tu chon toan 9 hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (613.21 KB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUÛ đề 2 : Ngày sọan: 06/9/2009
Các dạng toán CAấN BẬC HAI

I/ Mơc tiªu:

+ HS nắm đợc các kiến thức cơ bản về căn thức bậc hai một cách có hệ thống

`+ Biết tổng hợp các kỷ năng đã có về tính tốn, biến đổi biểu thức số, phân tích đa
thức thành nhân tử, giải phơng trình.

II/ Thêi l ỵng:
 6 tiết

III/ Tiến trình dạy Hoc:
1- K iến thức cÇn nhí: :

a. Căn bậc hai.

 Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x2 = a. Khi đó ta kí hiệu:

x = a

Ví dụ 1: - 9 = 3, vì 32 = 9;

25
4
5
2
.
5
2

5
2
25



 vì ; …

 Số a > 0 có hai căn bậc hai là a 0và - a0 . Ta nói a là căn bậc hai số

học của số không âm a.

 Số a < 0 không có căn bậc hai.

Số a = 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.

Nếu 0abthì a b, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Đảo lại, nếu a  bthì0ab.

b. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A .

Dưới một dấu căn có thể chứa số, hoặc có thể chứa cả những dấu căn khác,
cùng với các phép tốn số học, ta nói đó là một căn thức. Ví dụ a x 22b . Khi đó ta
nói a x 22b là biểu thức dưới dấu căn

Ta ln có A2 A, điều này đúng với mọi số thực A, cũng đúng với mọi

biểu thức A, miễn là biểu thức đó có nghĩa. Như vậy :

0 
A
 
nếu
A

và
0 
A

nếu 2







A A

A2 .

c. Các tính chất.

 Tính chất1: Nếu a 0 và b  0 thì a. b  a.b.

Chứng minh:

Đặt M = a. b;N  a.b , ta coù:

M2 = ( a. b)( a. b) a. a. b. b.ab

N2 = a.b. a.b a.b

Neân suy ra M2 = N2. Mà M và N là các số không âm nên ta có M = N, suy ra

điều phải chứng minh.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chứng minh: Tương tự như trên
Chú ý:

a) Nói chung ta không có: ab  a b; a b  a b.

Ví dụ: 49 13,nhöng 4 9 235

16 9  7.nhöng 16  9 4 31.

b) Trong tính chất hai nói trên, có thể giả sử a  0 và b < 0. Lúc đó ta viết:

b
a
b

a



 .

 Tính chất 3: ( Đưa thừa số ra ngồi dấu căn )

B
A
B
A2. .

 ( B  0)

 Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào trong dấu căn).
A B A2B

 (A  0, B  0 )

A B A2B


 ( A < 0, B  0)

 Tính chất 5: ( Trục căn thức ở mẫu)

B
AB
B

AB


2 (A  0, B > 0)

B
A

B
A
B
A

B
B
A
B
A









1 ( B > 0)

Chú ý: A B( A B)được gọi là lương liên hiệp của A B( A B), vì
ta có ( A B)( A B) A B

Tổng quát: X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức, nếu 
XY khơng cịn dấu căn.

Thơng thường, việc nhân chia tử và mẫu của một phân thức cho lượng liên hiệp
khiến cho biểu thức gọn gàng hơn. Chính vì vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, khi
gặp bài tốn địi hỏi phải đơn giản hoặc tính một biểu thức chứa căn thức ở mẫu, 
việc đầu tiên, ta nghĩ đến các lượng liên hiệp.

Chú ý: Trong thực hành tính tốn, đơi khi ta cần rút gọn một biểu thức chứa căn

thức phức tạp, hoặc cần phải chứng minh một đẳng thức bằng những biến đổi. Khi
đó ta cần biết khơn kh vận dụng tổnghợp 5 tính chất trên để biến đổi. Điều này
có được bằng kinh nghiệm và kỷ năng tính tốn, khi ta quen dần các bài tóan từ
đơn giản đến phức tạp hơn.

2.

B µi tËp : 
B

µi 1 : Trong các số sau thì số nào là căn bậc hai số học của 9:

2
2
2

2; 3 ; ( 3) ; 3

)
3

(    .

