Tuyet ky BDTNguyen Phu Khanh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (383.74 KB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI.

Cho n nguyên và n ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 A x 1n
x

= +

Giải:

1 1 1

... ( 1)

n
n

n n n n

x
n so

n

x x x x n

A n

n n n x n x n

  +

= + + + + ≥ +   ≥

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 n 1
n

x

x n

n x

= ⇔ =

Giá trị nhỏ nhất của

1
n n

n
A

n
+

Cho n nguyên và n ≥ và 2 x ≥k >n+1n . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1
n

A x
x

= +

Giải: 
Với x ≥k >n+1n

1 2 3 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) 0 ... 0

n n n n n n

f x f k x k x k

x k

x k x − x −k x − k k −

   

≥ ⇔ + − − ≥ ⇔ − + −   + + + + ≥

   

1 2 3 2 1

1 1 1 1 1

(x k) 1 n n n ... n 0

xk x − x −k x − k k −

  

⇔ −  −  + + + +  ≥

 

 

1 2 3 2 1

( ) 1 1 1 1

... 0

n n n n

x k
xk

xk x − x − k x − k k −

  

−

⇔  − + + + +  ≥

 

 

Ta có: 1 2

1 2 3 2 1 1 1 1

1 1 1 1

... n

n n n n n n n

n n

n xk

x x k x k k k n

+
− + − + − + + − ≤ − < + − = <

Suy ra f x( )≥ f k( )đúng với mọi x ≥k >n+1n

Giá trị nhỏ nhất của 1
n

A k
k

= + khi x = . k
Cách 2 :

Nháp : 1

, 0

1 1

... ( 1) 1

n
n

n n

x
n so m

m

x x nx x n

A x n x

m m x m m x m

+
>

   

= + + + + − ≥ +   +  − 

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ta chọn m sao cho: 1 n 1 n 1
n

x k

m x k

x
m x

+ +

 =

 ⇒ = =


=



Bài giải: 1

1 1 1 1 1

1 1

... ( 1) 1

n
n

n n n n n n n

x
n so

n
k

x x nx x n

A x n x

k k x k k x k

+ + + + +

   

= + + + + − ≥ +   +  − 

   

Vì x ≥k > n+1n nên n <kn+1suy ra:

( 1) 1

1 ( )

n n n

n n

A k k f k

k k + k

 

≥ +  −  = + =

 

Cho hai số thực x ≠ 0,y ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 0

(

x +y xy

)

=x2 +y2 −xy . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức :

3 3

1 1

A

x y

= +

Đề thi Đại học khối A năm 2006

Giải: 
Xét

(

x +y xy

)

=x2 +y2 −xy

( )

* .

Đặt u 1,v 1

x y

= = .

Ta được

(

)

2 2
2 2

1 1 1 1 1 3( )

( ) 3

u v
u v u v uv u v u v uv

x y x y xy

+ = + − ⇒ + = + − ⇒ + − + = ≤ .

(

)

4( ) 0 0 4

u v u v u v

⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤

Khi đó :

3 3 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 2 2

( )( ) ( )( ) 2

x y x y x y xy x y x y xy x y xy
A

x y x y x y x y

+ + + − + + + +

= = = =

2
2 2

1 1 2

( ) 16

A u v

xy
x y

⇒ = + + = + ≤ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi u = = hay v 2 1

x =y = .

Cho x y z là , , 3 số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

=  + +  + +  + 

     

1 1 1

2 2 2

x y z

P x y z

yz zx xy

Đề thi Đại học khối B năm 2007

Giải:

     

=  + +  + +  +  = + + + + +

     

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2

x y z x y z x y z

P x y z

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(

)

 

(

)

 

= + +  +  = + +  + + 

   

2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1

2 2

P x y z x y z

xyz xyz xyz

2 2 2

3 3

2 2 2

1 1 9

9 .

2 2

P x y z

x y z

≥ = .

Đẳng thức xảy ra khi x = = = 1y z .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 9

P

Đề thi Đại học khối A năm 2009

Cho x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện , , x y z. . =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

)

(

)

(

)

= + +

+ + +

2 2 2

x y z y z x z x y
P

y y z z z z x x x x y y

Đề thi Đại học khối A năm 2007

Giải:

≥ + + ≥ + +

+ + + + + +

2 2 2 2 2 2

x x xyz y y xyz z z xyz x x y y z z

P

y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y

Đặt:



= − + +



 = + 

 = + ⇒  = − +

 

 = + 

 

 = + −



( 2 4 )

2 9

2 ( 2 4 )

2 1

(4 2 )

x x a b c

a y y z z

b z z x x y y a b c
c x x y y

z z a b c

Khi đó: ≥ − + + + − + + + −  ≥ − +  + +   + + + 

      

2 2 4 2 4 4 2 2

6 4

9 9

a b c a b c a b c b a c c a b

P

a b c a c b a b c .

Hay ≥ 2

(

− +6 4.3+3

)

=2
9

P .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức của P = 2 khi a = = = 1b c .

Cho các số thực không âm x y thay đổi và thỏa mãn , x + = 1y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức S =

(

4x2 +3y

)(

4y2 +3x

)

+25xy.

Đề thi Cao đẳng khối B năm 2009

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(

)

(

)

(

)

= 3 + 3 + 2 2 + = + 2 + 2 − + 2 2 +

12 16 34 12 16 34

S x y x y xy x y x y xy x y xy

Hay =

(

) (

 +

)

− + + =  −  +

   

2 2 2 1 191

12 3 16 34 4

4 16

S x y x y xy x y xy xy

Vì x y khơng âm và thỏa mãn +, x y = 1 suy ra ≤ ≤ +  =

 

1
0

2 4

x y
xy

 

⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤  −  + ≤

 

1 1 3 1 191 25

4 0 4

4 xy 4 4 xy 4 16 2 .

Vậy giá trị lớn nhất của = 25
2

S khi = = 1

x y và giá trị nhỏ nhất của S = 0 khi x =0,y =1.

