b c¸c d¹ng bµi tëp bµi tëp chñ §ò tæ hîp ®¹i sè tæ hîp i c¸c bµi to¸n vën dông quy t¾c céng quy t¾c nh©n ®þnh nghüa cña ho¸n vþ chønh hîp tæ hîp 1 1 c¸c bµi to¸n chän sè ph¬ng ph¸p gäi sè cçn t

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (158.78 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đại số tổ hợp

I/ Các bài toán vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ;định ngha ca hoỏn v,

chnh hp, t hp

1.1 Các bài toán chọn số:

*Phơng pháp:

Gi s cn tỡm cú n-ch số có dạng a a ...a ...a1 2 k n . Trong đó chữ số ak(vị
trí thứ k ) có m-cách chọn (k =1,2,...,n).. Vì các chữ số trên chọn đồng thời nên dùng
quy tắc nhân ta có số các số có thể chọn đợc.

 Chó ý:

+ Ch÷ sè ph¶i chän a1 0.

+ Trờng hợp các chữ số chọn đợc đôi một khác nhau.
+ Trờng hợp số chữ số đợc chọn có thể lặp lại một số lần.

+ Trong một số điều kiện nào đó ta phải chia các trờng hợp cụ thể để tìm số các số.
Khi đó ta dùng quy tắc cộng để gộp các trờng hợp lại.

+ Có thể dùng phơng pháp loại trừ để tìm số các số.

+ Cã thĨ dïng c¸c công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong một sè trêng hỵp .

 Phơng pháp và các chú ý trên đợc thể hiện ở các ví dụ sau:

* Ví dụ 1:Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc:

a/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.
b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ sè kh¸c nhau.

c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5.

* Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a/ Gồm 8 chữ số từ các số trên.

b/ Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần cịn các chữ số khác có mặt đúng
1 lần.

* Ví dụ 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó có hai chữ số 1 và 2 khơng đứng cạnh nhau.

* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác
nhau sao cho :

a/ Số đó chia hết cho 5.

b/ Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1.
c/ Nhỏ hn 600000.

* Ví dụ 5: Xét các hoán vị cđa 6 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6. TÝnh tỉng S cđa tất cả các số tạo thành
bởi các hoán vị này.

* Ví dụ 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và
trong đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị.

Bµi tËp

* Bài 1: Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau t 5
ch s trờn sao cho:

a/ Số tạo thành là một số chẵn.

b/ Số tạo thành không có mặt của chữ số 7.
c/ Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5.
d/ Số tạo thành nhỏ hơn 278.

*Bài 2: Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

*Bài 3: Cho tập A

1, 2,3, 4,5,6,7,8



a/ Cã bao nhiªu tËp con X cđa A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không
bắt đầu bởi sè 123.

*Bài 4: Cho tập A



0,1, 2,3, 4,5,6,7



có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau
ly t tp A sao cho:

a/ Số tạo thành là một số chẵn.

b/ Một trong 3 chữ số đầu tiên ph¶i b»ng 1.

*Bài 5: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại chọn từ
2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số nh vậy nếu

a/ 5 chữ số 1 xếp kề nhau.
b/ Các chữ số đợc xếp tuỳ ý.

*Bµi 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.

a/ Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trªn.

b/ Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.

*Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số a a ...a1 2 7
thoả các điều kiện chữ số a3 là số chẵn , a7 không chia hết cho 5, các chữ số a ;a ;a4 5 6 đôi
một khác nhau.

*Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số :

a/ Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
b/ Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

*Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số đợc viết có
một chữ số đợc xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số
nh vậy.

* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã
cho. Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.

1.2 Các bài toán chọn các đối tợng thực tế:

*Ph¬ng pháp:

Ta xét hai dạng toán sau đây:

Dng 1 :Tỡm số cách chọn các đối tợng thoả điều kiện cho trớc.

* Ví dụ 1: Có 3 bơng hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem
nh đôi 1 khác nhau) ngời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bơng.

a/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa đợc chọn tuỳ ý.
b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bơng màu đỏ.

c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng
hồng đỏ.

* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, ngời ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để
ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học
sinh trên đi trực tuần sao cho trong 3 em đợc chọn ln có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn.

* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi.
Ng-ời ta cần chọn 3 học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho khơng có
cặp anh em sinh đơi nào đợc chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

* Ví dụ 5:Trong một mơn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu
trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề
gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung
bình và dễ) đồng thời số câu dễ khơng ít hơn 2.

* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc

lấy từ các đỉnh của H.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
d/ Có bao nhiêu tam giác khơng có cạnh nào là cạnh của H.

 Dạng 2:Xếp vị trí các đối tợng thoả điều kiện cho trớc.

* VÝ dô 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho
a/ Bạn C ngồi chính giữa.

b/ Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.

* Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dÃy bàn dài, mỗi dÃy có 5 chỗ ngồi. Ngời ta muốn xếp
chỗ ngåi cho 10 häc sinh gåm 5 nam vµ 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:

a/ Các học sinh ngåi tuú ý.

b/ C¸c häc sinh nam ngåi mét bàn và nữ ngồi một bàn.

* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nớc : Việt Nam 3 ngời, Lào 5 ngời, Thái
Lan 3 ngời và Trung Quốc 4 ngời. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên
sao cho ngời cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau.

* Vớ d 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Ngời ta muốn sắp
xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trờng A và 4 học sinh trờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao
nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:

a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng
với nhau.

b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.

1.3 Một số bài toán tổ hợp thường gặp:

Loại 1. Chọn phần tử từ các tập.

Ví dụ 1: Tổ một có 10 học sinh, tổ hai có 9 học sinh. Hỏi có nhiêu cách chọn một nhóm gồm
8 học sinh sao cho mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh.

Lời giải:

Giả sử ta chọn k học sinh của tổ 1 và 8-k học sinh từ tổ 2 . Vì mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh
nên 2 k 6

Số cách chọn k học sinh trong 10 học sinh là: 10
k

C

. ứng với mỗi cách chọn trên ta có số cách

chọn 8-k trong 9 học sinh của tổ 2 là

8
9
k

C



. Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn 8 học sinh
như trên là: 10

k

C

x 8

9
k

C



Cho k lần lượt các giá trị 2,3,4,5,6 ta có số cách chọn là:
: S=

2
10

C

6
9

C

.+ 3 5 4 4 5 3 6 2
10 9 10 9 10 9 10 9

C C C C C C C C

  

Ví dụ 2: Người ta sử dụng 3 loại sách gồm 8 cuốn sách tốn, 6 cuốn vật lý, 5 cuốn hóa học.
Mỗi loại gồm các quyển sách khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách sao cho mỗi
loại có ít nhất một quyển.

Lời giải:

Số cách chọn 7 quyển trong 19 quyển là

7
19

C

Các cách chọn không đủ cả ba loại sách là:
1. Chọn 7 trong số 11 cuốn lý và hóa là:

7
11

C

2. Chọn 7 cuốn trong 13 cuốn sách hóa và tốn là:

7
13

C

3. Chọn 7 cuốn trong 14 cuốn sách toán và lý là:

7
14

C

4. Chon 7 cuốn trong 8 cuốn sách toán là:

7
8

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vì mỗi cách chọn khơng có sách LÝ và sách Hóa thuộc cả hai phép chọn khơng có sách lý
và khơng có sách hóa nên số cachs chọn là:

7
19

C

- 7
11

C

- 7
13

C

- 7
14

C

+ 7
8

C

= 44918 cách chọn.

Loại 2: Sắp xếp các vật từ họ các vật.

Ví dụ 3: Có 5 viên bi xanh giống nhau 4 viên bi trắng giống nhau và ba viên bi đỏ đơi một
khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có
một viên bi.

Lời giải:

Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì có 12! Cách sắp xếp. Nhưng do bi xanh giống hệt
nhau và 4 viên bi trắng giống hệt nhau nên các hoạn vị của chúng chỉ cho cùng một cách sắp
xếp đối với 12 viên bi nên số cách sắp xếp cân tìm là:

12!

