bai tap PT Mu va Logarit hay day

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH; HỆ </b></i>
<i><b>BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARÍT </b></i>

<i><b>I/ CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ: </b></i>

<i><b>1-</b></i> <i><b>Tính chất của hàm số mũ: </b></i>_{y a ; a 0}x

₍

₎

= > <i><b> (a là c</b></i>ơ số).

x

1) a >0; x∀ ∈ℝ 2) a0 = ∀ >1; a 0; a1 =a 3) a .am n =am n+
m

m n x

n x

a 1

4) a ; a

a a

− −

= = 5) a.b

(

)

x =a .bx x

x _x

x

a a

6)

b b

 
=
 
 

(

)(

)

x y

7) a >a ⇔ a 1 x y− − >0

Hàm số y a= x đ_ồng bi_ến khi a 1_> và ngh_ịch bi_ến khi 0 a 1_{< <} .

[

f (x)

]

g(x)

[

f (x)

]

h(x)

[

f (x) 1 g(x) h(x)

][

]

0

f (x) 0

 ₋ ₋ ₌



= ⇔

>


[

f (x)

]

g(x)

[

f (x)

]

h(x)

[

f (x) 1 g(x) h(x)

][

]

0

f (x) 0

 ₋ ₋ _>



> ⇔

>


<i><b>2-</b></i> <i><b>Tính chất của hàm số lơgarít: </b></i>y log x;= _a

₍

0 a 1< ≠

₎

Tập xác đ_ịnh: D ₌

(

0;_{+∞ =}

)

_ℝ+_.

a a

1) log 1 0; log a 1= = 2) alog xa ₌x

a a

3) log xα log x
= α

( )

a a a

4) log xy =log x log y+ a a a
x

5) log log x log y
y

 

= −

 

  a a

1
6) log xβ = log x

β
c

a

c
log b
7) log b

loa a

= 8) log x log ya > a ⇔

(

a 1 x y−

)(

−

)

>0

Hàm số y log x= _a đ_ồng bi_ến khi a 1_> và ngh_ịch bi_ến khi 0 a 1_{< <} .

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

g x g x

f x h x 0
log f x log h x

0 g x 1

 ₌ _>



= ⇔

< ≠


( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

g x g x

g x 1 f x h x 0
log f x log h x

0 g x 1

 ₋   ₋ _>

   

> ⇔

< ≠


<i><b>II/PHƯƠNG TRÌNH MŨ </b></i>

<i><b>1-</b></i> <i><b>Phương pháp chuyển về cùng cơ số: </b></i>_af x( ) _ag x( )

₍

_{0 a 1}

₎

_{f x}

_{( )}

_{g x}

_{( )}

= < ≠ ⇔ = <b>. </b>

<i><b>Các phương trình có dạng: </b></i> _af x( ) _bg x( )

= <i><b> trong đó: </b></i> b aα

= <i><b> hoặc </b></i> b c ;a cα β

= = <i><b> cũng </b></i>
<i><b>được giải bằng cách đưa về cùng cơ số. </b></i>

1. Giải các PT mũ sau:

2

cos 2x sin x cos x
sin x

1

a) 5. 4.5 25

25 + =

x x x 2x

b) 25 +36.7 =7 +35.5
2. Giải các phương trình:

2

2x 5x 1 1
1) 2

8

− −

=

2

x x 2

5) x 3− − = x 3−

2

10x 1 3x

x 2− − = x 2−
3. Cho phương trình: 3x2−4x 5+ =9m

( )

1 .

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm trái d_ấu.

Ta có:

_{( )}

₁ _x2 _{4x 5 2m} _{f x}

_{( )}

_x2 _{4x 5 2m 0 2}

_{( )}

⇔ − + = ⇔ = − + − =

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu.

( )

5

af 0 0 m
2
⇔ < ⇔ > .

4. Cho phương trình: 24x3 m 1_x

( )

1

8

−

= , với m 1> .
a. Giải phương trình với m = 7.

b. Chứng minh rằng: với m 1> phương trình ln có nghiệm duy nhất.

( )

₁ ₂4x3−m ₂−3x _4x3 _m _3x _4x3 _{3x m}

⇔ = ⇔ − = − ⇔ + = .

Với m = 7: ta đ_ược: 4x3₊3x 7 0_{− = ⇔}

(

x 1 4x₋

)

(

2 ₊4x 7₊

)

_{= ⇔}0 x 1₌ .

Xét hàm số: y 4x= 3 +3x.
Ta có _{y' 12x}2 _{3 0; x}

= + > ∀ ∈ℝ nên đ_ường th_ẳng y = m luôn c_ắt đ_ồ th_ị hàm s_ố y 4x₌ 3₊3x t_ại

1 đi_ểm phân bi_ệt. do đó ph_ương trình 4x3₊3x m₌ ln có 1 nghi_ệm phân bi_ệt.

Cách xác đ_ịnh nghi_ệm: đ_ặt a 3 m m2 1; 1 a 1

2 a

 

= + + α =  − 

  thì α là 1 nghiệm của phương
trình _4x3 _{3x m}

+ = .

5. Cho phương trình: 8mx3−2x2+3x 2− =4mx2+ −x 2

( )

1 .
a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 3 nghi_ệm phân bi_ệt.

HD:

_{( )}

₁ ₂3 mx( 3−2x2+3x 2− ) ₂2 mx( 2+ −x 2)

₍

_{3x 2 mx}

₎

(

2 _{2x 1}

)

₀

⇔ = ⇔ − − + = .

• <b>Cho phương trình </b>ax3+bx2+cx d 0+ = <b> với a, b, c, d là các số nguyên. Khi đó </b>
<b>phương trình có nghiệm hữu tỷ </b>p

q<b> khi và chỉ khi p là ước của d và q là ước của a. </b>
Ví dụ 3: Giải phương trình: .

HD: x

₍

x

_{) (}

x

₎

3
pt⇔3.3 4 5+ −5 4 5+ =0⇒x log 5 1= − .

<b>2-</b> <i><b>Phương pháp lơgarít hố: </b></i> f (x ) g(x)

₍

₎

a

a =b ⇔f (x)= log b .g(x),(a 0,a 1,b 0, b 1)> ≠ > ≠
• Có thể lấy logarit theo cơ số bất kỳ cả 2 vế.

• Ta thường sử dụng phương pháp này cho các phương trình mũ khi 2 vế có dạng tích các

lũy thừa.

• Thông thường ta cần biến đ_ổi và rút g_ọn ph_ương trình tr_ước khi logarit hóa.

1. Giải phương trình:

x

x 2
3(x 2)

8 + 36.3 ;(x+ 2)

= ≠ −

(

x 2

)

(

) (

)

2 2 2 2

3

x x

log 36.3 2 2log 3 (x 2)log 3 x 4 x 2 log 3 1 0

x 2 x 2

x 4 x 2 log 2

+

⇔ = ⇔ = + + + ⇔ + _ + + _=

+ +

⇔ = − ∨ = − −
2. Giải phương trình:

x
x x 1

3 .8 + ₌36,(x_{≠ −}1)

(

)

x
x _{x 1}

2 2 2 2 3

1

log (3 .8 ) log 36 2 2log 3 x 2 log 3 0 x 2 x 1 log 2
x 1

+  

⇔ = = + ⇔ − _ + _= ⇔ = ∨ = − −

+

 

3. Giải phương trình:

2

25 ₅

log (5x) 1 _{log 7}

7 − =x ,(x 0)>

(

log (5x) 1225

)

(

log 7₅

) (

2

)

5 5 25 5 5 5

log 7 − log x log (5x) 1 .log 7 log 7.log x

⇔ = ⇔ − =

2 1

5 5 5 5

log x 5log x 3 0 log x 1 log x 3 x 5− x 125

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

4.

3x
x 2 _{x 1}
5 .2− ₊ 4

=

Đi_ều ki_ện: x_{≠ −}1.

3x
x 2 _{x 1}

2 2 2

3x 1

pt log (5 .2 ) 2 (x 2)log 5 2 (x 2) log 5 0

x 1 x 1

− +  

⇔ = ⇔ − + = ⇔ −  + =

+  + 

ĐS:

5
x 2; x= = − −1 log 2
5. Giải các phương trình sau:

2

x 2x 3
a) 2

2

−

= b) 2x2−4 =3x 2− c) 23x =32x.

(

)

2 2 ₂

x 2x x 2x 1

2 2

3

a) 2 2 3 x 1 log 3 x 1 log 3

2

− − +

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ± .

(

)

(

)(

)

2

x 4 x 2 2

2 2

b) 2 − 3 − x 4 x 2 log 3 x 2 x 2 log 3 0

= ⇔ − = − ⇔ − + − = .

x x x

3 2 x x

3 2

2
3 log3

c) 2 3 3 log 2 2 log 3 x log log 3

2 log 2
 

= ⇔ = ⇔  = ⇔ =

  .

6. Giải các phương trình:

x 1
x _x

1) 5 .8 500

−

= . 2

3x 7
1 1

x 2 x 2 x 4

2) 16 0,25.2

+
−

− + ₌ −

x 5 x 17

x 7 x 3

3) 32 0,25.128

+ +

− ₌ −

(

)

x 1 x 3

x x x 3 x

2 5

1

1) 5 .8 500 5 .2 1 x 3 log 5 0 x 3 x log 2
x

− −

−  

= ⇔ = ⇔ −  + = ⇔ = ∨ = −

  .

7. Giải các phương trình:

2
x x 1
1) 2 3 −

= 2) 8x 2+ =4.34 x− 3) 3 .5 .7x 2− x 1− x =245
x x 1 x 2 x x 2 x 4

4) 2 2 + 2 + 3 3 + 3 +

+ + = + + 5)5x 5x 1+ 5x 3+ 3x 3x 3+ 3x 1+

+ + = + − 4) 2x 12− +2x2+2 =3x2 +3x 12−

x x 1 x 2
6) 2 .3 .5− − 12

=

(

)

1

2 2

x

7) 2 x + − −4 x 2 =4 x + −4 4x 8−

<b>3-</b> <i><b>Phương pháp đặt ẩn số phụ: </b></i>

<b>Cách 1: Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với </b>

<b>một ẩn phụ. </b>

<b>Dạng 1: </b> ( ) ( )

(

)

2f x f x

a a 0 0 a 1

α + β + γ = < ≠ .

<b>Phương pháp giải: </b>Đ_ặt t a₌ f (x) đi_ều ki_ện h_ẹp: t 0_> ⇒a2f x( ) ₌t2. Ph_ương trình tr_ở thành:

2

t t 0

α + β + γ =
1. Giải các phương trình:

(

)

2x

x
x

7

1. 6. 0,7 7

100 = +

2 1

1

x x

1 1

2. 3. 12

3 3

+

   

+ =

   

   

2 2

1
cot x sin x

3. 4 +2 =3

2 2

x 4 x x 2 x 4
4. 2 − + 5.( 2) − + − 6

− = 5. 4 x2− +2 x−5.2x 1− + x2−2 =6 6. 9x 12− −36.3x2−3+ =3 0

x 1 x 4 x 2
7. 4 + 2 + 2 + 16

+ = +

2. Cho phương trình: (m 1).4+ x +(3m 2).2− x 1+ −3m 1 0+ =
a. Giải PT khi m 3= .

b. Đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm trái d_ấu.

HD: m= −1 không thoả, m 1 1 m 1

2
≠ − ⇒− < <

3. Cho phương trình: 49x +(m 1).7− x +m 2m− 2 =0. Đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 2

nghiệm trái dấu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>5.</b> Đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình (m 3).16₊ x ₊(2m 1).4₋ x ₊m 1 0._{+ =} có 2 nghi_ệm trái d_ấu.

