Đề cương ôn tập kiểm tra HK1 môn Toán lớp 10 năm 2020

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.61 MB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI HK1 MÔN TOÁN 10

Phần 1. Mệnh đề

–

Tập hợp

1. Mệnh đề

– Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng (Đ) hoặc sai (S). Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một
mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

– Phủ định của một mệnh đề A là mệnh đề A . 
+ A đúng nếu A sai.

+ A sai nếu A đúng.

– Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo AB chỉ sai khi A đúng,B sai.
+ BA là mệnh đề đảo của AB.

+ Nếu AB đúng thì Alà điều kiện đủ để có Bvà B là điều kiện cần để có A.
– Mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề tương đương AB là một mệnh đề đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai.
+ Nếu AB đúng thì:

 AB là định lí thuận.

 B A là định lí đảo.

 AB là định lí thuận đảo.

 A là điều kiện cần và đủ để có B.

 B là điều kiện cần và đủ để có A.

– Mệnh đề chứa biến, kí hiệu p(x), là một phát biểu có liên quan đến đại lượng thay đổi x. p(x) là một
mệnh đề nếu ta cho x một giá trị nhất định.

– Mệnh đề với mọi:  x X p x: ( )

– Mệnh đề tồn tại:  x X p x: ( )

– Phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Để chứng minh P đúng, ta giả sử P sai rồi sử dụng lập luận
toán học để suy ra mâu thuẫn.

Các dạng toán thường gặp

1. Dạng 1: Định giá trị của một mệnh đề 
Phương pháp

– Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề.

– Mệnh đề chứa biến: Tìm tập hợp D của các biến x để p x( ) đúng hoặc sai.
2. Dạng 2: Phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, đủ

Phương pháp

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

– Nếu BA sai: B là điều kiện cần để có A

– Nếu AB đúng và BA đúng: A là điều kiện cần và đủ để có B.

3. Dạng 3: Tìm mệnh đề phủ định

Phương pháp
1) A  B A B
A  B A B

2)  x D p x: ( )  x D p x: ( )
 x D p x: ( )  x D p x: ( )

4. Dạng 4: Chứng minh định lí AB

Phương pháp:

– Cách 1: Chứng minh trực tiếp

Ta giả thiết A đúng, sử dụng giả thiết và suy luận toán học để dẫn đến B đúng.
– Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng

Ta giả thiết B sai, sử dụng suy luận toán học để dẫn đến A sai.

2. Tập hợp và các phép toán trên các tập hợp

– Tập con: A  B x x,   A x B.

– Hai tập hợp bằng nhau: A B  A B và BA.
– Hợp của hai tập hợp: A B {x xAhoặc xB}.
– Giao của hai tập hợp: A B {x xAvàxB}.
– Hiệu của 2 tập hợp bất kì: A B\ 



x xA x, B



– Phép lấy phần bù của A trong E: (AE): C AE 



x xE x, A



– Các tập hợp con của tập hợp số thực: *   

Các dạng tốn thường gặp 
1. Dạng 1: Tìm tập hợp

Phương pháp

Phép liệt kê: A



a a a1; 2; 3;...



Nêu tính đặc trưng: A 



x X p x| ( )



2. Dạng 2: Tìm tập hợp con

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

A B x A x B

     
     

3. Dạng 3: Hai tập hợp bằng nhau 
Phương pháp

A  B A B và BA

A  B A B hoặc BA

4. Dạng 4: Các phép toán giao, hợp, hiệu

Phương pháp

B1: Liệt kê A, B

B2: AB:Lấy phần tử chung

AB: Lấy phần tử chung và riêng (Chỉ ghi một lần các phần tử giống nhau)
A B : Lấy phần tử của A và không phải của B \

Bài tập

Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai? 
a) 2 là số chẵn.

b) 2 là số nguyên tố.

c) 2 là số chính phương.

Giải:

Mệnh đề đúng là a và b.

Mệnh đề sai là c.