Cho các số thực x y thay đổi và thỏa mãn ,

(

x +y

)

3 +4xy ≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

) (

)

= 4 + 4 + 2 2 − 2 + 2 +

3 2 1

A x y x y x y

Đề thi Đại học khối B năm 2009

Giải:

(

)

(

)

(

) (

)



+ + ≥ 

⇒ + + + ≥ ⇒ + ≥



+ ≥ 

3 2

4 2

2 1

x y xy

x y x y x y

x y xy

(

) (

)

(

) (

)

= 4 + 4 + 2 2 − 2 + 2 + = 3 4 + 4 + 4 + 4 + 2 2 − 2 + 2 +

3 2 1 2 2 1

A x y x y x y x y x y x y x y

(

) (

)

= 3 4 + 4 + 3 2 + 2 2 − 2 + 2 +

2 1

2 2

A x y x y x y

Mà 4 + 4 =

(

2 + 2

)

2 −2 2 2 ≥

(

2 + 2

) (

2 − 4 + 4

)

⇒ 4 + 4 ≥ 1

(

2 + 2

)

2
2

x y x y x y x y x y x y x y

Khi đó ≥ 3

(

2 + 2

)

2 + 3

(

2 + 2

) (

2 −2 2 + 2

)

4 2

A x y x y x y hay ≥ 9

(

2 + 2

) (

2 −2 2 + 2

)

A x y x y

Đặt =

(

)

≥ + ≥ ⇒ ≥ + ≥

2
2

2 2 ( ) 1 9 2 1

, A – 2 1,

2 2 4 2

x y

t x y t t t t .

Xét hàm số

( )

= 9 2 – 2 +1
4

f t t t xác định và liên tục trên nửa khoảng  +∞ 

 

1
;

2 .

Ta có '

( )

= 9 – 2 ≥ 9 − >1 0

2 4

f t t , ≥ 1 ⇒

( )

t f t đồng biến trên nửa khoảng  +∞ 

 

1
;

2 .

Khi đó

( )

 
∈ +∞
 

 

= =   =

 

1
;
2

1 9

min min

2 16

t

A f t f . Đẳng thức xảy ra khi = 1

t

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài toán mở đầu : Cho a b, > và thỏa mãn 0 a + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 1

2 2

1 1

2
1

P

ab
a b

= +

+ + .

Giải:

Lời giải 1. Ta có: 12 2 1 2 4 2 42 4 2

2 2

1 2 1 ( ) 1

P

ab

a b a ab b a b

= + ≥ = ≥ =

+ + + + + + +

Dấu" = xảy ra "

2 2 2

1 2 ( ) 1 0

1 1

a b ab a b

a b a b

 + + =  − + =

 

⇔  ⇔ 

+ = + =

 

 

. Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại min P .

Lời giải 2. Ta có:

2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 4 1

6 3 3 3

1 6 1 ( ) 1 4

P

ab ab ab ab

a b a ab b a b ab

= + + ≥ + = +

+ + + + + + + +

Mặt khác

2 4

a b
ab ≤  +  =

  . Vậy 2 2

4 1 8

2 6

2 2

P

a b a b

≥ + ≥

 +   + 

+    

   

Dấu " = xảy ra "

2 2

1 3

1
2
1

a b ab

a b a b

a b

 + + =



⇔  = ⇔ = =

 + =


Lời bình: lời giải 1. và lời giải 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1 4

a +b ≥a +b. Tại sao

trong cùng một bài tốn mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải 2 tại sao lại tách 1 1 1

2ab = 6ab + 3ab ?. Đó

chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.

Cho a b, > và thỏa mãn 0 a + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 1

2 2

1 1

P ab

ab
a b

= + +

+ .

Giải:

Do P là biểu thức đối xứng vớia b , ta dự đoán , min P đạt tại 1
2

a = = . b

Ta có:

2 2 2 2

1 1 1 1 4 1 1

4 2 4 . 7

2 4 4 ( ) 2

4
2

P ab ab

ab ab ab ab

a b a b a b

 

= + + + + ≥ + + ≥

+   +  + 

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Dấu " = xảy ra "

2 2
2 2

1 1

16 2

a b ab

a b a b

a b

 + =




⇔  = ⇔ = =



+ =


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = đạt tại 7 1
2

a = = . b

Thao khảo hai lời giải khác : 
Lời giải 1:

(

)

2 2 2

1 1 1 1 4 1 1 1 1

4 2 4 . 4 2 6

4 4 2 4 4 4

P ab ab

ab ab ab ab ab ab ab

a b a b

 

= + + + + ≥ + ≥ + + = +

+   +

Dấu " = xảy ra "

2 2
2 2

1 1

16 2

a b ab

a b a b

a b

 + =




⇔  = ⇔ = =



+ =


. Thay 1

a = = vào ta được b P ≥ . 7

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = đạt tại 7 1
2

a = = . b

Lời bình 1:

Qua cách giải trên ta đã chọn đúng dấu đẳng thức xảy ra khi 1
2

a = = nên dẫn đến việc tách các số hạng và b

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = đạt tại 7 1
2

a = = là đúng , nhưng bước cuối cùng ta đã làm sai , ví dụ b

(

)

1 a− + ≥ , đẳng thức xảy ra khi a a a = ⇒1 min 1

(

−a

)

2 +a =a?.

 

Lời giải 2:

(

)

2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 4 1

4 4 4

2 2 2 2 2

P ab ab ab

ab ab ab ab

a b a b ab a b

 

= + + + ≥ + + = + + 

+ + + +  .

Mặt khác 1 4 2 1 .4 2 2

2ab + ab ≥ 2ab ab = . Vậy P ≥ +4 2 2 ⇒minP =2 2

(

+ 2

)

Lời bình 2:

Thoạt nhìn thấy bài tốn đã giải đúng . Thực tế thì sao? . Việc tách 1 1 1

2 2

ab = ab + ab để làm xuất hiện đẳng

thức a2 +b2 +2ab =

(

a +b

)

(

)

min 2 2 2 4

a b

P ab

ab
a b

 =



= + ⇔  =



+ =


. Hệ vô nghiệm. Đẳng thức không xảy ra , do đó khơng tồn tại min P .

Cho 3 số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1. 1 1 1 15
2

a b c

+ + + + + ≥ .

2. 2 2 2

2 2 2

1 1 1 3 17

a b c

+ + + + + ≥ .

