BT the tich hinh chop co ban

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1

A

B

C
S

a 5
a 2
a

<b>BT thể tích hình chóp (giải) </b>

1) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 2, đáy ABC là tam
giác vuông tại B, cạnh AB=a; AC=a 3. Tính VSABC =?

<i>Giải : BC=</i> 2 2

AC AB =a 2

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2BA.BC =
2
a 2

2
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =
1

3SA.Sđáy
=1

3a 2.
2
a 2

2 =
3
a

3

2) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 3, đáy ABC là tam
đều cạnh a. Tính VSABC =?

<i>Giải : Đáy là tam giác đều cạnh a; + Diện tích đáy S</i>đáy =

2
a 3

4
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =
1

3SA.Sđáy
=1

3a 3.
2
a 3

4 =
3
a

4

3) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 5, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, cạnh AB=a; AC=a 2. Tính VSABC =?

Giải:

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2AB.AC =
2
a 2

2
+ Thể tích hình chóp :

Vh/choùp = 1

3h.Sđáy =

1

3SA.Sđáy=
1
3a 5.

2
a 2

2
=

3
a 10

6

4) Cho hình chóp S.ABC có SB  (ABC) , SB=2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại C, cạnh AB=a 3; AC=a. Tính VSABC =?

Giải : BC= 2 2
AC AB =a 2

a 2

A
S

C

a

a 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

A

B

C

S

a 2

a <b>H </b>

+ Diện tích đáy Sđáy = 1

2CA.CB =
2
a 2

2
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3h.Sđáy =
1

3SB.Sđáy =
1

32a.

2
a 2

2 =
3
a 2

3

5) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 2, đáy ABC là tam
giác có BAC = 600, cạnh AB=a; AC=a 3. Tính VSABC =?

Giải : + Diện tích đáy Sđáy = 1

2AB.AC .sin


BAC=1

2a.a 3.
3
2 =

2
3a

4
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp=1

3h.Sđáy =
1

3SA.Sđáy =
1
3a 2.

2
3a

4 =
3
a 2

4

6) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a 2, đáy ABC là tam giác

đều cạnh a. Tính VSABC =?

Giải : Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC)

Vì S.ABC là hình chóp đều => H là trực tâm tam giác ABC
SH  mp(ABC)

+ AH = 2

3đường cao =
2

3

a 3
2 =

a 3
3
+SA = a 2 => SH = 2 2

SA AH =

2
2 3a
2a

9

Hay SH = a 15

3 ; + Diện tích đáy Sđáy =
2
a 3

4
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp= 1

3SH.Sđáy =
1
3

a 15
3 .

2
a 3

4 =
3
a 5

12

7) Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh bên
SA tạo với đáy một góc 300 . Tính VSABC ?

Giải : Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC)

Vì S.ABC là hình chóp đều => H là trực tâm tam giác ABC
SH  mp(ABC)

+ AH = 2

3đường cao =
2
3

a 3
2 =

a 3

3
+ Diện tích đáy Sđáy =

2
a 3

4

A

B

C

S

300

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3

B

A

C

S

D

 Hình chiếu của SA lên mp (ABC) là HA => góc tạo bởi cạnh bên SA
và đáy là góc tạo bởi SA và HA là góc SAH =30 0

=> SH = AH.tanSAH = a 3
3 .

1
3=

a
3
+ Theå tích hình chóp : Vh/chóp= 1

3SH.Sđáy =
1
3

a
3.

2
a 3

4 =
3
a 3

36

8) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , SA=a 2, đáy ABC là tam

giác vuông cân tại A, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc bằng 600.
Tính VSABC =?

Giải : Gọi M là trung điểm BC
Vì  ABC cân tại A => BC  AM
Mà BC  SA ( vì SA  (ABC)
Suy ra : BC  (SAM) => BC  SM

+ Góc tạo bởi mp(SBC) và đáy (ABC) là góc tạo
bởi SM và AM ( cùng vng góc giao tuyến BC)
là góc SMA =60 0

=> AM= SA ₀
tan 60 =

a 2

3 ; BC =2AM=
2a 2

3
+ Diện tích đáy Sđáy =1

2AM.BC=
2
2a

3
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp= 1

3SA.Sđáy =
1
3a 2.

2
2a

3 =
3
2a 2

9

9) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD là hình vng
cạnh a và SA=BD . Tính VS.ABCD ?

