mét sè d¹ng to¸n sö dông c«ng thøc luyön tëp to¸n gv vò hoµng s¬n phçn 1 tæ hîp i tãm t¾t lý thuyõt trong bµi viõt nµy ta quy ­íc nk lµ c¸c sè tù nhiªn víi cho mét tëp hîp a gåm n phçn tö mçi c¸ch s

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn
<b>Phần 1.tổ hợp </b>

<b>I.Tóm tắt lý thuyết</b>

Trong bài viết này ta quy ớc n,k là các số tự nhiên víi <i>n</i>1;<i>k n</i> .

Cho mét tËp hỵp A gåm n phÇn tư .

*Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hốn vị .Số hốn vị của n phần tử là Pn=n!.

*K phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là !

( )!

<i>k</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>A</i>

<i>n k</i>



 .

*K phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là

!

! !( )!

<i>k</i>
<i>k</i> <i>n</i>
<i>n</i>

<i>A</i> <i>n</i>

<i>C</i>

<i>k</i> <i>k n k</i>

 

 .

*Công thức khai triến nhị thức NiuTơn

_

_

0
<i>n</i>

<i>n</i> <i>_k</i> <i>_{n k k}</i>
<i>n</i>
<i>k</i>

<i>a b</i> <i>C a b</i>







.

*Các công thức thờngdùng :
* <i>C_nk</i> <i>C_nn k</i>

 (1)

* <i>C_nk</i> <i>C_nk</i>1 <i>C_nk</i>₁1


  (2)

* <i>C_n</i>0<i>C</i>1<i>_n</i> <i>C_n</i>2 ...<i>C_nn</i> 2<i>n</i> (3)

* 0 2 4 _... 2 2 1 3 _... 2 21 1 ₂ 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>



   



    _

   

         (4)

Sử dụng (2) ,ta chứng minh đợc hai công thức

1 2 2

2

2

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>

<i>C</i>



<i>C</i>



<i>C</i>











<i>C_nk</i> 3<i>C_nk</i>13<i>C_nk</i>2<i>C_nk</i>3<i>C_nk</i>₃3.

<b>II. một số dạng toán thờng gặp</b>
<b> </b><i><b>1. Bài toán tính tổng </b></i>

* <b>ThÝ dơ 1</b>. Rót gän biĨu thøc

0 1 2 3 _{... ( 1)}<i>k</i> <i>k</i>_,

<i>k</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>S</i> <i>C</i>  <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>    <i>C</i> víi <i>k n</i> , n >1.

<i><b>Lời giải . Với k< n ,áp dụng công thức (2) vµ lu ý </b>Cn</i>0 <i>Cn</i>0₁ 1, ta cã

<i>S_k</i> <i>C_n</i>0 (<i>C_n</i>0₁ <i>C_n</i>1₁) (<i>C_n</i>1 ₁ <i>C_n</i>2₁) (<i>C_n</i>2₁ <i>C_n</i>3₁) ... ( 1) (<i>k</i> <i>C_nk</i>₁1 <i>C_nk</i>₁)

       

          

VËy ( 1)<i>k</i> <i>k</i>₁.

<i>k</i> <i>n</i>

<i>S</i>   <i>C</i> 

Nếu k=n thì <i>S_k</i> <i>C_n</i>0 <i>C_n</i>1 <i>C_n</i>2 <i>C_n</i>3... ( 1)  <i>kC_nn</i>  (1 1)<i>n</i> 0.
<b> </b> <b> </b><i><b>L</b><b> u ý</b><b> </b></i><b> . </b>Nhiều bạn đãmắcsai lầmkhi viết

<i>S_k</i> <i>C_n</i>0 <i>C_n</i>1<i>C_n</i>2 <i>C_n</i>3... ( 1)  <i>kC_nk</i>  (1 1)<i>n</i> 0(!)
Phải xét 2 trờng hợp đối với k nh trong lời giải trên .
<b>*. Thí dụ 2. </b>Tính tổng <i>S C</i>₄1<i>_n</i> <i>C</i>₄3<i>_n</i> <i>C</i>₄5<i>_n</i> ... <i>C</i>₄2<i>_nn</i>1.