Giải

Căn bậc hai số học của 9 laứ: (3)2; 32

Bài 2: Trong các số sau, những số nào có căn bậc hai?
3; 5; 1,2; 6 ; -4; 0;

4
1


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Những số có căn bậc hai lµ:

3; 5; 1,2; 6; -4; 0
Bµi 3:

Tìm những khẳng định đúng trong các câu khẳng định sau:
a. Căn bậc hai của 0,36 l 0,6

b. Căn bậc hai của 0,36 là 0,06
c. 0,36=0,6

d. Căn bậc hai của 0,36 là 0,6 và -0,6
e. 0,36= 0,6

Gi¶i:

a. đúng b. sai c. đúng
d. đúng e. đúng
Bài 4:

a. x2 = 2( Híng dÉn: x2=2 => x là các căn bậc hai của 2)

b. x2 = 3 c. x2 = 3,5

d. x2 = 4,12

Gi¶i:

a. x2 = 2 =>x

1,2



1,414 b. x2 = 3 =>x1,2



1732

c. x2 = 3,5=>x

1,2



 1,871 d. x2 = 4,12=>x1,2

2,030

Bài 5:

Giải

Diện tích Hình chữ nhật là:
3,5 x 14 = 49 (m2)

Gọi cạnh hình vuông là x (m)
ĐK:x>0

ta có: x2=49  x=7
x>0 nên x=7 nhận đợc
Vậy cạnh hình vng là 7m

Bài 6: So saựnh 7 vaứ 47

Giải

Ta có 7 49 47,dovậy7 47

Bµi 7:TÝnh

a. 2

)
1
,
0

( = (0,1) = 0,1

b. (0,3)2 =  0,3 = 0,3

c. - (1,3)2 = -  1,3 = -1,3

d. -0,4 (0,4)2 = -0,4  0,4 = -0,4.0,4=0,16

e. (1 3)2 1 3 (1 3) 31

Bài 8: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a. 3a b.  5a

c. 4 a d. 3 a 7

Gi¶i:

a.
3
a

cã nghÜa 
3
a

0 a0

b.  5a cã nghÜa -5a 0 a0
c. 4 a cã nghÜa 4-a 0 a4
d. 3 a 7 cã nghÜa 3a +7 0 a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 9: Tìm x cn thức sau có nghĩa:

a)  3 x 4; b)

x

 2

; c) a 2 x2

x

1

e). 1 x2

 g) (x1)(x 3)

h). 32



x
x

Giaûi

a) Ta phaûi coù: -3x + 4  0 hay x

3
4
b) Căn thức x


 2

có nghóa khi 0 2 0 2

2
1










 x x x .

c) Căn thức a 2 x2 ln có nghĩa vì biểu thức dưới dấu căn ln khơng

âm.
d)

x

 1

1 cã nghÜa  0

1
1




 x

Cã 1>0 =>-1+x >0=> x>1
e) 1 x2

 cã nghÜa víi mäi x v× x2 0 víi mäi x=> x2 + 11 víi mäi x
g) (x 1)(x 3) cã nghÜa  (x-1)(x-3)  0

 x-1  0 hc x-10
x-3  0 x-30

* x-1  0  x1  x  3
x-3  0 x  3

* x-10  x1  x1

x-30 x3

VËy (x 1)(x 3) cã nghÜa khi x  3 hc x1

3
2



x
x

cã nghÜa  0

3
2




x
x

 x-2  0 hc x-2 0
x+3>0 x+3<0

* x-2  0  x2  x  2
x+3 < 0 x <- 3

* x-20  x2  x<-3
x+3<0 x<-3

VËy

3
2



x
x

cã nghÜa khi x  2 hc x<-3

Bµi 10: Giải phương trình
a) ( 2 1)2 3




 x b) x2- 5=0

c). 2 2 11 11 0



 x

x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Ta coù: ( 2 1)2 2 1 3






 x x suy ra x = -1.

