SANG KIEN KINH NGHIEM TOAN 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (117.06 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH

CHỨNG MINH MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC



I- ĐẶT VẤN ĐỀ :

Nhìn chung, trong q trình dạy học mơn Tốn ở trường THCS, việc
chứng minh một bài tốn hình học là vấn đề khá trừu tượng đối với mỗi học
sinh. Đồng thời, việc hướng dẫn học sinh thực hiện cũng khá phức tạp. Chính vì
lẽ đó, thực trạng giảng dạy cho thấy, nếu chúng ta khảo sát ở các em học sinh
bằng cách lấy ngẫu nhiên một lớp học (khoảng 50 em) và ra một đề kiểm tra về
dạng chứng minh một bài tốn hình học, ta sẽ thấy khơng q 3 em làm hồn
thành bài tốn ấy.

Thực ra, việc chứng minh một bài tốn hình học có nhiều bài tốn khơng
có thuật tốn để giải. Đối với những bài tốn ấy, giáo viên chỉ có thể hướng
dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tịi lời giải. Đây là cơ hội để giáo viên trang bị
dần cho học sinh một số tri thức, phương pháp nhằm rèn luyện và phát triển ở
họ năng lực tư duy khoa học. Giáo viên phải biết đặt ra cho học sinh đúng lúc,
đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong
chừng mực nào đó các em sử dụng khéo léo và linh hoạt theo lược đồ chứng
minh một bài tốn hình học (sẽ trình bày trong phần nội dung dưới đây) là thể
hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình
giảng dạy. Đây là lời khun chứ khơng phải là bằng chỉ dẫn có tính chất thuật
toán. Tiếp thu những lời khuyên này, mỗi giáo viên chúng ta có thể thực hiện
khác nhau cả về cách thức lẫn thời gian để đi đến kết quả và có thể khơng đi
đến kết quả. Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền đạt
phương pháp và kinh nghiệm dạy tốn chứ khơng hề phủ nhận vai trị quan

trọng của việc này. Khơng có một thuật tốn tổng qt nào để giải cho mọi bài
tốn, chúng ta chỉ có thể thơng qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần
dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm để tiến tới nghệ thuật trong
việc suy nghĩ tìm tịi cách chứng minh một bài tốn hình học. Trong q trình
giảng dạy, tơi xin mạnh dạn đưa ra khía cạch nhỏ về phương pháp dạy học
chứng minh một bài tốn hình học để giúp học sinh cải thiện năng lực chứng
minh của mình đồng thời, phát triển nó ở một mức độ nhất định.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Để hướng dẫn học sinh chứng minh một bài tốn hình học, chúng ta nên
thực hiện theo trình tự các bước sau :

1. Tìm hiểu nội dung của bài toán :

Để giải được một bài tốn nói chung cũng như chứng minh một bài tốn hình
học nói riêng, trước hết phải hiểu đề bài và phải có hứng thú chứng minh bài
tốn ấy. Chúng ta dễ dàng nhận thấy các em sự thụ động và thiếu tự tin ở
những dạng toán “Chứng minh”. Điều này cũng dễ hiểu vì khi đọc đề bài, các
em khơng hiểu bài tốn nói gì và u cầu thực hiện điều gì. Vì thế, giáo viên
cần hết sức chú ý khâu quan trọng này và tìm cách gợi động cơ, kích thích trí tị
mị, hứng thú ở học sinh, giúp các em hiểu vấn đề phải chứng minh và cần thiết
chứng minh. Đối với bước này, ta có thể tiến hành như sau :

 Cho ít nhất hai học sinh đọc đề, cả lớp theo dõi.

 Cho cả lớp nhẩm thầm đề bài trong ít phút và tự xác định cách vẽ hình.
Tự đặt và trả lời các câu sau trong tư duy :

 Hình vẽ cần vẽ cái gì trước, cái gì sau ?
 Cách xác định các điểm của đề (nếu có).
 Cách vẽ góc, đoạn (nếu có).

2. Rèn kỹ năng vẽ hình và tóm tắt bài tốn :

a) Hình vẽ :

Sau khi đã đọc kỹ bài toán, tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ một
hình phác thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài, giáo viên vừa hướng
dẫn, vừa thực hiện các thao tác vẽ hình cho học sinh nắm. Khi vẽ hình cần lưu ý
các điểm sau đây :

 Hình vẽ phải mang tính tổng qt, khơng nên vẽ hình trong những trường
hợp đặc biệt. Ở khía cạnh này học sinh thường không chú ý và hay mắc
phải sai lầm nên giáo viên phải nhắc nhở để tránh tình trạng ngộ nhận
khi chứng minh. Chẳng hạn : Đối với các đoạn thẳng không nên vẽ bằng
nhau, đối với tam giác không nên vẽ cân hay vuông . . . nếu như bài tốn
khơng địi hỏi.

 Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt nhau,
vng góc . . .) và tính chất hình học (đường trung trực, phân giác, tam
giác cân, tam giác vuông . . .) mà bài tốn đã cho. Có những trường hợp
cịn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ các phần tử hình trong bài.

 Ngồi ra, để làm nổi bật vai trị khác nhau của các đường, các hình, trong
hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng
màu khác nhau . . . Điều này cũng quyết định đến việc quan sát hình vẽ
của học sinh rất nhiều. Giáo viên cần lưu ý học sinh vẽ hình to, rõ ràng
để tập cho các em quan sát hình vẽ được tốt hơn.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ : “Vẽ tia phân giác Oz của góc xOy bằng 1200” ; Giáo viên có thể hướng

dẫn học sinh như sau :

Dùng thước đo góc vẽ góc xOy bằng 1200. Vẽ tia phân giác của góc xOy

theo một trong caùc caùch sau :

Cách 1 : Dùng thước đo góc (Hình 1)

Cách 2 : Dùng thước hai mặt (Hình 2)

Cách 3 : Dùng compa (Hình 3)

b) Ký hiệu :

 Thơng qua hình đã vẽ, giáo viên tập cho học sinh tóm tắt đề bài bằng
cách ghi giả thiết, kết luận. Lưu ý học sinh : “Việc ghi giả thiết, kết luận

là chúng ta đã mã hóa ngơn ngữ bằng kí hiệu” nên phải sử dụng kí hiệu

thật chính xác trong phạm vi cho phép, không nên sử dụng một cách tùy
tiện. Việc kí hiệu giúp chúng ta nhìn bài toán một cách tổng quát hơn.
Mặt khác, tạo điều kiện cho các em liên tưởng đến thứ tự và sự tương
quan giữa các đối tượng.

 Khi nghiên cứu đề tốn, nhiều trường hợp ta phải chọn kí hiệu và đưa kí
hiệu vào một cách thích hợp. Dùng các kí hiệu tốn học có thể ghi lại các
đối tượng và mối kiên quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn
gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp
chúng ta hiểu được đề tốn. “Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả

công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhằm tránh khỏi mọi sự do dự
và lẫn lộn” (J. Pơlya – Sách đã dẫn).

 Khi chọn các kí hiệu cần chú ý :

600

O

x z

y

O

x z

y

O

x z

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Mỗi kí hiệu có nội dung dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước

đôi.

 Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng

đến kí tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng.

 Khơng dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau. Các kí

hiệu cùng loại để chỉ các đối tượng cùng loại. Chẳng hạn : Với tam
giác ABC : A, B, C chỉ các đỉnh ; a, b, c chỉ các cạnh tương ứng đối
diện với các đỉnh A, B, C ; ha, hb, hc chỉ các đường cao tương ứng

vng góc với các cạnh a, b, c . . . Hoặc kí hiệu ABC = DEF
tương ứng với quan hệ các cạnh AB = DE, AC = DF, BC = EF . . .

3. Xây dựng chương trình giải :

Tiếp theo giáo viên đi vào phân tích bài tốn : Cái gì đã cho, cái gì chưa
biết, có mối quan hệ nào giữa điều phải chứng minh với các yếu tố đã cho trong
giả thiết. Điều này nhằm gạt sang một bên những cái không bản chất, chỉ giữ
lại những quan hệ hình học trong đề bài để có thể nhận dạng được bài tốn.

Ở bước này, giáo viên phải chú ý chia nhỏ bài toán cần chứng minh thành
nhiều bước chứng minh đơn giản hơn và phải huy động được toàn bộ kiến thức
(định nghĩa, định lí, tính chất, . . .) có liên quan đến những khái niệm, những
quan hệ trong đề bài rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả
với dữ kiện của bài tốn. Mị mẫm, dự đốn, thử xét một vài khả năng kể cả
trường hợp đặc biệt, liên hệ một bài toán tương tự hoặc một bài tốn đã chứng
minh (tính kế thừa trong tốn học) . . .

a) Dựa vào các bài toán đã giải :

Có thể có nhiều bài tốn liên quan tới bài tốn đang xét. Do đó, cần thiết
phải nhớ lại một bài toán đã được giải gần giống với bài toán đang xét để lợi
dụng vào phương pháp giải, kinh nghiệm, . . .

b) Biến đổi bài toán :

Tạo ra những mối liên hệ mới, khả năng mới dẫn đến liên hệ lại kiến
thức liên quan tới bài toán.

c) Biến bài toán thành bài toán đơn giản hơn :