Bài 2: Tìm xD để P x( ) đúng trong các trường hợp sau:
a) P x( ): “ 2x 3 0”

b) P x( ): “



2x3



2 0”

Giải:

a) ; 3

D   

 

b) 3

D  

 

Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí:

a) Tứ giác ABCD là hình vng khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi có một góc vng.

b) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

c) Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

Giải:

a) Tứ giác ABCD là hình vng là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình thoi có một góc vng.

b) Số chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 2 và cho 3.

c) n chia hết cho 2 là điều kiện đủ để 2

n chia hết cho 4.

n chia hết cho 4 là điều kiện cần để n chia hết cho 2.

Bài 4: Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: 
(1) “ 2 vừa là số nguyên tố vừa là số chẵn”

(2) “ 2

: 3 0

x x x

     ”

Giải:

(1): “ 2 là hợp số hoặc 2 là số lẻ”
(2): “ 2

: 3 0

x x x

     ”

Bài 5. Chứng minh định lí “ Nếu n là số tự nhiên chẵn thì n2 chia hết cho 4”
Bài 6. Chứng minh đinh lí “ Với mọi số tự nhiên n nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ” 
Bài 7. Tìm tập hợp các nghiệm thực của phương trình: x x



24





x1



x 3



Giải:

Cách 1: A   



3; 2; 1;0; 2



Cách 2: A



x |x x



24





x1



x 3





Bài 8. Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau A



0;3;5



Giải:

Tập con của A là: ; 0 ; 3 ; 5 ; 0;3 ; 3;5 ; 0;5 ; A

           

Bài 9. Hai tập hợp A 



x | 2  x 2



và





| 6 0

B x x   x có bằng nhau khơng?
ĐS: A và B không bằng nhau

Bài 10. Cho hai tập hợp A



x |x x



2 x 6



0



và B



x |x413x2360



. Tìm

; ; \ ; \

AB AB A B B A

ĐS:A  B



2;3



;A   B



3; 2;0; 2;3



;A B\ 

 

0 ;B A\ 



2; 3



Phần 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai

1. Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số y f x

 

là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f x có nghĩa.

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
1

Acó nghĩa khi và chỉ khi A0

A có nghĩa khi và chỉ khi A0
1

A có nghĩa khi và chỉ khi A0

2. Tính chẵn – lẻ của hàm số

Cho hàm số y f x

 

xác định trên D

a) Hàm số f là hàm số chẵn nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:

 

x D

f x f x

 


 
  



Đồ thị của f nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Hàm số f là hàm số lẻ nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:

 

x D

f x f x

 


 
   



Đồ thị của f nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

3. Sự biến thiên

Hàm số y f x

 

xác định trên D

Hàm số đồng biến trên D nếu x x1, 2D x: 1x2 f x

 

1  f x

 

2 .
Hàm số nghịch biến trên D nếu x x1, 2D x: 1x2 f x

 

1  f x

 

2 .

4. Tịnh tiến đồ thị hàm số

Trong Oxy, cho đồ thị

 

G của hàm số y f x

 

; p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó:
a) Tịnh tiến

 

G lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x

 

q.

b) Tịnh tiến

 

G xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x

 

q.

c) Tịnh tiến

 

G sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x



p



d) Tịnh tiến

 

G sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y f x



p



5. Hàm số bậc nhất

a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng yax b a



0



Tập xác định: D .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

– Khi a0, hàm số đồng biến trên .

– Khi a0, hàm số nghịch biến trên .

c) Đồ thị

– Đặc điểm: Đồ thị của hàm số yax b a



0



là một đường thẳng d có hệ số góc a, khơng song song

và khơng trùng với các trục tọa độ. Đồ thị cắt trục tung tại B

 

0;b và cắt trục hoành tại A b; 0

a

 

 

 .

– Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng

 

d :yax b và

 

d :ya x b  , ta có:



 

d song song với

 

d  a a và bb.



 

d trùng với

 

d  a a và bb.



 

d cắt

 

d  a a.



 

d vng góc với

 

d a a.  1.
d) Hàm số bậc nhất trên từng khoảng

– Hàm số bậc nhất trên từng khoảng là sự “lắp ghép” của các hàm số bậc nhất khác nhau trên từng –
khoảng. Hàm số có dạng:

1 1 1
2 2 2

D
D
...

a x b x

y a x b x

 




  




với D D1, 2 là các khoảng (đoạn, nửa khoảng) trên

 Sự biến thiên:

– Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

1 1

ya x b trên D1

2 2

ya x b trên D 2

...