Lời giải trên đã sót đi một nghiệm, lời giải đúng như sau:
Ta có:
















2
1
x
khi
x
khix
x
x
x
1
2
2

1
1
2
1
2
)
1
2
( 2

Với x 21, ta có -2x + 1 = 3, suy ra x = -1
Với x > 21 , ta có 2x – 1 = 3, suy ra x = 2.

b) x2- 5=0 (x- 50(x 5)0 x- 5 0 hoặc x=- 5 x= 5 hoặc x=- 5

Phơng trình có nghịêm là x1,2= 5
c) 2 2 11 11 0




 x

x (x 11=0) x= 11

Phơng trình có nghịêm là x= 11

Bài 11: Rút gọn các biểu thức sau
a. 2 a2 5a

 víi a<0
b. 25a2 3avíi a0
c. 9a 4 3a2

d. 5 4a 6 3a3víi a<0

Gi¶i:

a. 2 a2  5a víi a<0= 2a  5a = -2a - 5a(v× a<0=> a a)7a
b. b. 25a2 3a

 víi a0= (5a)2 3a = 5a 3a5a3a(v×5a0)=8a

c. 9a 4 3a2= 3a2+ 3a2 =6a2

d. 5 4a 6 3a3víi a<0 = 5 (2a3)2 3a3

=52a3 3a3 10a3 3a3(vì 2a3<0)=-13a3

Bài 12 : : Tính: 20. 50; 3a. 27a; 36.100.0,25; 81a2

Giải
.
10
10
10
.
100
50
.

20
50
.

20   

.
9
81
27
.
3
27
.

3a a a a a2 a




.
9
.
81
81
.
30
5
,
0

.
10
.
6
25
,
0
.
100
.
36
25
,
0
.
100
.
36
2

2 a a

a  






Bµi 13: TÝnh

9
4
81
16
81
16
;
25
11
225
121
225
121
;
3
5
9
25
9

25 a2 a2 a






 .

28a4b2 28(a2b)2 ba2 28


 .

- 0,05 28800 (0,05)2.28800 0,05.5.288 72 6 2









</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi 15: Tính M = 10a2 - 4 10a + 4 với a = 
2
5
5
2

Giải

M = ( 10a-2)2 . Thay giá trị của a vào biểu thứcnày.

M = 2 ( 4 25 2) 25

2
50
5

20
2
2
5
5
2
10 2
2
2



































Bµi 16: Cho bểu thức 10

5
5
5
5
5
5
5
5








B . Rút gọn rồi chứng minh B < 0.

Giaûi
Ta có:
10
3
20
)
10
3
(
20
20
10
20
60
5
25
10
).
5
25
(
5
10
5
25
5
10

5
25
)
5
5
)(
5
5
(
10
).
5
5
)(
5
5
(
)
5
5
(
)
5
5
(
10
5
5
5
5

5
5
5

5 2 2

































B

Vì 3 < 10 nên 3 - 10< 0. Vaäy B < 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

CHUÛ đề 3 : Ngày sọan: 30/9/2009
Các dạng tốn CAấN BẬC HAI

A.

Mục tiêu :

Bài toán 1: Tìm các giá trị của a để các căn bậc hai sau có nghĩa:

a) 5a   a  0 f) 2

2 5a   a >

2
5


b) 2
a

   a 0 g) 2
2

a   a R 

c) 8a   a 0 h) a2 2a = 1 ( 1)a  2  a R 
d) 1 a   a 1 I) a2 4a = 7 (a  2) 32  a R 
e) 3 4a   a 3

Bài toán 2: Thực hiện phép tính:

1. 5 18 - 50 + 8 = 5 9.2 - 25.2 + 4.2
= 15 2 - 5 2 + 2 2

= (5 – 15 + 2) 2 = 12 2

2. (2 6 + 5)(2 6 - 5) = (2 6)2 – ( 5)2 = 4.6 – 5 = 19

3. ( 20 - 3 10 + 5) 5 + 15 2 = 100 - 3 50 + 5 + 15 2

= 10 – 3.5 2 + 5 + 15 2

= 15 - 15 2 + 15 2 = 15

4. 7 7

7 1



 =





7 7 1
7
7 1





5. 5 27
4 + 2

15
10 - 3

16
3 =

5.3 3
2 + 2

3
2 -

3.4

15
3

2 + 3 - 4 3 =
9 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

* Sau khi học xong chủ đề này Hs có khả năng :

- Biết tìm điều kiện xác định của một căn thức bậc hai
- Biết cộng trừ các căn bậc hai đồng dạng

- Biết biết biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
- Biết chứng minh đẳng thức, giải phương trình có chứa căn thức và một số
dạng toán liên quan.

II/ Thêi l ỵng :

6 tiết
III/ Tiến trình dạy học:
1- K iÕn thøc cÇn nhí: : 
a. Căn bậc ba.

Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x3 = a, ký hiệu x = 3 a.Ta thừa

nhận kết quả: Mọi số thực đều có một căn bậc ba tương ứng.
Ví dụ: 3 27 3;3  27 3

Ta công nhận các tính chất sau:
4.1 Nếu a a 3 b.

4.2 Với mọi a, b ta có: 3 a.3 b 3 a.b

 .

4.3 Với mọi a, b và b 0, ta có: 3
3
3

b
a
b
a

 .

2, Bµi tËp

Bµi 1: Chứng minh:

)
.

)(
(

)

)(
(

3
3

3 2

3
3

3 2

3
3

b
b
a
a
b
a
b
a















Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức A3 – B3 = (A –B)( A2 + AB +B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 – AB + B2)

Và tính chất 2, ở đây A = 3 a và B = 3 b .

Theo chuự yự ụỷ (chủ đề 2)trẽn, X ủửụùc gói laứ lửụùng lieõn hieọp cuỷa bieồu thửực Y coự

chửựa caờn thửực, neỏu XY khoõng coứn daỏu caờn. Tửứ ủoự, theo vớ dú trẽn, lửụùng liẽn
nhieọp cuỷa 3 x  3 alaứ (3 x2 3 ax 3a2)



 .

Bµi 2: Trục căn thức ở mẫu cho biểu thức 3 21
2



x
x

với x -1

Giải

Ta có: 3 21
2



x
x

)
1
)(

( 2 3 2 3







x

x
x

x .

Bµi 3:: Tính . 31 5

3
3

15
2
3

3
1
3

















A .

Giải

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2
1
3

5
1
).
5
3
(
2
1
3
5
1
.
2
3
5
2
15
6
3
3
1
3
3
5
1
.
6
)
3
3

(
15
1
)
2
3
(
3
2
)
1
3
(
2
5
3
1
.
)
3
3
)(
3
3
(
)
3
3
(
15

)
2
3
)(
2
3
(
)
2
3
(
3
)
1
3
)(
1
3
(
)
1
3
(
2




























 




























A

Bài 4: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 là bình phương của một số tự nhiên
( Những số như thế được gọi là số chính phương ). Em hãy tính thật nhanh các số

15876
;

3249
;

4225 mà không dùng máy tính.

Gi¶i

Ta có 602 = 3600 < 4225 < 4900 = 702.

Như vậy 60 < 4225 < 70. Mặt khác, trong các số từ 1 đến 9, chỉ có số 5
làcó bình phương tận cùng bằng 5. Do đó, chỉ có số đó là 65. Thử lại thấy đúng.
Vậy 4225 = 65.

Tương tự: 552 = 3025 < 3249 < 3600 = 602. Chỉ có số 3 và 7 có tận cùng bằng

9 khi bình phương. Vậy
3249 = 57.

Bài 5: Chứng minh với a > 0, a 1, ta có:

1
1
1
1
1 2























a
a
a
a
a
a
Gi¶i

với a > 0, a 1, ta có:





1

)
1
(
)

1
)(
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)

1
(
.
1
)
1
(
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
















































a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a

Bài 6: Cho biểu thức 













2
2
2
3
:
1
yx
xy
y
y
x
x
x

y
x
N

Với x > 0; y 0và x y. Rút gọn biểu thức N.

Gi¶i

Với x > 0; y 0và x y thì biểu thức N ln được xác định.

2
...
)
)(
(
:
1
)
(
1
)
(
1
:
1
)
(
)
(
:

1
:
1
2
2
2
2
2
3
y
x
x
y
y
x
x
y
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x

x
xy
y
y
xy
x
x
x
y
x
yx
xy
y
y
x
x
x
y
x
N



























































Bài 7: Thực hiện phép tính:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta có: ( 3 2) ... 2
)
1
2
(
)
1
2
(
2
3

)
2
3
(
3
3
2
1
:
1
1
2
2
2
3
3
2
3





































Bài 8: Tính giá trị của biểu thức sau với x = 8:
)
16
8
.(
16

4
4 2
2
2






 x x

x
x
x
A

Gi¶i

Với x = 8 thì x2 - 16 khác 0. nên biểu thức đã cho xác định tại x = 8.Ta có:

... 331

4
)
4
(
2
)
4

.(
)
4
)(
4
(
)
2
(
)
16
8
.(
16
4
4 2
2
2
2
2


















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A

Bài 9: Cho biểu thức 

























 1
3
2
2
:
9
3
3
3
3
2
x
x
x

x
x
x
x
x

P . Với x 0 và x

 9.

a) Rút gọn P.
b) Tính x để P < 31

c) Tìm giá trị bé nhất của P.

