Đạo hàm trung bình và các phương pháp phối hợp để giải một số bài toán biên

TRUONG DAI HQC TONG HOP HA NOl
Khoa Toan - Co - Tin hoc

" ' • •

' ' ' ' ^ \

'

DAO HAM TRÜNG BÍNH VA CÁC PHÜONG PHÁP PHOI HCÍP
•

•

DE GIÁI MĨT SO BÁI TOAN BIEN
Chun ngánh: Toan hoc tính toan

Más6

1-01-07

LN AN PHO TIEN SI TOAN LY
•^•'^ irifí !\¡Ü>^^, :

THAY HUONG DAN: PHÁN VAN HAP

HA NOI -

1993

MUC LUC
Chijdng 1 : M¿ dáu
$1. Dao hám trxmE binh tích phan
$2- Mót so khái niém bo trO
2.1. Nghiém xáp xi
2.2. Phiidng pháp can bang sai so
2.3. Các phép bien doi toan t\l

g ¿:

Cae bal toan bien co nghiem khong trun

w
6
6
7
8

12

$1_ Bái toan bien d^ng phúc tap có nghiém gián cJoan

12

$2- Bái toan bien dang phúc ta.p có nghiém khóng trdn

17

$3. Bái toan bien dang don gian có nghiém khóng trdn

19

OJlUOn^ ü - Cae bai toan bien co he so khong tron

20

$1. Bái toan bien mot chiéu d^ng don gian

20

$2_ Bái toan bien

26

mot chiéu dang tóng qt

ChllĨn^ 4' Cae bai toan bien eo bien ky di

30

$1. Bái toan bien vói phuong trinh laplaxd

30

$2. Bái toan bien vói phildng trinh poatxóng

42

ChliĨnS dMot so philong phap phoi hop giai
Bái toan bien khóng dúng tren mién có bien ky di

46

$1- PhUdng pháp bien doi Laplaxd

46

$2. Phildng pháp

50

dng thang

$3- PhUdng pháp láp tích phán

Phu luC

52

64


-

4
A^

CHÜQNGl

MO DAU

Trong ehudng md dáu,
tac giá trinh báy khái niém deo
hám trung binh tích phán, mgt so tính chát quan trgng cüa nó
vá mgt vái khái niém bó trd. can thiét cho viéc nghién cúu d
các chiidng sau.

$1. Bao hám trung binh tích phán:
1.1. Sinh nghia [13]:
i) Xét F:X —••• Y

(X,Y - B khóng gian)' , Xo ^ X .
néu V h "íi X , ton t^ii:
(

1
lim
S-i-O

F(xo+th)-F(xo)
dt - SFCxo,h)

2Í

/g-

t

thif F(xo,h) ggi lá bien phán trung binh (theo
thú 1 cüa hám F tai xo.

tích phán)

iij Néu tai Xo ta cc5'F(xo,h) ~ Ah
trong dó A - Toan tü tuyen tính giói ngi,
thi F dUdc
ggi la khá vi trung binh, co dao ham trung binh theo tích
phán t§.i Xo, vá viét F'(xo, h)= Ah.
Nhán xét:
De muc dinh nghién cúu cüa luán án nén ó dáy chi
sü dung d&o ham trung binh tích phán theo dinh nghia tren.
Ta có thé md róng dinh nghia tren báng cách thay thé biéu
thúc tronfe i) bói biéu thỳc:
F(xo+th)-F(xo)

1
1 im
^-ãã0

ể dỏy:

dt = ĐF(xo.h)
(ô+P. )S

-ai
ô, B > O

1.2. Tinh chát [13].
i) Hién nhién ta có:
(FTG)(

(xo) - F'(xo) -^
( X O ) = a.F'

(Xo)

G'^(XO)


- 5 (F

* G)'

(Xo)

= F'(Z¿).

