He thuc luong cac bai toan hay giai bang phuongphap dai so

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

x
?

9
20

H C

B

A

x
2x

8cm
60

H C

B

A

10 cm
1cm

D
C
B

A

x
4 10

4

D
C
B

A

<b>HỆ THỨC LƯỢNG – CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ</b>
<b> (Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)</b>

<b> </b> <b>Bài 1</b>:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.

<b>Lời giải sơ lược</b>:

Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ABC vng ở A, có đường cao AH ta được:

AB2_{= BH. BC hay 20}2_{= x(x + 9).}

Thu gọn ta được phương trình : x2_{+ 9x – 400 = 0}

Giải phương trình này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại)

Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm

Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.

Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả

<b>Bài 2</b>: Cho tam giác ABC , <i>_B</i> ₆₀0

 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.

<b>Lời giải sơ lược</b>:

Kẻ AH  BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và

AH = x 3 ; HC = 8 – x

Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vng tại H
Ta có: AC =

_

<i>x</i> 3

_

2 



8 <i>x</i>



2 = 4<i>x</i>216<i>x</i>64

Do AB + AC = 12 nên 2x + ₄<i>_x</i>2 ₁₆<i>_x</i> ₆₄

  = 12

Giải PT trên ta được : x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm

Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tích tam giác ABC = 10 3cm.

<b>Bài 3</b>: Cho tam giác ABC vng tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;

BD = 10cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
<b>Bài giải sơ lược</b>

Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = <i>_x</i>2 ₉

 .

Do AD = 1 nên DC = <i>_x</i>2 ₉

 – 1 x

Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :
<i>AB</i> <i>AD</i>

<i>BC</i> <i>DC</i> hay 2

3 1

9 1

<i>x</i> <i>_x</i> _ _ . Từ đó ta được phương trình 8x2 – 6x – 90 = 0
Xử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm

Trả lời : <b>BC = 3,75cm </b>

<b>Bài 4</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác . Biết AD = 4cm;
BD = 4 10 cm . Tính diện tích tam giác ABC.

(Nhập kết quả dưới dạng phân số)

- Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả
theo yêu cầu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

10cm
X

X

H K

D C

B
A

2x
12

15,6
// //

K

H C

B

A

cao, đường chéo vng góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của

hình thang cân đó.

<b>Bài giải sơ lược</b>:

Kẻ AH  CD ; BK  CD. Đặt AH = AB = x  HK = x

AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra : DH = CK = 10

2

<i>x</i>



.
Vậy HC = HK + CK = x + 10

2

<i>x</i>



= 10

2

<i>x</i>

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng ở A có đường cao AH
Ta có : AH2_{= DH . CH hay} 2 10 _.10

2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>     5x2 = 100

Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5(loại)
Vậy : AH = 2 5

<b>Bài 6</b>: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.

<b>Bài giải sơ lược</b>:

Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 2 2

15,6 <i>x</i>

Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:
<i>BC</i> <i>KB</i>

<i>AC</i> <i>AH</i> hay 2 2

2 12

15,6
15,6

<i>x</i>

<i>x</i> 



Đưa về phương trình 15,62_{+ x}2_{= 6,76x}2

Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)

<b>Bài 7</b>: Tính giá trị của biểu thức :

A = cos2₁0_{+ cos}2₂0_{+ cos}2₃0_{+ . . . . + cos}2₈₇0_{+ cos}2₈₈0_{+ cos}2₈₉0_–1

2

Hướng dẫn: ₊_{= 90}0  sin _{= cos}_{; cos} _{= sin}_{; ... và cos45}0₌ 2

2 ta được:

A = cos2₁0_{+ cos}2₂0_{+ cos}2₃0_{+ . . . . + cos}2₈₇0_{+ cos}2₈₈0_{+ cos}2₈₉0_–1

2

= (cos2₁0_{+ cos}2₈₉0_{) + (cos}2₂0_{+ cos}2₈₈0_{) + ....+(cos}2₄₄0_{+ cos}2₄₆0_)+cos2₄₅0_–1

2

= (cos2₁0_{+ sin}2₁0_{) + (cos}2₂0_{+ sin}2₂0_{) + .... + (cos}2₄₄0_{+ sin}2₄₄0_{) +}

2

2
2

 

 

 

 

– 1

2

= 1.44 = 44

<b>Bài tập tương tự</b>: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) B = sin2₁0_{+ sin}2₂0_{+ sin}2₃0_{+ . . . . + sin}2₈₇0_{+ sin}2₈₈0_{+ sin}2₈₉0_–1

2 .

b) C = tg2₁0_{. tg}2₂0_{. tg}2₃0_{. . . . tg}2₈₇0_{. tg}2₈₈0_{. tg}2₈₉0_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

y
x

108 cm_108cm22

D C

B
A

= =

//

//

F E

D
C

B
A

b
c

a
//

//

2
1
1

M
D
I

C
B

A

của hình chữ nhật ABCD ?

Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy
ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)

<b>Cách 1</b>: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108

Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)2_{= 9 hay (x + y)}2_{– 4xy = 9 (1)}

Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2_{= 441}_ _{x + y = 21}

Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm

<b>Cách 2</b>: Từ x – y = 3  y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình:

x (x – 3) = 108  x2 – 3x – 108 = 0 (1)

 x2 – 12x + 9x – 108 = 0

 ( x – 12)(x + 9) = 0

Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả.
Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.

<b>Bài tập tương tự</b>: Cho tam giác ABC vng tại A có diện tích 504 dm2_{.Biết AB – AC = 47dm.}

Tính độ dài AB và AC.

Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình:
x2_{– 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63}

Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm

<b>Bài 9</b>: Cho tam giác ABC vng tại A, BC = 3 5cm. Hình vng ADEF cạnh bằng 2 cm có
D  AB , E  BC , F  AC. Biết AB > AC và 4

9

<i>ADEF</i> <i>ABC</i>

<i>S</i>  <i>S</i> . Tính AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2_{+ y}2₌

_

_{3 5}

_

2_{= 45. (1)}

Hình vng ADEF có cạnh bằng 2 nên <i>S_ADEF</i> 4

Mà 4

9

<i>ADEF</i> <i>ABC</i>

<i>S</i>  <i>S</i> nên S_ABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2_{= 81 và (x – y)}2_{= 9}

Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3

Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)

<b>Bài 10</b>: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,
M là trung điểm BC. Cho biết <i>_BIM</i> ₉₀0

 .

Tính BC : AC : AB ?

<b>Hướng dẫn</b>: Chú ý <i>_BIM</i> ₉₀0

 ; I là giao điểm các đường phân giác

ta tính được <i>_DIC</i> ₄₅0

 , từ đó chứng minh được BC = 2CD

và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD

kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa 1
ba cạnh tam giác.

<b>Lời giải</b>:
Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI  AC .

  
2 1 1

<i>I</i> <i>B</i> <i>C</i> (góc ngồi tam giác BIC)

= 1

_

 

_

2 <i>ABC ACB</i> =

0 0

1

.90 45

2  (do BI và CI là phân giác của các góc B và C và ABC

vuông ở A); kết hợp với giả thiết <i>_BIM</i> ₉₀0

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

A

/
/

//
//

6

9

N

M C

B

//
//

10
13

K

H C

B

A

Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
BD là phân giác của tam giác ABC nên <i>AB</i> <i>AD</i>

<i>BC</i> <i>DC</i> hay

<i>AB</i> <i>BC</i>
<i>AD</i><i>CD</i>= 2.
Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)

Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
Mà a2_{– c}2_{= b}2_{hay (a – c)(a + c) = b}2_{kết hợp với a + c = 2b ta được a}_{– c =}

2

<i>b</i>
(4)
Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = 5

2

<i>b</i>

. Vậy a = 5

4

<i>b</i>

. Do đó c = 3

4

<i>b</i>

.
Vậy a : b : c = 5 : :3

4 4

<i>b</i> <i>b</i>

<i>b</i> ₌5:1:3

4 4 = (

5
.4

4 ): (1.4) : (
3

4.4) = 5 : 4 : 3

Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3

Lưu ý: Bài tốn này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Tốn 9- Vũ Hữu Bình” có sửa
đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm.

<b>Bài 11</b>: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và
BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.

<b>Hướng dẫn</b>:
Đặt AB = x ; AN = y  AC = 2y.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vng ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x2_{+ 4y}2_{= 144 (1) và x}2_{+ y}2_{= 81}_ _y2_{= 81 – x}2₍₂₎

Thay (2) vào (1) ta được phương trình :

x2_{+ 4( 81 – x}2_{) = 144}

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2_{= 180}

Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5
Trả lời: AB = 2 5 cm

<b>Bài 12</b>: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .
<b>Hướng dẫn</b>: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân

và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm
Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được

CK = 50

13  AK =
119

13

Vậy cos A = <i>AK</i>
<i>AB</i> =

119

13 : 13 =
119
169

Trả lời: cos A = 119

169

</div>

<!--links-->