Gi¶i

a) Rút gọn ta được :   33
x
P

b)          vaø x 9






 9 3 6 0 39

3
1
3
3
3
1
x
x
x
x
P

c) Do P < 0 nên P nhỏ nhất khi x33lớn nhất.
Vậy Min P = -1 Khi x = 0

Bài 10: So sánh: 53 6 và 63 5.

Gi¶i

Ta có: 53 6 3 53.6 3 30.25và63 5 3 63.5 3 30.36Dođó 63 5 53 6

Bài 11: Chứng minh đẳng thức :
a. 2

7 4 3 +
2

7 4 3 = 28

Biến đổi vế trái ta có:

VT = 2(7 4 3 2(7 4 3)

(7 4 3)(7 4 3)

  

  =

14 8 3 14 8 3
28
49 48

  



 = VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh
b. 3 5 = 5 1

2


C1 : Bình phương 2 vế .
C2 : Biến đổi vế trái ta có:

VT = 3 5 = 6 2 5
2

 = ( 5 1)2

 = 5 1

2 VP




</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

c. 2 3 + 2 3  6
C1 : Bình phương 2 vế .
C2 : Biến đổi vế trái ta có:

VT = 4 2 3

 + 4 2 3

 = ( 3 1)2

 + ( 3 1)2

2


= 3 1

2


+ 3 1

2


= 2 3

2 = 6 = VP .

Vậy đẳng thức đã được chứng minh
d)









x x y y

x y x y



  +

2 y

x y - 1

xy

x y 

, 0

x y

x y








Biến đổi vế trái ta có:

VT =

















x x y y y x y xy x y

x y x y

    

 









2 2

x x y y x y y y x y y x

x y x y

    

  =

( )

( )( )

x x y x y y y

x y x y

  

 

= x x y((x y )()x y x y( y) )

  =

( )( )

x y x y

 



  = VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh
 Bài 12: Giải phương trình

a) x 1 = 2 (ñk: x  1)

 ( x 1)2 = 22

 x – 1 = 4

 x = 5 ( Thoả đk)

Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 5
b) 4x = x 9 (ñk: 4x  0  x  0)

 ( 4x)2 = ( x 9)2

 4 x = x + 9
 3x = 9

 x = 3 ( Thoả đk)

Vaäy, nghiệm của phương trình là: x = 3
c) (4x2 4x 1)2

  = 3

 (2x 1)2 = 3
 2x 1 = 3

 22xx1 31 3
 

 

2 4

2 2

x
x







 

2
1

x
x








</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

d) x + 1 = x2 (ñk: x + 1  0  x  - 1)
 x = x + 1

 x xx x11
 

 

0 1

2 1

x
x







  x =

1
2


( thoả đk)
Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 21
e) 3 15

x
x





Bài 13: Tính giá trị biểu thức:
A = 15a2 8a 15 16

  Với a = 3 5

5  3

Giải:
Ta có: a = 3 5

5  3 => a 15 = 3 + 5 = 8

A = (a 15 4)2

 = a 15 4

Thay a 15 =8 vào A ta được:

A = 8 4 = 4

Bài14: Cho A = 17x 8 3x

 

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

b) Rút gọn A, tìm giá trị lớn nhất của A
c) Tính A khi x = 27 - 6 10

Giaûi:

a) A có nghóa <=> 8 0

8 3 0

x
x

 





  


 <=>
8
17

x
x









( vì: x  8 - 3 = 0 <=> x  8 = 3 <=> x – 8 = 9 <=> x = 17

b) A = ( (17x 8 3)(x)( xx8 3)8 3)

    = 2 2

(17 )( 8 3)

( 8) 3

x x

x

  

 

= (17 )( 8 3)

8 9

x x

x

  

  =  x 8 3

Vì: x  8 0 Neân A =  x 8 3  -3

A = - 3 khi x – 8 = 0 <=> x = 8
Vaäy AMax = - 3 <=> x = 8

c) Khi x = 27 - 6 10 thì:

A =  27 6 10 8 3   =  19 6 10 3  = (10 3) 2  3

=  10 3 3  = - ( 10- 3) – 3 (Vì : 10 > 3)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3. Cho a = 19 8 3 ; b = 19 8 3 . CMR a + b là một số nguyên:

Giải:

Ta có: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 38 + 2 2 2

19  (8 3) = 64

Vì a + b > 0 Neân a + b = 8 là số nguyên.