G'(XO)

(ZO^GCXO)

ii) Neu F có dao hám Gateaux tai Xo thi F cúng có dao hám
"^^•^ng binh tai dó vá ta có: F'(xo) = F'(xo).
iii) Ton tai ^ hám F có dao hám trung
kbóng có dao hám Gateaux tai dó.
Vi du: F(x) - Ixl khóng có dao

F'(o) = lim
S -i-0

binh tai xo,

nhUng

hám Gateaux tai xo - O nhUng:

1hlsigntdt = O

2J

- j
.^o

iv) Hám F có diém góe tai Xo (hinh
trung binh tai dó
fi(x)

1 ) . Nhung có thé^dao hám

•2(x)

v) Hám F khóng lien "cuc t^i
trung binh t5LÍ dó (hinh 2 ) .

xo,

nhUng có thé co GQ^O ham

X2(X)

fiCx)

Xo
fíirih 9.

vi) Hám F có dao hám húu han
hám rrung binh tai dó vá "ca có:
_
F'(xo) =

hai phía tai

F^(Xo-rO) + F'(xo-O)

Xo thi co aao

,t

D


- 6 Nhan xet: Các t m h chat i i ) , iii), i v ) , v) suy tú tính chat
vi) báy gió ta chúng minh tính chat v i ) .
Thát váy do gia thiét F
nén de dáng suy ra hám:

có dao hám

hai phía tai

xo

F(xo+th) - F(xo)
f(t):
t
lien tuc trong lan can t=0^
5"
--->

lim
^'-^O

f(t)dt =
2ó

im [f(5) - f(-Q)]

S-^0

2

-5

F(Xo-i-5h) - F (Xo)
2

F (Xo-5h)

F(xo+§h) - F(xo)
—

lim —
5^
2 L^-^O

F'(XO-HO)

F(xo-5h) - F(xo) -í
+ lim

+ F'(xo-O)
==> (dfcm)

$2. Mót s6 Jdiái niém b6 tro
2-1- Nghiém xáp xi [1]
iriá sü can tim nghiém :<áp
L(U) = b

trong mién o

xi cüa phUdng trinh:

(2.1.1)

Vói các dieu kién:
3(U) - 3

(u)

t.xo;

lim
ó -*-0

Tren phán bién •'^; (2.1.2)
Tren phán bién "

Trong dó o lá mién dude giai vói


L , S, G
cho. Giá sü U
(2.1.3) má ta
Ta tim nghiém

lá các toan tü vi phán, b, s, g lá các hám da
lá nghiém dúng cüa bái toan (2.1.1),
(2.1.2),
khóng thg tim dUde báng phng pháp giái tích.
xáp xi U cüa U dtlói dang:

n
U* = i: «1 'f>i + «o
1=1

.
'

(2.1.4)

ó dáy ai(i=0,n) lá các hé só can tim;

{ *í^i(x) } (1=1,=^ ) lá
hé hám dáy dü, túc lá hé thoa man các dieu kién sau:
i)

{ ¥'i(x) }._ dóc láp tun tính V n.

ii) V£> O, Vu,3n sao cho:

Dat

(2.1.4)

[u-

(ZtXiíí?i-HXo)] d x

váo

(2.1.1),

^

(2.1.2),

i ¿

(2.1.3)

ta

R:

=

L ( U * ) - b TÍ O

(2.1.6)

Ri:

=

S(ü*)

(2.1.7)

Rs: =

-

s ?í O

G(U") - g /

O

¿xiOc:

(2-1.8)

Trong viee tim nghiem xap xi U sao cho các ham sai se R,
Ri, Ra dude xác dinh bdi (2.1.6), (2.1.7), (2.1.8) có giá
tri bé túy y tren Q + r,
da xuát hién nhieu phucng pháp khá
ly thú. Dé phuc vu cho viéc nghién cúu d các chüdng sau,
chúng tói trích dan phiidng pháp can báng sai só dUdc trinh
báy trong [1].
2-2- PhUdng pháp can bang sai so Giá thiét rang VW déu viét dUde duói dang:

Z Bifi
i=l
"trong dó {^^i}
Thé thi moi ham

(2.2.2-

la hé hám dáy du ; {3 i}
u thoa man dieu kién

các hé so.

bien ~inh dúngtúc

lá:
Ri = Rs - O

.

j

(2.2.2)


8
va:
(R,W) =

(2.2.3)

R.Wdo = O

¿\ióc g o l
l á nghiém x á p x i c ü a b á i t o a n ( 2 . 1 . 1 ) ,
( 2 . 1 . 3 ) ; con W dUdc g o l l á hám t r o n g lUdng.
Dinh l y ( G a u x d - O s t r ó g r a t x k i )
Míen ii Büóc gla thlet^npl
va Bón lien,
quy, thé thi:
f"^'

mat f' la kin

va

chinh

3w

3u
(w 'v^ u - u ^ " w ) dQ

(2.1.2),

(w

-)

u

an

ds

(2.2.4)

lá các

Bao hám

^n

Q

3u
Trong

36 V

toan

tü

Laplaxó

;

3w
^ ^ ___

an
theo

pháp

tuyen

3n

cua cae hám u^ w túóng

úng.

