BT the tich khoi da dien Dap an

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (221.55 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN



1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo

của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 .

ĐS: V = 2 (đvtt)



2 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp.

ĐS:



3
a 2
V

(đvtt)




3 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình
hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối hộp .

ĐS: V =180 (đvtt)

 



   



3
ABCD

4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy
(ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp .

a 3 3

đs: V = S .BB' .atan a tan

2 2

5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .

Giải

Gọi M là trung điểm BC , vì






 

đl3đ
(ABC)

ABC đều nên AM BC (1)

Do AM = hc SM,AM BC SM BC (2)

Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3)
Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA



    



 

a 3
SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan

  

2 3

ABC

1 1 a 3 a 3 a

Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan

3 3 4 2   8 

6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc .
Tính thể tích của khối chóp .

Giải

Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.



 



(ABC) (ABCD)

ABC nên SA = SB = SC .

Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .

Gọi M là trung điểm BC .

Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH
SHA vuông tại H có SAH nên AH = S



   

 

2 2 2

ABC

A.cos a.cos .
SH = AH.tan acos .tan asin .

2 3 3

Maët khaùc : AH = AM AM .AH acos

3 2 2

2.AM 2 3

Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos
2

3 3

( 3acos ) . 3 3 3a cos
S

4 4

Vậy thể tích

  

     

   

    

 

  

2 2

3 2

ABC

1 1 3 3a cos 3

của khối chóp là V = .S .SH . .asi n a cos sin

3 3 4 4



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a 3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và

2
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b



) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Giải

a) Dựng SH (ABC)

a 3

Ta coù : SA = SB = SC = HA = HB = HC
2

H là tâm của đường tròn ngoại






 

2 2 2 2 2

(ABC) (ABC)

tiếp ABC
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .

a 3 a 3a a 2

Do SH SB HB ( ) ( ) SH

2 2 4 2

b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60

SAH vuông tại H neân tanSAH 2 SAH
AH




      

       

   


acr tan 2


c) Gọi M là trung điểm AB

 

(ABC) (ABC)

đlí 3 đ

Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC

MS AB (2)

Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60

a 2 1 a 6 a 6

SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 . AC 2MH ,

2 3 6 3

MB HB MH



     

    

  

     

 




2 ( )a 2 (a 6)2 a 3 AB 2MB a 3

2 6 6 3

     

2 2 3

ABC 1 1 a 3 a 6 a 2 1 ABC 1 a 2 a 2 a

S .AB.AC . . V .S .SH . .

2 2 3 3 6 3 2 6 2 12

       



8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .

a) Tính thể tích khối chóp

  




   






2 3

S.ABC ABC

S.ABC .

b) Chứng minh rằng SC vng góc với mp(AB'C') .
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' .

1 1 a a

a) Ta coù : V .S .SA .a.

3 3 2 6

b) Ta coù :
BC AB

BC SA BC (SAB) BC AB' (1)

SAB c 

    

 

 



S.AB'C' AB'C'

ân tại A neân SB AB' (2)

Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C')
c) Ta có

1 1

V .SC'.S .SC'.AB'.B'C'

3 6

SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB' SB'1SBa 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

       

    

    



 2 2 2 2 2 2 2

2 2

SAC vuông cân tại A, ta coù : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3

SA a a 3

SA SC'.SC SC'

SC a 3 3

a 2

B'C' SB' 2 6 B'C' a 6

BC SC a 3 6 6

1 a 3 a 2 a 6 a
Vaäy V = . . .

6 3 2 6 36

9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 .
Giải

Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD .
Ta có : SH (AB

2 2

2
ABCD

CD) tại H và AH = AC 2
2

Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3

1 1

Vaäy V = .S .SH .2 .3 4

3 3



    

 

10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó .

SCD

2 2

Giải

Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD.

Cạnh đáy : a = 4 2
1

Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2

Chieàu cao : SH = SM HM 2 1 1


    

   






ABCD

1 1 4

Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1

3 3 3

11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và

cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD .





 

(ABCD) (ABCD)

2 2

ABCD
ABCD

iải

Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC

(SC;(ABCD)) SCA 30

3 2 3

SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2.

2 3

S AB ( ) 2

1 1 2 3 4 3

V = .S .SA .2.

3 3 3 9

  

  

  

   

 






12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh ,
cạnh SA vng góc với mặt đáy và SA = AB = a .

a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính góc tạo





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BCD

2 2 2 2

BCD
Giải

a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD .
1

Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH
2

a 2 a 6 1 a 6 a 3

ASH vuoâng taïi A : SH SA AH a ( ) = S .a 2.