6. Cho phương trình: 16x−m.8x+(2m 1).4− x =m.2x

( )

1
a. Giải PT khi m =2.

b. Đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 3 nghi_ệm.

HD: Đ_ặt t 2₌ x ph_ương trình tr_ở thành: (t 1) t₋ _ 2₋mt2₊(2m 1)t m₋ ₊ _₌0. Đi_ều ki_ện bài

toán _t2 _mt2 _{(2m 1)t m 0}

⇔ − + − + = có hai nghiệm dương phân biệt khác 1.

<b>Dạng 2: </b> _a2f x( )

_{( )}

_ab f x( ) _b2f x( ) ₀

₍

_{a, b 0;a 1, b 1}

₎

α + β + γ = > ≠ ≠

<b>Phương pháp giải: Chia 2 v</b>ế phương trình cho b2f x( ) rồi đ_ặt

f (x)
a
t

b
 
= 

  điều kiện hẹp: t 0> .
Phương trình trở thành: α + β + γ =t2 t 0

<b>Dạng 3: </b> _af x( ) _bf x( ) ₀

α + β + γ = với

(

0 a,b 1;a.b 1< ≠ =

)

hay αaf x( )+ βbf x( )+ γcf x( ) =0 với

a b
0 a,b,c 1; . 1

c c

 

< ≠ =

 

 .

<b>Phương pháp giải: </b> Đ_ặt t a₌ f x( ) hay

( )
f x
a
t

c
 
= 

  điều kiện hẹp:

( )
f x 1

t 0 b

t
> ⇒ = hay
( )

f x

b 1

c t

 
=
 

  . Phương trình trở thành:
2

t t 0

α + γ + β =
1. Cho phương trình: m.16x +2.81x =5.36 .x

a. Giải phương trình khi m 2= .

b. Tìm m đ_ể PT có hai nghi_ệm d_ương phân bi_ệt.

2. ₂₇x ₁₂x _2.8x

+ = HD: Chia 2vế PT cho 8<i>x</i>và đ_ặt _ẩn ph_ụ.

3.

1 1 1

x x x

6.9 −13.6 +6.4 =0 ĐS: x_{= ±}1.

4. Giải các phương trình:

2 2

sin x cos x

1. 4 +2 = +2 2 2. 81sin x2 +81cos x2 =30 3. 9sin x2 +9cos x2 =10

2 2

sin x cos x

4. 2 +4.2 =6 5. 3 x 31− x 4 0

− + = 6. 2x2−x 22 x x+ − 2 3

− =

5. Giải phương trình: 2 2

1
cot x _{sin x}

4 +2 − =3 0.

HD: Đ_ặt t 2₌ cot x2 _≥1, ph_ương trình tr_ở thành: t2 2t 3 0 t 1 t 3 x k

2
π
+ − = ⇔ = ∨ = − ⇔ = + π.
6. Giải các phương trình:

(

) (

sin x

)

sin x

1. 7 4 3+ + 7 4 3− =4 2. 5

(

+ 24

) (

x+ 5− 24

)

x =10

(

) (

x

)(

)

x

(

)

3. 2+ 3 + 7 4 3 2+ − 3 =4 2+ 3 4.

(

2+ 3

) (

x+ 2− 3

)

x =14

x x

7 3 5 7 3 5

5. 7 8

2 2

 ₊   ₋ 

+ =

   

   

   

(

)

(

)

2 2

(x 1) x 2x 1 4
6. 2 2 3 2 3

2 3

− − −

+ + − =

−

(

) (

x

)

x

7. 6− 35 + 6+ 35 =12

(

)

(

)

x x

4) 7 4 3+ −3 2− 3 + =2 0

(

3

) (

x 3

)

x

9. 3+ 8 + 3− 8 =6

(

)

(

)

tan x tan x

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

) (

x

)

x x

1) 3+ 5 + 3− 5 −7.2 =0 2) 3

(

+ 5

)

x +16 3

(

− 5

)

x =2x 3+

(

)

x

(

)

x x 3

3) 5 21 7 5 21 2 +

− + + = 4) 22x 12+ −9.2x2+x +22x 2+ =0
cos x sin x log 7

2sin x 2cos x 1 1 2sin x 2cos x 1

5) 2 5 0

10

− −

− +   − +

−_ _ + =

 

8. Giải phương trình:

(

)

(

)

x x

7 4 3+ −3 2− 3 + =2 0.

HD: Đ_ặt

(

)

(

)

(

)

x x _x

2
1

t 2 3 0 2 3 ; 7 4 3 t

t

= + > ⇒ − = + = .

Phương trình trở thành: t3+2t 3 0 2− =

( )

⇔ = ⇔t 1 x 0= .
9. Giải và biện luận phương trình:

(

)

(

)

x x _{x 3}

3 5 m. 3 5 2 +

+ + − =

HD:

x x

3 5 3 5

pt m. 8

2 2

 ₊   ₋ 

⇔  +   =

    .

Đ_ặt

x x

3 5 3 5 1

t 0

2 2 t

 ₊   ₋ 

=  > ⇒  =

    , phương

trình trở thành: t2−8t m 0+ = ⇔

(

t 4−

)

2 =16 m−

( )

2 .
10.Giải phương trình: 22x 12+ −9.2x2+x +22x 2+ =0

( )

1 .
HD: _pt ₂2x2₋2x 1₋ _9.2x2_{− −}x 2 _{1 0} _2.22 x( 2−x) _9.2x2₋x _{4 0}

⇔ − + = ⇔ − + = . Đ_ặt 2

1

x x ₄

t 2 − 2−

= ≥ , phương

trình trở thành: 2t2 9t 4 0 t 4 t 1

(

)

x 1 x 2

2 loại

− + = ⇔ = ∨ = ⇔ = − ∨ = .

11.Giải phương trình: 23x 6.2x _{3 x 1}₍1 ₎ 12_x 1

2
2 −

− − + =

HD: 3x 3 x

3x x

2 2

pt 2 6. 2 1

2 2

  _ _

⇔ − −  − =

 

  .

Đ_ặt

3
3

x 3x x x x 3

x 3x x x x

2 2 2 2 2

t 2 2 2 3.2 . 2 t 6t

2 2 2 2 2

   

= − ⇒ − = −  +  − = +

    , phương trình trở thành:

3 x

x
2

t 6t 6t 1 t 1 2 1 x 1

2

+ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = .

12.Giải phương trình: 1+ 1 2− 2x =

(

1 2 1 2+ − 2x

)

.2x.

HD: Đi_ều ki_ện: 1 2₋ 2x _{≥ ⇔}0 22x _{≤ ⇔}1 x 0_≤ ⇒0 2_< 2x_≤1. Đ_ặt sin t 2₌ x v_ới t 0;

2
π

 

∈ _

 ,

phương trình trở thành: 1 1 sin t2 sin t 1 2 1 sin t

(

2

)

2 cost sin t sin 2t

2

+ − = + − ⇔ = +

t 3t 3t 2

2 cos 1 2 sin 0 sin t t x 1 x 0

2 2 2 2 6 2

π π

 

⇔  − = ⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔ = − ∨ =

  .

13.Giải phương trình: 4.33x −3x 1+ = 1 9− x . (HD: 3x cos t; t 0;

2
π

 

= ∈_ 

)

14.Giải các phương trình:

x x 3x 1

1. 125 50 2 +

+ = 2. 22x+23 4x− =6 3. 3x +33 2x− =6
3x x 2x 2 4x 2

4. 4.2 3.2 1 2 + 2 +

− = − +

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

x x 2x 1
1. 25 10 2 +

+ = 2. 6.32x −13.6x+6.22x =0 3. 4x −2.6x =3.9x
x

x x ₂

4. 4.3 −9.2 =5.6

1 1 1

x x x

5. 2.4 +6 =9 6. 3.16x +2.81x =5.36x
16.Giải và biện luận phương trình:

x x

a. m.3 m.3− 8

+ = b. m 2 .2

₍

₎

x m.2−x m 0

− + + =

17.Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình sau có nghi_ệm:

(

)

2x

(

)

x

a. m 1 .3 2 m 3 .3− m 3 0

− + − + + = b. m 4 .4

(

−

)

x −2 m 2 .2

(

−

)

x +m 1 0− =
18.Cho phương trình:

(

m 3 .16+

)

x+

(

2m 1 .4−

)

x+m 1 0+ =

( )

1

a) Giải phương trình với m 3

4
= − .

b) Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm trái d_ấu.

HD: Đ_ặt t 4₌ x _>0, ph_ương trình tr_ở thành:

(

m 3 .t₊

)

2₊

(

2m 1 .t m 1 0 2₋

)

₊ _{+ =}

( )

.

a. Với m 3 t 1 t 9 1 x 0 x log 9₄

4

−

= − ⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = − .

b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu, tức là: x1 0 x2

1 2 1 2

x < <0 x ⇔4 <4 <4 ⇔t < <1 t .
Phương trình (2) có 2 nghiệm t₁ 1 t₂ 3 m 3

4
< < ⇔ − < < − .
19.Cho phương trình: 4x −m.2x 1+ +2m 0 1=

( )

a) Giải phương trình với m = 2.

b) Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm

1 2

x , x thỏa x₁+x₂ =3.
HD: Đ_ặt t 2₌ x _>0, ph_ương trình tr_ở thành: t2₋2mt 2m 0₊ ₌

( )

2 .

a. Với m 2= ⇔ =t 2⇔x 1= .

b. Phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 2

1 2 1 2 1 2

x , x : x x 3 2 + 8 t .t 8

+ = ⇔ = ⇔ = .

Phương trình (2) có 2 nghiệm t .t_{1 2} = ⇔8 m 4= .

20.Cho phương trình:

(

)

( )

(

)

( )

2 ₂

2 x 1 _{x 1}

m 2 2 + 2 m 1 .2 + 2m 6 0 1

− − + + − =

a) Giải phương trình với m = 9.

b) Tìm m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm.

HD: Đ_ặt t 2₌ x 12+ _≥2, ph_ương trình tr_ở thành:

(

m 2 t₋

)

2 ₋2 m 1 t 2m 6 0 2

(

₊

)

₊ _{− =}

( )

.

a. Với m 9 t 2 t 6

(

)

x 0

7 loại

= ⇔ = ∨ = ⇔ = .

b. Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t 2≥ .
• m = 2:

( )

2 t 1 2

3
⇔ = − < .

• m 2 : t≠ ₁≤ ≤2 t₂∨ ≤2 t₁ ≤t₂ ⇔2 m 9< ≤ .

21.Cho phương trình:

(

)

(

)

( )

x x

2− 3 +m 2+ 3 =4 1
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm

1 2

x , x thỏa x₁ x₂ log₂ ₃3

+

− = .

HD: Đ_ặt

(

)

(

)

x x ₁

t 2 3 0 2 3

t

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

b. (1) có 2 nghiệm x , x : x₁ ₂ ₁ x₂ log₂ ₃3

+

− =

(

)

1 2

x x

2 3 − 3

⇔ + = ⇔t₁ =3t₂.
Phương trình (2) có 2 nghiệm t₁ =3t₂ ⇔m 3= .

22.Cho phương trình: 2.4x 12+ +m.6x 12+ =9x 12+

( )

1
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm duy nh_ất.

HD: ( )

₍

₎

( ) ( )

2 2

2 2 2 x 1 2 x 1

2 x 1 x 1 2 x 1 3 3

pt 2.2 m. 2.3 3 2

2 2

+ +

+ + +    

⇔ + = ⇔ +  = 

    . Đặt

2
x 1

3 3

t

2 2

+

 
=  ≥

  .