2-3- các phép bién doi toan tU:

2.3.1. Phép bién doi LapIaxO mót chiéu:
i) Dinh nghia: Phép bien Bol Laplaxó
mot chleu lá phép
361 Bat túóng úng mol hám f(t)
mot hám F(s) Búóc xác Binh
Báng

thúc:

F(s): = ^ C f ( t ) , s]

bien
bol

f(t) e ^"^ dt

ii) Dieu kién dü dé ton tai phép bién dói Laplaxd mgt chiéu:
Phép bién dói Laplaxd mót
theo nghia hgi tu tuyét dói néu:
+ 0O

a) Ton tai

J if(t)[e
f(t)(e
o
b) Ton tai ^ [f(t), s]

dt

chiéu cua hám

f(t) ton tai


- 9 iii) Phép bién dói ngUdc Laplaxd mót chiéu:
Phép bién dói dat tUdng úng moi hám^F(s) mgt hám f(t) má

y. [f(t),s] = F(s) dude ggi lá phép bién dói ngUOc Laplaxd
mgt chiéu cüa hám f(t); vá viét;
f(t) = ^ "^[F(s)] .
iv) S\t ton tai cüa phép bién dói ngU0c Laplaxd
a) Néu F(S) lá hám
tai^^[F(s)].

giái tích vá có cap nhó

non (-1) thi ton

b) Giá sü F(s) ' ^[Fi(s), F,2(s), ,.., Fn(s)]
Trong dó ^(zi, zs, .-., Zn) lá hám thoa man dieu kién:
'^(Z1,Z2, ..., Z n ) ~ O < = => Zl = Z2 -

Fic(s) =

¿'

[fi^(t),s]

thi ot
CF(s)] ton tai
hgi tu tuyét dói.

... = Zn = O ;

Vk = l,n .

vá phép bién dói

Laplaiíd tUdng úng

v) Tính chát cua phép bién dói Laplaxd:
a) Gia thiét Fi(s),
F2(s) lá các bién dói Laplaxd cüa các
hám fi(t), f2(t) tUdng úng. Thé thi V «, B ik các háng so ta
có;
[ocfi(t) + tif2(t),s] = ocFi(s) + BF2(S)

^

b) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t),

vá

ton tai f (t) Vt > O khi dó:
^

[f'(t),s] = sF(s) - f(0+0)

c) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa
tai dao hám cap r cüa hám f(t) Vt > O the thi;
^

ífit),

s] = s F(s) - s

f(0+0) ... - f

f(t) vá ton

(0+0)

d) Neu^f(ü) lá hám giói ngi Vt >0 vá ton tai f'(t) Vt>0 "crú
các diém t=ti,
ta,
... má tai dó f''t) có cae giói han hai
phía húu han, thi
^

[f'Ct),s] = 3F(o)-F(0+0)-Zexp(-t±s) [f(ti+O )-x(-i-O ) ]

e) Giá sü F(s) lá phép bién doi
vói moi háng só a ta có:

Laplaxd cüa hám f(t) khi dó


- 10

%í [f(a.t),s]

= a

.F(

)

f) Giá thiet F(s,íx) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t,'-x)
trong dó « lá tham so khóng phu thuge váo t vá s. Thé thi:
^[lim
üt—*-a

f(t,'o(),s] - lim F(s,ü()
ot—*-a

g) Giá thiét F{s) lá phép bién dói Laplaxd cua f ( t ) ,
các dáng thúc sau:

ta có

+ S^^t t f(t),s|= F'(s)
+ oC L^~^^

^

x(t)^Sj= F

(s)

4-m

5r[t~^ fft)^^=

F^(s)ds

(Néu tích phán hgi t u ) .