166320

5!.4!

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ quanh một bàn
trịn sao cho khơng có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.(Hai cách sắp xếp khác nhau về vị
trí nhưng cùng thứ tự được coi là một)

Lời giải:

Giả sử đã xếp chơ 5 học sinh nam . Vì ba học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được
chọn 3 trong 5 vị trí xen kẽ với học sinh nam. Vậy số cách chọn cho 3 học sinh nữ là:

3
5

A

.

Vì hai cách xếp vị trí cho 8 người trong một bàn tròn cùng thứ tự coi là một nên ta có thể
chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó số hốn vị của 4 học sinh nam còn lại là 4!.
Vậy số cách chọn là:

5.4! 1440

A



Loại 3: Phân chia các vật từ một họ các vật:

Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 học sinh mà mỗi học sinh được
ít nhất một đồ vật.

Lời giải:

Giả sử có 100 đồ vật được xếp nằm ngang, giữa chúng có 99 khe hở . Đặt một cách bất kì 3
vạch vào 99 khoảng trống đó ta được một cách chia 100 đồ vật thành 4 phần sao cho mỗi
phần có ít nhất một đồ vật.Mà tổng số đồ vật là 100. Vậy số cách là:

3
99

C

Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đơi một khác nhau cho ba người sao cho có một
người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người có 3 đồ vật.

Lời giải:

Có ba cách chọn cho một người được 2 được hai đồ vật còn lại hai người được 3 đồ vật. Mỗi
cách chọn đó ta có:

1. Số cách chọn 2 trong 8 đồ vật cho người được hai đồ vật là :

2
8

C

sau đó số cách chọn

3 trong 6 đồ vật cịn lại là:

3
6

C

còn lại 3 đồ vật cho người thứ 3

2. Theo quy tắc nhân ta có : 3.
3
6

C

2
8

C

=1680

Chú ý một số học sinh quan niệm nhầm

3
6

C

2
8

C

và 3!. 3

C

2
8

C

. Trường hợp 1 nhầm vì coi

vai trị người được 2 đò vật và 3 đồ vật là như nhau, trường hợp 2 nhầm vì coi vai trị của
2 người được 3 đò vật là khác nhau.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gåm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 häc
sinh sao cho :

a/ Sè häc sinh nam hc nữ là tuỳ ý.
b/ Phải có 2 nam và 2 nữ.

c/ Phải có ít nhất 1 nữ.

d/ Số học sinh nam không vợt quá 2.

* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sù gåm 1 líp tr ëng, 1 líp phã vµ 3
uỷ viên . Hỏi có mấy cách lập ra ban c¸n sù líp.

* Bài 3: Gia đình ơng A có 11 ngời bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 ngời
đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng đợc mời hoặc khơng cùng đợc mời. Hỏi
ơng A có bao nhiêu cách mời.

* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh

có 4 nam và 1 nữ.

* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6
học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự
trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em đợc chọn.

* Bài 6: Cho hai đờng thẳng song song. Trên đờng thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đờng
thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác đợc tạo bởi các điểm đã cho.

* Bài 7: Cho đa giác đều A A ...A (n 2, n1 2 2n   )nội tiếp đờng tròn tâm O. Biết rằng số các
tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A ;A ;...;A1 2 2n nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật
có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A ;A ;...;A1 2 2n . Hãy tìm n.

*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào 6 chỗ ngồi đã đợc ghi số thứ tự trên
một bàn dài. Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:

a/ A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại.
b/ A và B không ngồi cạnh nhau.

*Bi 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách mơn tốn,
4 cuốn mơn văn, 6 cuốn mơn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên
một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này đợc xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề
nhau.

* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Ngời ta muốn sắp
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao
nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:

a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng
với nhau.

b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.