    

<b> </b> <i><b>Lời giải .</b></i>áp dụng công thøc (1),ta cã
1 4 1 3 4 3 2 1 2 1

4 4 , 4 4 ,..., 4 4

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i> 

  

Do đó <i>S C</i>₄4<i>_nn</i>1 <i>C</i>₄4<i>_nn</i>3 ... <i>C</i>₄2<i>_nn</i>1.

   

Ta dỵc 2<i>S C</i>₄1<i>_n</i> <i>C</i>₄3<i>_n</i> <i>C</i>₄5<i>_n</i> ... <i>C</i>₄4<i>_nn</i>1 24<i>n</i>1

      Xem c«ng thøc (4) .VËy S=₂4<i>n</i>2_.
<i><b>3.Ph</b><b> ơng trình tổ hợp</b></i>

Phơng trình tổ hợp là phơng trình có chứa ẩn số trong công thức tổ hợp ,chỉnh hợp,hoán vị.
*<b>Thí dụ 6</b>.Giải phơng trình

A

3_x

C

_xx 1

C

x_x 3

x

2

P

1 1 6

2

_

3

_

3

159











Lời giải : ĐK:

x



3

,x N.



phơng trình đã cho biến đổi thành

(x-12)(2x2_{+11x+147) = 0}

PT có nghiệm x = 12.

Lu ý.Khi giải phơng trình tổ hợp ta làm nh sau:
-Đặt điều kiện cho ẩn số

-Sử dụng các cơng thức về hốn vị,chỉnh hợp ,tổ hợp để biến đổi ,rút gọn và giải phơng trình.
-Đối chiếu nghiệm tìm đợc với điều kiện của bài tốn và kết luận.

<i><b>4. TÝnh hƯ sè cđa ®a thøc</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn
* Thí dụ 8. <i>Tính số hạng không chứa x, khi khai triển P(x) = </i>

n

x

x















3

2

<i>_{biÕt r»ng n tho¶ m·n}</i>

n n n n n

C

6



3

C

7



3

C

8



C

9



2

C .

8₂
<i><b>Lời giải. </b></i>áp dụng công thức (2), ta có

n n n n

C

6



3

C

7



3

C

8



C

9

=

C

_n6

_

C

7_n

_

(C

7_n

_

C ) C

8_n

_

8_n

_

C

_n9

2

=

C

_n

C

_n

C

_n

C

_n

C

_n

C .

_n























7 8 9 8 9 9

1

2

1 1 2 2 3

Giả thiết tơng đơng với

C

9_n_₃

_

₂

C

_n8_₂

_

n



3

_{ }

₂

n

_

₁₅

9

Khi đó <i>P(x) = </i>

x

x















15

3

2

₌

k _k

k k k k

k k

C ( x )

C

x

.

x




 



















30 5

15 15

15

3 6

15 15

0 0

2

2

Số hạng không chứa <i>x</i> tơng ứng với

30 5

k



₀

k



₆

6

.
Số hạng phải tìm là

C .

6 6



.

15

2

320320

<i><b>L</b></i>

<i><b> u ý</b><b> . TÝnh hƯ sè cđa số hạng </b></i>

_x

<i></i>₍

<i></i>

_{là một số hữu tỉ cho trớc) trong khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa}<i>_{p(x) = ( f}</i>

<i>(x))n</i>_{, ta lµm nh sau:}
ViÕt <i>P(x) = </i>

n

g(k)
k
k

x

<i>α</i>





0

<i>;</i> số hạng chứa

_x

<i>α</i>_{tơng ứng với}<i>_{g(k) =}</i>

<i>α</i>

<i>_;</i>_{giải PT ta tìm đợc k.}

NÕu

k





,k n,



hƯ sè ph¶i tìm là

<i></i>

_k; nếu

k

hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa

_x

<i></i>_,

hệ số phải tìm bằng 0.

*Thí dụ 9.<i>HÃy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức</i>
<i>P(x) = (2x + 1)13₌</i>

.

x

x

...