3. 2 2 2

2 2 2

1 1 1 3 17

a b c

b c a

+

≥

Giải:

1. 1 1 1 15

a b c

+ + + + + ≥

Ta có thể phạm sai lầm: 3 3

3 3

1 1 1 1 1

3 3 6 . 6

a b c abc abc

a b c abc abc

+ + + + + ≥ + ≥ =

Dấu đẳng thức xảy ra khi

a

= = =

b

c

1

nhưng khi đó 3 3
2

a + + = >b c ( trái giả thiết ) .
Phân tích bài tốn :

Từ giả thiết

a b c

, ,

dương thoả mãn 3
2

a + + ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung b c

bình nhân. 3 33 3 1

2 ≥ + + ≥a b c abc ⇒ abc ≤ . Đặt: 2

3 1

x = abc ≤

Khi đó : 3

1 1 1 1 1

3 3 3

a b c abc x

a b c abc x

 

+ + + + + ≥ + =  + 

 . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi

1
2

x =

Ta chọn α > sao cho: 0 2

1
2

1 4

x

x
x

x

α


=

 ⇒ = =



 =



Bài giải:

1 1 1 1 1 1 9 15

3 3 4 3 3.2 4 . 9 12

2 2

a b c x x x x x

a b c x x x

   

+ + + + + ≥  + ≥  + − ≥ − = − =

   

Đẳng thức xảy ra khi 1

a

= = =

b

c

2. 2 2 2

2 2 2

1 1 1 3 17

a b c

+ + + + + ≥ .

Phân tích bài tốn :

Từ giả thiết

a b c

, ,

dương thoả mãn 3
2

a + + ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung b c

bình nhân. 3 33 3 1

2 ≥ + + ≥a b c abc ⇒ abc ≤ . Đặt: 2

3 1

x = abc ≤ ,đẳng thức xảy ra khi 1

x = .

Xét 2

x
x

+ , chọn

α

> sao cho: 0 4

2 16

x

x
x

x

α


=

 ⇒ = =



 =



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 12

16x và số

2
x :

15
16

2 2 17 2 2

2 2 2 2 32

1 1 1 1 17

16. 17

16 16

x

x x x x

−

 

+ = + ≥   ⇒ + ≥

  .

15 15 15

17 17 17

2 2 2

2 32 2 32 2 32

17 17 17

1 17 1 17 1 17

; ;

2 2 2

a b c

− − −

⇒ + ≥ + ≥ + ≥

1
15 15 15 15 15 15 3

2 2 2 17 17 17 17 17 17

2 2 2 32 32

17 17

1 1 1 17 17

2 2

a b c a b c a b c

a b c

− − − − − −

   

⇒ + + + + + ≥  + + ≥  

   

( )

5 15

2 2 2 17 17

2 2 2 32 32

17 17

1 1 1 3 17 3 17 3 17

2 2

a b c abc

a b c

−

+ + + + + ≥ ≥ = .

Đẳng thức xảy ra khi 1

a

= = =

b

c

Cách khác :

Chọn : u a;1 ,v b;1 ,w c;1

a b c

     

=  =  = 

     

Dùng bất đẳng thức vecto u + v + w ≥ u+ +v w

(

)

2 2

2 2 2 3 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

3 ( )

( )

a b c a b c abc

a b c

a b c abc

 

+ + + + + ≥ + + + + +  ≥ +

 

Tương tự trên , ta đặt

( )

2
2

3 1

3 4

a b c
x = abc ≤ + +  ≤

  .

2 2 2

1 1 1 1 1 15 1 15

3 3 3 2 .

16 16 16 16

x

a b c x x

x x x x x

a b c

+ + + + + ≥ + = + + ≥ +

2 2 2

1 1 1 1 15 1 15 3 17

3 3

2 16 2 4 2

a b c

x

a b c

+ + + + + ≥ + ≥ + = .

Đẳng thức xảy ra khi 1

a

= = =

b

c

3. 2 2 2

2 2 2

1 1 1 3 17

a b c

b c a

+

≥

Tương tự trên . Xét 2

x
y

+ , chọn

α

> sao cho: 0 2 2

2 16

x y

x y
x

y

α
α



= =

 ⇒ = =



 =

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 12

16y và số

2
x :

1 16
16

17 17

2 2 17 2 2

2 2 2 2 32

1 1 1 1 17

16. 17

16 16

x y

x x x x

y y y y

−

 

+ = + ≥   ⇒ + ≥

  .

1 16 1 16 1 16

17 17 17 17 17 17

2 2 2

2 32 2 32 2 32

17 17 17

1 17 1 17 1 17

; ;

2 2 2

a b b c c a

a b c

b c a

− − −

⇒ + ≥ + ≥ + ≥

( )

1 16 1 16 1 16 5 15

2 2 2 17 17 17 17 17 17 17 17

2 2 2 32 32 32

17 17 17

1 1 1 17 3 17 3 17 3 17

2 2 2

a b c a b b c c a abc

b c a

− − − −

 

+ + + ≥  + + ≥ ≥ =

 

+

Đẳng thức xảy ra khi 1

a

= = =

b

c

Cho x y z, , > và thỏa mãn 0 1 1 1 4

x +y +z = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1

2 2 2

P

x y z x y z x y z

= + +

+ + + + + +

Đề thi Đại học khối D năm 2007

Giải:

Cho các số không âm a b x y thỏa các điều kiện , , ,

2005 2005
2005 2005

1
1

a b

x y

 + ≤



 + ≤

 . Chứng minh rằng :

1975 30 1975 30

. . 1

a x +b y ≤

Toán tuổi thơ 2 – số 27

Giải:

Nhận xét : Các đa thức tham gia trong bài toán cùng bậc 2005 =1975+30, đồng thời số mũ của các biến
tương ứng bằng nhau.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

(

)

( ) ( )

( )

2005 2005 1975 30

2005 2005 1975 30
2005

1975. 30.

. . 1

1975 30

a x

a x a x

≥ =

Tương tự

(

)

( ) ( )

( )

2005 2005 1975 30

2005 2005 1975 30
2005

1975. 30.

. . 2

1975 30

b y

b y b y

+ ≥ =

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra 1975.

(

a2005 +b2005

)

+30.

(

x2005 +y2005

)

≥2005.

(

a1975.x30 +b1975.y30

)

( )

Từ

(

)

(

)

( )

2005 2005

2005 2005 2005 2005
2005 2005

2005 1975. 30. 4

a b

a b x y

x y

 + ≤

 ⇒ ≥ + + +



+ ≤



Từ

( )

3 và

( )

4 suy ra 2005≥2005.

(

a1975.x30 +b1975.y30

)

⇒a1975.x30 +b1975.y30 ≤1

Dấu đẳng thức xảy ra khi a1975 =x30,b1975 =y30.

Tổng quát : Cho các số không âm a b x y thỏa các điều kiện , , , 1

m n m n
m n m n

a b

x y

+ +

 + ≤




+ ≤

 . Chứng minh rằng :

. . 1

m n m n

a x +b y ≤ .