Từ đó suy ra sự biến thiên của hàm số đã cho trên D1D2...

– Đồ thị của hàm số này là đường tạo bởi việc lắp ghép đồ thị các hàm số

1 1

ya x b trên D1,ya x b2  2 trên D . 2

– Hàm số y ax b a



0



: Là hàm số bậc nhất trên từng khoảng

khi

b

ax b x

a
y

b

ax b x

a

   


 

   



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7

6. Hàm số bậc hai

a) Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng 2





yax bx c a  .
b) Sự biến thiên

– Nếu a0, hàm số đồng biến trên ;
2

b
a

 

 

 , nghịch biến trên ; 2

b
a

  

 

 . Giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên là

4a

 tại

b
x

a

  .

– Nếu a0, hàm số đồng biến trên ;
2

b
a

  

 

 , nghịch biến trên 2 ;

b
a

 

 

 . Giá trị lớn nhất của hàm

số trên là

4a

 tại

b
x

a

  .
c) Đồ thị

– Có dáng là đường Parabol có đỉnh ;

2 4
b
a a

  
 
 ,
2
4
b ac
   .

– Trục đối xứng là đường thẳng

b
x

a

 

– Bề lõm hướng lên trên khi a0, hướng xuống dưới khi a0.
– Cách vẽ:

 Xác định đỉnh ;

2 4
b
a a

  
 

  trên Oxy.

 Vẽ trục đối xứng

b
x

a

  .

 Tìm các điểm thuộc Parabol (thay lần lượt các giá trị của x vào 2

yax bx c rồi tìm y để được
các điểm

 

x y tương ứng) ;

 Dựa bề lõm và trục đối xứng, nối đỉnh với các điểm vừa tìm được với nhau.
 Các dạng tốn thường gặp

1. Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 
Phương pháp

Tập xác định của hàm số y f x

 

là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f x có nghĩa.

 

Chú ý : Nếu P x là một đa thức thì:

 

P x có nghĩaP x

 

0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8

 

P x

có nghĩaP x

 

0

2. Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 
Phương pháp

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
– Bước 2: Kiểm tra

+ Nếu     x D x D chuyển qua bước ba.

+ Nếu     x0 D x0 D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
– Bước 3: Xác định f

 

x và so sánh với f x .

 

+ Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

+ Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

+ Nếu tồn tại một giá trị  x0 D mà f

 

x0  f x

   

0 ,f x0  f x

 

0 kết luận hàm số không
chẵn cũng khơng lẻ.

3.Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số 
Phương pháp

– Cách 1: Cho hàm số y f x

 

xác định trên K. Lấy x x1, 2K x; 1x2, đặt T  f x( )2  f x( )1

+ Hàm số đồng biến trên K T 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K T 0.

– Cách 2: Cho hàm số y f x

 

xác định trên K. Lấy x x1, 2K x; 1 x2, đặt 2 1
2 1

( ) ( )

f x f x
T

x x






+ Hàm số đồng biến trên K T 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K T 0.

4. Dạng 4: Đồ thị của hàm số và tịnh tiến đồ thị hàm số 
Phương pháp

Sử dụng định nghĩa điểm thuộc đồ thị hàm số và định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số.

5. Dạng 5: Xác định hàm số bậc hai. 
Phương pháp

– Hàm số bậc hai có dạng: 2





yax bx c a  . Đồ thị của hàm số là Parabol (P) có:

+ Hồnh độ đỉnh 0

b
x

a

  .

+ Trục đối xứng là đường thẳng

 

b
x

a

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trang | 9

6. Dạng 6: Tìm GTLN - GTNN nhờ Parabol 
Phương pháp

Xét Parabol (P): yax2bx c a



0



. Tìm max ( ); min ( )
D

D yGTLN y yGTNN y

với D



 ;



Hoành độ đỉnh Parabol (P): 0

b
x

a

  .