Giải : + Đáy là hình vng Sđáy = a2
+ Đường chéo AC=BD=a 2

=> SA= a 2

+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy
VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=
1

3a 2.a

2

=
3
a 2

3

A

B

C
S

a 2
600

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

10) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD là hình chữ
nhật , AB=a , AD= a 2 và SA=BD . Tính VS.ABCD ?

Giải : + Đáy là hình chữ nhật Sđáy =AB.AD= a2 2
+ Đường chéo AC=BD= 2 2

AB AD =a 3 => SA= a 3
+ Theå tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy
VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=
1

3a 3 2.a
2

2 =
3
2a 3

3

11) Cho hình chóp S.ABCD có SA(ABCD) , đáy ABCD là hình vng
cạnh a và cạnh SC tạo với đáy một góc bằng 450. Tính VS.ABCD ?

Giải : SC chiếu lên mp(ABCD) là AC
=> Góc tạo bởi SC và mp(ABCD) là góc tạo
bởi SC và AC là góc SCA =45 0

=> SA=AC =a 2

+ Đáy là hình vng Sđáy = a2
+ Thể tích hình chóp:

VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=
1

3a 2.a

2

=
3
a 2

3

12) Cho hình chóp S.ABCD có SB(ABCD) , đáy ABCD là hình thoi
cạnh a ; BAC = 600 và SA=a 5. Tính VS.ABCD ?

Giải :Vì BAC=600
Và ABCD là hình thoi
Suy ra ABD là tam giác đều ;
cạnh BD =a

AC = 2 đường cao tam giác ABD
=> AC =a 3

+ Diện tích đáy Sđáy = BD.AC = a2 3
+ Đường cao : SB = 2 2

SA AB =2a
+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SA.Sđáy=
1
3.2a.

2

a 3 =
3
2a 3

3

13) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,
cạnh bên bằng b. Tính thể tích khối chóp ?

B

A

C

S

D
450

A

B

D

S

C

a 5

B

A C

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

5
Giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD
=> H là tâm của hình vuông

+ HA= a 2

2 ; SH=

2 2

SA HA =

2
2 a
b

2

+ Đáy là hình vng Sđáy = a2

+ Thể tích hình chóp:
VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=
1
3.

2
2 a
b

2
 .a2

14) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi
mặt bên và mặt đáy bằng 300. Tính thể tích khối chóp theo a ?

Giải :Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì tính chất hình chóp đều => H là tâm của hình vuông
Gọi M là trung điểm CD

+ Tam giác SCD cân => SM  CD
+ Tam giác HCD cân => HM  CD

+ Góc tạo bởi mặt bên (SCD) và đáy (ABCD)
Là góc tạo bởi SM và HM => SMH =30 0
Với HM =a

2; SH =HM.tan30
0₌ a

2 3
+ Đáy là hình vng Sđáy = a2
+ Thể tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=
1
3.

a
2 3.a

2₌ a3
6 3

15) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, góc tạo
bởi cạnh bên và đáy bằng 600. Tính thể tích hình chóp S.ABCD ?

Giải Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)

Vì tính chất hình chóp đều => H là tâm của hình vng
+ Hình chiếu của cạnh SA lên mp đáy là HA

+ Góc tạo bởi cạnh bên SA và đáy (ABCD)
Là góc tạo bởi SA và HA => SAH =60 0
Với HA =a 2

2 ; SH =HA.tan60

0

=a 6
2
+ Đáy là hình vng Sđáy = a2

H
A

C
S

D

B

b

a

H
A

C
S

D

B

300

M

H
A

C
S

D

B

600

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

+ Theå tích hình chóp: VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=
1
3.

a 6
2 .a

2₌a3 6
6

16) Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đơi một vng góc nhau, biết
AB=a; AC=a 2; AD=a 3. Tính thể tích VABCD ; Gọi H là hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Tính AH

Giải :+ Từ giả thiết : AD  AB; AD  AC
=> AD  mp(ABC)

+ Diện tích đáy : SABC = 1

2AB.AC=
2
a 2

2
+ Thể tích hình chóp : VABCD = 1

3AD.SABC
VABCD =1

3a 3.
2
a 2

2 =
3
a 6

6

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).
Ta có AH  (BCD). Kéo dài DH cắt BC tại M

Vì AH  BC, AD  BC => (DAH)  BC màAM  (DAH)=> BC  AM
<b>C1</b>: Tính đường cao AM : 1 ₂