Cho x y z là các số dương thỏa mãn điều kiện: , , x2 +y2 +z2 =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

xy yz zx
A

z x y

= + +

Giải:

Ta có :

(

)

2 2 2

2 xy yz zx 2 2 2 2 .

A y z x

z x y

     

=  +  +  + + +

     

Áp dụng bất đẳng thức: x2 +y2 +z2 ≥xy +yz +zx

Ta được: A2 ≥(y2 +z2 +x2) 2(+ y2 +z2 +x2)=3(y2 +z2 +x2)=3.

Đẳng thức xảy ra 1 .

xy yz xz

x y z

z x y

⇔ = = ⇒ = = =

Vậy minA = 3 đạt được khi 1

x = = =y z .

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a

+

b

+

c

=

1

. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2

3 3

2 +

≥

+

a

b

c

b

c

a

b

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

•

Trường hợp tổng quát , giả sử

0 <

a

≤ ≤

b

c

thoả mãn điều kiện

a

+

b

+

c

=

1

, vậy ta có thể suy ra

0 < ≤ ≤ <

a

b

c

1

hay không?. Như vậy điều kiện

a b c

, ,

khơng chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi

2 2 2

1
0;

0 , ,

1

 ⇒  

  



< = =

∈

+

=

a

b

c

a b c

a

b

c

•

Ta thấy mối liên hệ gì của bài tốn ?. Dễ thấy

a

+

b

+

c

=

1

và

b

+

c c

2, 2

+

a a

2, 2

+

b

2. Gợi ý ta đưa

bài toán về dạng cần chứng minh : 2 2 2

3 3

2

1 −

+

1 −

+

1 −

≥

a

b

c

a

b

c

•

Vì vai trị

a b c

, ,

như nhau và

2

ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích

(

2 2 2

)

2 2 2

3 3

2

1 −

+

1 −

+

1 −

≥

+

a

b

c

a

b

c

a

b

c

và cần chứng minh

2
2

3

2

1

3

2

1

3

2

1











≥

−

≥

−

≥

−

a

b

c

•

Ta thử đi tìm lời giải :

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

3

1 3 3

2 (1

)

4 (1

)

8 2 (1

)

2

27

1 3 3

a

≥

⇔

a

≥

⇔

≥

−

⇔

≥

−

⇔

≥

−

Dễ thấy

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 (1

)

2 (1

)(1

)

2 (1

) (1

) 2

a





−

=

−

+ −

=

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

2 2 2 3 2 2 2

2 =

2 a

+ −

(1

a

) (1

+ −

a

)

≥

3 2 (1

a

−

a

)(1

−

a

)

2 2 2 2 2 2

2

8 2 (1

)(1

)

2 (1

)

3 a

27 a

⇒

≥

−

⇔

≥

−

Tương tự cho các trường hợp còn lại.
Giải :

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

. Chứng minh rằng :

( )

(

)

(

)

(

)

3 3 3

1

2 a

b

c

a

b

c

b c

+

a

+

c a

+

b

+

a b

+

c

≥

+ +

Phân tích bài tốn :

•

Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng :

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 3

0 a

b

c

m a

c

nb

k b

a

pc

i b

c

ja

b c

+

a

+

c a

+

b

+

a b

+

c

+

≥

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Từ đó gợi mở hướng giải :

( ) ( )

3 a

m a

c

nb

mna

b c

+

a

+

≥

. Đẳng thức xảy ra khi

( ) ( )

3 1

4
1
2

a

m

m a

c

nb

a

b c

a

m a

a

na

a a

a

n

a

b

c






 ⇔

 

 

 

=

+

=

+

=

+

=

⇔

+

=

= =

Tương tự cho các trường hợp khác .
Giải :

( ) ( )

1

3

2

4

2 a

b

c

a

b c

+

a

+

≥

. Đẳng thức xảy ra khi: ( ) ( )

1

2

4 a

b

c

a

b c

+

a

=

+

(

)

(

)

1

3

2

4

2 b

c

b

a

b

c a

+

b

+

≥

. Đẳng thức xảy ra khi:

(

)

(

)

1

2

4 b

c

b

a

c a

+

b

=

+

.

(

)

(

)

1

3

2

4

2 c

a

b

c

a b

+

c

+

≥

. Đẳng thức xảy ra khi:

(

)

(

)

1

2

4 c

a

b

c

a b

+

c

=

+

. 
Cộng vế theo vế ta được :

( )

(

)

(

)

(

)

3 3 3

1

2 a

b

c

a

b

c

b c

+

a

+

c a

+

b

+

a b

+

c

≥

+ +

. Dấu đẳng thức xảy ra khi :

0 a

= = >

b

c

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a

+ +

b c

=1 . Chứng minh rằng :

.

a

1 1 1 7

a + + b+ + c + <

.

b

a

+ +

b

+ +

c

+ ≤

a

6 .

c

a

+ +

b

+ +

c

+ ≤

a

18

.

.

d

a

b

c

1

10 a

b

c

+ + +

+ + ≥

Giải:

.

a

1 1 1 7

a + + b + + c + <

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

1 1

1 1. 1 1

2 2

1 1 7

1 1. 1 1 1 1 1 3

2 2 2 2

1 1

1 1. 1 1

2 2

a a

a a

b b a b c

b b a b c

c c

c c



+ +



+ = + ≤ = +




+ +  + +

+ = + ≤ = + ⇒ + + + + + ≤ + =



+ + 

+ = + ≤ = + 



Đẳng thức xảy ra khi a + = + = + = ⇔1 b 1 c 1 1 a = = = ⇒ + + = ≠ b c 0 a b c 0 1

Vậy 1 1 1 7

a + + b + + c + <

.

b

a

+ +

b

+ +

c

+ ≤

a

6

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

•

Trường hợp tổng quát , giả sử

0 a

< ≤ ≤

b

c

thoả mãn điều kiện

a

+ +

b c

=1, dấu đẳng thức chỉ xảy ra
khi

0 1

3

1 a

b

c

a

b

c

a

b

c





< = =

⇒ = = =

+ + =

. Hằng số cần thêm là

1

3

•

Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích

a

+ +

b

+ +

c

+ ≤

a

6 (

a

+ +

b

c

)

hay

1

3 3

.

2 a

b

c

a

S

a

b

c

a

 

 

 

+ + +

=

+ +

+ ≤

+

•

Ta thử đi tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

(

)

(

)

1

2

3 3

3 .

.