II/ Nhị thức Newton và các ng dng:

2.1 Tính tổng hữu hạn:

* Phơng pháp:Từ công thức khai triÓn

0 1 1 2 2 2

( )n n n . n . ... n n n k n k. .k

n n n n n

k

a b C a C a  b C a  b C b C a  b



      



Ta có thể biến đổi nh sau:

+ Thay cụ thể a,b bởi số nguyên nào đó.
+ Giả sử





S  a b

vµ





n
2

S  a b

( với a,b là số nguyên cụ thể). Ta có thể tính
đ-ợc các tổng A S 1S ; B S2  1 S2.

+ Có thể thay cụ thể a,b bởi số nguyên nào đó với số mũ 2n,3n,...
+ Thay b bởi x ta có biểu thức





a x F(x)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

+ Thay b bëi x ta cã biĨu thøc





a x F(x)

. Có thể tích phân xác định hai vế theo
một cận nào đó ta sẽ thu đợc một tổng tơng ứng.

* VÝ dơ 1:T×m c¸c tỉng sau:

0 1 2 2 n n

n n n n

A = C + 2C + 2 C + ... + 2 C
2/

17 0 1 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17

17 17 17 17 17

B = 3 C - 4 .3 C + 4 .3 C - 4 .3 C + .... - 4 .C
3/

0 1 2 n-1 n

n n n n n

C = 1.C + 2C + 3C + ... + nC + (n + 1)C

(1)
4/

1 3 2n-1
2n 2n 2n

D = C + C + ... + C .
5/

0 1 n-1

n n n

E = nC + (n - 1)C + ... + C

6/ a/ TÝnh

n
0

(x 1) dx



b/ TÝnh

0 1 2 n

n n n n

1 1 1

S C C C ... C

2 3 n 1

    

 .

* VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:
1/

n-2 0 1 n-2

n n n

n(n - 1)2 = n(n - 1)C + (n - 1)(n - 2)C + .... + 2C
2/

0 2 1 2 n 2 n

n n n 2n

(C ) + (C ) + ... + (C ) = C .

Bài tập

1/ Tìm các tổng sau:

1 2 2 3 3 n n n

n n n n

A = 1 - 2C + 2 C - 2 C + ... + (-1) 2 C

n 0 n-2 2 n-4 4 n

n n n n

B = 2 C + 2 C + 2 C + ... + C
2/ Chøng minh:

0 1 2 2005 2004

2005 2005 2005 2005

C 2C 3C ... 2006C 2 2007
3/ T×m sè n sao cho:



           

1 2 2 3 3 4 n 2 n 1
2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1

C 2.2C x 3.2 C 4.2 C ... (2n 1)2 C 2005



2

n
0

a/ I = (1 - x) dx.

 

 

0 n 1 3 2 n+1 n

n n n

1 1 1 1

b/ CMR : 2 C - .2 C + .2 C + ... + (-1) 2 = 1 + (-1)

2 3 n + 1 n + 1



1

2 n
0

a/ I = x(1 - x ) dx

0 1 2 n n

n n n n

1 1 1 1 1

b/ CMR : C - C + .C + ... + (-1) C =

2 4 6 2n + 2 2(n + 1)

2.2 Các PT,BPT, HPT chứa công thức nhị thức Newton:

*Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau:

1/ 

2 2

x 2 x

2A 50 A 2/ x  x  x

4 5 6

1 1 1

C C C

*VÝ dô 2: Tìm k sao cho các số

k k 1 k 2
7 7 7
C ;C ;C 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

*VÝ dụ 3: Giải các bất phơng trình sau:
1/

4 3 2

n 1 n 1 n 2
5

C C A 0, n

       

3 n 2

n n

A 2C 9n

*Ví dụ 4: Giải các hệ phơng trình sau:

1/

 




 



y y
x x
y y
x x

2A 5C 90

5A 2C 80

 

 

y y 1 y 1
x 1 x x

C : C : C 6 : 5 : 2

Bµi tËp

*Bµi 1:

1/   

2 2

x x x x

P A 72 6(A 2P ) 2/ x  x  x

5 6 7

1 2 14

C C C

3/        

2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4

C 2C 2C C 149

4/

C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x

*Bài 2:Giải các bất phơng trình sau:

