Tài liệu de thi hsg 9 co dap an

Đề thi chọn học sinh giỏi khối 9
Câu I :
Tính giá trị của biểu thức:
A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ .....+
9997
1
+
B = 35 + 335 + 3335 + ..... +

399
35.....3333
số

Câu II :
Phân tích thành nhân tử :
1) X
2
-7X -18
2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4)

3) 1+ a
5
+ a
10
Câu III :
1) Chứng minh : (ab+cd)
2


(a
2
+c
2
)( b
2
+d
2
)
2) áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x
2
+ 4y
2

Câu 4 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một
điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của
đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q.
a) Chứng minh DM.AI= MP.IB
b) Tính tỉ số :
MQ

MP
Câu 4:
Cho P =
x
xx

+
1
34
2
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án
Câu 1 :
1) A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ .....+
9997
1
+

=
2
1
(
35

+
57

+
79

+ .....+
9799

) =
2
1
(
399

)
2) B = 35 + 335 + 3335 + ..... +

399
35.....3333
số
=
=33 +2 +333+2 +3333+2+.......+ 333....33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33)

= 198 +
3
1
( 99+999+9999+.....+999...99)
198 +
3
1
( 10
2
-1 +10
3
- 1+10
4
- 1+ ....+10
100
1) = 198 33 +
B =









27
1010
2101
+165

Câu 2:
1) x
2
-7x -18 = x
2
-4 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9)
2) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
= (x
2
+5x +4)(x
2
+ 5x+6)-3= [x
2
+5x +4][(x
2
+ 5x+4)+2]-3
= (x
2
+5x +4)
2
+ 2(x
2
+5x +4)-3=(x
2
+5x +4)
2
- 1+ 2(x
2
+5x +4)-2
= [(x

2
+5x +4)-1][(x
2
+5x +4)+1] +2[(x
2
+5x +4)-1]
= (x
2
+5x +3)(x
2
+5x +7)
3) a
10
+a
5
+1
= a
10
+a
9
+a
8
+a
7
+a
6
+ a
5
+a
5

+a
4
+a
3
+a
2
+a +1
- (a
9
+a
8
+a
7
)- (a
6
+ a
5
+a
4
)- ( a
3
+a
2
+a )
= a
8
(a
2
+a+1) +a
5

(a
2
+a+1)+ a
3
(a
2
+a+1)+ (a
2
+a+1)-a
7
(a
2
+a+1)
-a
4
(a
2
+a+1)-a(a
2
+a+1)
=(a
2
+a+1)( a
8
-a
7
+ a
5
-a
4

+a
3
- a +1)
Câu 3:
1) Ta có : (ab+cd)
2


(a
2
+c
2
)( b
2
+d
2
) <=>
a
2
b
2
+2abcd+c
2
d
2


a
2
b

2
+ a
2
d
2
+c
2
b
2
+c
2
d
2
<=>
0

a
2
d
2
- 2cbcd+c
2
b
2
<=>
0

(ad - bc)
2
(đpcm )

Dấu = xãy ra khi ad=bc.
2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :
5
2
= (x+4y)
2
= (x. + 4y)

(x
2
+ y
2
)
)161(
+
=>
x
2
+ y
2



17
25
=> 4x
2
+ 4y
2

17
100
dấu = xãy ra khi x=
17
5
, y =
17
20
Câu 4 :
Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=>

MPD đồng dạng với

ICA =>
IA
MP
CI
DM
=
=> DM.IA=MP.CI hay
DM.IA=MP.IB (1).
Ta có góc ADC = góc CBA,
Góc DMQ = 180
0
- AMQ=180
0
- góc AIM = góc BIA.
Do đó

DMQ đồng dạng với

BIA =>
IA
MQ
BI
DM
=
=> DM.IA=MQ.IB (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
MQ
MP
= 1
Câu 5
Để P xác định thì : x
2
-4x+3

0 và 1-x >0
Từ 1-x > 0 => x < 1
Mặt khác : x
2
-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có :
(x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0
Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa.
Với x < 1 Ta có :
P =
x
xx

+
1
34
2
=
x
x
xx
=


3
1
)3)(1(