Tú các tính chát b,
vá d, ta có dinh ly thiét láp mói
quan hé cüa phép bién dói Laplaxó vá dao hám trung binh nhu
sau:

trung
f(t):

Gla thiét f(t) glól
nól Vt>0,
binh f'(t) Vt>0;
F(s) lá phép bien

ton tal Bao hám
Bol Laplaxó
cua

+ Néu f(t) lien tuc thi-ta có:
3^ [ f - t ) , s] = sF(s) - f(0+0)
+ Neu f(t) có giói han hai phía hüu han tai tx,

t2 ...

thi

Ífcf'(t), 3] =

iF(s) - f(0+0)- i:exp(-tiS) [ f(ti+0)-f(ti-0) j
V

2.3.2. Phep bién dói T.FJPlaxd hai chiéu:
Phép bién dói Laplaxd hai chiéu lá phép bién
i) Dinh nghia:
dói dat tUdng ung moi ham í.\x.) mgt ham Fís) co dang:


11

x^[f(t).
F(s) =
=oCo[f(t),s)]
=

f(t)e ^ dt

ii) Quan hé giüa bién dói Laplaxd hai chiéu vá mgt chiéu:
Giá thiét ton tai các phép bién dói Laplaxd
vá hai chiéu cho hám f(t) thé thi:

mgt chiéu

^ [ f ( t ) , s ] = ^[f(t),s] + ^[f(-t),s]
iii) Tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu:
Nhiéu tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu
¿xií^c suy tú tính chát cüa phép bién dói Laplaxd mgt chiéu.
Trong trng hOp riéng ta có;
a) ^B'[f(t),s] = ^

[f(t),s]

/?

néu

f(t) = O khi t ^ 0.

c

a) ¿ f s [f(t),s] - ^[f(t),s]

^ neu
5

f(t)=0 khi t i c .


- 12 -

CHÜQNG I I :

CAC BAI TOAN BIEN CO NGHIEM KHONG TEON

Trong chuong náy trinh báy các bái toan bién có nghiém
khóng "crdn da dugc Mactruc
[3] dua ra khi mó hinh hóa bái
toan ó nhiem mói trudng gáy nén boi mgt nguon nhiem bán có
kích thc khóng lón so vói pham vi anh hUdng.

$1: Bái toan bién dang phÚc tao có nghiém gián doan
•7

^

Xet qua t r m h khuyech tan va di chuyen cua thUe the eo
van toe cüa .khói khóng khi khác khóng, dude mó ta bdi phUdng
trinh [3]:
2
d <í>(x)

d(P(x)
+ B [tp(x) - xu

a

(X-Xo)] = n

+ Q 5"tx-Xo)

dx

dx

(1.1)
dieu kién bién:
lim

íP(x) - O
(1.2)

lim

(p(x) = X

(X > 0)

vói ếe giá thiét "Pfx) - giói ngi Vx ^ (-*», - * - ' " ) , '-x , B, u , Q
lá các háng só da biét,
a > O,
u"" (x-Xo) - hám don vi,
¿T (x-Xo) - Dirác
Nghiém giái tích cüa (1.1) vá (1.2) tim dUdc lá [3]:

í

Q

(X

(x-xo )l+ X

exp^

4M

M

2u

4BU-KX
X

> :<:o

^{x)-

a . 3)
2.

Q

OC

(
exp/,

+

! 4 u
1 4B u -ra

1

•-y

4n"

-r

2. j
X <

J
Xo


13
do thi nghiém (1.3) có dang

Hinh 4

Nhán xe-fc: tai x = Xo nghiém ^(x) gián doan leal 1, nén khóng
có dao hám Gateaux; nhüng có dao hám trung binh tích phán.
Váy e á ^ dao hám có mat trong
thé hiéu lá dao hám trung binh.

bái toan (1.1) vá

1.2 có

( 1.2) vói giá thiét
Báy gid ta giái bái tốin (1.1),
cae dao hám d dó lá các dao hám trung binh bang phUdng pháp
phói hdp phép bién dói laplaxd vá dao hám triing binh.

Dinh lv2: Nghiém^
phúóng
pháp phói
Laplaxó
trung
vói

cua bái toan
(1.1)
vá (1.2)
hOp Bao hám trung
binh vá
(1.3).
nghiém giái
tich

dat ^

Thát váy,
Khi dó

(x) - (p(x) - xu

lim

tp

(x) = lim ^ (.x)

X -*- + o*

lim ^
y^

Ơ>

^

(x-xo)

X

>- +

Oớ

X

ã- -

(1.4)

o

fằ

(x) = lim íP(x) - O
-

Búóc tim
phép bién

(1.5)

^

(x) = ^ ' ( x ) ;
1.6)

1>^' (X) = tf>"(x);
Thé (1,4), (1.5) , (1.6) váo bái toan (1.1) (1.2) ta dUdc:

theo
Bói


14
2

áH>

(x)

ex

+ Bí(>

(x)

+ QS(x-xo)

~ |i

dx
lim

^•

á H> ( x )
(1.7)

dx
M> ( x )

=: o

( 1 - 3)

V (x) vá các dao hám

Xét phép bién dói Laplaxd hai chiéu cho
eua nó ta có:
-H»

(f>*(s): = X B

B [^
3

^^

— ax.

