Đề thi HSG môn Toán 9 năm 2018 Trường THCS Nghĩa Đồng có đáp án

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TÂN KỲ

<b>TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG </b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN I </b>
<b>NĂM HỌC 2018-2019 </b>

<b>MƠN THI: TỐN </b>
<i><b>Thời gian: 150 phút làm bài. </b></i>

<b>Bài 1: (4 điểm) Cho </b>P x 3 x 2 x 1 . x 9

x 6 x 9 x 3 x x 3

    

_  _

   

 

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P khi x=0,25.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
<b>Bài 2: (5 điểm) </b>

a) Tính 8 2 15 5 2 6
7 2 10

  



.

b) Cho x2 – 3x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:

4 3 2

4 2

x 6x 9x 2018

P

x 9x 6x 2018

  



   .

c) Giải phương trình: 2 2

2<i>x</i> 7<i>x</i>10 2<i>x</i>  <i>x</i> 43<i>x</i>3 .

<b>Bài 3: (3,0 điểm) </b>

a) Tìm số tự nhiên n bé nhất để: F = n3_{+ 5n}2_{– 9n – 45 chia hết cho 239.}
b) Tìm số tự nhiên n để số A = n4_+2n3_{– 2n}2_{+ 8 là số chính phương.}
<b>Bài 4: (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức: </b>

a)



sincos



2



sincos



2 ; c) sin .cos 



tancot



;
b) _cot2 _cos2 _.cot2

   ; d) _tan2 _sin2 _{. tan}2
  .

<b>Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng tại A (AB < AC). Kẻ AH vng góc với BC tại H. </b>
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Chứng minh rằng DE3_{= BC.BD.CE}

c) Đường thẳng kẻ qua B vng góc với BC cắt HD tại M. Đường thẳng kẻ qua C vng góc với
BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.

d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9 </b>

<b>NĂM HỌC 2018-2019 </b>

<b>Bài </b> <b>Nội dung </b> <b>Điểm </b>

<b>1 (4đ) </b>

ĐKXĐ: <i>x</i>0;<i>x</i>9

a)





2
x 1
P
x

 .
0,5
2

b) Với <i>x</i>0, 25 Ta có:





2
0, 25 1

P 0,5

0, 25


 

0,5

c)





2

x 1
P

x


 = <i>x</i> 1 2 2 <i>x</i>. 1 2 2 2 0

<i>x</i> <i>x</i>

       .

Dấu bằng xảy ra khi <i>x</i>1 (TMĐKXĐ). Vậy <i>minP</i>0<i>x</i>1

0,5

0,5

<b>2 (5đ) </b>

a) Ta có 8 2 15 5 2 6
7 2 10

  










2
2
2

( 5 3) 3 2

1
5 2
  
 


1

b) Ta có:

<i>x</i>2_{– 3}<i>_x</i>_{– 1 = 0}_<i>_x</i>2_{– 3}<i>_x</i>_{= 1}_₍<i>_x</i>2_{– 3}<i>_x</i>₎2_{= 1}_<i>_x</i>4_{– 6}<i>_x</i>3_{+ 9}<i>_x</i>2_{= 1 ;}
Mặt khác:

<i>x</i>2_{– 3}<i>_x</i>_{– 1 = 0}_<i>_x</i>2_{= 3}<i>_x</i>_{+ 1}__x4_{= (3}<i>_x</i>_{+ 1)}2_{= 9}<i>_x</i>2_{+ 6}<i>_x</i>_{+ 1.}
1 2018 2019

1
1 2018 2019

<i>P</i> 

   

 .

1,5

0,5
c) ĐK: <i>x</i>

Đặt 2 2

2 7 10; 2 4

<i>u</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>v</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>u</i>0, <i>v</i>0.