– Nếu



   



 

( ) max ;

( )

GTLN y f f

x D

GTNN y f x

 

 

 



– Nếu



   



   





( ) max ;

( ) min ;

GTLN y f f

x D

GTNN y f f

 
 
 


 



Bài tập

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số

a) 2

6
x
y
x




ĐS: D  





b) 3

y
x





ĐS: D \ 1

 

c) 2

5 1

y x x 
ĐS: D



5;



d) 2 2

4 3
x
y
x x


 

ĐS: D     



2; 1

 



Bài 2. Xét tính chẵn- lẻ hàm số y x 2.
ĐS: Hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 3. Cho hàm số y x 2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tịnh tiến đồ thị trên sang phải 3 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trang | 10

a) a = 1 nên hàm số đồng biến trên . Đồ thị của hàm số là một đường thẳng qua 2 điểm

  

0; 2 , 2;0



A B  .

b) Tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số y



x   3



2 x 1.
Tịnh tiến đồ thị này xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số y    x 1 1 x 2.

c) Ta có 2 2khi 2

2khi 2

x x

y x

x x

  



      



Vẽ đồ thị hàm số 2khi 2
2khi 2

x x

y

x x

  



    

 ta được:

Bài 4. Tìm m để hàm số y



m2



x5:

a) Có đồ thị vng góc với đường thẳng x2y 1 0

b) Có đồ thị cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có tung độ bằng 2.
c) Đồng biến trên với m nguyên thuộc đoạn

 

1;5 .

d) Đồ thị hàm số cắt 2 trục Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN cân.
e) y  0 x

 

0; 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Trang | 11

a) m3
b)m5.

c)m



2;3; 4;5



d) m3;m1

e) 1

m 

Bài 5. Cho của hàm số 2

2 2

yx  x có đồ thị là một parabol (P) .
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng d: y x 4.
c) Tìm m để đường thẳng

m

y cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ âm.
Giải:

a) (P) có đỉnh I



 1; 3



, trục đối xứngx 1.

Do a 1 0 nên hàm số đồng biến trên



 1;



và nghịch biến trên



 ; 1



.
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm A

  

1;1 ;B 0; 2 ;

  

C 2;6 .

b) M



 3; 1 ;

  

C 2;6 .

c) 3 2 6 4

m

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Trang | 12

Bài 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số yx26x5( )P .
b) Từ đồ thị (P) suy ra đồ thị

   

P1 , P : 2

2
1

( ) :P y x 6x5

 

2 : 6 5

P yx  x 

c) Từ đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

1) x26x  5 m 1

2) x26 x   5 m 1
d) Tìm m để phương trình 2

6 2 0

x  x  m có 2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 1 x1 x2 5

ĐS:

a) Đồ thị hàm số 2

6 5

yx  x có đỉnh I



3; 4



, nhận trục x=3 làm trục đối xứng và đi qua các điểm

     

0;5 ; 5;0 ; 1;0

A B C .

b) Từ đồ thị (P) ta lấy đối xứng qua trục hoành rồi bỏ đi phần đồ thị có tung độ âm thì ta được đồ thị

 

P1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Trang | 13

1) Hoành độ giao điểm của

 

P và đường thẳng 1 y m 1 là nghiệm của phương trình

6 5 1

x  x  m nên số nghiệm của phương trình 2

6 5 1

x  x  m bằng số giao điểm của đường
thẳng y m 1 và

 

P . 1

2) Hoành độ giao điểm của

 

P và đường thẳng 2 y m 1 là nghiệm của phương trình

6 5 1

x  x   m nên số nghiệm của phương trình x26 x   5 m 1 bằng số giao điểm của đường
thẳng y m 1 và

 

P 2

d) 7 m 10.