1/

x 3

x 1
4

x 1 3

C 1

A 14P

2/

     

4 3 2
x 1 x 1 x 2

C C A 0

3/

  

2 2 3
2 x x x

1 6

A A C 10

2 x 4/ C22x C2x4 ... C 2x2x 22003 1

*Bài 3: Giải các PT và hÖ PT sau:

1/





 




 



y y 1
x x

C C 0

4C 5C 0

 

   

m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1

C : C : C 5 : 5 : 3

2.3 Các số hạng trong khai triển của nhị thức Newton:

Trong phần này ta sẽ xét hai dạng chính nh sau:

+ Tìm số h¹ng thø k - cđa khai triĨn





n
x y

khi đã biết một số điều kiện của n hoặc
vài phần tử trong khai triển.

+ T×m n - cđa khai triÓn





n
x y

khi đã biết một số điều kiện của vài số hạng trong
khai triển .

* VÝ dơ 1: Cho ®a thøc :













9 10 14

P(x) 1 x  1 x ... 1 x

cã d¹ng khai triĨn lµ

2 14

0 1 2 14

P(x) a a x a x ... a x

. H·y tÝnh hƯ sè cđa x9.

* VÝ dơ 2: Cho khai triĨn :





2 3 2 15

0 1 2 15

1 x x  x a a x a x ... a x
a/ TÝnh hƯ sè a10.

b/ TÝnh tỉng T a 0a1a2... a 15 vµ S a 0 a1a2  ... a 15

* VÝ dơ 3: Gi¶ sư





n 2 n

0 1 2 n

1 2x a a x a x ... a x

. BiÕt r»ng

0 1 2 n

a a a ... a 729

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

* Ví dụ 4: Xác định n để trong khai triển nh thc

n
x 2

hạng tử thứ 11 là sè h¹ng cã
hƯ sè lín nhÊt.

* VÝ dơ 5: Cho biÕt hƯ sè cđa sè h¹ng thø 3 trong khai triÓn

n
3 x
x x

 



 

  b»ng 36. HÃy

tìm số hạng thứ 7.

* Ví dụ 6: Tìm hạng tư cđa khai triĨn





9
3
3 2

lµ mét sè nguyªn.

* VÝ dơ 7: Cho khai triĨn :

6
1

4 n
4
2 2

.

Tìm n sao cho hạng tư thø 5 cđa khai triĨn b»ng 240.

* VÝ dơ 8: Trong khai triĨn nhÞ thøc

n
28
3 15
x x x

.

Tìm hạng tử kh«ng chøa x, biÕt r»ng

n n 1 n 2

n n n

C C  C  79

  

* VÝ dơ 9: Cho khai triĨn nhÞ thøc:

n n n 1 n 1 n

x x x x

x 1 x 1 x 1 x 1

0 1 n 1 n

3 3 3 3

2 2 2 2

n n n n

2 2 C 2 C 2 2 ... C 2 2 C 2




  

   




            

     

            

     

       

(với n nguyên dơng). Biết rằng trong khai triển đó

3 1

n n

C 5C vµ số hạng thứ t bằng 20n. HÃy
tìm n và x.

* Ví dụ 10: Tìm các giá trị của x  sao cho h¹ng tư thø t trong khai triĨn cđa
6

1
lg x 1 12

x  x

 

  

 

  lµ 200.

Bµi tËp

* Bµi 1: Cho khai triĨn :





100 2 100

0 1 2 100

x 2 a a x a x ... a x
a/ TÝnh hƯ sè a97.

b/ TÝnh tỉng S a 12a2 ... 100a 100.

* Bµi 2: Cho khai triĨn :





2004

2 2 4008

0 1 2 4008

1 x x  a a x a x ... a x
a/ TÝnh hƯ sè cđa x4.

b/ Chøng minh r»ng

4008

0 1 2 4008

a 2a 4a ... 2 a

chia hÕt cho 2401.