Bài15: Rút gọn

a. 1

3 5 -
1

3 5 =

3 5 (3 5)

(3 5)(3 5)

  

  = 2 2

2 5
3 ( 5) =

5
2

b. 7 3

7 3

 +
7 3
7 3

 =
2
2

( 7 3) ( 7 3)

( 7 3)( 7 3)

  

  =

7 2 21 3 7 2 21 3
5
7 3

    



 .

c. 2 3 10 15

1 5

  

 =

2(1 5) 3(1 5)

1 5

  

 =

( 2 3)(1 5)

1 5

 

 = 2 3

d. 2 3 3 2 6 3

1 3 2 1

     

 

   

     

    =

3( 3 1) 3( 2 1)

2 2

1 3 2 1

     

 

   

     

    =

(2 3)(2 3) = 2 ( 3) 12 2 

e. 6 4 2

2 6 4 2



  +

6 4 2

2 6 4 2



  = 2

6 4 2

2 (2 2)



  + 2

6 4 2

2 (2 2)



  =

6 4 2
2 2 2



 +

6 4 2
2 2 2




= (2 2)2

2(2 2)

 +
2
(2 2)
2(2 2)

 =
2 2
2


+ 2 2

2


= 2 2

Kiểm tra chủ đề 3
Baứi 1: Tớnh: 4.25.0,36 ; 2

49a ;

16
9

; 805 ; ( 0)

3
75

a
a
a

; 4121a2
Baøi 2: Tìm hai số a, b sao cho: ab  a b; a b  a b

Bài 3: Tính: ( 2 1)2

1
.
1
2
5
1
2
5
1













A .

Bài 4: Tính: 72 10  7 2 10

Bài 5: Tính: A = (1 2 3)(1 2 3);

b
a
b
b
b
a
B

:
 Đáp án

Bài 1: 6; 7 a ; 3

4; 4; 5;
2

a

Baøi 2: b = 0 , a  0

Baøi 3: Ta coù: ( 2 1)2

1
.
)
2
5
)(
2
5
(
)
2
5
)(
2
5
(
)
2
5
(
2
5












A = …=

= .( 211) 31

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

c' b'
a

c b

h

b c

A

Baøi 4: Ta coù:

...
2
5
2

5
)
2
5
(
)
2
5
(
10
2
7
10
2

7     2   2     

Ngy 22/10/2009
Ch 4:

Các dạng toán

về hệ thức lợng trong tam giác vuông
I. Mục tiêu.

- Cng c cỏc hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông.- Củng cố các
hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

- Biết vận dụng các hệ thức trên để làm các bài tập, ứng dụng các hệ thức trên
vào thực tế để tính tốn.

- RÌn cho häc sinh có kỹ năng tính toán chính xác.
II/ Thêi l ỵng :

6 tiết
III. Tiến trình dạy - học . 
1- K iÕn thøc cÇn nhí: :

* Hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông:
+ b2 = ab’

c2 = ac’,

+ h2 = b’c’

+ a.h = b.c
+

2 2 2

1 1 1

h a b

* HÖ thøc về cạnh và góc trong tam giác vuông:

b = a.SinB = a.CosC
c = a.SinC = a.CosB
b= c.TgB= c.CotgC
c = b.TgC = b.CotgB

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc  Tìm góc đó bằng cách tra bảng
- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vn

- Tõ hÖ thøc :

b = a.SinB = a . CosC

 a =
SinB

b
=

CosC
b
C = a. SinC = a . CosB

 a =
SinC

C
=

CosB
C

2.Bµi tập

Bài 1: Tính x và y trong hình vẽ

Giải.

Trong tam giác vuông ABC ta có:

AH2 = BH.HC ( Theo định lý 2 )

 22 = 1.x  x = 4.

AC2 = AH2 + HC2 ( Theo định lý Pytago)

AC2 = 22 + 42

AC2 = 20

 y = 20 2 5

Bài 2: Trong tam giác vng với các cạnh góc vng có độ dài là3 và 4, kẻ đờng cao
tơng ứng với cạnh huyền. Hãy tính đờng cao này bvà độ dài các đoạn thẳng mà nó
định ra trên cạnh huyền

Gi¶i.