Bài 7: Cho parabol (P): yx2 



a 1



x2b. Xác định a, b biết (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ
1

y và nhận đường thẳng x 2 làm trục đối xứng.
ĐS: 3; 1

a b  .
Bài 8:

a) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2

4 4

y x  mx m m trên bằng 2
b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2

2 3 5

y  x  mx m m trên bằng 6.
Giải:

a) m 2
b) m1;m 6

Phần 3. Phương trình – Hệ phương trình

1. Điều kiện xác định của phương trình

Cho hai hàm số y f x

 

và yg x

 

có tập xác định lần lượt là D1 và D . 2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Trang | 14

Các nghiệm của phương trình f x

 

g x

 

là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y f x

 

và yg x

 

2. Phương trình tương đương, Phương trình hệ quả

2.1. Phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương 
Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
 Một số phép biến đổi tương đương:

1. Cho phương trình f x

 

g x

 

có tập xác định D và hàm số yh x

 

xác định trên D (TXĐ của

 

h x có thể là một tập chứa D). Khi đó:

 

   

f x g x  f x h x g x h x

 

   

f x g x  f x h x g x h x nếu h x

 

  0 x D.
2. Nếu f x g x cùng dấu thì:

   

, f x

 

g x

 

f x

 

2 g x

 

2.
2.2. Phương trình hệ quả

– Nếu mọi nghiệm của f x

 

g x

 

đều là nghiệm của f x1

 

g x1

 

thì f x1

 

g x1

 

là phương
trình hệ quả của f x

 

g x

 

. Ta viết:

 

f x g x  f x1

 

g x1

 

.
– Phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả:

 

f x g x f x  g x 

3. Phương trình bậc nhất; Phương trình bậc hai; Định lý Viét

3.1. Giải và biện luận phương trình dạng ax b 0
1) a0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x b

a

  .
2) a0 và b0: Phương trình vơ nghiệm.

3) a b 0: Phương trình có vơ số nghiệm.

3.2. Giải và biện luận nghiệm phương trình dạng ax2bx c 0

1) a0: Phương trình trở về dạng ax b 0
2) a0:

  : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b
x

a

  

 và

b
x

a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Trang | 15

  : Phương trình có nghiệm kép

b
x

a

 

  : Phương trình vơ nghiệm.
3.3. Sử dụng định lý Viét

Cho phương trình bậc hai 2

ax bx c  có 2 nghiệm x1x2.Đặt S b;P c

a a

   . Khi đó:
+ Nếu P0 thì x1 0 x2 (2 nghiệm trái dấu).

+ Nếu P0 và S 0 thì 0 x1 x2 (2 nghiệm dương). (Cần tính  trước).
+ Nếu P0 và S 0 thì x1x2 0 (2 nghiệm âm). (Cần tính  trước).

4. Hệ phương trình

– Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
( )

ax by c

I

a x b y c

 



     







2 2 2 2

0; 0

a b  a   b

– Gọi d, d' lần lượt là các đường thẳng ax by c và a x b y   c. Khi đó:
+ Hệ (I) có nghiệm d và d’ cắt nhau.

+ Hệ (I) vô nghiệm d và d’ song song.
+ Hệ (I) vô số nghiệm d và d’ trùng nhau.

 Các bước giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 
– Bước 1: Tính các giá trị Daba b D ; xcbc b D ; y aca c
– Bước 2: Biện luận

1. Nếu D0 hệ có một nghiệm duy nhất

 

x y; Dx;Dy

D D

 

  

 .

2. Nếu D0 và:

 Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ vơ nghiệm.

 Dx Dy 0 thì hệ có vơ số nghiệm. Tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình
ax by c.

* Nguyên tắc giải hệ phương trình nhiều ẩn: Khử bớt ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số như đối 
với hệ phương trình hai ẩn.

Các dạng toán thường gặp

1. Dạng 1: Giải và biện luận nghiệm của phương trình ax b 0
Phương pháp

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Trang | 16

2. Dạng 2: Tìm m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 
Phương pháp

Sử dụng các định lí về nghiệm của phương trình để biện luận

3. Dạng 3: Giải và biện luận nghiệm phương trình 2

ax bx c 
4. Dạng 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
Phương pháp

Xét các khoảng rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối

5. Dạng 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Phương trình bậc cao 
Phương pháp

Đưa về phương trình đơn giản hơn (phương trình tích, phương trình bậc nhất và bậc hai, phương trình
trùng phương,...) để giải.

6. Dạng 6: Phương trình vơ tỷ (chứa căn thức) 
+

 

g x
f x g x

f x g x

 

  


+

 

0
f x
f x g x

f x g x

 



  



 hoặc

 

g x

f x g x

 



 



Ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện f x

 

0 hoặc g x

 

0 phụ
thuộc vào hai hàm f x g x

   

, , hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện

 

f x  và g x

 

0.