2

3 a

b

a

b

a

b

a

b

 

 

 

+ + +

+

=

≥

+

=

+

Tương tự cho các trường hợp còn lại .
Cách khác :

Giả sử với mọi

m

>

0

, ta ln có :

1 (

)

1

2 a

b

m

a

b

a

b m

m

 

 

 

+ +

+ =

+

≤

. Vấn đề bây giờ ta

dự đoán

m

>

0

bao nhiêu là phù hợp?.

Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi

1

2

3 a

b

m

a

b








+ =

⇔

=

= =

Giải :

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

_
_

2

3

2

3 3

.

2

3

2

3

2

3 3

.

2

3

2

3

2

3 3

.

2

3

2

AM GM

a

b

a

b

a

b

c

b

c

b

c

a

c

a

c

a















+

+ =

+

≤

+

+ =

+

≤

+

+ =

+

≤

(

)

2

3.

3 .

3

3 .2

6

2 a

b

c

a

b

c

a

+ +

+

⇒

+ +

+ ≤

=

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi

1

3 a

= = =

b

c

.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

•

Trường hợp tổng quát , giả sử

0 a

< ≤ ≤

b

c

thoả mãn điều kiện

a

+ +

b c

=1, dấu đẳng thức chỉ xảy ra

khi

2

3

0 1

2

3

1

2

3 a

b

a

b

c

a

b

c

b

c

a

b

c

a





 

 

 







+ =

< = =

⇒ = = = ⇒

+ =

+ + =

+ =

. Hằng số cần thêm là

2

3

•

Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích 3

a

+ +

b

+ +

c

+ ≤

a

18 (

a

+ +

b

c

)

hay

(

)

(

)

(

)

3 3 3

2

3

T

a

b

c

a

b

c

a

+ +

+ ≤

+

+ +

+

+ +

+

+ +

.
Giải :

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3

3
3
3

2

9 2 2

3

.

. .

4 3 3

3

2

9 .

. .

2 2

3

4 3 3

3

2

9 2 2

3

.

. .

4 3 3

3 a

b

a

b

a

b

c

b

c

b

c

a

c

a

c

a















+

+ +

+ =

+

≤

+

+ +

+ =

+

≤

+

+ +

+ =

+

≤

(

)

3

3 3

3 3 3

9 .

2

4 9 6

.

18

4

3 4 3

a

b

c

T

a

b

c

a

+ +

+

⇒

=

+ +

+ ≤

=

(đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi

1

3 a

= = =

b

c

.

d

a

b

c

1

10 a

b

+ + +

+ + ≥

Phân tích bài tốn :

•

Trường hợp tổng qt , giả sử

0 a

< ≤ ≤

b

c

thoả mãn điều kiện

a

+ +

b c

=1, dấu đẳng thức chỉ xảy ra

khi

0

1

3

1 a

b

c

a

b

c

a

b

c





< = =

⇒ = = =

+ + =

•

Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với mọi

m

>

0

, ta ln có :

ma

1

2 m

a

+

≥

Đẳng thức xảy ra khi :

1

9

1

3 ma

a

m

a



=



⇔

=



 =



•

Vì thế mà

T

a

b

c

1

9 (

a

b

c

)

1

8 (

a

b

c

)

a

b

a

b

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giải :

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

1

9

6

1

9

6

1

9

6 a

b

c



+

≥





+ ≥





+ ≥



(

)

1 (

)

(

)

9

8

3.6

8

10 T

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

⇒

=

+ +

+ + + −

+ +

≥

−

+ +

=

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi :

1

3 a

= = =

b

c

Bài tập tương tự

Cho các số thực dương

x y z

, ,

và thỏa mãn

mx

+

ny

+

pz

≥

d

trong đó

m n p d

, , ,

∈

. Tìm giá trị lớn

nhất biểu thức

A

=

ax

+

by

+

cz

Hướng dẫn : Thực hiện việc chọn điểm rơi :

ax

=

by

=

cz

=

β

Chứng minh rằng nếu

xy

+

yz

+

zx

=

5

thì

3 x

+

3 y

+

z

≥

10

Phân tích bài tốn :

•

Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa

3 ,3 , ,

x

y z xy yz zx

2 2

, ,

cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng
thức có dạng :

(

ax

−

by

)

≥ ⇔

0

(

ax

+

( )

by

≥

axby

?.

•

Phân tích :

2 2

2

ax

+

ay

≥

axy

.Đẳng thức xảy ra khi

x

=

y

2 2

2

by

+

cz

≥

bcyz

.Đẳng thức xảy ra khi

by

=

cz

2 2

2 cz

+

bx

≥

cbzx

. Đẳng thức xảy ra khi

cz

=

bx

Bây giờ ta chọn

a b c

, ,

sao cho :

1

3

2

1

2

1

2 a

b

c

b

a

bc

c



+ =

 =







=

⇔



=





=



 =





Giải :

2 2

2

x

+

y

≥

xy

.Đẳng thức xảy ra khi

x

=

y

1

2 y

+

z

≥

yz

.Đẳng thức xảy ra khi

2

1

2 y

=

z

2 2

1

2 z

+

x

≥

zx

. Đẳng thức xảy ra khi

2 2

1

2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Cộng vế theo vế ta được :

3 x

+

3 y

+

z

≥

2 (

xy

+

yz

+

zx

)

⇒

3 x

+

3 y

+

z

≥

10

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi :

2 2

1

2 1

2

1 2

2

5 x

y

z

x

y

z

x

xy

yz

zx

=





=



= =



⇔





 =



=





+

=



Cho

3

số thực dương

x y z

, ,

thoả mãn 47
12

x

+ +

y

z

= . Chứng minh rằng : 2 2 2
12

235

3 x

+

4 y

+

5 z

≥

Phân tích bài tốn :

•

Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa

3 ,4 ,5 , , ,

x

y

z x y z

2 cho ta điều gì ?, gợi ý : 2 2 2
12

235

3 x

+

4 y

+

5 z

≥

được biến đổi về dạng

3 x

+

m

+

4 y

+ +

n

5 z

+ ≥

p

k

(

0 <

m

≤ ≤ ≤ =

n

p

k

const

)

•

Phân tích :

3 x

+

m

≥

2 3

mx m

,

>

0

. Đẳng thức xảy ra khi

3x

=

m

4 y

+ ≥

n

2 4

ny n

,

>

0

. Đẳng thức xảy ra khi

4y

=

n

5 z

+ ≥

p

2 5 ,

pz p

>

0

. Đẳng thức xảy ra khi

5z

=

p

Bây giờ ta chọn

x y z

, ,

sao cho :

2
2
2

47
12

5

3 5

4

1

5

25

3

4

5 3

25

4

5 x

m

y

n

z

p

m

n

p

n

p

x

y

z




 

 

 

 

 

= =

 

 = 

 






=

⇔

=

+ +

Giải :

25

3 2 3.