Phương trình trở thành: f t

( )

=t2−mt 2 0− =

( )

2 .

a. Với m 1= ⇔ = ∨ = −t 2 t 1

(

loại

)

⇔x= ± log 2 1_1,5 − .

b. (1) có nghiệm duy nhất x 0 t₁ t₂ 3 f 3 0 m 1

2 2 6

 

⇔ = ⇔ ≤ = ⇔  = ⇔ =

  (vì a.c= − <2 0).
23.Cho phương trình: 22x 1+ −2x 3+ −2m 0= .

a. Giải phương trình với m = 32.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm phân bi_ệt.

24.Giải và biện luận phương trình: 4.3x − +3 m 3= 2x.
25.Cho phương trình:

(

)

(

)

tan x tan x

3 2 2+ + 3 2 2− =m.
a. Giải phương trình với m = 6.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm thu_ộc kho_ảng ;

2 2
π π

 

−

 

 .

26.Cho phương trình: m.16x +2.81x =5.36x.
a. Giải phương trình với m = 3.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm duy nh_ất.

<b>Dạng 4: </b> ( ) ( )

(

)

f x( )

(

)

f x f x

m.a +n.b +p a.b =q a, b 0;a 1, b 1> ≠ ≠
<b>Phương pháp giải: </b>Đ_ưa v_ề d_ạng tích.

1. Giải phương trình: 8.3x +3.2x =24 6+ x

x x x x x

8(3 3) 2 .(3 3) 0 (3 3)(8 2 ) 0 x 1, x 3

⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = = .

2. Giải phương trình: 12.3x 3.15x 5x 1 20 x log₃5

3

+

+ − = ⇔ = .

3. Giải phương trình: 4x2−3x 2+ +4x2+6x 5+ =42x2+3x 7+ +1.

HD: ₄x2−3x 2+ ₄x2+6x 5+ ₄x2−3x 2+ _.4x2+6x 5+ ₁

(

₄x2−3x 2+ _{1 1 4}

)(

x2+6x 5+

)

₀

+ = + ⇔ − − =

4. Cho phương trình: m.2x2−5x 6+ +21 x− 2 =2.26 5x− +m
a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 4 nghi_ệm phân bi_ệt.

HD: _m.2x2−5x 6+ ₂1 x− 2 ₂7 5x− _m

(

₂x2−5x 6+ _{1 2}

)(

1 x− 2 _m

)

₀

+ = + ⇔ − − =

5. Giải phương trình:

( )2

2 2 _{x 1}

x x 1 x

a. 4 + 2− 2 + 1

+ = + 4. 12.3x 3.15x 5x 1+ 20

+ − =

x x x

8.3 +3.2 =24 6+

6. Giải và biện luận phương trình:

( )2

2 2 _{x 2}

x 2x m x 2n 3

a. 9 − + 3 + − 3 − 1

− = − ( )

2

2 2 _{x 1}

x x m x 2m 1

b. 4 + + 2 + − 2 + 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Cách 2: Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với </b>
<b>một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x. </b>

1. Giải phương trình: 32x−

(

2x +9 .3

)

x +9.2x =0

HD: Đ_ặt t 3₌ x _>0 ph_ương trình tr_ở thành: t2₋

(

2x ₊9 .t 9.2

)

₊ x _{= ⇔ = ∨ =}0 t 9 t 2x.

2. Giải phương trình: 9x2 +

(

x2 −3 .3

)

x2 −2x2 + =2 0

HD: Đ_ặt t 3₌ x2 _≥1 ph_ương trình tr_ở thành: t2 ₊

(

x2₋3 .t 2x

)

₋ 2_{+ = ⇔ = ∨ = −}2 0 t 2 t 1 x2.

3. Giải phương trình: 42x +23x 1+ +2x 3+ −16 0=

HD: Đ_ặt t 2₌ x _>0 ph_ương trình tr_ở thành: t4₊2t3₊8t 16 0₋ _{= ⇔}42₋2t.4 t₋ 4₋2t3 ₌0.
Đ_ặt u 4₌ ta đ_ược ph_ương trình: u2₋2t.u t₋ 4₋2t3 _{= ⇔}0 u t t t 1_{= −}

(

₊

)

_∨u t t t 1_{= +}

(

₊

)

4. Giải các phương trình:

(

)

2x 3 x 2

1) 3 − 3x 10 .3 − 3 x 0

+ − + − = 2) 3.4x 3−

(

3x 10 .2

)

x 3 x 0

+ − + − =

Đ_ặt t 3₌ x 2− _>0 ph_ương trình tr_ở thành: 3t2 ₊

(

3x 10 t 3 x 0₋

)

_{+ −} ₌

(

3x 8

)

2 t 1 t 3 x
3

∆ = − ⇒ = ∨ = −

5. Giải phương trình:

x x

1. 3.4 +(3x 10).2− + −3 x 0= 2. 9x +2(x 2).3− x +2x 5 0− =

x 2 x 2

3. 3.25 − (3x 10).5 − 3 x 0

+ − + − = 4. 3.4x +(3x 10)2− x + − =3 x 0
6. Cho phương trình: m .22 3x −3m.22x +

(

m2 +2 2

)

x −m 0;=

(

m 0≠

)

a. Giải phương trình với m = 2.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 3 nghi_ệm phân bi_ệt.

HD: Đ_ặt t 2₌ x _>0 ph_ương trình tr_ở thành: m .t2 3₋3m.t2₊

(

m2₊2 t m 0

)

₋ ₌ .

(

) (

)

2 3 2

2

1 2t

m t t 3t 1 m 2t 0 m m

t t 1

⇔ + − + + = ⇔ = ∨ =

+ .
7. Giải phương trình: 9x +2 x 2 .3

(

−

)

x +2x 5 0− =

HD: Đ_ặt t 3₌ x _>0 ph_ương trình tr_ở thành: t2₊2 x 2 .t 5 0

(

₋

)

_{− = ⇔ = − ∨ = −}t 1 t 5 2x.

8. Giải phương trình: 32x+ 3x +5 0=

HD: Đ_ặt t 3₌ x _>0 ph_ương trình tr_ở thành: t2₊ t 5 0_{+ = ⇔ −}5 t2 _{≥ ∧ + =}0 t 5 52₋2t .5 t2 ₊ 4.
Đ_ặt u 5₌ ta đ_ược ph_ương trình: u2₋

(

2t2₊1 .u t

)

₊ 4_{− =}t 0.

(

)

(

)

2 2

2t 1 2t 1 2t 1 2t 1

u u

2 2

+ − + + + +

⇔ = ∨ =

9. Giải phương trình: x2 −

(

3 2 x 2 1 2− x

)

+

(

− x

)

=0.

HD: Giải như PT bậc 2 theo x ⇒x 2 x 1 2= ∨ = − x. ĐS: x 0; x 2₌ ₌ .

10.Cho phương trình: 33x +2m.32x+m .32 x +m 1 0− =

a. Giải phương trình với m 1= + 2.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 3 nghi_ệm phân bi_ệt.

<b>4-</b> <i><b>Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số: </b></i>
• <i>Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: </i>

- <i>Chuyển phương trình về dạng: </i>f x

( )

=k<i>. </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

- <i>Nhận xét: </i>

<i>+ Với </i>x x= ₀ ⇒f x

( )

₀ =k⇒x x= ₀<i> là 1 nghiệm. </i>

<i>+ Với </i>x x> ₀ ⇒f x

( )

>f x

( )

₀ =k<i> do đó phương trình vơ nghiệm. </i>

<i>+ Với </i>x x< ₀⇒f x

( )

<f x

( )

₀ =k<i> do đó phương trình vơ nghiệm. </i>

1. Giải phương trình

x

x

3 7

2 x 1

5 5

 

+ = ⇒ =

 

  .

2. Giải phương trình

(

) (

)

x x

x x

x 2 3 2 3

2 3 2 3 2 1

2 2

   

+ −

   

+ + − = ⇔ + =

   

   

.
Ta thấy x 2= là nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nh_ất.

3. Giải phương trình:

x x x

x x x x 2 3 5

2 3 5 10 1

10 10 10

     

+ + = ⇔  +  +  =

     

Ta thấy pt có một nghiệm x 1= . Xét hàm số:

x x x x x x

2 3 5 2 2 3 3 5 5

f (x) f '(x) ln ln ln 0; x R

10 10 10 10 10 10 10 10 10

           

=  +  +  ⇒ =  +  +  > ∀ ∈

           

Suy ra f(x) là hàm đ_ồng bi_ến trên R.V_ậy pt có nghi_ệm duy nh_ất x 1₌ .

4. Cho phương trình: 3x −4−x =m. Chứng minh rằng: với mọi m phương trình ln có

nghiệm duy nhất.

Số nghiệm của phương trình là số giao đi_ểm c_ủa đ_ồ th_ị hàm s_ố y 3₌ x ₋4−x và đ_ường th_ẳng

y m= .

Xét hàm số y 3= x −4−x xác đ_ịnh trên _ℝ.

Ta có: _{y' 3 ln 3 4 .ln 4 0; x}x −x

= + > ∀ ∈ℝ. Do đó hàm s_ốđ_ồng bi_ến trên _ℝ.

Giới hạn:

xlim y→−∞ = −∞; lim yx→+∞ = +∞.

Bảng biến thiên:

x −∞ +∞

y' +

y +∞

−∞

Vậy với mọi m phương trình ln có nghiệm duy nhất.

5. Giải phương trình: x 2.3₊ log x2 ₌3

Đi_ều ki_ện: x 0_>

2 2

log x log x

x 2.3+ = ⇔3 2.3 = −3 x

• Ta có vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến cịn vế trái của phương trình là

hàm số ln đ_ồng bi_ến. Do đó, n_ếu ph_ương trình có nghi_ệm thì nghi_ệm đó là duy nh_ất.

Mắt khác: với x 1= ta có: 2.3log 12 ₌2 3 1_{= −} . V_ậy x 1₌ là nghi_ệm duy nh_ất c_ủa ph_ương trình.
6. Giải các phương trình:

x

1) 3 + − =x 4 0 2) 3x+4x =5x _{3) 15}x2_{+ =}_{1 4}x

(

) (

x

)

x x

4) 3− 2 + 3+ 2 = 5

(

) (

)

x x

x
5. 2− 3 + 2+ 3 =2

x
x
2
6) 1 3+ =2
7. Giải phương trình: 1 8+ x2 =3x

x
x

x _x

2 1 8

1 8 3 1

3 3

 

 

+ = ⇔  +  =

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Với

x 2

x 2

1 8 1 8

x 2 1

3 3 3 3

   

   

> ⇒  +  <  +  =

  _ _   _ _ do đó phương trình vơ nghiệm.
Với

x 2

x 2

1 8 1 8

x 2 1

3 3 3 3

   

   

< ⇒  +  >  +  =

  _ _   _ _ do đó phương trình vơ nghiệm.
Vậy x 2= là nghiệm duy nhất của phương trình.

• <i>Cách 2: Thực hiện theo các bước sau: </i>

- <i>Chuyển phương trình về dạng: </i>f x

( )

=g x

( )

<i>. </i>

- <i>Xét hàm số</i> y f x=

( )

<i> và </i> y g x=

( )

<i>. Dùng lập luận khẳng định hàm số</i> y f x=

( )

<i>đồng biến hàm số</i> y g x=

( )

<i> nghịch biến. Xác định </i>x₀<i> sao cho </i>f x

( )

₀ =g x

( )

₀ <i>. </i>
- <i>Vậy phương trình có nghiệm duy nhất </i>x x= ₀<i>. </i>

• <i>Cách 3: Thực hiện theo các bước sau: </i>

- <i>Chuyển phương trình về dạng: </i>f u

( )

=f v

( ) ( )

1 <i>. </i>

- <i>Xét hàm số</i> y f x=

( )

<i>. Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) </i>

- <i>Khi đó: </i>

( )

1 ⇔u v;= ∀u, v∈Df <i>. </i>
1. Giải phương trình:

(

)

2
3x x 1
2

3

1

log x 3x 2 2 2

5

− −

 

− + + +  =

  .