 

. 0 0

g x

f x g x g x

f x
 

   

 


7. Dạng 7: Hệ hai phương trình 2 ẩn

a. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 
Dạng tổng quát:

 

2 2

ax by c

dx exy fy gx hy i

  



     



Phương pháp

– Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x ).

– Bước 2: Thế vào phương trình cịn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).
b. Hệ phương trình đối xứng loại I

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Trang | 17

Phương pháp

– Bước 1: Đặt S x y P, xy.

– Bước 2: Giải hệ với ẩn S P, với điều kiện có nghiệm ( ; )x y là 2

4 .

S  P
– Bước 3: Tìm nghiệm ( ; )x y bằng cách thế vào phương trình X2SX P 0.

Chú ý:

Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

+) x2y2  (x y)22xyS22 .P
+) x3y3(xy)33xy x( y)S33SP.

+) (xy)2 (xy)24xyS24 .P
+) x4y4(x2y2 2) 2x y2 2S44S P2 2P2.

+) x4y4x y2 2(x2xyy2)(x2xyy2) 

c. Hệ phương trình đối xứng loại II

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình khơng thay đổi và trật tự
các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp

– Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng (xy f x). ( )0,

– Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa x, y từ phương trình thu được.
Chú ý:

– Ta ln có x = y từ phương trình ở bước 1.

– Từ mối quan hệ tìm được ở bước 2 ta biến đổi các phương trình đầu bài và giải nghiệm.
Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.

d. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 
– Dạng tổng quát:

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

a x b xy c y d

   



  

 ( )i

– Phương pháp giải:

2 2

2 1 1 1 1 2

2 2

1 2 2 2 1 2

( ) .

( (1)

(2
)

) . )

(

d a x b xy c y d d

i

d a x b xy c y d d

   

 

  



Lấy (1) (2) (a d1 2a d2 1)x2(b d1 2b d2 1)xy(c d1 2c d2 1)y20.

Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x, y.
– Lưu ý: Dạng ( ; )

( ; ) ( ; )

m

n k

f x y a

f x y f x y




 

 với fm( ; ),x y f x yn( ; ), f x yk( ; ) là các biểu thức đẳng cấp bậc m n k, ,

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Trang | 18

Tức biến đổi hệ ( ; )

( ; ) ( ; )

m

n k

a f x y

a f x y a f x y




    



( ; ) ( ; ) . ( ; )

m n k

f x y f x y a f x y

   và đây là phương trình đẳng cấp bậc k.

Bài tập

Bài 1. Giải và biện luận nghiệm của các phương trình sau theo m 
a)



2m21



x m  x 5

b) m x



2m



  x m 1

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình theo m 
a)



x m mx



2



0



x1



x2m 0

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m 
a) 2

2 1 0

x  mx 
b) x22mx m 0

c) mx23x m 0

d) x22m x  1 0

Bài 4. Tìm m nguyên để phương trình x22mx  m 3 0

a) Có 2 nghiệm trái dấu.

b) Có 2 nghiệm phân biệt dương.
c) Vơ nghiệm.

d) Có nghiệm duy nhất âm.

e) Có 2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x12x22 6

Bài 5. Biện luận số giao điểm của 2 parabol yx2 2x2 và y   x2 x m theo tham số m.
Bài 6. Giải phương trình:

a) x  4 x 2

b) x22x   x 1 3 0

Bài 7. Giải và biện luận phương trình sau theo m: x m  2x2
Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) 2 1 1

3 1 2

x x

 



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Trang | 19

b) 5 1 2

2 2

x

x x



 

 

c) 2 2 1 2 1

1 2 2

x x x x

  

    .

d) 8 2

5 2 2 0

x  x  x 
e) 4 2

5x 24x  5 0

Bài 9. Giải và biện luận các phương trình sau theo m 
a) 3 0

x m

x

 



1
1
2

mx m
x

 




c) 2 1

m

mx x m 

Bài 10. Tìm m để phương trình 8









2 5 6 7 3 3 0

x  m x  m  m x m   (*) có ba nghiệm dương
phân biệt.