C<í>'^(x), s ]

(í> (X) e

dx

(1.9)

(x),s]= s '•í>*(s)

[

tP

(X),S]=

S

(1.10)

'P (S)

B [ S (x-Xo) ,s]= e

dat (1.9),(1.10) váo (1.7) ta dudc:
2 m

cxs<í> ( s ) + Bíí? ( s ) = |i s ^

f 1 . 1 X )

(s)

+ Qe

ãQe
-=>

Ơ>

(s)

(1.12)
Ms

-ỹ( s

-

B

Mau so d vộ p h a i e u a ( 1 . 1 2 ) có c á c nghiém
1 2
0C+Icx

si^

+

4 uB

lá

OC

2u

l\i

vi

4p

H

(1.13)
OC

-Wtx

+

4uB

B

OC

«^
+

S2:

2u
Theo p h é p b i é n d ó i
t i m d-aói d a n g :

2u

U ii

Laplaxd ngildc,

4vi

nghiém cüa b á i

t o a n dude


-

,

15

í

2
B

+

a exp < -

-

.

2vi

4^1

VI

\

(X

(X

X

í

Xo

J

1

^

,

(1.14)

(X)

B

b exp < +

N

Oí

ot

,

H

4p

X

5

Xo

2vi

Ap dung phép bién dói Laplaxd cho (1.14) tacó:
íP*(s) = ^ B

[ ¥>*(x),s]

Xo
B

b

—

exp

OC

+ —
4u

B
+

a exp

+

{
^

P

ox

Ve

2n

ô

4M

X

dx +

ớ e

dx

2u

Xo

ex

B

exp-

~ +

^ u
4vi

a

+

-s

XoV +

2vi
J

(X

-s
ã^

Vt

4vi

2vi

B

exp^

si VI

+s
^

Vi

4u

Oớ

+

0(


4vi

+s
2vi

Xo


- 16

(X

B

•^

Ih
si VI '

1

Vi

4vi

OC

OC

-s

(Vi s

-

so s á n h

4vi

a

Xo

si VI

2p

4n

2vi

o( s -B )

(1.15) vói

(1-15)

(1,12) t a

có:

[[

w

Vi < b

+ s

+
^i VI

4vi

a

+
si VI



OC

Vi

ÍX

4u

2vi

OC

B

+
4M 2

ex

exp

2vi

íx

B

Xo

2vi

exp
4 VI

+

+
-y

2vi

a

;

a

OC

+

exp

4vi

B

+

B

ÍX

+ —

exp

+s
4 Vi

2vi

4n

Xo S =

2vt

Q.e

(1.16)

Thé ( 1 . 1 3 ) váo ( 1 . 1 6 ) t a có

Q

a
exp < -

X<

2

-i

Vi

2vi

4Vi

^ 4uB + «

<

(1.17)

Q
a

= —

(X

exp

X.
vj

^i4viB + a

Vi

4vi


17
Thay ( 1 . 1 7 )

^

váo ( 1 . 1 4 )

t a d U d e : j.

Q

V-Lf^/£"^^í

':

B

OC

— +

exp< ^

Vi

-

—

4vi

(x-xo)

2vi

J4Bvi +X

>

(1.18)

Xo

íP*(x) =

Q

B

ex

ex

Vi

4vi

2vi

(Xo-X)

exp < si

. j4Bvi+ü(

X

TÚ

<

Xo

(1.18) vá (1.4) ta có nghiém cüa bái toan (1.1), (1.2)

Q

ot

—

o;

(x-Xo)>+ X

exp
-i u

4vi

2vt

4Bu+o!
X

>

(1.19)

Xo

'P(X)=:

r

r

Q

+

exp
^

\,

tx

B

Vi

(Xo-x)
4vi

1

2vi

J4Bvi
^4Bvi-Hx
X

<

Xo

ta tháy (1.19) trung vói (1.3) váy dinh ly dude chúng minh

$2. Bái toan bién dang DMC tao vĨi nghiém khóng trón
xét b á i toan [ 3 ] :
/

2

dtp(x)
OC

d (P(x)
+ B

dx

tp(x)