Đi_ều ki_ện: x2₋3x 2 0_{+ ≥ ⇔} x 1 x 2_{≤ ∨} _≥ .
Đ_ặt: u₌ x2₋3x 2 0₊ _≥ ⇒3x x₋ 2_{− = −}1 1 u2.

Khi đó ph_ương trình có d_ạng:

(

)

u 12

( )

3

log u 2 5 − 2 2

+ + =

Xét hàm số: y log x 2= ₃

(

+

)

+5x 12− .

Miền xác đ_ịnh: D ₌

[

0;_+∞

)

.
Đ_ạo hàm:

(

)

2
x 1
1

y' 2x.5 0; x

x 2 ln 3

−

= + > ∀ ∈

+

D _{. Suy ra hàm s}_ốđ_ồng bi_ến trên D _.

Mặt khác: f 1

( )

=log 1 2₃

(

+

)

+51 1− =2

Vậy:

( )

2 f x

( )

f 1

( )

u 1 x2 3x 2 1 x 3 5

2
±

⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = .

Vậy phương trình có hai ngiệm: x 3 5

2
±
=

2. Cho phương trình: 5x2+2mx 2+ −52x2+4mx m 2+ + =x2 +mx m+ .
a) Giải phương trình với m 4

5
= − .
b) Giải và biện luận phương trình.

Đ_ặt t x₌ 2₊2mx 2₊ ph_ương trình tr_ở thành: 5t _{+ =}t 52t m 2+ − ₊2t m 2 1₊ ₋

( )

Xét hàm số: f t

( )

=5t+t đ_ồng bi_ến trên _ℝ. V_ậy

( )

1 _⇔f t

( )

₌f 2t m 2

(

₊ ₋

)

_{⇔ =}t 2t m 2₊ ₋

2

t m 2 0 x 2mx m 0

⇔ + − = ⇔ + + =

a. m 4 x 2 x 6

5 5

= − ⇒ = ∨ = −
b. _m2 _m

∆ = −

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

• 0 m 1< < phương trình vơ nghiệm.

• m 0 m 1< ∨ > phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

3. Cho phương trình: 3x2 2mx 4m 3 2 m 2

x m

+ + − −

− =

+ .
a. Giải phương trình với m = 0.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có đúng 2 nghi_ệm phân bi_ệt thu_ộc đo_ạn

[

₋4;0

]

.

( ) (2 )2

2 _{x m} _{m 2} ₁

x 2mx 4m 3 m 2 m 2

3 2 3 2

x m x m

+ − − +

+ + − − −

− = ⇔ − =

+ +

Đ_ặt t₌ x m₊ _>0 ta đ_ược: ( )

( )

2
2

t m 2 1 m 2

3 2 1

t

− − + −

− = .

Ta có:

•

( )

( )

2
2

t m 2 1
f t 3 − − + 2

= − là hàm đ_ồng bi_ến v_ới t > 0.

• g t

( )

m 2
t
−

= là hàm nghịch biến với t > 0.

Vậy (1) có nghiệm là duy nhất. Mặt khác: f m 2

(

−

)

=g m 2

(

−

)

.
Suy ra: t= m 2− ⇔ x m+ = m 2− ⇔x= − ∨2 x 2 2m= −

4. Giải các phương trình:

(

)

(

)

2 x x

1) x + 2 −3 .x 2 1 2+ − =0 2) 22x 1− +32x +52x 1+ =2x +3x 1+ +5x 2+
5. Giải các phương trình:

(

)

3 3x 2x 2 x

1) x +2 +3x.2 + 1 3x .2+ + − =x 2 0 2) 2− x2−x+2x 1− =

(

x 1−

)

2

(

)

(

) (

3

)

3 3x 2x 2 x x x

1) x +2 +3x.2 + 1 3x .2+ + − = ⇔x 2 0 2 +x + 2 +x =2

Xét hàm số: f t

( )

=t3+t đ_ồng bi_ến và f 1

( )

₌2⇒f 2

(

x ₊x

)

₌f 1

( )

⇒2x ₊x 1₌ ⇒x 0₌ .

Cách khác: đ_ặt t 2₌ x ₊x ta đ_ược ph_ương trình: t3_{+ − = ⇔ =}t 2 0 t 1.

(

)

2 ₂ 2

x x x 1 x 1 x x 2

2) 2 − 2 − x 1 2 − x 1 2 − x x

− + = − ⇔ + − = + −

Xét hàm số: f t

( )

=2t +t đ_ồng bi_ến. f x 1

(

₋

)

₌f x

(

2₋x

)

_⇔x 1 x_{− =} 2_{− ⇔}x x 1₌ .

6. Giải các phương trình:

2x 5 x 1 1 1

1) e e

2x 5 x 1

− −

− = −

− −

(

)

2

m x 6 4x 3m 2

2) 2 + 2 + 4 m x 3m 6

− = − + −

2x 5 x 1 1 1 2x 5 1 x 1 1

1) e e e e

2x 5 x 1 2x 5 x 1

− − − −

− = − ⇔ − = −

− − − −

Xét hàm số: f t

( )

et 1

t

= − đ_ồng bi_ến. f x 1

(

₋

)

₌f 2x 5

(

₋

)

_⇔ x 1_{− =} 2x 5₋ _⇔x 2 x 4_{= ∨} ₌

(

)

2 2

m x 6 4x 3m 2 m x 6 2 4x 3m

2) 2 + 2 + 4 m x 3m 6 2 + m x 6 2 + 4x 3m

− = − + − ⇔ + + = + +

Xét hàm số: f t

( )

=2t +t đ_ồng bi_ến. f m x 6

(

2 ₊

)

₌f 4x 3m

(

₊

)

_⇔m x 6 4x 3m2 _{+ =} ₊ .

<b>7.</b> <b>Phương pháp đánh giá: </b>
1. Giải phương trình:

2
x

1) 3 =cos 2x

(

)

(

)

2

x 1 2 x x

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

VT 1 VT 1
VT VP

VP 1 VP 1

≥ =

 

⇒ ₌ _⇔

 

≤ =

 

2. Giải phương trình: 416 x− 2 =2x +2−x

VP 2 VT 2

VT VP x 0

VT 2 VP 2

≥ =

 

⇒ ₌ _⇔ _⇔ ₌

 

≤ =

 

3. Giải phương trình:

x x

x x x x

2 4 1 3

4 +1 2+ +1 4+ +2 = 2

Với a 2 ;b 4= x = x phương trình có dạng: a b 1 3

b 1 a 1 a b+ + + + + = 2

(

)

a b 1 1 1 1

VT 1 1 1 3 a b 1 3

b 1 a 1 a b a 1 b 1 a b

       

= +  + +  + + − = + +  + + −

+ + + + + +

       

(

) (

) (

)

Cauchy

1 1 1 1 3

a 1 b 1 a b 3

2 a 1 b 1 a b 2

 

=  + + + + +  + + − ≥

+ + +

 

Đ_ẳng th_ức x_ảy ra khi: a 1 b 1 a b_{+ = + = + ⇔ =}a b 1_{= ⇔}x 0₌

4. πsin x = cos x

HD: Dùng PP đ_ối l_ập. ĐK. 0_≤ sin x ⇒1_{≤ π}sin x; cos x 1_≤ .

sin x 0 sin x 0 x k
pt

cos x 1 sin x 0 x l

 ₌  ₌  _{= π}

  

⇒_ _⇔_ _⇔_

=  =  = π

  



ĐS: x 0₌ .

5. 2

2
2x x x 1
2

x

− +

=

HD: ĐK: x 0_> . ( )

2

2 _{1 1 x} 2

2x x x 1 1

2 2 2; x 2

x x

− −

− +

= ≤ = + ≥ ĐS: x 1₌ .

6. Giải phương trình: 416 x2 2x 1_x

2

− = +

7. Giải phương trình:

25x 3

3x 5
5

3 5.3 2 27 0

+

− + =

Đ_ặt t 3₌ x _>0 ph_ương trình tr_ở thành: 55 3 5 2

3 5

2 5

t 27 5.t 2 27 0 t

t 27

− + = ⇔ + = .

Cauchy

2 2 2

3 3 5

1 1 1 1 1 5

VT t t t

3 3 3 t t 27

= + + + + ≥

Đ_ẳng th_ức x_ảy ra khi: 2 5

3

1 1 1

t t 3 x

3 = t ⇔ = ⇔ = 5

<b>Một bất đẳng thức quan trọng thường được áp dụng khi giải phương trình mũ bằng </b>
<b>phương pháp đánh giá là bất đẳng thức Bernouli: </b>

<b>Với mọi </b>t 0> <b> ta có: </b>

(

)

(

)

[ ]

t 1 t 1; 0 1

t 1 t 1; 0;1

α
α

 ₊ ₋ _{α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥}




+ − α ≤ ∀α ∈

 <b>. </b>

<b>Do đó phương trình mũ có dạng: </b>_ax _{x 1 a}

(

)

₁ a 0

x 0 x 1
>



+ − = ⇔ 

= ∨ =

 <b>. </b>

8. Giải các phương trình sau:

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

a. Biến đ_ổi ph_ương trình v_ề d_ạng:

(

)

Bernouli
x

3 + 1 3 x 1− = ⇔ x 0 x 1= ∨ =

b. Biến đ_ổi ph_ương trình v_ề d_ạng: 22x2−x ₌2x2 _{− + ⇔}x 1 22x2−x ₊

(

1 2 2x₋

)

(

2₋x

)

_{= +}1

2 2 1

2x x 0 2x x 1 x 0 x 1 x
2

⇔ − = ∨ − = ⇔ = ∨ = ∨ = ±

9. Giải các phương trình sau:

x x

a) 3 +2 =3x 2+ b) 9x +3x =10x 2+
a. Theo bất đ_ẳng th_ức Bernouli ta có:

• Với x 1 x 0≥ ∨ ≤ :
x

x x

x

3 2x 1

3 2 3x 1
2 1x 1

 _≥ ₊



⇒ ₊ _≥ ₊



≥ +

 ,

đ_ẳng th_ức x_ảy ra khi: x 0 x 1_{= ∨} ₌ .

• Với x∈

(

0;1

)

:
x

x x

x

3 2x 1

3 2 3x 1
2 x 1

 _< ₊



⇒ ₊ _< ₊



< +

 suy ra phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 0; x 1= =

b. Theo bất đ_ẳng th_ức Bernouli ta có:

• Với x 1≥ :

x x

x x

x x

9 9 8x 1

9 3 10x 2
3 3 2x 1

 ₌ _≥ ₊



⇒ ₊ _≥ ₊



= ≥ +

 ,

đ_ẳng th_ức x_ảy ra khi: x 1₌ .

• Với x 0≤ :

x x

x x

x x

9 9 8x 1 8x 1

9 3 10x 2
3 3 2x 1 2x 1

−
−

 ₌ _{≥ −} _{+ ≥} ₊



⇒ ₊ _≥ ₊



= ≥ − + ≥ +

 ,

đ_ẳng th_ức x_ảy ra: x 0₌ .

• Với x∈

(

0;1

)

:

x x

x x

x x

9 9 8x 1

9 3 10x 2
3 3 2x 1

 ₌ _< ₊



⇒ ₊ _< ₊



= < +

 suy ra phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 0; x 1= = .