AM = 2

1

AB + 2

1

AC => AM =
a 2

3
+ DM = 2 2

AD AM =a 11

3 ; BC =

2 2

AB AC =a 3

SBCD = 1

2DM.BC =
1

2

a 11

3 .a 3=
2
a 11

2

Theå tích : VABCD = 1

3AH.SBCD <=> AH =

ABCD
BCD
3V

S =
3

2

a 6

2

a 11

2

=a 6
11

<b>C2 </b>: Tính AM =

a 2

3 . Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DAM có
AH là đường cao : 1 ₂

AH = 2

1

AM + 2

1

AD = 2

11

6a => AH=
a 6

11

<i>Chú ý :Khi AB,AC,AD đôi một vuông góc nhau V</i>ABCD =1

6<i>AD.AB.AC </i>

B

A

D

C

a 2

a 3

a

<b>H </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7

M
S

K

N

17) Cho hình choùp S.ABC coù SA=BC=a 2;SB=CA=a 5;SC=AB=2a.

Gọi M,N,K là các điểm trong mp(ABC) sao cho A là trung điểm MN; B

là trung điểm NK; C là trung điểm MK. Chứng minh SM,SN,SK đơi một
vng góc nhau. Tính VSABC?

Giaûi:

Theo cách dựng MN=2BC=2a 2 ; NK =2AC=2a 5 ; MK =2AB=4a
+ Xét tam giác SMN có SA là trung tuyến và SA =1

2MN (cuøng = BC)
=> tam giác SMN vuông tại S hay SM  SN

+ Xét tam giác SNK có SB là trung tuyến và SB =1

2NK (cùng= AC)
=> tam giác SNK vuông tại S hay SN  SK

+ Xét tam giác SMK có SC là trung tuyến và SC =1

2MK ( cùng =AB)
=> tam giác SMK vuông tại S hay SM  SK

Vậy SM,SN,SK đôi một vuông góc nhau
Aùp duïng Pi tago : SM2 +SN2 =MN2 = 8a2

SN2 +SK2 =NK2 = 20a2
SK2 +SM2 =MK2= 16a2
Cộng vế theo vế : SM2 +SN2 +SK2 = 22a2
Suy ra : SK2 =14a2 <=> SK =a 14 ;

SM2 =2a2 <=> SM= a 2
SN2 = 6a2 <=> SN =a 6
Và SABC = 1

4SMNK , hình chóp S.ABC và S.MNK có cùng đỉnh
B

A

M C

S

N

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

A

B

C

D

a

a <b>H </b>

=> VS.ABC = 1

4VS.MNK =
1
4.

1

6SM.SN.SK=
1
24a

3
<i>168 </i>

18) Cho tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích của tứ diện

Giải : Cho tứ diện đều ABCD

Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC)

Vì ABCD là tứ diện đều => H là trực tâm tam giác ABC
DH  mp(ABC)

+ AH = 2

3đường cao =
2
3

a 3
2 =

a 3
3
+ DA = a => DH = 2 2

DA AH =

2
2 3a
a

9

Hay DH = a 2

3 ; + Diện tích đáy Sđáy =
2
a 3

4
+ Thể tích hình chóp : VABCD= 1

3DH.Sđáy =
1
3

a 2
3 .

2

a 3

4 =
3
a 2

12

19) Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của
khối chóp .

Giải: Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABCD)
Vì SA=SB=SC=SD => HA=HB=HC=HD
=> H là tâm của hình vuông

+ HA= a 2

2 ; SH=

2 2

SA HA =

2
2 a
a

2

 =a 2

2
+ Đáy là hình vng Sđáy = a2

+ Thể tích hình chóp:
VS.ABCD = 1

3SH.Sđáy=
1
3.

a 2
2 .a

2₌a3 2
6

20) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a) Tính thể tích của khối chóp AB’CD’

b) Tính thể tích khối chóp A.B’C’D’
Giaûi :

a) Tứ diện AB’CD’ có AB’=AC=AD’=CD’=CB’=B’D’=a 2
Suy ra AB’CD’ là tứ diện đều cạnh a 2

H
A

C
S

D

B

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9
p dụng bài tập 18 ta có : VAB’CD’ =





3
a 2 2

12 =
3
a

3
<i>Cách khác : gọi O là giao của AC và BD </i>

Ta có : VAB’CD’= VA..OB’D’ + VC.OB’D’

Hình chóp A.OB’D’ có đường cao AO, đáy OB’D’
Hình chóp C.OB’D’ có đường cao CO, đáy OB’D’
Mà SOB’D’ =1

2OO’.B’D’ =
1

2a.a 2 =

2
a 2

2
+ VA..OB’D’ =1

3AO.SOB’D’ =
1
3.

a 2
2 .