=

Q S (x-xo)

Vi

(2.1)

dx

l i m tP (X) = O
(2.2)

lá


- 18 vói ốc gia thiet oc, B , vi , Q lá các háng so da biet. 'P(x) van
giá thiet lá hám giói nói- 5"(^->^o) - í)irác. Nghiém giái tich
cüa (2.1), (2.2) có dang [3].

tx

B

Q

—

exp <

VI

+

—

(X-Xo)I

4vi

44Bvi+X

í

(2.3)

Xo

^ (x) =
Q
(Xo-X)

exp

[ ¡

2

^

Vi

4vi

2vi

4Bvi-Hx
X

^

Xo

Do thi cüa nghiém (2.3) lá:

Hinh 5: Do thi nghiém (2.3) khi oc>0
Whan -xf^.t.- i) Do thi nghiém (2.3) cüa bái toan (2.1), (2.2) lá
hám khóng trdn tai x=xo. Nén tai dó khóng ton ta.i dao hám
Gateaux, nhUng van có ád-o hám trung binh.
(2.2) lá tnJÓng hdP dác biét cüa
ii) Bái toan (2.1),
bái toan (1.1),
(1.2) khi X =0 vá chinh lá bái toan (1.7),
(1.3). Váy ta có ménh dé sau:
Menh dé 1:
Nghiém cüa bái toan (2.1),
(2.2) dude tim theo
phUdng pháp phói hdp dao hám trung binh vói phep bién dói
Laplaxd trung vói nghiém giái tich (2.3)


19 -

$3. Bái toan bién dang áán gian có nghiém khóng trdn
xét bái toan:
d (í>(x)
B tp(x) = Vi
::;

dx"
lim

+ Qd(x-xo)

(3.2)

í^(x) =0

X-»-±iií

Vói các gia thiet B , vi , Q lá các hang so, 'P(x) - giói nói
Nghiém cüa bái toan (3.1), (3.2) có dang [3]:
r

\

i
B

(í>(x) =

2^7?

^
<

[ "1

X ij^ X o ,

(x-Xo)

exp
Q

Vi

(3.3)

B

í
(Xo-x)

)
X

í

Xo

M Vi

Do thi nghiém (3.3) lá:

Q

2-1^

fíTnh 6- Do thi nghiém (3.3) cüa bai toan (3.1), (3-2)
Mhan yRt.! Bái toán (3.1), (3.2) lá triJdng hdP riéng cüa bái
toan (1.1), (1.2) khi >^ =0 vá '-x=0. Váy ta có ménh de sau:
Menh de 2: Nghiém cüa bái toán (3.1),
(3.2) dUde tim báng
phUdng pháp phói hdP vá nghiém giái tich (3.3) lá "crüng nhau.
Bái tốn (3.1), (3.2) duoc xét khi mó tá sU khuyech tan vá
dieh chuyén eüa thUc thé vói van toe cüa khóng khi bang khóng.


- 20 -

CHUONG I I I .

CÁC BÁI TOÁN BIÉN CĨ HÍ SO KHONG TRON

Trong chUdng náy, dánh trinh báy các bal tốn bién có
hé só khóng trdn da duOc các tac giá nhU Ladujenxkaia [5]
lanhenkó [8], Xamarxki [7] v.v... giai báng phUdng pháp xáy
dUng cae liide do sai phán dUa theo các nguyén ly bién phán.
U dáy tac giá sü dúng khái niém dao hám trung binh dé
di^ng các lUdc dó sai phán giai các bái tốn dó.

$1. Bái tốn bién mót chiéu dang ddn gián.
Xét bái tốn:
d

d¥>(x)|p(x)
j + q(x)(P(x) = f(x)
dx

dx
H>{0)

- H>il)

;

0(1.1)

- O

(1-2)

Trong dó p(x), q(x),
f(x) lá các hám lien tuc túng
khúc tren [0,1], p(x)?po>0 , q(x)?0.
Ngoái ra giá thiét p(x),
hám trung binh vá giói nói.
Tren [0,1],
xét hai
k=0,1, .... thoa man:

q(x),

hé diem

*Í^(X)

ton t^ii các dao

lUdi fxic},

{xit-*-i/2}

Xlt+XltH-l
Xlt-»-1/2

-

2

^
i(x)

X -

Xlc-l

=
Ak-1/2

(1.3)
K
'J 2 ( X )

Xlt -

X

Alt-t-1/2

O d á y : A i i _ i / 2 = xic-xic-i

,

AK-WI/2

~ x i i - i - xjc


- 21 Ta xáy düng hé cd sd
O

X ?