10.Giải phương trình: 2sin x2 +2cos x2 =3
Vì _{0 sin x;cos x 1}2 2

≤ ≤ nên:

2

2 2

2

sin x 2

sin x cos x
cos x 2

2 sin x 1

2 2 3

2 cos x 1

 _≤ ₊



⇒ ₊ _≤



≤ +



Đ_ẳng th_ức x_ảy ra khi:

2 2 2

2 2 2

sin x 1 sin x 0 sin x 0

x k
2
cos x 1 cos x 0 sin x 1

 _{= ∨} ₌  ₌ _π



⇔ ⇔ =

 

= ∨ = =

  .

11.Giải các phương trình sau:

(

)

x

(

)

x

a) x 1 2x 1 −

+ = +

(

)

(

)

2

x x x 1

b) 2x 1 − 2 x −

− = − c) 21 sin x− 2

(

2 x2

)

1 x+

= +
12.Giải các phương trình sau:

x x 2x

a) 5 −2x − 2x 1 1 4x 4x.5+ = + + +5 b) 3x 12− +

(

x2−1 .3

)

x 1+ =1
13.Giải các phương trình sau:

x 2x 3x

2x 3x x 3x 2x x

2 2 2 3

a)

2 +2 +2 +2 +2 +2 = 2

x x

x 2 2 x x 2 x 2

2 4 1 3

b)

4 +m +m 2 +1 2+ +m 4 =m +1
14.Giải các phương trình sau:

x

a) 5 =4x 1+ b) 27x2 =

(

6x2−4x 1 .9+

)

x
15.Giải các phương trình sau:

x x

a) 3 +5 =6x 2+ b) 3x +2x =3x 2+ c) 7x +3x =8x 2+
<i>BÀI TẬP </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

1/

x x

x
8 2

2
4 2

+
=

− HD: ĐK

1
x

2

≠ . Qui đ_ồng kh_ử m_ẫu và đ_ặt _ẩn ph_ụ.

1/ _{8 x.2}x ₂3 x− _{x 0}

− + − =

HD: _pt

(

₂x _{1 8 x.2}

)(

x

)

₀

⇔ + − = ĐS: x 2₌ .

Bài 6: Giải các PT sau:

2
1
2

log (sin x 5sin x cos x 2) ₁
3) 4

9

+ +

=

2 2 9

log x 3log x _{2 log x}
2

9) x − − 10−

=

log x 7

log x 1
4

8) x 10

+

+

=
<i><b>III/ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT: </b></i>

<b>Phương trình cơ bản: </b>

<b>Dạng 1: </b>

( )

( )

b

a

log f x =b⇔f x =a

<b>Dạng 2: </b>log f (x) log g(x)_a = _a ⇔f (x) g(x) 0= >

Lưu ý: Việc chọn f x

( )

>0 hoặc g x

( )

>0 tùy thuộc vào đ_ộ ph_ức t_ạp c_ủa f(x) và g(x).

1. Giải các phương trình sau:

(

2

)

2

1. log x +4x 4− =2 2. log (x₃ 2−3x 5) log (7 2x)− = ₃ −

(

3 2

)

(

)

1 3

3

3. log _ 2 x +x −2_+log 2x 2+ =0 4

{

3 2

(

2

)

}

1
4. log 2log 1 log 1 3log x

2

 ₊ ₊  ₌

 

2. Giải phương trình: log x log x log x₃ + ₄ = ₅
3. Giải các phương trình sau:

(

)

2

1. log x 6+ =3 2. log_{cos x}4.log_{cos x}2 2 1=

3 2x 3
log

x

3. 2 1

−

 

 

 

=
4. Giải các phương trình sau:

(

)

2

(

3

)

2 2

1. log x 1− =2log x + +x 1 ₂ 2 ₁

2
2. log (x −1) log (x 1)= −

(

2

)

(

2

)

(

4 2

)

(

4 2

)

2 2 2 2

3. log x + +x 1 +log x − +x 1 =log x +x +1 +log x −x +1

(

2

)

(

2

)

2 2 2

4. log x +3x 2+ +log x +7x 12+ = +3 log 3

2 3 4

5. log x log x log x log x+ + = 6. x log 1 2+

(

+ x

)

=x log5 log 6+

(

)

₍

x 1

₎

₍

x

₎

5 5 5

7. x 1 log 3 log 3 + 3 log 11.3 9

− + + = − 8. log x 1₄

(

+

)

2+ =2 log ₂ 4 x log 4 x− + ₈

(

+

)

3

5. Giải các phương trình sau:

(

3

)

(

)

1

(

2

)

1. log x 8 log x 58 log x 4x 4
2

+ = + + + + 2. 2 log x

(

₉

)

2 =log x.log₃ ₃

(

2x 1 1+ −

)

(

)

2

(

)

3

(

)

3

1 1 1

4 4 4

3

3. log x 2 3 log 4 x log x 6

2 + − = − + +

6. Cho phương trình: ₄

(

2 2

)

₁

(

2 2

)

2

2log 2x − +x 2m m− +log x +mx 2m− =0
a. Giải phương trình với m = 1.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm x , x th₁ ₂ _ỏa x₁2 ₊x2₂ _>1.

(

2 2

)

(

2 2

)

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

pt log 2x x 2m m log x mx 2m

x mx 2m 0 x mx 2m 0

x 2m x 1 m

2x x 2m m x mx 2m

⇔ − + − = + −

 ₊ ₋ _>  ₊ ₋ _>



⇔ ⇔

= ∨ = −

− + − = + −

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

b.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 ₂

2 ₂

2
2

2m m 2m 2m 0 _{1 m 0}

1 m m 1 m 2m 0 ₂ ₁

m

5 2

2m 1 m 1

 ₊ ₋ _>

− < <




 _

− + − − > ⇔

 _

< <

 _

+ − >


7. Cho phương trình: log_m_x2−

(

6m 1 x 9m−

)

+ 2−3m 2+ _=log_m

(

x m−

)

( )

1

a. Giải phương trình với m = 2.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm phân bi_ệt.

(

)

( )

( )

2 2 2 2

0 m 1 0 m 1

pt x 6m 1 x 9m 3m 2 x m f x x 6mx 9m 2m 2 0 2

x m 0 x m

< ≠ < ≠

 

 

⇔ − − + − + = − ⇔ = − + − + =

 

− > >

 

a. m 2= ⇒x 6= ± 2

b. (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm lớn hơn m

( )

2

' 2m 2 0

af m 4m 2m 2 0 m 1

S _{3m 0}
2



∆ = + >


⇔ = − + > ⇔ >


= >


8. Cho phương trình: 2

(

)

2

(

)

2

m 2 m 2

2log x 1 log mx 1

+ − = + +

a. Giải phương trình với m = 2.

b. Giải và biện luận phương trình theo m.

Đi_ều ki_ện:

2
x 1
mx 1 0

>



+ >


(

)

2 2

(

)

pt⇔ x 1− =mx + ⇔1 m 1 x− = −2
a. Phương trình vơ nghiệm.

b. m 1< thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất; m 1≥ phương trình vơ nghiệm.

9. Cho phương trình:

(

)

(

)

( )

log mx

2 1

log x 1+ =
a. Giải phương trình với m = 4.

b. Tìm m đ_ể ph_ương trình nghi_ệm duy nh_ất.

( )

2

(

)

( )

1 x 0
pt

f x x m 2 x 1 0 2

− < ≠


⇔

= − − + =



a. m 4= ⇒x 1=

b. (1) có nghiệm duy nhất ⇔ (2) có 1 nghiệm thỏa: 1 x 0− < ≠

( )

(

)

2

m 2 4 0 _{m 0}

af 1 0 _b _{m 2}

m 4
1

2a 2

_{∆ =} ₋ _{− =}

<



⇔ − < ∨ ₋ ⇔_

>

− = > − 




10.Giải và biện luận phương trình:

(

)

2

2 3 2 3 7 4 3

log ₊ x −3x 2 log+ + ₋ x 1 log− = ₋ m x 2+  với m 0>
11.Cho phương trình: log_{2 m}₋

(

x2+mx

)

=log_{2 m}₋

(

x m 1+ −

)

a. Giải phương trình với m = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

12.Cho phương trình: log_m_x2−

(

6m 1 x 9m−

)

+ 2−2m 1− _=log_m

(

x 3−

)

a. Giải phương trình với m = 2.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm phân bi_ệt.

13.Cho phương trình: log x₃

(

2+4mx

)

−log 2x 2m 1₃

(

− −

)

=0
a. Giải phương trình với m = 1.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm phân bi_ệt.

14.Cho phương trình: log 9₃

(

x +9m3

)

=3
a. Giải phương trình với m = 0.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm duy nh_ất.

15.Cho phương trình: log_m

(

x2+mx 3−

)

=log x_m
a. Giải phương trình với m = 3.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm.

16.Cho phương trình:

(

)

5
5
log mx

2
log x 1+ =
a. Giải phương trình với m = 5.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm duy nh_ất.

17.Cho phương trình:

(

)

2

x m

x m m 1

log 2m x log x 1
log 2 log 2 log 2

−

−

+ =

a. Giải phương trình với m = 2.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm.

18.Cho phương trình: 2log 8x₄

(

2 −2x 2m 4m+ − 2

)

−log 4x₂

(

2+2mx 2m− 2

)

=0
a. Giải phương trình với m = 0.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm

1 2

x , x thỏa 4 x

(

₁2+x2₂

)

>1.
19.Giải phương trình: log_{x 3}(3 x2 2x 1) 1 (1)

2

+ − − + =

Đi_ều ki_ện: _{− <}3 x_{≠ −}2

x 3

1

(1) log (3 x 1) 3 x 1 x 3 (2)

2

+

⇔ − − = ⇔ − − = +

2
x 2 0

3 x 1 3 5 3 5

(2) x 2 x 3 x x ( )

x 2 x 3x 1 0 2 2

+ ≥

− < < 

 _{− +} _{− −}

⇒ _⇔ _{+ =} _{+ ⇔} _⇔ ₌ _∨ ₌

 

≠ − + + =

  loại

2

4 x 0 ₉ ₂₉ ₉ ₂₉

x 1 (2) 4 x x 3 x x ( )

2 2

x 9x 13 0
− ≥

 ₋ ₊

≥ ⇒ ⇔ − = + ⇔ ⇔ = ∨ =

− + =

 loại

<i><b>Phương pháp đặt ẩn số phụ: </b></i>
<b>Dạng 1: </b> 2

a a

log f (x) log f (x) 0 (a 0;a 1)

α + β + γ = > ≠

Đi_ều ki_ện: f (x) 0_> . Đ_ặt

a

t log f (x)= . Phương trình trở thành: α + β + γ =t2 t 0
<b>Dạng 2: </b>αlog f (x)_a + βlog_{f (x)}a+ γ =0

Đi_ều ki_ện: 0 f (x) 1_< _≠ . Đ_ặt t log f (x)₌ _a . Ph_ương trình tr_ở thành: _{α + γ + β =}t2 t 0

1. Giải phương trình:

(

2

)

2

2 x

1. log 2x .log 2 1= 2. log_5x 5.log x 12₅

x = 2 2

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

(

2

)

(

2

)

9 2

1. log 3x −4x 2+ + =1 log 3x −4x 2+ 2. 3log x2 ₊xlog 32 ₌6

3. Giải phương trình: log x₄

(

− x2−1 .log x

)

₅

(

+ x2 −1

)

=log₂₅

(

x− x2−1

)

( )

1

Đi_ều ki_ện: x 1_> . Ta có

(

x₋ x2₋1 x

)(

₊ x2₋1

)

₌1

Do đó

( )

(

)

(

)

(

)

1

2 2 2

4 5 25

1 ⇔log x− x −1 .log x− x −1 − =log x− x −1

Đ_ặt t₌

(

x₋ x2₋1

)

_>0. Ph_ương trình tr_ở thành:

2
2
25

4 5 25 5 25 ₅ 5

4

log t 1 1

log t.log t log t log t log 4 log 2 log t

log t 2 2

− = ⇔ = = − = − = ⇒ =

Với t 1 x x2 1 1 x 5

2 2 4

= ⇔ − − = ⇔ = .

