Gián án Đề thi HSG toán 9 (2009-2010)

Câu 1 (2,0 điểm)
Cho
+
=
+ +
2
x 2 5 1
A
x 3 x x 6 x 2
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A biết
2
x
2 3
=
+
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phơng trình
(a 1) x y 3
a x y a
+ ì =


ì + =

a. Giải hệ phơng trình khi
a 2=
b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0.
Câu 3 (2,0 điểm)
a. Cho
2 2

x 6x 13 x 6x 10 1 + + =
Hãy tính giá trị của
2 2
A x 6x 13 x 6x 10= + + +
b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho
ABC
nhọn (AB < AC) nội tiếp đờng tròn tâm O. Đờng phân giác
góc trong A cắt cạnh BC ở D; cắt đờng tròn tâm O ở M.
a. Chứng minh rằng
ã
ã
ã
BMC ABC ACB= +
b.
MB MC MD MAì = ì
c. Kẻ đờng cao AH
( )
H BC
. Chứng minh rằng
ã
ã
ã
OAH ABC ACB=

Câu 5 (1,0 điểm)
Cho
P x 2 xy 3y 2 x 1= + +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P

----------------------------------------------------------------------
Họ và tên:...................................................................... SBD......................
Chữ kí GT 1:.......................................................

phòng giáo dục & đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
môn thi: toán
Thời gian làm bài 150 phút
----------------------
§¸p ¸n - M«n To¸n
(HS cã thÓ chøng minh c¸ch kh¸c)
C©u Néi dung §iÓm
1
a
§k:
x 3; 2≠ −
0.25
x 2 5 1
A
x 3 (x 2)(x 3) x 2
+
= − −
+ − + −
0.25
(x 2)(x 2) 5 (x 3)
A
(x 2)(x 3)
+ − − − +
=
− +

0.25
x 4
A
x 2
−
=
−
0.25
b
V× x > 0; ta cã
2
2
x 4 2 3
2 3
= = −
+
0.25

x 3 1= −
0.25
Thay vµo biÓu thøc
3 1 4 3 5
A
3 1 2 3 3
− − −
= =
− − −
0.25

( 3 5)( 3 3) 3 6

A
3
( 3 3)( 3 3)
− + +
= =
− +
0.25
2
a
Thay
a 2= −
ta ®îc hÖ
(1 2) x y 3 (1)
2 x y 2 (2)

− × − =


− × + = −


0.25

(1 2 2) x 3 2
2 x y 2

− × = −

⇔


− × + = −


0.25

3 2
x
1 2 2
2 2 2
y
1 2 2

−
=

−

⇔

+

=

−

KÕt luËn
0.5
b
(a 1) x y 3 (1) (2a 1) x a 3
a x y a (2) a x y a

+ × − = + × = +
 
⇔
 
× + = × + =
 

0.25

2
1 3
2 2 1
2
2 1
+
≠ − ⇒ =
+
−
=
+
a
a x
a
a a
y
a

0.25
Ta có
2 2

3 2 3
2 1 2 1 2 1
+ +
+ = + =
+ + +
a a a a a
x y
a a a

Ta có a
2
- a + 3 > 0 nên x + y > 0 khi 2a + 1 > 0
Hay
1
2
> a
(Thỏa mãn)
Kết luận
0.5
3
a
Đặt
2
x 6x 13 a
+ =
;
2
x 6x 10 b
+ =
0.25

-> a
2
- b
2
= 3
0.25
-> (a - b)(a + b) = 3; Ta có a - b = 1 -> 1.(a + b) = 3
0.25
Vậy
2 2
x 6x 13 x 6x 10 + + +
= 3
0.25
b
Ta có (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y
Nên (x + 2y) và (3x + 4y) là chẵn;
Mặt khác 2 < x + 2y < 3x + 4y
Vì vậy ta xét 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12
0.25
Xét các trờng hợp:
+ = =



+ = =

x 2y 4 x 16
(Loại)
3x 4y 24 y 6

+ = =



+ = =

x 2y 6 x 4
(Thỏa mãn)
3x 4y 16 y 1

+ = =



+ = =

x 2y 8 x 4
(Loại)
3x 4y 12 y 6
0.5
Kết luận
0.25
4
Vẽ hình
0.25
a
Ta có
ã
ã
ABC AMC=

(góc nội tiếp chắn
ằ
AC
)
0.25
E
O
D
H
M
C
B
A
ã
ã
ACB AMB=
(góc nội tiếp chắn
ằ
AB
)
0.25
Cộng vế với vế - Kết luận
0.25
b
Ta có
ã
ã
ẳ
ẳ
BAM CAM (gt) MB MC MB MC (1)= = =

0.25
Xét
ã
ã
ã




=


AMB chung
MBD và MAB có
MBD MAB



MBD

MAB (gg)


MB MA
MD MB
=



MB.MB = MA.MD (2)

0.5
Từ (1) và (2)


MB MC MD MAì = ì
0.25
c
Kẻ đờng thẳng BE

AO,
E (O)
ằ ằ
ã
ã
AB AE ACB ABE = =
(1) (Hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
0.25
Mặt khác
ã
ã
OAH CBE=
(2) (Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
0.25
Ta lại có
ã
ã
ã
ABE CBE ABC+ =
(3) (vì tia BE nằm giữa 2 tia BA và BC)
0.25

Từ (1); (2); và (3)
ã
ã
ã
ACB OAH ABC + =
Hay
ã
ã
ã
OAH ABC ACB=
0.25
5
ĐK
x; y 0

P x 2 xy y 1 2 x 2 y 2 y 2y= + + + +
0.25
2
P ( x y) 1 2( x y ) 2 y 2y= + +
0.25
2 2
1 1
P ( x y 1) (2 y 1)
2 2
= +

0.25
1 1 9
P y ; x
2 4 4

= =
Kết luận
0.25
S