= / u i ( x )


itJ2(x)

x é
X e

{(^ic(x), k = l , n - l } có dan^

[Xlc-l,

XlcH-l]

[Xlc-l,
[Xlc,

Xlc]

(1.4)

XltH-x]

Do t h i cüa ic(x) có dang

(hinh 7 ) :

O
\-l

^<

'^tCfl

X

Hinh 7- Do t h i hám uit(x)

Dao hám trung binh cüa (Jic(x) nhu sau:
/

^

X e

[Xlt-i,

Xlc-Hl]

X =

Xlc-i

X í

(Xfe-l

,

X=Xk:

2Ait_i/2

W'fc(x)

=<

X ^

(Xlc

X =

Xk-^1

Ak-^i/a

I

,

Xh:)

,

Xk-^l)

Ate-1 / 2

2Ak. 1 / 2

(1.5)


22 Xét tich vó hüdng:

(f(x), g(x) =

f (X)g(X)dx

(1.6)

Thé thi

1 t k-2, 1 I \

( O

1
1 = k-1

Alt-1/2

6

- k

(í*Jic(x) , ^ i ( x ) )

i -i- - ' ^

1 = k+1

Ak-.-l/2

V. *^

Trong dó Ajt = xic-^i-xic-i = Ait-^i/s + AI^-I/S
t

.'

Tu (1-7) suy ra '^>;t(x) trUe giao vdi tat ca
trü ra ba hám (Jit-i(x), tJ3t(x), tjJ:c-t-i(x) .

ca; hám '•^Jx(x)

Báy gid ta dUng lUOe dó sai phán cho bai tốn (1.1),
(1.2), nhó hé hám cd só {wiííx), k = 1, n-1}
bíhán vó hng hai vé cüa (1.1) vói i^iit(x) ta dude:

d
—

dx

d<í>(x)
p(x)

+ q(x)*P(x)

u)it(x) dx =

f (X)(*ilí:(x)dx

dx
(1.8)

O í-

Hai lán tich phán tüng phán (1,8) ta có:
Xlc-»-l

Plt-^l^lt-Kl

Pk-l'í'lc-i

[PMx)"'ic(x)
2A5t-Ki/2

2Ait_i/2
Xlt-1
Xk-t-l

f Cx)(.Jit(:<)dx
Xk-1

-

q(x)wií:(x)]íP(x)dx


23
Trong dó
Pi - P ( x i ) , 'Pi - *f>(xi)

Xét tốn tü A dUde xác dinh bói hé thúc
?^^*VP>.(Atí>)i^

PIH-VÍ^IÍ:-!

+
Ak

:Air_i/2

2AI,:-^Í/2

Xk-t-1

[P'(X)U^ÍX) - q

(1.9)

(x)u)k(x)]íP(x)dx

Xk-

Trong dó ^ ^ (í - Khóng gian nghiém cua (1.1), (1.2)
Véc td F:= (fi,f2, ..., fn-i) vói các thánh phán:
Xlt-t-1

f (x)wk(x)dx

fi =

(1.10)

Ale

Xk-1

Sau khi hOp thánh các hé thúc (1.9), (1.10) ta dudc hé
A^

Dat

- H>

(J ]a = {^ }; d day:

_,

(1.11)

= ('Pi, ^P-z, ..., 'í>n-i)

^»

Xet ehuan:
1 1 ;í/

n—1

,

f 1.12)
j=i
Bái tốn xáp xi có d^ing
A

'P = f

Trong dó

11 h
(A íp )k

K

)k

h
(Pk-íí^k-l

^k-^-i-íPk
Pk-Hl

=
Ak

( f

(1.13)

= —

Pk-1
2Ak-+-l/2

fk

fíXk)

'í>k

2Ak-l/2

(1.14)


- 24
De y ráng (1.13) lá hé phiidng tuyén tính, ma trán A lá ma
trán dói xúng, xác dinh dUóng, ^ang ba duóng chéo chinh. Váy
giái (1.13) ta tim duOc nghiém ^ .
Khi dó nghiém xáp xi cua (1,1), (1.2) có dang
n-1
(P(X) -

(1-15)