4. Giải phương trình:

(

x

)

(

x

)

2 2

1. log 3 −1 .log 2.3 −2 =2 2. log 5₂

(

x −1 .log 2.5

)

₂

(

x −2

)

=2
5. Giải phương trình: log 5₅

(

x −1 .log

)

₂₅

(

5x 1+ −5

)

=1

Đk: x 0_> .

(

x

)

(

x

)

(

x

)

(

x

)

5 5 5 5

1

pt log 5 1 .log 5 5 1 1 log 5 1 . 1 lo g 5 1 2

2  

⇔ − − = ⇔ − _ + − _=

6. Giải phương trình: log 8 2₂

(

x +4

)

=log 2 2₂ x

(

x +12

)

(

x

)

x

(

x

)

2x x x x

8 2 4 2 2 12 2 4.2 12 0 2 6(l) 2 2 x 1

⇔ + = + ⇔ + − = ⇒ = − ∨ = ⇔ =

7. Cho phương trình: log 5₂

(

x −1 .log 2.5

)

₄

(

x −2

)

=m

( )

1
a. Giải phương trình với m = 1.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có nghi_ệm x 1_≥ .

(

x

)

(

x

)

2 2

pt⇔log 5 −1 . 1 log 5_ + −1 _=2m

Đi_ều ki_ện: 5x _{− > ⇔}1 0 x 0_> . Đ_ặt

(

x

)

2

t log 5= −1 . Phương trình trở thành:

( )

2

( )

f t =t + −t 2m 0= 2

a. Với m 1= ⇒t 1 t= ∨ = −2⇒x log 3 x 1 log 4= ₅ ∨ = − ₅
b. Phương trình (1) có nghiệm x 1≥ ⇔

( )

2 có nghiệm t 2≥ .

1 2

2 t t

⇔ ≤ ≤ (loại vì t₁+t₂ = − <1 0) hoặc ⇔t₁ ≤ ≤2 t₂ ⇔m 3≥ .
8. Cho phương trình:

(

)

(

)

x

(

)

( )

x

2 ₃ ₃

m log 3 3 m 5 log 2 2 m 1 0 1

+

+ + − + − =

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm d_ương phân bi_ệt.

Đ_ặt t log 3₌ ₂

(

x ₊3

)

ph_ương trình tr_ở thành: f t

( )

₌mt2₊2 m 1 t m 5 0

(

₋

)

₊ _{− =}

(

)

x x x

2

x 0> ⇒3 >1⇒3 + >3 4⇒log 3 +3 >2⇒t 2>
9. Giải phương trình: _a

( )

_x

( )

_a2

1
log ax .log ax log

a
 

=  

  với 0 a 1< ≠ .

Đi_ều ki_ện: 0 x 1_< _≠

(

a

)

a a

a

1 1 1

pt 1 log x 1 log x log x 2

log x 2 2

 

⇔ +  + = − ⇔ = − ∨ = −

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

10.Cho phương trình:

(

x 2−

)

log 4 x 22 ( − ) =2 x 2α

(

−

)

3
a. Giải phương trình với α =2.

b. Xác đ_ịnh _α đ_ể ph_ương trình có 2 nghi_ệm phân bi_ệt thu_ộc đo_ạn 5;4

2

 

 

 

(

)

log x 2 12( )

(

)

(

)

2 2

pt x 2 − − 2α log x 2 1 log x 2

⇔ − = ⇔_ − − _ − = α.

Đ_ặt

(

)

2

t log x 2= − . Phương trình trở thành: f t

( )

=t2− − α =t 0.

(

)

2

5 1

x 4 x 2 2 1 log x 2 1 1 t 1

2 ≤ ≤ ⇔ 2≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

( )

( )

1 4 0

af 1 2 0

1

0

af 1 0 ₄

S 1

1 1

2 2
∆ = + α >




− = − α ≥


⇔ _{= −α ≥} ⇔ − < α <




− < = <


Ví dụ 1: Giải phương trình log_{(3x 7)}₊ (4x2 +12x 9) log+ + _{(2x 3)}₊ (6x2+23x 21) 4+ =

( )

1

Đi_ều ki_ện: x 3

2
> −

( )

2

(3x 7) (2x 3)

1 ⇔log ₊ (2x 3)+ +log ₊ (3x 7)(2x 3) 4+ + =

(3x 7) (2x 3)

2log ₊ (2x 3) log ₊ (3x 7)(2x 3) 4

⇔ + + + + =

Đ_ặt

(3x 7) (2x 3)

1
t log (2x 3) log (3x 7)

t

+ +

= + ⇒ + = . Phương trình trở thành:

2

1 1

2t 3 0 2t 3t 1 0 t 1 t

t 2

+ − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

Với t 1= ⇒x= −4(l)

Với t 1 x 2(l) x 1

2 4

−

= ⇒ = − ∨ =

Ví dụ 2: Giải phương trình: x log (9 2 ) 3 1+ ₂ − x =

( )

Đi_ều ki_ện: x log 9_< ₂

( )

x 3 x x

x
8

1 9 2 2 9 2

2

−

⇔ − = ⇔ − = . Đ_ặt: t 2₌ x. ĐS: x 0; x 3₌ ₌ .

Ví dụ 5: log x_2x 2−14log_16xx3+40log_4x x =0 (1)

Đk: x 0 x 1

2
> ∧ ≠

x x x x x x

2 42 20 2 42 20

(1) 0 0

log (2x) log (16x) log (4x) log 2 1 4log 2 1 2log 2 1

⇔ − + = ⇔ − + =

+ + +

Đ_ặt t log 2₌ _x . Ph_ương trình tr_ở thành:

2

1 21 10 5

0 6t 7t 19 0 t t 2

t 1 4t 1 2t 1 6

−

− + = ⇔ − − = ⇔ = ∨ =

+ + +

Với _x ₂

5
2

5 5 1 5 6 1

t log 2 log x x

6 6 log x 6 5 64

− − − −

= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bài tập

Bài 1: Giải các PT lơgarít sau.

1/ 2

2 2

log x (x 1)log x 6 2x+ − = − . ĐS: x 2 ; x 2₌ −2 ₌ .

2/3log x23 ₋9 2.x₋ log x3 ₌0
3/ 3log x2 ₊xlog 32 ₌6

HD: Ta có xlog 32 ₌3log x2 _ĐS: x 2₌ .

4/ log x 2log x 2 log x.log x₂ + ₇ = + ₂ ₇

HD: ĐK x 0_> .

(

)(

)

7 2

pt ⇔ 1 log x log x 2− − =0. ĐS: x 7; x 4₌ ₌ .

5/ log (log x) log (log x) 2₄ ₂ + ₂ ₄ =

HD: Biến đ_ổi log v_ề c_ơ s_ố 2 ĐS: x 16₌ .

6/ 2 3

4 2 8

log (x 1)+ + =2 log 4 x log (4 x)− + +

HD: ĐK _{− <}1 x 4_< . pt_⇔log 4 x 1 log (16 x )₂ _{+ =} ₂ ₋ 2 ĐS: x 2; x 2₌ _{= −} 24.

7/ 4log 2x2 ₋xlog 62 ₌2.3log 4x2 3
HD: Dùng: xlog 62 ₌6log x2 .

ĐK x 0_> . pt _⇔4.4log x2 ₋6log x2 ₌18.9log x2 _ĐS: x 2₌ −2.
8/ 3 ₃

2 2

4
log x log x

3

+ =

HD: ĐK x 0_> . Đ_ặt 3
2

t= log x ĐS: x 2₌ .

<i>Bài 2: Gi</i>ải các phương trình lơgarít sau.

1/ 1log x 1 log x 1 0₂ ₂

2 − − − = ĐS: x 0; x 3= = .

2/ log (x 2) log_x2 + + _{x 2}₊ x 2=

HD: ĐK: 0 x 1_< _≠ . Đ_ặt 2

x

t log (x 2)= + ⇒t −4t 4 0+ = ĐS: x 2₌ .

3/ log 2.log 2 log_x _2x = _16x2<b>. </b>
HD: ĐK: 0 x 1; ;1 1

2 16

 

< ≠ 

 . ĐS: x 4= .

4/ log7 <i>x</i>=log3( <i>x</i>+2)

HD: ĐK 0 x_< . Đ_ặt t log x₌ ₇ .

Thay vào

t _t

7 1

2 1 t 2

3 3

  _{ }

⇒_ _ ₊ _{ } ₌ ⇒ ₌

 

  duy nhất.

ĐS: x 49₌ .

5/

(

)

2

3 3

x 2 log (x 1) 4(x 1)log (x 1) 16 0+ + + + + − =
HD: ĐK x_{> −}1. Đ_ặt

(

)

3

4
t log x 1 t 4 t

x 2

= + ⇒ = − ∨ =

+ ĐS:

80

x ; x 2

81
−

= = .

<i>Bài 3: Gi</i>ải các PT lơgarít sau. (Chú ý: log x log x= ₁₀ )
2

1) log(x −2x 4) log(2 x)− = − 2) log(1 2 ) x x log 5 log 6+ x + = +

(

x 1

)

(

x 1

)

2 2 2

3) log 4 + 4 log 4 log 2 + 1

− = + − 4) log 4.32

(

x −6

)

=log 92

(

x −6

)

+1

2 2

3 3

5) log x+ log x 1 5 0+ − = (A 2002)− 6) log_x 5x = −log 5_x

3 1 2

7) log(x 8) log(x 4x 4) log(58 x)
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Dạng 2: Đặt ẩn phụ nhưng trong phương trình vẫn cịn chứa x. </b>

1. Giải phương trình: log x log x.log 4x2 − ₂

( )

+2log x 0₂ =

Đ_ặt t log x₌ . Ph_ương trình tr_ở thành: 2

(

)

2 2

t − 2 log x t 2log x 0+ + =

(

2 log x2

)

2 t 2 t log x2

∆ = − ⇒ = ∨ =

2. Cho phương trình:

(

)

(

)

(

)

4 3 2 2

log x+ 2m 1 log x m m 2 log x− + − − m −m 1 log x m 1 0+ − + =

a. Giải phương trình với m= −1

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 4 nghi_ệm phân bi_ệt.

Đ_ặt t log x₌ . Ph_ương trình tr_ở thành:

(

)

(

)

(

)

( )

4 3 2 2

3 2

t 1
t 2m 1 t m m 2 t m m 1 t m 1 0

t 2mt m t m 1 0 2
=



+ − + − − − + − + = ⇔

+ + + − =



Ta xem phương trình (2) với ẩn là m cịn t là tham số khi đó ta đ_ược:

2
t t 1
m 1 t m

t
+ +

= − ∨ = − . Do đó ph_ương trình (2) vi_ết l_ại thành:

(

_{t m 1 t}

)

(

2

(

_{m 1 t 1}

)

)

₀

+ − + + + =

3. Giải phương trình: (x 2)log (x 1) 4(x 1)log (x 1) 16 0+ ₃2 + + + ₃ + − =

( )

1

Đi_ều ki_ện: x_{> −}1. Đ_ặt

3

t log (x 1)= + .

Phương trình trở thành: (x 2)t2 4(x 1)t 16 0 t 4 t 4

x 2

+ + + − = ⇒ = − ∨ =

+
Với t 4 x 80

81
−
= − ⇒ =

Với t 4 log (x 1)₃ 4

x 2 x 2

= ⇒ + =

+ +

Với f (x) log (x 1),₃ x 1 f '(x) 1 0; x 1 f (x)

(x 1)ln 3

>−

= + → = > ∀ > − ⇒

+

đ_ồng bi_ến.