<i>α</i>

₀ 13



<i>α</i>

₁ 12





<i>α</i>

₁₃

<i><b>Lêi gi¶i. Ta cã </b>P(x) = (2x + 1)13₌</i> n n

n

C ( x)






13

13
13

0

2

VËy

<i>α</i>

_n

_

C .

₁₃n

₂

13n

_

<i>α</i>

_n_₁

_

C .

₁₃n1

₂

14n



n

_

_{1 2}

, ,...,

₁₃



.

XÐt BPT ( víi Èn sè <i>n</i>):

n n n n

n n

C .

C .

<i>α</i>

<i>α</i>

  









1 14 13

1 13

2

13

2

. !

!

(n

)!(

n)! n!(

n)!











2 13

13

1 14

13





n

 

n

n





.

12

1

14

14

3



Do đó BĐT

<i>α</i>

_n_₁



<i>α</i>

_n đúng với

n





1 2 3 4

, , ,



và dấu đẳng thức không xảy ra.
Ta đợc

<i>α</i>

₀



<i>α</i>

₁



<i>α</i>

₂



<i>α</i>

₃



<i>α</i>

₄ và

<i>α</i>

₄



<i>α</i>

₅



...



<i>α</i>

₁₃_.

VËy max(

<i>α</i>

_n

)

=

<i>α</i>

_

C .

4 9

_

4 13

2

366080

<i><b>L</b></i>

<i><b> u ý</b><b> . Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển </b></i>



<i></i>

x b





mthành một đa thức, ta làm nh sau:

Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT

<i></i>

_n₁

<i></i>

_n với ẩn số <i>n</i>; hệ số lớn nhất phải tìm tơng ứng với số tự
nhiên <i>n</i> lớn nhất thoả mÃn BPT trên.

<b>Bài tập phần tổ hợp :</b>
<b>Bài I.</b>

1)T cỏc ch số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
2)Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các
số tự nhiên ú.

3)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2008 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn

4)T các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập đợc
đều nhỏ hơn 25000?

5)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn ,mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có hai
chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau?

6)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tông
các chữ số hàng chục ,hàng trăm ,hàng nghìn bằng 8 ?

7)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết

phải có hai chữ số 1,5?

8)Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đồng thời ba điều kiện sau : gồm đúng 4 chữ số đôi một khác nhau ; là số
chẵn ;nhỏ hơn 2158 ?

9).Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số kác nhau và chữ số 2
đứngcạnh chữ số 3 ?

10).Cã bao nhiªu sè tù nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau ?

11)T cỏc ch s 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện:
Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối
một đơn vị?

12)Từ 9 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau.
<b>Bài II.</b>

1) Một lớp học có 33 học sinh ,trong đó có 7 nữ .Cần chia lớp học thành 3 tổ ,tổ I có 10 học sinh,tổ II có 11 học
sinh,tổ III có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chia nh vậy?
2) Trong một mơn học ,thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó , 10câu hỏi trung bình ,15 câu hỏi
dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra ,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau ,sao cho trong mỗi
đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,trung bình ,dễ) và số câu hỏi dễ khơng ớt hn 2?

3) Đội thanh niên xung kích của một trêng phỉ th«ng cã 12 häc sinh, gåm 5 häc sinh líp A. 4 häc sinh líp B vµ
3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi lµm nhiƯm vơ, sao cho 4 häc sinh nµy thc không quá 2 trong 3 lớp
trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy.?

4) Mt i thanh niờn tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội thanh
niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.?

5)Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4.Hỏi
có bao nhiêu cỏch chn nh vy?

<b>Bài III</b>. 1.Chứng minh với k,n thoả mÃn các điều kiện ta có
a) Ck_n Ck_n 1 Ck_n 2 Ck_n ₂

2     _


b)

C

_nk

C

k_n

C

k_n

C

_nk

C

_nk




3

1



3

2



3



₃

4) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6A<b>2_n</b> - PnA<b>2_n</b> = 12.

5) Gi¶i bÊt phơng trình :

!

1

!