T 4?jU)j(x)

j=l
Báy gid ta chun sang
bái tốn sai phán (1.13) vé
phát (1.1), (1.2).

khao sát sU hgi tu cüa nghiém
nghiém dúng eua bái toán xuát

Dát

h = max Ixk-t-i - Xkl
k
Sinh Iv 3:

Vói búóc h Bu bé thi hé (1-^3) có nghiém duy nhát
vá nghiém cua (l.Í3) hói tu ve nghiém Búng cúa bái tốn
(1.1),
(1.2)
vói cap hói tu
1/2.
Chúng minh:
S^X ton tei nghiém cua (1.13) suy tú tinh xác
dinh dUdng cua ma tran A. Gia sU (1.13) co nghiem ^> . De
chúng minh ^ hói tu vé nghiém cüa (1.1),
(1.2) ta chi can
chúng minh tinh xáp xi vá ón dinh eua lUde dó sai phán (1.13)
Ta có:
u
A

l-xi I 1-1.
(f<>)íi-f I ¡ F

MF

+

VNÍF"

i-i

% I?

(1.16)

Trong dó:
r xk-^i
Pk-*-l

(f W

Pk-1

p' (x)í3' (x)¥>(x)dx
Ak

'í^k

2Ak-t-l/2

2Ak-l/2

Xk-l
Xk-^1
Akqk

q(x)(»ik(x)(P(x)dx -

(^ )lc=

^k

Ak
^^ X k - l

f Xk-t-1

{% W

f (x)wk(x)dx
Ak
Xk-l

fkAk


25 -

De dáng dánh giá dUdo:
h

1/2

$ Mh

F
h

3/2

F

3/2

>i

7-

(1-17)

^. Nh

F

<. Kh

Trong dó M, N, K lá các háng só dUdng khóng phu thc h
Tú (1.16), (1.17) ta có:
ht I Vi

ti

1/2

A (íí>)n-f ÍIF

$ Mh

3/2

+ Nh

3/2

+ Kh

1/2

í ch

(e>0)

Váy tinh xáp xi a lUdc dó (1.13) dUde chúng minh
Ta chuyén sang dánh giá sU ón dinh cüa lUdc do (1.13).
Ta có:
H

Vi

j

=

(V , F )

tT. Vi

Vi

I (¥> , A 'í> )

PkHk-*-l
2

A k íí> k

(tP k-Kl-¥>

k = 1

Ak

Pk-

h

k)

2Ak-t-l/2

K
Akqk ^k

(íPk-tPk-i)
2Ak-l/2

n-1
I
k=l

n-1
X
k=l

Pk-1

h
^

h
h
k(<í>K - ^ k-l) -

2Ak-l/2

Pk-H 1
2Ak-l/2

h

h

h
^ k (V k-^1- 'P k ) +

^
—

^~^
Z A k q k ^ le

2

k=l

26
H

n-1

h

m> y^ -

Vi

^

k-i)

(*P k

Vi

-'í>

k-i)

X

Po

k=l

2Ak-l/2

h

li

n-1

h

CP k

-

í^

^

k-i)

n-1

n

Vi

íí> k ( ' P

k - ^ 1 -^

k)

+ X

k:

2

h
(tp

n-1

^.

Po

r
k=l

2 Ak-^i / 2

k-1

Ak-1/:

h

2

k

-*í>

k-i)

2

Ak-l/2

Mát k h á c
Vi

hl

2

(¥> k )

=

[

Z

(íp

?i

j

-q?

j - i ) ]

f=l
Vi

k

Vi

¥> j

-

9

j - i

si A-tá - 1 / 2

X
j-1

k

<

I

-1/2

JAJ

(íí> j

-

X
j=l

A j - i / 2

Vi

k

$

:>

Z

-ô>

n-1

ớ
Aj_i/2

^

k=l

ỹ

j - i )

Aj_i/2

Vi

(Ơ> j

j=l

n-1

\ /n-1

k=l

/ \j = l
h

-

(f

j - i )

(tp

j

-

tp

j - i )

A j - l / 2

h

((P á -*P

Adj -- 1 / 2

J-1)

2

AJ - 1 / 2

Po

Vi

li

(^
j=l

'í>

Ak

k=l

n-1

-

X

h

k

2

Vi

(íí> d

Ĩ=l

n-1
$

Aj_i/2

Vi

j - i )

X

AkíP"k

21
^3-1

/

Vi

(íf> j

j=l

n-1

j - i '^\

(í>

,f

)