Suy ra 2 2













6 6 , 2 3 3 2

<i>u</i> <i>v</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>u</i><i>v</i> .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Từ 2 2





2

<i>u</i> <i>v</i>  <i>u</i><i>v</i> ta có



<i>u</i><i>v u</i>



 <i>v</i> 2



0 . Vì <i>u</i> <i>v</i> 0 nên
2 0

<i>u</i>  <i>v</i> suy ra <i>u</i> <i>v</i> 2 hay là 2 2

2<i>x</i> 7<i>x</i>10 2<i>x</i>  <i>x</i> 42

Do đó 2

2 2<i>x</i>  <i>x</i> 43<i>x</i>1 3₂ 1 0 3
2 15 0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 


_  

  


(TM)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:<i>x</i>3.

0,5
0,5

0,5

<b>3 (3đ) </b>

a) Ta có: F = n3_{+ 5n}2_{– 9n – 45 = (n – 3)(n + 3)(n + 5).}
Thử với <i>n</i> = 0; 1; 2 thì <i>F</i> đều không chia hết cho 239.
Thử với <i>n</i> = 3 thì <i>F</i> = 0 chia hết cho 239.

Vậy số tự nhiên bé nhất cần tìm là: <i>n</i> = 3.

0,5
0,5
0,5

b) A= 4 3 2

2 2 8

<i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  =



<i>n</i>1



21



<i>n</i>2



2

 

Ta có:Với <i>n</i> 0 <i>A</i>8 , khơng chính phương

Với <i>n</i> 1 <i>A</i>9 là chính phương.

Với n > 1 thì (n-1)2_{< (n-1)}2_{+1= n}2_{+ 2(1-n) < n}2_{(vì n>1)}
 (n-1)2 +1 khơng thể là số chính phương khi n > 1.

Vậy khi n = 1 thì A là số chính phương.

0,5

0,5

0,5

<b>4 (2đ) </b>

Rút gọn các biểu thức:

a)



sincos



2



sincos



2 ;
b) sin .cos 



tancot



;

c) 2 2 2

cot cos .cot  ;
d) _tan2___sin2__{. tan}2__.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
<b>5 (5đ) </b>

a) Đặt BH = x (0 < x < 6) BC = x + 6,4
AB2_{= BH.BC}_₆2_{= x(x + 6,4)}__{x = 3,6}

 BC = 10cm; AC = 8cm.

0,5

0,5
0,5

b) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE = AH
Chứng minh: BH2_{= BD.BA, CH}2_{= CE.CA}

AH2_{= HB.HC, suy ra AH}4_{= HB}2_.HC2_{= BD.BA.CE.CA}
AH4 = BD.CE.BC.AH

AH3_{= BD.CE.BC}
Vậy DE3_{= BD.CE.BC}

0,5

0,5

0,5
c) Chứng minh<i>CNH</i>  =<i>BHM</i> , HD = AE

Gọi giao điểm của NA với HD là M’.
Ta có:



2

cos .

'

<i>NE NC</i> <i>NE</i> <i>AE</i>
<i>CNH</i>

<i>NC NH</i> <i>NH</i> <i>M H</i>

   ; 2 

cos <i>BHM</i> <i>HD HB</i>. <i>HD</i> <i>AE</i>

<i>HB HM</i> <i>HM</i> <i>HM</i>

  

Suy ra '

'

<i>AE</i> <i>AE</i>

<i>M H</i> <i>MH</i>
<i>M H</i>  <i>MH</i>  

Nên M’ trùng M  M, A, N thẳng hàng.

0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

d) Có BM//CN, BD // NE, MD // CE

 BDM ∽ NEC  BD/NE = DM/EC (1)
Gọi I là giao của MC với DE  DI/EI = DM/EC (2)
Gọi I’ là giao của BN với DE  DI’/EI’ = BD/NE (3)
Từ (1), (2), (3)  DI/EI = DI’/EI’  I và I’ trùng nhau.

Vậy BN, CM, DE đồng qui.

0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

Website <b>HOC247</b> cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến</b> sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>,

nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh </b>

<b>nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm</b> đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng.

<b>I.</b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các trường

<i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên khác cùng

<i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS </b>
lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở
các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam </i>
<i>Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i> cùng đơi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV: Kênh Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->