Với g(x) 4 g '(x) 4 ₂ 0, x 1 g(x)

x 2 (x 2)

−

= ⇒ = < ∀ > − ⇒

+ + nghịch biến.

x 2

⇒ ₌ là nhgiem65 duy nhất.

4. Giải các phương trình:

(

) (

) (

)

2 2 2 2 2

1. log x +1 + x −5 log x +1 −5x =0 2. log x 12₃

₍

+

_{) (}

+ x 5 log x 1−

₎

₃

₍

+

₎

−2x 6 0+ =

(

)

2

(

)

(

)

(

)

3 3

3. x 3 log x 2+ + +4 x 2 log x 2+ + =16 4.

(

x 2 log x 1+

)

2₃

(

+

)

+4 x 1 log x 1

(

+

)

₃

(

+

)

=16

(

)

2

2 2

5. log x+ x 4 log x x 3 0− − + =

<b>Dạng 3: Đặt ẩn phụ và biến đổi phương trình về dạng tích. </b>

1. Giải phương trình: log x x 1₂_

(

−

)

2_+log x.log x₂ ₂

(

2−x

)

− =2 0

( )

1

Đi_ều ki_ện: x 1_>

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2
2

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

x x

1 log log x.log x x 2 0

x

2log x x log x log x.log x x 2 0
−

⇔ + − − =

⇔ − − + − − =

Đ_ặt

(

2

)

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Phương trình trở thành: 2u v uv 2 0− + − = ⇔

(

u 1 2 v−

)(

−

)

=0
2. Cho phương trình:

(

)

(

)

(

)

3 2

2 2 3 2 2

2

x 2x 9x m 1
log x 1 log x 2x 9x m 1 .log x 1 2log

x 1

− − + +

+ − − − + + + =

+
a. Giải phương trình với m = 0.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 3 nghi_ệm phân bi_ệt l_ập thành c_ấp s_ố c_ộng.
Đ_ặt u log x₌

(

3₋2x2₋9x m 1 ; v log x₊ ₊

)

₌

(

2₊1

)

_≥0. Ph_ương trình tr_ở thành:

(

)(

)

2

v −uv 2u 2v 0− + = ⇔ u v v 2− + = ⇔0 u v=

3. Giải phương trình: log x log x log x log x.log x 02₂ − ₂ + ₃ − ₂ ₃ =
4. Giải phương trình:

(

)

2

(

)

2

log x log x

2
2+ 2 +x. 2− 2 = +1 x

Đ_ặt u₌

(

2₊ 2

)

log x2 _>0; v₌

(

2₋ 2

)

log x2 _>0⇒u.v x₌

Phương trình trở thành: u uv.v 1+ = +

( )

uv 2 ⇔

(

u 1 1 uv−

)

(

− 2

)

= ⇔0 u 1 x.v 1= ∨ = .
5. Cho phương trình: log x.log x₂ ₂

(

2 −2x 3+

)

−m log x 2log x₂ − ₂

(

2−2x 3+

)

+2m 0=

a. Giải phương trình với m = 1.

b. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình có 3 nghi_ệm phân bi_ệt.

<b>Dạng 4: Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình thành hệ. </b>

1. Giải phương trình: log x₂

(

− x2−1

)

+3log x₂

(

+ x2−1

)

=2

Đi_ều ki_ện: x 1_≥

Đ_ặt

(

2

)

(

2

)

2 2

u log x= − x −1 ;v log x= + x −1 ⇒u v 0+ = .
Khi đó ta đ_ược h_ệ ph_ương trình: u u 0 u 1 x 1

u 3v 2 v 1

+ = = −

 

⇔ ⇔ =

 

+ = =

 

2. Với giá trị nào của m thì phương trình: 3 3

2 2

1 log x− + 1 log x+ =m có nghiệm.

Đi_ều ki_ện: x 0_>

Đ_ặt 3 3 3 3

2 2

u= 1 log x; v− = 1 log x+ ⇒u +v =2

3. Giải phương trình: 3 log x+ ₂

(

2−4x 5+

)

+2 5 log x− ₂

(

2 −4x 5+

)

=6

Đi_ều ki_ện: 2₋ 29 x 2_≤ _{≤ +} 29

Đ_ặt

(

2

)

(

2

)

2 2

2 2

u= 3 log x+ −4x 5+ ≥0;v= 5 log x− −4x 5+ ≥0⇒u +v =8
4. Giải và biện luận phương trình:

3 3

1. log x+ 4 log x− =m 2. log x+ 1 log x− 2 =m
<b>Dạng 5: Sử dụng tính chất liên tục của hàm số: </b>

1. Chứng minh rằng phương trình log 2x 1₂

(

+

)

=2x 1− có ít nhất 1 nghiệm.

Đi_ều ki_ện: x 1

2
> −

(

)

x 1

(

)

x 1

2 2

log 2x 1 2 − log 2x 1 2 − 0

+ = ⇔ + − = . Xét f x

_{( )}

log 2x 1₂

₍

₎

2x 1−

= + −

Ta có: f 0 .f 1

( ) ( )

<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm.

2. Tìm m 1> đ_ể ph_ương trình: ₂

(

)

x 2

mx log mx 2

+

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Đi_ều ki_ện: x 1

m
> −

(

)

( )

(

)

2 2

x 2 x 2

mx log= ₊ mx 2+ ⇔f x =mx log− ₊ mx 2+ =0

( ) ( )

(

2

)

f 0 .f m = −1. m −1 <0; m 1∀ >

3. Chứng minh rằng phương trình 2log x 6log x 1 03₂ − ₂ + = có 3 nghiệm thuộc 1;4

4

 

 

 .

4. Chứng minh rằng phương trình log 2x 1₃

(

+

)

=31 2x− có ít nhất 1 nghiệm.

<b>Dạng 6: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số: </b>

1. Giải phương trình: log x₂

(

2−4

)

+x log 8 x 2= ₂

(

+

)



Đi_ều ki_ện: x 2_>

(

2

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2

log x −4 +x log 8 x 2=  + ⇔log x −4 −log x 2+ = −3 x⇔log x 2− = −3 x
x 3= là nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Giải phương trình: 2log x 13( +) ₌x

Đi_ều ki_ện: x 0_>

Đ_ặt

(

)

(

)

y y

3 y y

3 _y

y log x 1 ₂ ₁

y log x 1 2 1 3 1 y 1 x 2

3 3

x 2

 ₌ ₊

    

= + ⇒ ⇒ + = ⇔  +  = ⇒ = ⇒ =

   

=


3. Giải phương trình:

(

log x6

)

2 6

log x 3+ =log x.

Đi_ều ki_ện: x 0_>

Đ_ặt

(

)

t

t t t t

6 2

3 1

t log x x 6 log 6 3 t 3 1 t 1 x

2 6

 

= ⇒ = ⇒ + = ⇔ +  = ⇒ = − ⇒ =

 

4. Giải phương trình: 4

(

)

(

)

2 2

2
5

log x −2x 3− =2log x −2x 4−

Đi_ều ki_ện: x 1_{< −} 5 x 1_∨ _{> +} 5

Đ_ặt 2

(

)

4
5

t x= −2x 3− ⇒pt⇔log t 1+ =log t

Đ_ặt

y y

y y y

4

4 1

y log t t 4 4 1 5 1 y 1 t 5 x 4 x 2

5 5

   

= ⇒ = ⇒ + = ⇒  +  = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∨ = −

   

5. Giải phương trình: x2 ₊3log x2 ₌xlog 52

Đ_ặt

( )

t 2 t

( )

t log 52 t t t

x

t log x= ⇒ 2 +3 = 2 ⇔4 +3 =5 ⇔ =t 2⇔x 1=

6. Giải phương trình:

(

)

2
3x x 1
2

3

1

log x 3x 2 2 2

5

− −

 

− + + +_{ } =

 

Đi_ều ki_ện: x 1 x 2_{≤ ∨} _≥

Đ_ặt

(

)

2
1 u
2

3

1

u x 3x 2 0 log u 2 2

5

−

 

= − + ≥ ⇒ + +_{ } =

 
Xét hàm số

(

)

(

)

2 2

x x

3

1 1 2x

y log x 2 .5 y' .5 0; x 0

5 x 2 ln 3 5

= + + ⇒ = + > ∀ ≥

+ . Vậy hàm số đồng
biến trên D =

[

0;+∞

)

. Mặt khác f 1

( )

2 f u

( )

f 1

( )

u 1 x 3 5

2
±

= ⇒ = ⇔ = ⇔ = .

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

( )

( )

( )

( )

f y x

y f y x f x

y f x

 ₌



⇒ ₊ _{= +}


=

 <b>. Xét hàm số: </b>A t

( )

=f t

( )

+t<b> là hàm đồng biến. khi đó ta </b>
<b>có: </b> A x

( )

=A y

( )

⇔x y= ⇒f x

( )

=x<b>. Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm </b>
<b>của phương trình. </b>

7. Giải phương trình: log 3log 3x 1 1₂_ ₂

(

−

)

− _=x

Đi_ều ki_ện:

3 _{2 1}
x

3
+
>

Đ_ặt

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2 2

2

y log 3x 1

y log 3x 1 y log 3y 1 x log 3x 1

log 3y 1 x

 ₌ ₋



= − ⇒ ⇒ + − = + −

− =


Xét hàm số: f t

( )

=log 3t 1₂

(

−

)

+t đ_ồng bi_ến trên

3 _{2 1}
x

3
+

> . Do đó: f x

( )

₌f y

( )

_⇔x y₌

Suy ra:

₍

₎

_{( )}

x

2

log 3x 1− =x⇔g x =2 −3x 1 0+ =

Ta có: g" x

_{( )}

>0; x∀ ∈D ⇒g ' x

_{( )}

đ_ồng bi_ến trên D . Theo đ_ịnh lý Rơn ph_ương trình

( )

g x =0 có khơng q 2 nghiệm trn6 D . M_ặt khác g 1

( )

₌g 3

( )

₌0.

1. Giải các phương trình:

x
2

1. log x+ 2 +2 2= _x

2
3

2. 1

2 + 1 log x+ =
2. Giải các phương trình:

(

)

2

2 2

1. log x+ x 5 log x 2x 6 0− − + = 2. log x

(

2− −x 6

)

+x log x 2=

(

+

)

+4
3. Giải các phương trình:

(

)

3 2

1. log x log= x 1+ 2. log3

(

x 2+

)

=log2

(

x 1+

)

3. log x log7 = 3

(

x 2+

)

(

3

)

2 7

4. log 1+ x =log x 10. log x 1_x

(

)

log3
2

+ = _{9. 2}log x 35( + ) ₌_x

(

3

)

3 2

6)3log 1+ x + x =2 log x 7. 2log₆

(

4x+8x

)

=log₄ x

(

)

(

)

3 2

8. 2log cot x =log cos x

(

2

)

₂ ₃

(

2

)

2 2 3

3. log x 2x 2 log ₊ x 2x 3

+ − − = − −

4. Xác đ_ịnh m đ_ể ph_ương trình sau có 3 nghi_ệm phân bi_ệt:

(

)

2

(

)

x m 2 x 2x

1
2

2

4− − log x 2x 3 2− + log 2 x m 2 0

− + + − + =

<i><b>IV/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT. </b></i>
<i>1- Phương pháp chuyển về cùng cơ số: </i>

Nếu: 0 a 1: a< < f (x) >bg(x) ⇔f (x) g(x)<
Nếu: a 1: a> f (x) >bg(x) ⇔f (x) g(x)>

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

(

)

(

)

x 1
x 1

x 1

5 2 5 2

−
−

+

+ ≥ − .