2 2 2 2 2



  

       



 

(SBD)
BD AC ( hai đường chéo hình vng)

b) Ta có : BD (SAC) mà SC (SAC) nên BD SC

BD SA ( vì SA (ABCD))

c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH
Áp dụng đlí

 

   



 



      

  

2 2 2

3
2
ABCD

hàm số cosin trong SCH ta được :

2 2 2 2

HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acr cos .

3 3

1 1 a

d) V = .S .SA .a .a

3 3 3



      

 

12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vng cạnh a và SA = SB = SC = SD = a .
a) Tính diện tích tồn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a .
b) Tính cosin của góc nhị diện (SBA,SAD) .

2 2

tp ABCD SAB

2 2 2 2 2

ABCD
HD

a 3

a) S S 4.S a 4. (1 3)a .

1 a 2 a 2 1 a 2 a 2

V = .S .SH , ta coù : SH = SA HA a ( ) V= .a . =

3 2 2 3 2 6

     

    



b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhị diện
(SAB,SAD) .

   

 2 2 2  

2 2 2 2

Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được :

3a 3a 3a 1

BD MB MD 2MB.MD.cosBMD 2a 2. .cosBMD cosBMD

4 4 4 3



        

13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .

Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và



   

3
2

ABCD

mặt đáy là hình
vng ABCD có tâm H .

Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH
a 2

Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan

1 1 a 2 a 2

Vaäy V = .S .SH .a . tan tan

3 3 2 6

   

   

   

14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



2 3

ABCD
HD

Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH

SH HM.tan tan

1 1 a 1

V .S .SH .a . tan a tan

3 3 2 6



   

    



15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
HD

Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB

 

đlí 3 đ

(ABCD) (ABCD)

2 2 2 2

2
2

.
Khi đó : SH (ABCD) và HM AB .

Vì H = hc S HM= hc SM SM AB

a a

SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan )

2 4

a a

(tan 1) SH ta

4 2



 

     

      

     2

2 2 2

ABCD
2

n 1

1 1 a a

Vaäy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1

3 3 2 6

Với điều kiện tan 1 0

4 2

 

     

 

      

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .



2 2 2 2 2 2

2 2 2

Goïi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD vaø SBC :
BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin

sin 1 cos

BC 2SB (1 cos ) cos cos

  



     

    



       



2 2 2 2 2 2

ABCD 1 cos2 1 cos

S BC 2HB 2a tan 2a . 2a .

cos
cos

   

     






2 2

2 2 3 2

ABCD
4a sin

2
S =

cos

4a sin sin

1 1 2 4a 2

V = .S .SH . .a .

3 3 cos 3 cos






 

 

 



17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
Giải

Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vng BCDE có cạnh bằng a .

Vì mặt BCDE chia khối tám mặ

3
2

ABCDEF ABCDE BCDE

t đều thành hai phần bằng nhau nên :

1 1 a 2 a 2

V = 2.V 2. .S .AO 2. .a .

3 3 2 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương .

Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a 2

có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :



2 2 2 2

3
2

ABCDEF A.BCDE BCDE

a a a 2

AB = OA OB ( ) ( )

2 2 2

Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :

1 1 a 2 a a

V = 2.V 2. .S .AO 2. .( ) .

3 3 2 2 6

( xem hình bài 17 )

   

  

19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đều .

Giải . Khối tám mặt đều được tạo thành có các cạnh bằng nhau và bằng a
2
Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC .

Khi đó : PQ vng góc với AB, CD . Tam giác APQ vng tại P .

Ta có : PQ = 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2
2

ABCDEF

a 3 a a 2

AQ AP ( ) ( )

2 2 2

a
PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ

a a a 2

RP cạnh RP = đường cao AO = .

4 2 4

Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :

V = 2

   

    

   

3
2

A.BCDE 1 BCDE 1 a a 2 a 2

.V 2. .S .AO 2. .( ) .

3 3 2 4 24

  

 a 5

20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2

a) Tính thể tích của khối chóp .
 

b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .

c) Tính S của hình chóp .
Giải

a) Goïi O = AC BD



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(ABCD)
SA SC

SO AC,AC (ABCD)

Ta coù : SB SD SO (ABCD)

SO BD,BD (ABCD)
O là trung điểm AC và BD

O hc S SO là đường cao của S.ABCD
a 3

OA = ( đường cao ABD đều cạnh a )

SOA vuông tại O

 



  

   

 

 






  








2 2

ABCD ABD

2 3

ABCD

5a 3a a 2

, ta coù : SO = SA AC

4 4 2

1 1 a 2 a 3

S 2S 2. .OA.BD 2. . .a

2 2 2 2

1 1 a 2 a 3 a 6

V = .SO.S . .

