Bài soạn Giới thiệu cuộc thi giải toán trên tạp chí KOMAL

Giới thiệu cuộc thi giải toán trên tạp chí KOMAL

LTS : KOMAL là tạp chí Toán học và Vật Lí của Hungary dành cho học sinh giỏi
phổ thông tồn tại khá lâu, bắt đầu từ năm 1893.
Cuộc thi gii Toán trên tạp chí này được thực hiện hằng năm, dành cho mọi học
sinh ở mọi lứa tuổi Phổ thông. Tính theo năm học, cuộc thi hằng năm bắt đầu từ
tháng 12 và kết thúc vào tháng 5 năm sau, gồm các môn Toán, Lí, và gần đây
nhất là Tin học (thi viết chương trình giải các bài toán).
Sau đây, chúng tôi giới thiệu cùng các bạn những bài loại C, dành cho Phổ
thông c sở, tháng 3 năm 2002.
3 - 2002
Bài 1 (C. 665). Hãy tính phân số sau đây, biết rằng tử và mẫu có cùng số các
chữ số :
Bài 2 (C. 666). Cho một đa thức bậc hai f(x) có các hệ số nguyên. Giả sử khi x
nguyên, f(x) chia hết cho 3. Chứng minh rằng các hệ số của f(x) đều chia hết
cho 3.
Bài 3 (C. 667). Cho a = x + 1/x , b = y + 1/y , c = xy + 1/(xy) . Chứng minh rằng
giá trị của biểu thức a
2
+ b
2
+ c
2
- abc độc lập với x và y.
Bài 4 (C. 668). Cho tam giác đều ABC, tìm quỹ tích các điểm P trong mặt phẳng
chứa tam giác này sao cho:
PA
2
= PB
2
+ PC

2
.
Bài 5 (C. 669). Trong tất c các hình quạt có cùng chu vi của một hình tròn, hãy
xác định hình quạt có diện tích lớn nhất.
Đáp số các bài toán (xem Hướng dẫn giải ở kì tới)
1. 1/4 . 2. a
2
+ b
2
+ c
2
- abc = 4.
4. Gọi A* là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC, quỹ tích là đường tròn
tâm A* bán kính 1.
5. Góc ở tâm của hình quạt cần tính có số đo là 2 radian.
ThS. Nguyễn Văn Nho