Bài 11. Giải các phương trình sau: 
a) x2  1 x 2

ĐS: S 

b) x 8 x x 1

ĐS: S 

 

c) 2x22x 4x24x 1 0

ĐS: 1 3; 1 3

2 2

S      

 

 

d) x2 x  3 5 0

ĐS: S 

Bài 12. Giải và biện luận nghiệm phương trình theo tham số m 
a) Tìm m để phương trình 2

2 2 1

x mx  x có hai nghiệm phân biệt.(đs: PT ln có 2 nghiệm phân
biệt với mọi m)

b) Tìm m để phương trình





2 2

2x1  m x  x 1 có nghiệm.(đs: 49

m )
c) Tìm m để phương trình 4 2

3 x 1 m x 1 2 x 1 có nghiệm.(đs: 1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Trang | 20

a) 2 3

2 5
x y
x y
 

  


b) 5 2 6
2
x y
x y
  

  

c)
2 2
8
2 7

x y x y

xy x y

    



  


ĐS:

    

2;1 ; 1; 2 ;  2; 3 ; 6; 5

 





d)
2 2
32
12
x y
xy
  




ĐS:

  

6; 2 ;  6; 2



2 2
2 2

x y xy

x y x y

   

   

ĐS: (2;1);(1;2)
f)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
     


    


ĐS: (-1;-1)
g)

2
2

x x y

y y x

  


 


ĐS: (0;0);(2;2)

h) 3 1 2

3 1 2

x y
y x
    


   

ĐS: (1;1);(-3;-3)

Bài 14. Tìm điều kiện tham số để các hệ sau có nghiệm.

a) 1 3

x y

x y m

   




 


ĐS: 11 5
4  m .

x y m

x x y y m m

  




  

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Trang | 21

ĐS: m2

Phần 4. Vectơ

1. Tổng, hiệu của hai vectơ

 Các quy tắc:

– Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C tùy ý, ta có AB BC AC 

– Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC 

Ghi nhớ:

a) Cho I là trung điểm của AB và M là một điểm nào đó, khi đó:
+) IA IB 0.

+) MA MB 2MC

b) Cho G là trọng tâm tam giác ABC, M là một điểm bất kì. Khi đó:

+) GA GB GC  0

+) MA MB MC  3MG

– Quy tắc về hiệu vectơ:

Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì ta ln có MNONOM

2. Tích của véc tơ với một số

Tích của số k0 với vectơ a : Nếu k0 thì ka cùng hướng với a và độ dài ka  k a , nếu k0 thì

ka ngược hướng với a và ka  k a .
Quy ước: 0.a 0; .0k 0.

 Tính chất:

Với hai vec tơ bất kì a b, và mọi số thực k, l, ta có:

1) k la

   

 kl a
2)



kl a



ka la

3) k a



b



kakb k a b







kakb

4) ka  0 k 0 hoặc a0

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

b cùng phương với a a



0



 k b: ka

Ba điểm A, B, C thẳng hàng  k AB: k AC.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Trang | 22

Cho a b, không cùng phương, x là một vectơ tùy ý. Khi đó ln tồn tại duy nhất cặp số m và n sao cho 
xmanb.

 Phương pháp phân tích một vectơ qua 2 vectơ khơng cùng phương:

Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số
với một vectơ để biến đổi.

Chú ý: Cho đoạn thẳng AB, một điểm IAB thỏa mãn IAk IB thì với điểm M bất kì ta ln có:

1 1

k

MI MA MB

k k



 

 

3. Hệ trục tọa độ

– Hai vec tơ bằng nhau: a x y

 

; b x y



;



x x

y y




 

  





– Biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ: Cho a

 

x y; và b 



x y ;



. Khi đó:
1) a b 



xx y; y



;a b 



xx y; y



2) ka



kx ky;



với k

3) b cùng phương với a  0 k x: kx y, ky.
– Với M x( M;yM);N x( N;yN)MN 



xN xM;yN yM



– Nếu P là trung điểm của MN thì ;

2 2

M N M N

P P

x x y y

x   y   .

– Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì ;

3 3

A B C A B C

G G

x x x y y y

x    y    .