HD: ĐK x_{≠ −}1. BPT x 1 x 1

(

x 1 x 2

)(

)

0

x 1 x 1

− +

−

− ≥ − ⇔ ≥

+ + . ĐS:

[

− − ∪2; 1

)

[

1;+∞

)

.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4x2+x.2x 12+ +3.2x2 >x .22 x2 +8x 12+ .

HD: BPT _(x2 _{2x 3)(4 .2 ) 0}x2

⇔ − − − > 2 trường hợp ĐS: ₋ 2 x_< _{< −}1; 2 x 3_< _< .

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

HD: ĐK 1 x 1

2

− < < . BPT ⇔log 1 2x₅

(

−

)

<log 5 x 1₅

(

+

)

2 ĐS: 2 x 1

5 2

− < < .
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log (5x_x 2 −8x 3) 2+ > ĐS: 1 x 3 x 3

2 < < 5∨ > 2.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 6log x62 ₊xlog x6 _≤12.

HD: ĐK x 0_> . Ta có: 6log x26 ₌

(

6log x6

)

log x6 ₌xlog x6 . L_ấy log

6ở 2 vế ĐS: 1 x 6

6≤ ≤ .
<i><b>2- Phương pháp đặt ẩn số phụ: </b></i>

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

x x 2

x x

2.3 2
1
3 2

+

−
≤

− .

HD: Chia cả hai vế của PT cho 2 . x Đ_ặt

x
3

t 0

2
 
=  >

  . ĐS: 0 x log 3< ≤ 3₂ .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 32x−8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ >0.

HD: Chia cả hai vế cho 9 x 4+ Sau đó đ_ặt t 3₌ x− x 4+ _>0 ĐS: x 5_> .

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log (3x₉ 2+4x 2) 1 log (3x+ + > ₃ 2 +4x 2)+
HD: ĐK 3x2₊4x 2 1_{+ ≥} . Đ_ặt 2

9

t= log (3x +4x 2) 0+ ≥ . ĐS: 1 x 1 7 x 1

3 3

− ≤ < ∨ − < ≤ − .
<i><b>3- Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số: </b></i>

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

x

x ₂

2 <3 +1.
HD: Chia 2 vế cho 2 . x Đ_ặt

( )

x _x

3 1

f x

2 2

  _{ }

=  + 

 

  là hàm số giảm.

Có f 2

( )

=1⇒f x

( )

>f 2

( )

ĐS: x 2_< .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2₁ ₁

2 2

(x 1)log x (2x 5)log x 6 0+ + + + ≥
HD: ĐK x 0_> . BPT

(

) (

)

2 2

log x 2 x 1 log x 3 0

⇔ − _ + − _≥ .

Xét các trường hợp:

+ Nếu 0 x 4< < ⇒log x log 4₂ < ₂ ⇒log x 2 0₂ − < .

BPT x 3 0 x 3

x 1

2 2

( x 1)log log

⇔ + − ≤ ⇔ ≤

+ .
y=log₂x là HS tăng; y 3

x 1
=

+ là HS giảm.

3
x

x 1

2

log =

+ có nghiệm x 2= ⇒0 x 2< ≤ thoả
mãn còn 2 x 4< < không thoả mãn BPT.

+ Nếu x 4≥ ... thoả mãn BPT. ĐS: 0 x 2 x 4_< _{≤ ∨} _≥ .

BÀI TẬP

Bài 1: Giải các BPT mũ và lơgarít sau:

1/

2
log x 12
3 1

2 3
x

log log 2 3
2

1

1
3

−

   

 _ + _+ 

   

 

 

≥
 

  .

HD:ĐK: x 0_> . BPT 2
2

log x 1
1

3
x

0 log 2 3 1

2

−

 

⇔ <  + + ≤

 

ĐS: 1 73 x 1 217

2 2

− + − +

≤ < .

2/ _6.x2 _{3 .x 3}x 1+ x _{2.3 .x}x 2 _{3x 9}

+ + < + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Chia hai trường hợp cùng với đi_ều ki_ện. S

[ )

0;1 3;

2

 

= ∪ +∞

 .

3/

(

2

)

x

log x −x ≤2.

HD: ĐK x 1_> . BPT _⇔x2 _{− ≤}x x2 ĐS: x 1_> .

4/ 2log x 1₃

₍

−

₎

>log 5 x₃

₍

−

₎

+1. .ĐS: 1 x 1 57

2
− +
< < .

5/ x x

2 3

log (2 +1) log (4+ +2) 2≤

HD: Đ_ặt

( )

x x

( )

2 3

f x =log (2 +1) log (4+ +2)⇒f 0 =2. ĐS: x 0_≤ .

6/ 2

1
2
x −5x 6 (x 2)log x+ < −

HD: ĐK x 0_> . Làm gi_ống VD 2 c_ủa ph_ần tính đ_ơn đi_ệu. ĐS: PTVN.

Bài 2: Giải các BPT mũ và lơgarít sau:

1/

1 x x
x

2 2 1

0
2 1

−

− +
≤
−

HD: Đ_ặt t 2₌ x _>0. BPT _{⇔ < < ∨ ≥ ⇔}0 t 1 t 2 ..._⇔S (_{= −∞};0) [1;_∪ _+∞)

2/ ₂

8
1

log x 4

log 2x

+ ≤ ĐS:

3 13 3 13

2 2

1

0 x 2 x 2

2

− +

< < ∨ ≤ ≤
Bài 2: Giải các BPT mũ và lơgarít sau:

2 2 2

2x x 1 2x x 1 2x x
1) 25 − + 9 − + 34.25 −

+ ≥ 2) log_{3x x}₋ 2(3 x) 1− >
x 1

x 1 _{x 1}

3) ( 5 2) ( 5 2)

−

− ₊

+ ≥ − 2 ₁

2
5) x −5x 6 (x 2)log x+ < −

2 2

x 3x 2 x 3x 2
6) 9 − + 6 − + 0

− < 7) 6x −2.3x −3.2x + ≥6 0
2 x 3 x 6 x 3 5 x

8) 2 + − − 15.2 + − 2

+ < 9) xlog x2 ₊x5log 2 log xx − 2 ₋18 0_<

2 2

x

2 2

4) (2 x 7x 12)( 1) ( 2x 14x 24 2)log

x x

+ − + − ≤ − + − +

2

3 2 3 2

x
10) log x.log x log x log

4
< +

<i><b>V/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT. </b></i>
<i><b>1- Phương pháp biến đổi tương đương: </b></i>

- Dùng các tính chất của HS mũ hoặc Lơgarít biến đ_ổi v_ề HPT đ_ại s_ố quen thu_ộc.

- Dùng phương pháp thế, mũ hoá hoặc Lơgarít hố hai vế của PT hay BPT trong hệ.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

( )

x 2y
x y

2 2

1
3

3

log (x y) log (x y) 4

−
−

 _{ }

=

 _{ }

  



+ + − =



ĐK x y 0

x y 0
+ >




− >

 . HPT 2 2

3

y x

5
x y 16


=


⇔

 ₋ ₌



ĐS:

(

x; y

) (

₌ 5;3

)

.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

3 3

log y log x

3 3

x 2.y 27

log y log x 1

 ₊ ₌



− =



</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

HPT 3
log y

x 9
y 3x
 ₌
⇔
=

 . Lấy log3 hai vế rồi thay y 3x= .

ĐS:

(

x; y

) (

3;9 ,

)

1 1;

9 3

 

=  

 .

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

x 1 x

x

(x 1)log 2 log(2 1) log(7.2 12)
log (x 2) 2

+

 ₋ ₊ ₊ _< ₊



+ >


ĐK x_{> −}2, H_ệ BPT

2x x

2
2.2 13.2 24 0
(x 1)(x 2 x ) 0

 ₋ ₋ _<


⇔

− + − >


ĐS: S₌

(

1;2

)

.

<i><b>2- Phương pháp đặt ẩn phụ: </b></i>
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

x x y

x x y 1

2 2.3 56

3.2 3 87

+
+ +
 ₊ ₌


+ =


HD: Đ_ặt u 2 ; v 3₌ x ₌ y ĐS:

(

x; y

) (

₌ 1;2

)

.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2(log x log y) 5y x

xy 8
+ =


=


ĐS:

(

x; y

) (

₌ 2;4 , 4;2

) (

)

.

<i><b>BÀI TẬP </b></i>

Giải các hệ phương trình và các hệ bất phương trình mũ và lơgarít sau:

1/

x y

2 2 3

x y 1

 ₊ ₌



+ =


ĐS:

(

x; y

) (

₌ 0;1 , 1;0

) (

)

2/ log x log y 4_{log y}
x 1000
+ =


=


ĐS:

(

x; y

) (

₌ 10;1000 , 1000;10

) (

)

.

3/ x
y

log (6x 4y) 2

log (6y 4x) 2

+ =




+ =



ĐS:

(

x; y

) (

₌ 10;10

)

.

4/ 8 8

log y log x

4 4

x y 4

log y log x 1

 ₊ ₌



− =



ĐS:

(

x; y

) (

8;2 ,

)

1 1;

2 8

 

=  

 .

5/

( )

( )

2

y 2

4 4

log x log y 1 1
log x log y 1 2

 ₋ ₌




− =



ĐS:

(

x; y

) (

8;2 , 2;

)

1

2

 

=  

 .

6/ y y

2 2

6

5
log x log x

2
log (x y ) 1

+ =


 ₊ ₌


ĐS:

(

x; y

)

₌

(

2; 2 ,

) (

2;2

)

7/

2

3 x 2 y

3 x 2 y

2log (6 3y xy 2x) log (x 6x 9) 6
log (5 y) log (x 2) 1

− −
− −
 ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ ₊ ₌


− − + =


HD:ĐK.HPT 3 x 2 y

3 x 2 y

3 x 2 y

log (2 y) log (3 x) 2 2 y 3 x

log (5 y) log (x 2) 1
log (5 y) log (x 2) 1

− −
− −
− −
− + − =
  _{− = −}

⇔ ⇔
− − + =
− − + =
 


Thay 2 y 3 x− = − vào PT dưới ĐS:

(

x; y

) (

₌ 0; 1₋

)

.

8/

2 y

y
cot x 3
cos x 2

 ₌




=

 HD: HPT

y y y

4 12 3 y 1

⇒ ₊ ₌ ⇒ _{= −} _{là duy nh}_ấ_t. ĐS:

(

x; y

)

; 1

3
π

 

= − 

 .

Giải các hệ phương trình và các hệ bất phương trình mũ và lơgarít sau:

2
3

3 3

2

2 _x _{2x 5}

log (x 1) log (x 1) log 4
1)

log (x 2x 5) 4.log ₋ ₊ 2 5
+ − − >




− + + =

 9 2 3 3

x 1 2 y 1

2) (B 2005)

3log (9x ) log y 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

x 1 y
x 1 y 1

3 2 4

3)

3 2 1

+

+ +

 ₋ _{= −}




− = −


2

3 3

3 ₂

1

log x log y 0
2

4)

x y 2y 0


− =




 ₊ ₋ ₌



2 2

1 x 1 y

1 x 1 y

log (1 2y y ) log (1 2x x ) 4
5)

log (1 2x) log (1 2x) 2

+ −

+ −

 ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌




+ + + =



2x 2 2y 2

x 1 y

3 2 17

6)

2.3 3.2 8

+ +

+

 ₊ ₌




+ =


2

2 2

2 2

2 2

log x 2 log y 1

7)

log x log y 1

 ₋ ₌ ₋




− ≤



2x y

2x 2y 2
3

2 2 2 1

8)

log (2 2 ) 0

 ₋ ₌ ₋




− ≤



2 2

2

2(x 1) x 1. y 2y
2y x 1. y

4 4.4 .2 2 1

9)

2 3.4 .2 4

− −

−

 ₋ ₊ ₌




− =

</div>

<!--links-->