Bài giảng Giới thiệu cuộc thi Toán học quốc tế của cáctỉnhthành

Cuộc thi Toán học quốc tế của các tỉnh thành
Đề thi mức "A" dành cho THCS mùa xuân năm 2001
(tiếp theo kì trước)
Kì trước, chúng tôi đã giới thiệu đôi nét về kì thi này và đề thi mức “O”. Dưới
đây là đề thi mức “A” (khó hơn) dành cho THCS, tổ chức vào mùa xuân năm
2001.
Câu 1. Tại một công ty nọ có 10% số công nhân viên nhận được 90% tổng số
lương của toàn công ty. Công ty gồm vài chi nhánh. Có thể xảy ra trường hợp
sau hay không : tại mỗi chi nhánh, tổng số lương của bất kì 10% số công nhân
viên nào cũng không vượt quá 11% tổng số lương của toàn chi nhánh đó ?
Câu 2. Cho ba đống đá gồm 51, 49 và 5 hòn. Có hai thao tác được thực hiện
là : dồn hai đống tùy ý thành một đống ; chọn đống tùy ý có số chẵn hòn đá để
phân làm hai đống có số lượng hòn đá bằng nhau. Có thể nào, cuối cùng sẽ
nhận được 105 đống mà mỗi đống chỉ có một hòn, sau một dãy các thao tác
luân phiên nhau ?
Câu 3. Cho điểm A nằm bên trong tam giác KMN. Các điểm B, C lần lượt nằm
trên hai cạnh KM và MN. Giả sử góc CBM =  ABK và  BCM = ACN.
Chứng minh rằng : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM nằm trên đường
thẳng AM.
Câu 4. Một đa giác lồi được chia thành các tam giác bởi các đường chéo không
cắt nhau ngoài đỉnh đa giác. Mỗi đỉnh của đa giác được đánh số bằng số các
tam giác nhận nó làm đỉnh. Nếu xóa đi tất cả các đường chéo, có thể nào khôi
phục lại được các đường chéo đó bằng các con số này ?
Câu 5. Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi K, M, N lần lượt
là trực tâm của các tam giác AEF, BFD, CDE. Chứng minh rằng các tam giác
KMN, DEF bằng nhau.