3 x

+

≥

x

. Đẳng thức xảy ra khi

3

25

3 x

=

25

4 2 4.

4 y

+

≥

y

. Đẳng thức xảy ra khi

4

25

4 y

=

5 z

+ ≥

5 2 5.5

z

. Đẳng thức xảy ra khi

5 z

=

5

Cộng vế theo vế ta được 2 2 2

(

)

12 12

235

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Đẳng thức xảy ra khi

5

3

5

4

1 x

y

z










=

Cho

3

số thực không âm

a b c

, ,

. Chứng minh rằng :

1 +

abc

≤

(

1 +

a

)

(

1 +

b

)(

1 +

c

)

Giải :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

3 3 3

3

1 +

abc

≤

1 +

a

1 +

b

1 +

c

⇔

1.1.1 +

abc

≤

1 +

a

1 +

b

1 +

c

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

1.1.1

1 abc

a

b

c

a

b

c

⇔

+

≤

+

Đặt :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1.1.1

1

T

abc

a

b

c

a

b

c

+

1 3 1

1 a

b

c

T

a

b

c

a

b

c

 

 

   

≤

+

1 .3 1

3 1

1

3 a

b

c

T

a

b

c

 

 

 

+

≤

+

=

+

Dấu đẳng thức xảy ra khi

a

= = ≥

b

c

0

.
Tổng quát :

Chứng minh rằng với mọi

a b

i

,

i

>

0 (

i

=

1,

n

)

thì ta ln có :

(

)

(

)

1 2

...

n 1 2

...

n 1

1

1 2

...

n

a a

a

n

b b

b

n 

a

b



a

b

a

n

b

n

 

+

≤

+

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a

+ + =

b

c

1

. Chứng minh rằng :

1

8 a

b

c

     

     



−

 

−

 

−



≥

.
Giải :

1 1

1 .

VT

a

b

c

a

b

c

a

b

c

b c c a a

b

a

b

c

           

=      =     

     

−

=

+

AM_GM

2

.

8

VT

bc

ca

ab

a

b

c

=

≥

(đpcm)

Tổng quát :

Cho 1 2 3

1 2 3

, , ,...,

... 1

0

n
n

x



 + + + + =



>

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chứng minh rằng :

(

)

1 2 3

... 1 .

1

n

x

       

−

       

       



−

 

−

 

−



−

≥

Cho

4

số thực dương

a b c d

, , ,

thoả mãn

1

3

1 +

a

+

1 +

b

+

1 +

c

+

1 +

d

≥

. Chứng minh rằng :

1

81 abcd

≤

.
Giải :

1 1

1 -

1 =

1 b

c

d

a

b

c

d

b

c

d

     

     

     

≥

+

−

+

−

+

(

)

(

)

(

)

1

3

1

AM GM

bcd

a

≥

b

c

d

+

Vậy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

1

3

1 3

1

3

1 bcd

a

b

c

d

cda

b

c

d

a

dca

c

d

c

a

abc

d

a

b

c


















≥

+

≥

+

≥

+

≥

+

(

1 )

(

1 )

1 (

1 )

(

1 )

81 (

1 )

(

1 )

(

1 d

)

(

1 )

abc

a

b

c

d

a

b

c

d

⇒

≥

+

1

81 abcd

⇒

≤

Tổng quát :

Cho :

1 2 3

, , ,...,

0

1 ...

1 1

1

n

x

n

x







>

+

≥ −

+

Chứng minh rằng :

(

)

1 2 3 1

1 ...

n n

n

x x x

x

−

≤

Bài tương tự

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a

+ + =

b

c

3

. Chứng minh rằng :

.

a

2 2 2

3

2

1 a

b

c

b

+

c

+

a

≥

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

.

b

2 2 2

3

2 a

b

c

a

+

b

+

b

+

c

+

c

+

a

≥

.

c

2 2 2

1

2 a

b

c

a

+

b

+

b

+

c

+

c

+

a

≥

.
Hướng dẫn :

.

a

3

2

3(

) (

)

3 a

b

c

ab

bc

ca

a

b

c

ab

bc

ca





+ + =

+

≤

+ +

⇒

+

≤

2 2 2

2
2

(1

)

1

2

1

2 a

b

ab

a

ab

a

a

ab

b

a

b




⇒





+

−

=

= −

+

≥ −

+

≥

Tương tự :

2 2

2

,

2 2

2

1 b

bc

c

ca

b

c

= −

c

≥ −

a

= −

a

≥ −

+

Cộng vế theo vế : 2 2 2 3 3 3

2 2

2

1 a

b

c

ab

bc

ca

a

b

c

b

c

a

≥ − =

+

≥ + + −

+

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a b c

. .

=

1

. Chứng minh rằng :

.

a

3 3 3

3

(1

)(1

)

(1

)(1

)

(1

)(1

)

4 a

b

c

b

c

+

c

a

+

a

b

≥

+

.

b

1

2 +

a

+

2 +

b

+

2 +

c

≤

Hướng dẫn :

.

a

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a

+ + =

b

c

1

. Chứng minh rằng :

2 2 2

1

2 a

b

c

b

+

c

+

c

+

a

+

a

+

b

≥

Giải :

2 2 2

1

2 2 2

1

(

) (

)

(

)

2 a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(

)

(

)

(

)

1

2 a

a b

c

b

b c

a

c

c a

b

c

a

b

+

⇔

+

≥ +

+

(

)

(

)

(

)

3

2 a a

b

c

b b

c

a

c c

a

b

c

a

b

+ +

⇔

+

≥

+

3

2 a

b

c

b

c

a

b

⇔

+

≥

+

vì

a

+ + =

b

c

1

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

a

+ + =

b

c

1

. Chứng minh rằng :

.

a

1

2

4 ab

bc

ca

a

+ +

b

c

+

b

+ +

c

a

+

c

+ +

a

b

≤

Hướng dẫn :

.

a

Dùng bất đẳng thức

1

4 a

+ ≥

b

a

+

b

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

. Chứng minh rằng :

.

a

(

)

3 3 3

1

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

4 a

b

c

a

b

c

a

+

b b

+

c

+

b

+

c c

+

a

+

c

+

a a

+

b

≥

+ +

.