15
2

4
4

n
n

A_n

6) Giải hệ phơng tr×nh :

2 3

4 2

22

4

66

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>C</i>

<i>A</i>

<i>C</i>



7)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của

7
4

3 1

x

x với x > 0.
8)Cho biÕt hƯ sè cđa sè h¹ng thø 3 cđa khai triĨn

n

x
x
x

x _










3

2_. _{b»ng 36.T×m sè h¹ng thø 7.}

9)Trong khai triĨn

n

x
x

x _














5
28
3

. ,h·y tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,biết C_nnCn_n1Cn_n2 79

10)Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của

n

x

x

1 tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24 ,tính

tổng các hệ số của các số hạng chứa xk_{với k > 0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phơng.}

11)Tìm hệ số của <b>_x8</b>_{trong khai triển thành đa thức của}₁x (2 ₁_ x)_8

 

12)T×m hƯ sè cđa x5_{trong khai triển thành đa thức của : x( 1 - 2x )}5_{+ x}2_{( 1 + 3x)}10

13)T×m hƯ sè cđa sè hạng x8_{trong khai triển nhị thức Niutơn của}

n

x

x 







 5

3

1 _.

BiÕt r»ng Cn_n_1₄ Cn_n_₃7₍n3₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Lun tËp to¸n GV: Vũ HOàng Sơn
15)Tìm số tự nhiên n thoả mÃn : C2_nC_nn22C2_nC_n3C_n3C_nn3100

16) Cho khai triĨn nhÞ thøc

1 1 1

1 1 1 1

0 1 1

2 3 2 2 3 2 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2

n n n n n

x x x x x x x x

n n

n n n n

C C ... C C

 

       



             

     

             

             

             

Biết rằng trong khai triển đó 3 1

5

n n

C  C vµ số hạng thứ t bằng 20n,tìm n và x.

17)Với n là số nguyên dơng, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n

a3n-3 = 26n.

<b>Bài IV.</b>

1) Trờn các cạnh <i>AB, BC, CD , DA</i> của hình vng <i>ABCD </i>lần lợt cho <i>1,2,3</i> và <i>n</i> điểm phân biệt khác <i>A ,B, C, D</i> . Tìm
n biết rằng số tam giác có ba đỉnh lấy từ <i>n+6</i> điểm ó cho l <i>439</i>

2)Cho tập hợp A gồm n phần tö ( n

_

4).BiÕt r»ng ,sè tËp con gåm 4 phÇn tư cđa A b»ng 20 lÇn sè tËp con gồm
2 phần tử của A .Tìm <i>k</i>

1,2,...,<i>n</i>

sao cho sè tËp con gåm k phÇn tư cđa A lµ lín nhÊt .

3)Cho hai đờng thẳng song song d1 và d2 .Trên đờng thẳng d1 có 10 điểm phân biệt ,trên đờng thẳng d2 có n điểm

phân biệt ( n

_

2).Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho .Tìm n.
4)Tìm

_k





_{0,1,2,...,2005}



sao cho k

2005

C

đạt giá trị lớn nht.

5)Cho tập A gồm n phần tử , n 7.Tìm n,biết rằng số tập hợp con gồm 7 phần tử cđa tËp A b»ng hai lÇn sè tËp
con gåm 3 phÇn tư cđa tËp A.

6)Cho tập A gồm n phần tử , n > 4.Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là
số lẻ.

7)BiÕt r»ng (2 +x )100_{= a}

0 +a1x+a2x2 + ...+a100x100 .Chøng minh rằng , a2 <a3 .

với giá trị nào của k thì ak < ak+1

0<i>k</i>99

?

8)Giả sử (1 +2x)n_{= a}

0+a1x+…anxn .BiÕt r»ng a0 +a1+a2 +…+an = 729.Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,a2,

,a

n.

9)Giả sử n kà số nguyên dơng và (1+x)n_=a

0+a1x++anxn. Biết răng tồn tại số k nguyên dơng (1kn 1) sao

cho ,

24
9
2

1

1 

 _ k _ k

k a a

a

h·y tÝnh n.

10)Cho đa giác đều A1A2…A2n (n



2, n nguyên ) nội tiếp đờng tròn (0).Biết răng số tam giác có các đỉnh là 3

trong 2n điểm A1,A2,…,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2…,A2n, tìm n.

HÕt PhÇn 1 ..

……… ………

</div>

<!--links-->