

tìm thiết diện.

T

ừ

dạng tốn này học sinh

<i>vẽ được </i>

<i>mặt phẳng qua M</i>

và

<i>song song v</i>

<i>ớ</i>

<i>i mặt phẳng</i>

<i>cho trước</i>

,

<i>vẽ được </i>

<i>mặt phẳng qua M </i>

<i>và vng góc</i>

<i> v</i>

<i>ớ</i>

<i>i </i>

<i>đường thẳng a cho trước,</i>

<i>vẽ được </i>

<i>mặt phẳng</i>

<i>chứa đường thẳng a</i>

và

<i>vuơng gĩc</i>

<i> v</i>

<i>ớ</i>