b

3 3 3

1

(

)

(

)

(

)

(

)

2 a

b

c

a

b

c

b c

+

a

+

c a

+

b

+

a b

+

c

≥

+ +

Hướng dẫn :

.

a

Cách 1 :

3
3
3

3 (

)(

)

8

4

3 (

)(

)

8

4

3 (

)(

)

8

4 a

b

c

a

b b

c

b

c

a

b

c c

a

c

a

b

c

a a

b












+

≥

+

≥

+

≥

+

.

b

Cách 1:

3
3
3

4 2

(

) 6

(

)

4 2

(

) 6

(

)

4

2 (

) 6

(

)

a

b

c

a

b c

a

b

c

a

b

c a

b

c

a

b

c

a b

c












+

≥

+

≥

+

≥

+

Cách 2:
3
3
3

8 (

) (

) 6

(

)(

)

8 (

) (

) 6

(

)(

)

8 (

) (

) 6

(

)(

)

a

b

c

a

b b

c

b

c

a

b

c c

a

c

a

b

c

a a

b











+

≥

+

≥

+

≥

+

Cách 2:
3
3

3 (

)

2

4

2

3 (

)

2

4

2

3 (

)

2

4

2 a

b

c

a

b c

a

b

c

a

b

c a

b

c

a

b

c

a b

c

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Cho

3

số thực dương

x y z

, ,

thoả :

x

+ + ≥

y

z

3

.Tìm GTNN của

2 2 2

A

x

y

z

x

yz

y

zx

z

xy

=

+

(

)

2 2 2

x

y

z

x

y

z

x

yz

y

zx

z

xy

x

y

z

yz

zx

xy

+ +

+

≥

+

+ + +

+

Ta có : yz + zx + xy ≤ + + . x y z

Suy ra :

(

)

2 2 2

3

2 x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

yz

y

zx

z

xy

+ +

+ +

+

≥

=

≥

+ + + + +

+

Đẳng thức xảy ra khi:

3

1 x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

yz

y

zx

z

xy










+ + =

= =

⇔ = = =

=

+

Cho ba số dương x y z thỏa mãn, , :

x

+

y

+

z

=

3

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5 5 5

4 4 4

3 3 3 3 3 3

x y z

S x y z

y z z x x y

= + + + + +

+ + +

Áp dụng BĐT Cơsi cho 3 số ta có :

5 3 2 4

3
3 2

4 2 2

x y z x

x
y z

+ + ≥

tương tự

5 3 2 4 5 3 2 4

3 3

3 2 3 2

3 3

4 2 2 4 2 2

y z x y z x y z

y z

z x x y

+ +

+ + ≥ + + ≥

+ +

2 2

x

+ ≥ tương tự

2 2

y

+ ≥ ,

2 2

z

+ ≥

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được

(

) (

)

5 5 5

4 4 4 3 3 3 2 2 2

3 2 3 2 3 2

5 3 3

4 4 2

x y z

S x y z x y z x y z

y z z x x y

= + + + + + ≥ + + + + + −

+ + +

Mà x3 +x3 + ≥1 3x2 hay 2x3 + ≥1 3x2tương tự 2y3 + ≥1 3y2 , 2z3 + ≥1 3z2

Do đó , 2

(

3 3 3

) (

3 2 2 2

)

3 6 3 3 3 3 9

x +y +z ≥ x +y +z − = ⇒x +y +z ≥ ⇒S ≥

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Cho

3

số thực dương

x y z

, ,

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

(2

3 )(2

3 )

(2

3 )(2

3 )

(2

3 )(2

3 )

M

x

y

z

y

z

y

z

x

z

x

y

x

=

+

Giải :

(

2 2

)

(

2 2

)

13 (

2 2

)

25 (

2 2

)

(2

3 )(2

3 ) 6

13

6

2 y

+

z

+

y

=

y

+

z

+

yz

≤

y

+

z

+

y

+

z

y

+

z

2 2

2 (2

3 )(2

3 )

25(

)

x

y

z

y

z

⇒

≥

+

Tương tự :

2 2 2 2

2 ,

2 (2

3 )(2

3 )

25(

)

(2

3 )(2

3 )

25(

)

y

z

+

x

+

z

≥

z

+

x

+

y

+

x

≥

x

+

y

(

)

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 ; ;

1 min

1

25 25(

) 25(

)

M

x

y

z

M

f x y z

y

z

x

y

≥

⇒

≥

⇒

=

+

Với

x y z

, ,

là số dương và

x y z

. .

≥

1

.Chứng minh rằng: 3

x y z

x yz y zx z xy

+ + ≥

+ + +

Hướng dẫn.

Đặt a = x b, = y c, = z

Bài toán trở thành : a b c là số dương và , , a b c. . ≥ . Chứng minh rằng: 1

2 2 2

3
2

a b c

a bc b ac c ab

+ + ≥

+ + +

Dễ thấy :

(

)

( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 *

a b c

a bc b ac c ab a bc b ac c ab

+ +

+ + ≥

+ + + + + + + +

Bình phương hai vế bất đẳng thức:

( )

(

)

(

)

2 4

2 2 2

* a b c a b c

VT

a bc b ac c ab a bc b ac c ab

 + +  + +

 

≥   =

+ + + + +  + + + + + 

 

   

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 4 4

2 2 2 2 2

3( ) 3 3 3 3

a b c a b c a b c

a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b c

+ + + + + +

≥ ≥ ≥

   

+ + + + + + + − + + + + −

   

   

( Vì ab +bc +ac ≥33

( )

abc 2 ≥ ⇒3 t =

(

a + +b c

)

2 ≥ ) 9

Ta có:

( )

3 15 3 3 3.9 15 3 3 9 9

2 . *

3( 3) 12 12 3 12 12 3 2 2

t t t t

VT

t t t

+ − + −

= + + ≥ + = ⇒ ≥

− − −

Dấu bằng xảy ra khi

x

= = =

y

z

1 ⇒

điều phải chứng minh

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Cmr: 1 2

1 2 3 2 3 4 1 2 1

...