Điều này chủ yếu dựa vào kinh ngiệm : “Một bài tốn khó thường được
tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơn giản hơn”. Cho nên, để giải bài tốn
cần thiết phải phân tích bài tốn đang xét thành những bài tốn nhỏ dễ giải.

d) Có thể mị mẫm, dự đoán kết quả bằng cách thử một số trường hợp đặc
biệt, tổng quát dẫn đến lời giải bài toán đang xét. Chẳng hạn với những bài
toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

e) Sử dụng phương pháp đặt vấn đề bằng hệ thống câu hỏi :

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 Sử dụng phương pháp nào để giải ? Cần đưa thêm yếu tố phụ ?...
f) Phân tích bài tốn bằng sơ đồ  Giải quyết ngược lại :

Khó khăn lớn của học sinh trong bài tốn hình học là các em khơng có
khả năng xâu kết các chi tiết trong bài tốn. Từ đó, làm cho các em hồn tồn
mất phương hướng trong việc xây dựng chương trình giải (khơng biết bắt đầu từ
đâu, giải quyết bằng công cụ nào ? ...)

Như vậy, phân tích bài tốn bằng sơ đồ một mặt hướng dẫn học sinh khai
thác dữ kiện, mặt khác học sinh có thể xác định rõ cách thức, trình tự giải quyết
bài tốn cũng như các em có thể xác định được cần phải sử dụng nội dung kiến
thức nào để giải quyết bài toán.

Vậy phân tích bài tốn bằng sơ đồ là như thế nào ? Có thể minh hoạ bằng
sơ đồ sau:

Ví dụ 1 : Cho ABC vng ở A, đường cao AH. Chứng minh rằng: 
AB2 = BC.BH

 Phân tích : AB2 = BC.BH  AB.AB = BC.BH 

AB BH

BC AB

 ABC HBA

Ngoài ra, đối với những bài toán nhiều nội dung kiến thức (có kiến thức
khơng áp dụng được) thì bằng phương pháp nêu trên, học sinh cũng dễ dàng
loại bỏ những phương pháp không phù hợp bằng việc đối chiếu với dữ kiện bài
tập đã cho.

Ví dụ 2 : Cho hình vẽ, tìm ẠH ?

AH2 = BH.CH

AH AB.AC = BC.AH (loại)

1 1 1

AH AB AC (loại)

A

C 5 H 1 B

C H B

A

B

C

D
E
F
G

A

 

A H 1V 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Và khi thực hiện tiến hành từ dữ kiện bài toán đã cho: A H 1V   và B

chung để kết luận các vấn đề liên quan.

Ví dụ 3 : Bài tập 51 (SGK Tốn 7 – Tập I – Trang 128).

Đối với câu a, trước khi so sánh hai góc ABD và ACE, để học sinh quan
sát được dễ dàng hơn cũng như việc trình bày lời giải một cách ngắn gọn, giáo
viên có thể đánh dấu : ABD B ; ACE C  1   1. Tiếp theo, giáo viên có thể đưa ra hệ

thống các câu hỏi như sau :

+ Để so sánh hai góc nêu trên, có bao nhiêu khả năng xảy ra ?

Trả lời : Có ba khả năng : B 1C ;B 1  1 C ; B 1  1C1.

+ Với giả thiết ABC cân tại A, lại có AD = AE, các em hãy dự đốn một
trong ba khả năng đó, khả năng nào xảy ra nhiều hơn ?

Trả lời : B 1C 1.

+ Như vậy, để kiểm tra hai góc đó có bằng nhau hay khơng, ta thường
dùng phương pháp nào ? Gợi ý : Hai góc đó nằm trong hai tam giác nào ?

Trả lời : Chứng minh cho ABD = ACE.

Khi đó, việc so sánh hai góc đã trở về bài tốn quen thuộc mà học sinh
đã biết cách giải : “Chứng minh hai tam giác bằng nhau”. Giáo viên có thể huy
động kiến thức để giúp học sinh giải được bài toán này bằng cách nhắc lại các
trường hợp bằng nhau của hai tam giác kết hợp minh họa hai tam giác này ra
bảng nháp (Hình 4).

Khi đó, tính trừu tượng của bài toán đã giảm nhẹ, học sinh dễ dàng chứng
minh được hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh .

Ví dụ 4 : “Dựng tam giác ABC biết 

0 AB 1

A 60 ;

AC 2

 

và trung tuyến xuất phát từ
đỉnh A có độ dài m cho trước”.

A

B

D

A

B
D

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giáo viên có thể phân tích bài tốn này thành hai bài tốn như sau :
(1): Dựng AB’C’ biết 

0 AB 1

A 60 ;

AB' 2

 

(2): Dựng ABC AB’C’ ; BC // B’C’ và trung tuyến xuất phát từ A bằng
độ dài m cho trước.