3 3 2 2 12

b) Chứng minh : (SAC) (SBD)
AC BD (đ/c hình thoi)
Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD))

   

   

  




 



tp SCD ABCD

SCD

AC (SBD) (SAC) (SBD)
AC (SAC)

(SBD)

c) S 4S S ( Vì SCD = SBC = SAB = SAD )

SD SC DC a( 3 5 2)

Tính S : Vì nửa chu vi p =

2 2

Áp dụng công thức He-rông ta được : S p(p S




 

  

 




 



     

   



 



2 2

SCD

2 2 2

D)(p SC)(p DC)
a

p SD ( 5 2 3) (1)
4

p SC ( 3 5 2) (2)
4

p DC ( 3 5 2) (3)
4

a 11

a a

Vaäy : S [( 3 5) 2][4 ( 3 5) 60 16

16 16 8

a 11 a 3 a

S ( 11 3)

2 2 2

 

   

   

   

       

    

THEÅ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

2 3

ABC

1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính thể tích của lăng
trụ .

Giaûi

Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C'
a 3 a
Ta có : V = AA'.S 2a.

  3

2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm . Mặt đáy của lăng trụ là một tam
giác vng có cạnh huyền 13cm , diện tích là 30cm . Tính diện tích xung
quanh và diện tích tồn phần c

2
ABC

ủa hình lăng trụ .
Giải

Gọi hình lăng trụ là ABC.A'B'C'
ABC vuông tại B , AC = 13cm

S 30cm ,AA' 20cm

Gọi x,y là hai cạnh góc vuông của ABC . Điều kiện : 0 < x,y < 13 .


 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 2 2 2

2
xq

3
tp xq đáy

x y 13 169 (x y) 2xy 169

Theo đề : 1xy 30 xy 60

(x y) 169 2xy 289 x y 17

Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm
S S 2.S 600 2.30 660cm

   



     

 



 




        

  

    

3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện
tích xung quanh bằng 480 . Tính thể tích của khối lăng trụ .

Giải

Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 p = 40 .
480

Chiếu cao của khối lăng trụ : h = 6
80

Áp dụng cơng thức Hê-rơng , diện tích đáy của khối lăng trụ là :
S = 40(40 37)(40 13)(40 30) 180

Vậy thể tích khối l




   

ăng trụ : V = S.h = 1080 .

4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30 và
có chiều cao bằng 8 . Tính thể tích của khối lăng trụ .

Giải

Gọi khối lăng t



 

(ABC) (ABC)

rụ là ABC.A'B'C' . Kẻ A'H (ABC) tại H .

Ta có : H = hc A ' AH = hc AA' (AA ';(ABC)) A' AH 30
Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 .

Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
A 'HA vuông tại



   

   





1
H : A'H = AA'.sin30 8. 4

2
Theå tích : V = S.h = 336

 



5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung

bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .

Giải
Nửa

 chu vi đáy : p = 19 20 37 38
2

Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114
19 20 37 76

Chieàu cao : h =

3 3

Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114. 2888
3

 



   

 








6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC vng tại A , AC = a , ACB = 60 .Đường thẳng
BC , tạo với mp(AA C C) một góc 30 .

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC .

   

  






b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .

 

(AA'C'C)
(AA'C'C)

Giải

a) Tính AC'

ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60 a 3

Ta coù : AB AC,AB AA' AB (AA'C'C) A= hc B
AC'= hc BC' (BC';(AA'C'C)) BC'A 30

 

    

   






</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2 2 2 2
2

ABC

3
ABC.A B C ABC

AB a 3

AC'B vuông tại A AC' = 3a
1/ 3
tan30

b) AA'= AC' A'C' (3a) a 2 2a
a 3

a 3

Vaäy : V AA'.S 2 2a. a 6

2
  

   

   



  






2 2 3

ABCC'B' ABC.A'B'C' AA'B'C'

7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .

Giải

a 3 1 a 3 a 3

V V V a. .a.

4 3 4 6



    

8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vng góc của A lên mp
(ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể

  



ABC

tích của khối lăng
trụ này .

Giải

Theo đề : A'I (ABC)

A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.S
a 3

ABC đều có đường cao AI =
2






 



(ABC) (ABC)

2 3

ABC

Vì I = hc A' AI = hc AA'
(AA';(ABC)) A'AI 60

a 3 3a

A'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA'IA . 3

2 2

3a a 3 3 3a
Vaäy : V = A'I.S .

2 4 8



  

  

 



9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .

a) Tính the


å tích của khối lăng trụ đó .

b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .

Giaûi

a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC .


2 3

ABC

Vì A'A = A'B = A'C
neân A'O mp(ABC) .

Vaäy : A'AO 60

a 3

Từ đó ta có : A'O = AO.tan60 AO. 3 . 3 a
3

a 3 a 3

Vậy thể tích cần tìm là V = S .A'O .a

4 4




  

 



2
xq AA'B'B BB'C'C

b) Vì BC AO nên BC AA' hay BC BB' . Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật
c) Gọi H là trung điểm của AB . Ta có :

a 3

S 2.S S 2.A 'H.AB BB'.BC (2 13 )

  

     

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3
C.A'AB A'.ABC ABC

a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB .
b) Chứng minh rằng : AN A'B .

c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN .
d) Tính diện tích AMN .

Giải

1 1

a) V V .S .AA ' .a.2a.3a a

3 6

b) Ta coù :





   

A'.AMN M.AA'N M.AA'B

CB AB,CB AA' (do AA' (ABC)) , suy ra : CB (A'AB)
Mặt khác : AN CA' ( do CA' (AMN)) .

Suy ra : AN A'B (đlí 3 đường )

c) Ta có : V V V ( Vì NB//AA')

   

 

 

C.AA'B
3

3 2

A'.AMN

AMN 2

2 2 2

= V ( do MC//(AA'B))
= a .

3.V 3a a 14

d) S

A'I (3a) 3

a (2a) (3a)

  

 

11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
(BB'C'C) bằng .

a 3
a) Chứng minh rằng : AB' = .

2sin
b) Tính diện tích xung quanh của lăng




trụ .
c) Tính thể tích của lăng trụ .

Giải

a) Gọi I là trung điểm của BC .
AI BC

Ta coù : AI (BB'C'C) AB'I và AI B'I
AI BB'

AI a 3

AB'I vuông tại I , ta có : AB' = .
sin 2sin
b) AB'

 

    





 

 



2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 3

2 2

ABC

3a 3a

B vuông tại B nên BB' AB' AB a = (3 4sin )

4sin 4sin

a a 3a

BB' = 3 4sin S = 3a. 3 4sin = 3 4sin .

2sin 2sin 2sin

a 3 a a 3

c) V= S .BB' . 3 4sin 3 4sin

4 2sin 8sin

     

 

       

  

     

 



12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ;
BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc . Gọi I là trung điểm cạnh AA .

Bieát BIC = 90 .

   

  



2 2

a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .
b) Chứng minh : tan + tan  1

(ABC) (ABC)

Giải

a) Gọi H là trung điểm của BC .
ABC cân tại A nên AH BC (1)

Mặt khác : AI (ABC) A = hc I AH = hc IH (2)
Từ (1) , (2) suy ra : IH BC ( Đlí 3 đường )

 

  

 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



(ABC) (ABC)

2 2

2 2 2 2

AH 2AH
b) AHB vuoâng tại H cho tan =

BH BC

Mặt khác : C = hc C' BC = hc BC' C'BC
CC' AA'

BCC' cho tan =

BC BC

AA ' BC

Mặt khác : IAH vuông tại H cho IA AH IH AH

4 4

B
Chia hai veá cho

  

  

  

     

2 2 2

2 2

C ta được :AA' 4AH 1 tan tan 1

4 BC  BC      

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vng góc
nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC . ĐS : V = a3

8
2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB . Bieát AB = BC a 3, SA = a .Tính thể
tích của khối chóp S.ABC .

   

3
a
ÑS : V =

2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
đáy góc 60 . Tính th ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3

 a 3

4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2
a) Tính thể tích của khối chóp .

 

3
S.ABCD

tp tp

a 5
V =

12
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .

a
c) Tính S của hình chóp . S ( 2

2


 2 3)

5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình
chóp ấy .

HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể m BC , ta được :

2 2 2 2

a 3 1 a 3

AM = ,SH 9b 3a V 9b 3a

3 3    36 

6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .

a) Tính thể tích của khối chóp H.ABC . VH.ABC a 33
7
b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK) .

c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .



 

3
H.ABC 2a 3
V

21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D . Biết khối chóp C.C B D là một tứ diện đều cạnh a .



      

3
a 2
V =

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC)
vng góc với đáy và SA = 2a .

a) Tính thể tích của khối chóp . b)


3 2

tp
Tính S của khối chóp .

a 3 a

Đáp số : a) V= b) S (8 3 19)

6  4  

9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vng góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với  mặt đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .





xq 30

2 2

Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan

3 10

10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc mặt đáy, SA=

  



2
SBD

AB= a.
a) Tính diện tích SBD theo a .

b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính (SC,(SBD)).