* Bài 3: Cho đa thức :

12 2 12

0 1 2 12

1 2x a a x a x ... a x
.
T×m max a ;a ;...;a



1 2 12

.

* Bài 4: Tìm hệ số khai triển cđa x8trong khai triĨn cđa nhÞ thøc



8
2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

*Bài 5: Tìm hệ số khai triĨn cđa x7trong khai triĨn cđa nhÞ thøc





2n
2 3x

. Trong đó n là
số nguyên dơng thoả mãn:

1 3 5 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

C C C ... C  1024

         .

*Bµi 6: Cho khai triĨn nhÞ thøc









n n

x 1 x 2

và a3n 3 là hệ số của x3n 3 . Tìm n để

3n 3

a  26n.

*Bài 7: Giả sử n là số nguyên dơng vµ





n 2 n

0 1 2 n

1 x a a x a x ... a x

. BiÕt r»ng tồn tại
số k nguyên

1 k n 1



sao cho

k 1 k k 1

a a a

2 9 24

   

. H·y tÝnh n.

* Bài 8: Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển

10
3
5

1
x
x



.

* Bài 9: Tìm hệ số cđa x8 trong khai triĨn nhÞ thøc Newton cña

n
5
3
1

x
x

 



 

  , biÕt r»ng
n 1 n

n 4 n 3

C  C 7(n 3)

     .

* Bµi 10: Cho biÕt tỉng tất cả các hệ số của khai triển nhÞ thøc

2
1
2nx

2nx

 



 

  b»ng 64.

Tìm hạng tử không chứa x.

* Bài 11: Tìm các giá trị của x sao cho trong khai triĨn cđa

m
x

x 1
1
2

2 

 



 

  tỉng các

hạng tử thứ 3 và thứ 5 là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22.

* Bài 12: Cho khai triÓn :

x 1 x

4 2
3

4.2
2



 



 

  gäi T ,T3 5 là các hạng tử thứ 3 và thứ 5 của
khai triển và

3 1
m m
C ;C

là các hệ số của hạng tử thứ t và thứ hai.

T×m x sao cho





m m

3 5

lg 3C lgC 1
9T T 240

  




 



</div>

b c¸c d¹ng bµi tëp bµi tëp chñ §ò tæ hîp ®¹i sè tæ hîp i c¸c bµi to¸n vën dông quy t¾c céng quy t¾c nh©n ®þnh nghüa cña ho¸n vþ chønh hîp tæ hîp 1 1 c¸c bµi to¸n chän sè ph­¬ng ph¸p gäi sè cçn t

<b>đại số tổ hợp</b>

<b> I/ Các bài toán vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ;định ngha ca hoỏn v, </b>

<i><b>chnh hp, t hp</b></i>

<i><b>1.1 Các bài toán chọn số:</b></i>

<i>*Phơng pháp:</i>

<b>Bµi tËp</b>







<i><b>1.2 Các bài toán chọn các đối tợng thực tế:</b></i>

<i> *Ph¬ng pháp:</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C C C C C C C C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>A</i>

<i>A</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i><b>II/ Nhị thức Newton và các ng dng:</b></i>

<i><b>2.1 Tính tổng hữu hạn:</b></i>

<sub></sub>



















<b>Bài tập</b>





<i><b>2.2 Các PT,BPT, HPT chứa công thức nhị thức Newton:</b></i>

1/

<b>Bµi tËp</b>

<sub>4/</sub>

1/

<sub>2/</sub>

3/

<i><b>2.3 Các số hạng trong khai triển của nhị thức Newton:</b></i>

































<b>Bµi tËp</b>



b c¸c d¹ng bµi tëp bµi tëp chñ §ò tæ hîp ®¹i sè tæ hîp i c¸c bµi to¸n vën dông quy t¾c céng quy t¾c nh©n ®þnh nghüa cña ho¸n vþ chønh hîp tæ hîp 1 1 c¸c bµi to¸n chän sè ph¬ng ph¸p gäi sè cçn t