Sau khi đã hướng dẫn học sinh tìm ra hướng chứng minh bài tốn, giáo viên
có thể tóm tắt quá trình thực hiện bằng một lược đồ (theo hướng phân tích
đi lên).

Ví dụ 5 : Sơ đồ để chứng minh Bài 52 (SGK Toán 7 – Tập I – Trang 128) có

thể phác thảo như sau :

(Hình vẽ của bài tốn)

 Lược đồ :

4. Trình bày lời giải :

Sau khi đã phác thảo được lược đồ chứng minh bài tốn, giáo viên sẽ
trình bày lời giải ra bảng và lưu ý học sinh : Trong lược đồ, yếu tố nào thể hiện
trước là điều phải chứng minh (thông thường chúng ta đi theo con đường này).
Do đó, ta phải trình bày từ dưới lên.

Lúc này, nếu thời gian cho phép, giáo viên chỉ ghi những bước chứng
minh chính ra bảng phụ rồi cho một em lên thực hiện, tất cả các em cịn lại làm
vào phiếu học tập có sẵn hướng dẫn. Điều này góp phần tạo điều kiện cho hoạt
động trên lớp được diễn ra đồng loạt.

Cuối cùng, giáo viên tập cho học sinh thói quen kiểm tra lời giải bài toán
bằng cách nhắc lại cách chứng minh bài toán trên nhằm khắc sâu kiến thức ở
học sinh. Ngồi ra, trong q trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích học

B

A
x

O1 C y

1 2
2 đều

AB = AC

BAC 60





AOB= AOC





1 2

A



A



30

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

sinh chứng minh theo nhiều cách, mỗi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm
nào đó của các dữ kiện. Vì vậy, việc tìm được nhiều cách giải là rèn luyện cho
học sinh cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh. Điều đó rất bổ ích trong
việc phát triển năng lực tư duy của học sinh. Mặt khác, chứng minh theo nhiều
cách sẽ giúp học sinh lựa chọn được cách chứng minh ngắn nhất và hay nhất.
Sau đó, giáo viên liên hệ bài tốn với thực tế (nếu có).

5. Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.

Công việc này giúp học sinh:

 Phát hiện thiếu sót, nhầm lẫn  sửa chữa.
 Có thể tìm thấy một giải pháp khác tốt hơn.

 Làm phong phú hơn kinh nghiệm giải toán cho học sinh.

III- KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ VIỆC PHỔ BIẾN ỨNG DỤNG :

Tóm lại, những bước để hướng dẫn học sinh chứng minh một bài tốn
hình học thực chất tơi đã học hỏi được ở các thầy cơ từ lúc cịn học phổ thơng
và sau này là học hỏi ở các đồng nghiệp. Chính vì lẽ đó, những phương pháp
này đã kế thừa có chọn lọc những mặt tích cực trong hệ thống các phương pháp
dạy học truyền thống đồng thời, vận dụng các phương pháp mới một cách khoa
học, phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện thực tế ở đơn vị nơi tôi đang công tác.
Sử dụng hợp lý và linh hoạt các bước trên là một trong những biện pháp rất
hiệu quả nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh đối với
việc chứng minh một bài tốn hình học nói riêng. Nếu như mỗi tiết dạy giáo
viên hướng dẫn học sinh theo trình tự trên sẽ giúp các em hoạt động nhiều hơn,
thực hành nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn và quan trọng là học sinh được suy

nghĩ nhiều hơn để tự các em có thể chủ động chiếm lĩnh tri thức, góp phần bổ
sung vào kho tàng toán học một dạng toán mà từ trước đến nay các em cảm
thấy thiếu tự tin khi thực hiện.

Trên đây là một số phương pháp dạy học chứng minh một bài tốn
hình học mà tơi đã vận dụng có hiệu quả ở đơn vị nơi tơi đang công tác. Kết
quả cho thấy số học sinh nắm vững bài được cải thiện đáng kể (Nếu tỷ lệ học
sinh nắm được bài là 3/50 như tơi đã trình bày ở trên thì con số này đã lên đến
20/50).

Vì thời gian tương đối hạn hẹp nên tơi chỉ có thể trình bày sáng kiến kinh
nghiệm của mình trong một chừng mực nhất định. Rất mong sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô để đề tài của tôi ngày một hồn thiện hơn, góp phần nâng cao
tay nghề cho các giáo viên bậc trung học cơ sở trong quá trình dạy học, giúp ích
cho ngành giáo dục của chung ta ngày một đi lên và hội nhập với các nước trên
thế giới.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Người viết