. ... . ... . ...

n

n n n n

x x x n

x x x x x x x x x x x x −

+ + + ≥

+ + +

Cho

3

số thực dương

a b c

, ,

. Chứng minh rằng :

.

a

1

3

4 a

+

b

+

b

+

c

+

c

+

a

≤

a

+

b

+

c

.

b

1

2

4 a

+ +

b

c

+

b

+ +

c

a

+

c

+ +

a

b

≤

a

+

b

+

c

.

c

(

)

( )

(

)(

)

( )

(

)

1 1 1

1 2 a

b

c

a

b a

c

b

c b

a

c

a c

b

 

 

 

+

≤

+ +

+

.

d

a

d

b b

b

c

a

0 d

b

c

a

d

−

+

−

+

−

+

−

≥

+

Cho

x y z

; ;

∈

[ ]

0;1 . Chứng minh rằng :

(

2 )

1

81

2

8

x y z

 

 

 

+

<

Giải :

Đặt

a

=

2 ,

x

b

=

2 ,

y

c

=

2

z

⇒

a b c

, ,

∈

[ ]

1;2

Bài toán trở thành : Cho

a b c

, ,

∈

[ ]

1;2 . Chứng minh rằng :

(

)

1

81

8 a

b

c

a

b

c

 

 

 

+ +

<

Thật vậy :

(

)

1

81 (

)

2

81 (

)

2

9

8

4

2 a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

   

 

     

     

+ +

<

⇔

+ +

<

⇔

+ +

<

(

)(

)

2 2

2

1 a

2 a

1 a

2

0 a

3 a

2

0 a

2

3 a

≤ ≤ ⇔

−

≤ ⇔

−

+ ≤ ⇔

+ ≤

⇔ + ≤

Tương tự :

b

2 3,

c

2

3 b

c

+ ≤

(

a

b

c

)

2 9 1

( )

a

b

c

 

 

 

⇒

+ +

+

+ +

≤

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân :

(

a

b

c

)

2 (

a

b

c

)

2 ( )

2 a

b

c

a

b

c

   

   

   

⇒

+ +

+

+ +

≥

+ +

Từ

( )

1

và

( )

2

suy ra

(

)

(

)

( )

2

81

2 a

b

c

9 a

b

c

3 a

b

c

a

b

c

   

   

   

+ +

≤ ⇔

+ +

≤

Đẳng thức không xảy ra .

( )

3 (

)

1

81

8 a

b

c

a

b

c

 

 

 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Cho

a b c

, ,

là 3 số dương thoả mãn

ab

+

bc

+

ca

=

3 abc

. Chứng minh rằng:

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

3

4 ab

bc

ca

a

+

b

+

a c

+

b c

+

b

+

c

+

b a

+

c a

+

c

+

a

+

c b

+

a b

≤

Trích

Giải :

1

3 ab

bc

ca

abc

a

b

c

+

=

⇔

+ + =

Với

a b

,

>

0

ta ln có 3 3

(

)

1 1 1

.

1

4 a

b

ab a

b

a

b

a

b

 

 

 

+

≥

+

≤

+

và với mọi

a b

,

ta luôn có

a

+

b

≥

2 ab

3 3 2 2 2 2 2 2

1

4 (

)

(

) (

)

(

)

ab

ab a

b

a

b

a c

b c

ab a

b

a

b c

a

b c

 

≤  

 

≤

+

2 2 2 2

1

4

2 (

) (

)

(

)

ab

a

b

a

b

c

ab a

b

a

b c

a

b c









⇒

≤



+



≤



+



+



+



+



+



( )

3 3 2 2

1 1 1

.

1

16

8 ab

a

b

c

a

b

a c

b c





≤



+



+





+

Tương tự :

( )

3 3 2 2

1 1

1 1 1

.

2

16

8 bc

b

c

a

b

c

b a

c a





≤



+



+





+

( )

3 3 2 2

1 1

1 1 1

.

3

16

8 ca

c

a

b

c

a

c b

a b

 

 

 

≤

+

Cộng vế theo vế đẳng thức

( )

1 ( )

2

và

( )

3

ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi

a

= = =

b

c

1

Cho tam giác

ABC

có

3

cạnh :

AB

=

c BC

,

=

a AC

,

=

b

thoả mãn

a

=

b

+

c

3.Chứng minh rằng :

A

là góc nhọn và thoả :

60 <

A

<

90

0.
Giải :

2
3

2 2

3 3

3 3 3 2

0

1 , ,

0 0

1

b

a b c

b

a

a

b

c

b

c

a

c

a

c

a

b

c

c

a

   

 

          

         

           

   

   

    

      



<

>

< <

⇒

+

<

+

< <

=

+

<

<

3 3 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 2

1 cos

2bc 0

90 b

c

b

c

b

c

b

c

a

b

c

A

a

+

−

⇒

<

⇒ <

⇒

<

+

⇒

=

> ⇒

<

(

)

(

) (

)

3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

a

=

b

+

c

=

b

+

c b

−

bc

+

c

>

a b

−

bc

+

c

⇒

a

>

b

−

bc

+

c

2 2 2 2 2 2

2 2

1 cos

60

bc bc

b

c

a

b

c

a

A

+

−

+

−

⇒

< ⇒

=

< ⇒

>

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Cho các số thực dương a b c thỏa mãn điều kiện : , , 15 12 12 12 10 1 1 1 2007

ab bc ca

a b c

   

+ + = + + +

   

   

Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2 2 2 2

1 1 1

5 2 2 5 2 2 5 2 2

P

a ab b b bc c c ca a

= + +

+ + + + + +

Áp dụng đẳng thức : 1 1 1 9

x +y +z ≥ x + +y z . Đẳng thức xảy ra khi x =y = . z

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1

5 2 2 (2 ) ( ) (2 )

2 9

5 2 2

a ab b a b a b a b

a b a a b

a ab b

 

+ + = + + − ≥ + ⇒ ≤ ≤  + + 

+  

+ + .

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Tương tự : 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1

2 9

5 2 2

1 1 1 1 1 1

2 9

5 2 2

b c b b c

b bc c

c a c c a

c ca a

  

≤ ≤ + +

 +  

 + +  

  

 ≤ ≤  + + 

 + + +  



Do đó 1 1 1 1

P

a b c

 

≤  + + 

 

Mặt khác :

2
2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

a b c

ab bc ca a b c

  

 + + ≥  + + 

  



 

 + + ≤ + +

 

  



Mà giả thiết :

2 2 2

1 1 1 1 1 1

15 10 2007

ab bc ca

a b c

   

+ + = + + +

   

   

Do đó : 1 1 1 6021
5

a + +b c ≤

Đẳng thức xảy ra khi : 1 1 1 6021 1 6021

3 5

a b c

a b c
a b c

 = =

 ⇔ = = =



+ + =




Vậy max 1 6021

3 5

P = , khi 1 6021

3 5

</div>