Bài tập

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: 
a) IBICJA JD 0

b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh. GA GB GC GD   0.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC 
sao cho CN2NA. K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ.

a) AK theo AB AC,

ĐS: 1 1

4 6

AK  AB AC
b) KD theo AB AC,

ĐS: 1 1

4 3

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Trang | 23

Bài 3. Cho a 



1;0 ;



b  



1;1 ;



c 

 

3; 4 .
a) Tìm toạ độ của vectơ d 2a3b5c.
ĐS: d (10; 23)

b) Tìm 2 số m, n sao cho manb2d 0.
ĐS: m66;n 46

c) Biểu diễn vectơ a theo b và c .

ĐS: 4 1

7 7

a b c

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(0; 2); ( 4; 4); (3;0)B  C .
a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

ĐS: 1; 2
3

G 

 

Phần 5. Tích vơ hướng và ứng dụng

1. Giá trị lượng giác góc

0   180

Tính chất:

























sin 180 sin
cos 180 cos

tan 180 tan 90

cot 180 cot 0 180

 

  




 

  

 

  

   

    

 





 





sin sin

cos cos

tan tan 90

cot cot 0 180

 

  



 

  

 

   

    

2. Tích vơ hướng

Tích vơ hướng của a và b : a b.  a b. cos

 

a b,

Tính chất: Với a b c, , tùy ý và mọi số thực k , ta có:

1) a2  a2

2) .a b  0 a b

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Trang | 24

Các hệ thức quan trọng

Cho a

 

x y b; ; 



x y ;



. Khi đó
1) a b. xxyy

2) a  x2y2

 





2 2 2 2

. ' '

cos , 0, 0

. ' '

a b xx yy

a b a b

a b x y x y



   

 

4) a b xxyy0

5) MN 



xN xM

 

2 yN yM



2 với M x



M;yM

 

,N xN,yN



Hệ thức lượng trong tam giác và cơng thức diện tích

Cho tam giác ABC có aBC b; AC c; AB R; là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC; r là bán kính
đường trong nội tiếp;

a b c

p   ; h là đường cao kẻ từ a A; m là trung tuyến kẻ từ a A.

1) Định lí cơsin trong tam giác: a2b2 c2 2bccosA
2) Định lí sin trong tam giác: 2

sin sin sin

a b c

R

A B  C 
3) Công thức trung tuyến:

2 2 2
2

2 4

a

b c a

m   

4) Công thức tính diện tích:







1 1

sin

2 a 2 4

abc

S ah ab C pr p p a p b p c

R

       

Bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). 
a) Tính AB AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. .
ĐS: AB AC. 48

b) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.

ĐS: Chu vi: 15 5 5 ; DT: 25

c) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.

ĐS: 0;10
3

M 

 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Trang | 25

e) Tìm toạ độ điểm I thoả IA2IB IC 0

ĐS: IPNB là hình bình hành với N là trung điểm của BC, P là trung điểm của AB
f) Phân tích vectơ AI theo AB AC,

ĐS: 1

AB AC

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai vectơ



2;3 ,



1; 2
2

a  b  

 

a) Tính tích vơ hướng và tìm góc giữa hai vectơ a và b . 
ĐS: . 5;

 

, 10 221

221

a b a b 

b) Tìm m để vectơ u ma b  song song với trục hoành.
ĐS: 2

m

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Trang | 26

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội 
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng 
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và 
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các 
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường 
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp 
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh

Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả 
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư

liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề cương ôn tập kiểm tra HK1 môn Toán lớp 10 năm 2020

<b>ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI HK1 MÔN TOÁN 10 </b>

<b>Phần 1. Mệnh đề </b>

–

<b> Tập hợp </b>

<b>1. Mệnh đề </b>

<b>2. Tập hợp và các phép toán trên các tập hợp </b>

















<b>Bài tập </b>





































           





























 





<b>Phần 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai </b>

<b>1. Tập xác định của hàm số </b>

 

 

<b>2. Tính chẵn – lẻ của hàm số </b>

 

 

 

 

 

<b>3. Sự biến thiên </b>

 

 

 

 

 

<b>4. Tịnh tiến đồ thị hàm số </b>

 

 

 

 

 

 

 





 