2
a 2

2 =
3
a

6
+ VC.OB’D’ =1

3CO.SOB’D’ =
1
3.

a 2
2 .

2
a 2

2 =
3
a

6
Vậy VAB’CD’= VA..OB’D’ + VC.OB’D’ =

3
a

3
b) Thể tích VA.B’C ’D’ = 1

3h.SB’C’D’
Mà h = AA’ =a vaø SB’C’D’ =

1

2SA’B’C ’D’ =
1
2a

2

Vậy : VA.B’C ’D’ = 1

3a.

1
2a

2₌a3
6

21) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác SBC đều cạnh a,
góc BAC =1200 .tính thể tích và diện tích tồn phần của hình chóp .

Giải : SA  (ABC)
Vaø SB=SC => AB=AC
Hay tam giác ABC cân tai A
và BC=a ; BAC=1200

+ Kẻ đường cao AM , M là trung điểm BC
+ Góc ABM =30 0 ; AM = BM.tan300 =a

2.
1

3=
a
2 3
+ Tam giác SBC đều => SM= a 3

2

C
B

A

C’
B’

A’

a
a

D’
D

<b>O </b>

S

A C

a

B

a

M
A

B C

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Suy ra SA= 2 2

SM AM =

2 2
3a a

4 12 =
a 2

3
+ Diện tích đáy SABC =

1

2AM.BC =
1
2

a
2 3.a=

2
a
4 3
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp =

1

3SA.SABC =
1
3

a 2
3 .

2
a
4 3 =

3
a 2

36

22) Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác SBC đều cạnh
a 3, SA= a . Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình chóp .

Giải : SA  (ABC) và SB=SC => AB=AC
Hay tam giác ABC cân tai A

+ Gọi M là trung điểm BC => AM  BC
+ Tam giác SBC đều cạnh a 3

=> SM= (a 3) 3
2 =

3a

2
Suy ra AM= 2 2

SM SA =
2

2
9a

a
4  =

a 5
2
+ Diện tích đáy SABC = 1

2AM.BC =
1
2

a 5

2 .a 3=
2
a 15

4
+ Thể tích hình chóp : Vh/chóp = 1

3SA.SABC =

1
3a.

2
a 15

4 =
3
a 15

12
+ AB=AC = a 2 ; SSAB = SSAC =1

2.SA.AB =
2
a 2

2 ; SSBC =



a 3



2 3
4
+ Stp = SSAB + SSAC + SSBC + SABC = a2 2 +

2
3a 3

4 +
2
a 15

4

23) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA=h và
vng góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC và SBC . Chứng minh HK  (SBC) và tính thể tích tứ diện HKBC
theo a và h.

Giải : + Kéo dài AH cắt BC tại M, M là trung điểm BC
+ BC  AH , BC  SA => BC  SM

Vì K là trực tâm tam giác SBC => S,K, M thẳng hàng

S

A C

B

a

M

a 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

11
Suy ra BC  (SAM) vaø HK  (SAM) => HK  BC (1)

+ CH  AB , CH  SA => CH  SB
Mà K là trực tâm => CK  SB
Suy ra : HK  SB (2)

Từ (1) và (2) Suy ra HK  (SBC)
AM = a 3

2 ; HM =
1
3

a 3
2 =

a 3
6 ;

SM= 2 2

SA AM =

2
2 3a
h

4


 SAM đồng dạng  HKM => SA
HK =

SM
HM=

AM
KM
Suy ra HK= SA.HM

SM = 2

2
ha 3

3a
6 h

4


; KM =AM.HM

SM =

2

2
2

a
3a
4 h

4


Diện tích SKBC = 1

2KM.BC=
1
2

2

2
2

a
3a
4 h

4


.a=

3

2
2

a
3a
8 h

4

VHKBC =1

3.HK.SKBC =
1

3. 2

2
ha 3

3a
6 h

4


.

3

2
2

a
3a
8 h

4



=
4

2
2
a h 3

3a
144 h

4

 



 

 



S

A C

B

h

M

a

</div>

<!--links-->