* TÝnh h.

Ta cã 12 12 12

h 3 4 ( ®/l1)



2 2 2

2 2 2 2 2

1 4 3 5

h 3 .4 3 .4



 

 h 3.4 2, 4
5

 

ta l¹i cã 32 = x.a ( ®/l 1 )
2

3 9

x 1,8

a 5

   

y = a – x = 5 – 1,8 = 3,2

Bµi 3 :

TÝnh x, y ?

Giải:

2 2

y 7 9 ( Định lý Pytago)

y 130

 

1
2

x
y

B C

y
7

x y

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

mµ

x.y = 7.9 (Theo hÖ thøc a.h= b.c)

63 63

y 130

  

Baứi 4: Đờng cao của 1 tam giác vuông chia cạnh huyền thàmh 2 đoạn thẳng có độ dài
là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vng của tam giác nay

Giải 
Giả sử tam giác

Vuông có hai cạnh

Góc vng là x và y thì cạnh huyền là a = 1+ 2 = 3
Theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có
x2 = a.1 = 3  x = 3

y2 = a . 2 = 3.2 = 6  y = 6

Bài 5: 
C1 : Theo cách dựng ABC có

trung tuyến AO ứng với
BC bằng một nửa BC

nên ABC vuông tại A Vì vậy :
AH2 = BH.CH hay x2 = a.b

C2 : Theo cách dựng DEF có

trung tuyến DO ứng với cạnh huyền EF

và bằng nửa cạnh ấy nên DEF vng tại D .
Vì vậy DE2 = EI.EF hay x2 = a.b

Bµi 6.

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đờng phân giác của góc M
của tam giác ABM. D là chân đờng phân giác góc M của tam giác MBC.

a, Chøng minh ED // AC.

b, KỴ MH ED. Chøng minh MH2 = HE.HD

c, BiÕt DC 3

DB  vµ AC = 9cm, MH = 2cm. TÝnh chu vi cña tam giác MED4

Giải.

a, Chứng minh ED //AC.

Trong tam giỏc ABM có EM là đờng phân giác ( gt)

BE BM

EA AM

  ( T/c đờng pg trong của tam giác )
Trong tam giác BMC có DM là đờng phân giác ( gt)

BD BM

DC CM

  ( T/c đờng pg trong của tam giác )

b
x

H
B

O
A

b
x

a
D

E O

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 BE BD

EA CD

 ED //AC (áp dụng định lý Talet đảo trong tam giác ABC )
b, Chứng minh MH2 = HE.HD

Ta cã ME và MD là 2 tia phân giác của 2 góc kÒ bï

 EM MD ( T/c pg 2gãc kÒ bï )

tam giác MDE là tam giác vuông tại M.

 MH2 = HE.HD

c, TÝnh chu vi cña tam gi¸c MED.

Trong tam gi¸c ABC cã ED //AC ( cmt )
suy ra ED DB

AC BC (theo h q ®/l Ta let )
Ta l¹i cã DC 3

DB 4 

DB 4

DBDC 7

 DB 4

BC 7 

ED 4 36

AC  7  7

… c/m đợc

ME2 + MD2 = MH2 =

2
36

 

 

 

2ME.MD = 2.MH2 = 2.

2
36

 

 

 

suy ra ( ME + MD)2=

2
48

 

 

 

nªn ME + MD + ED =12

VËy chu vi cđa tam giác MDE là 12cm

Bài 7:Tỡm x, y v z trong mỗi hình sau (lấy 3 chữ số thập phân)

Bµi 8: Cho tam giác DEF có EF = 7 cm, Dˆ = 400, Fˆ = 580.

Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính (lấy 3 chữ số thập phân) :
a/ Đường cao EI

b/ Caïnh EF

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Baứi 9 . Cho hình vng ABCD. Gọi I là 1 diiểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt
nhau ở K. Kẻ đờng thng qua D, Vuụng gúc vi DI.

Đờng thẳng này cắt BC tài L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là 1 tam giác vuông.

b) Tổng 2

DI + 2

DK khoõng ủoồi khi thay đổi trên cạnh

AB

Hv ABCD, I



Gt DI cắt CB tại K
DL DI ( L



BC)

Kl a) DIL caân

b) 2

DI + 2

DK khơng đổi

Giải

a) Xét hai tam giác vuông DAI và DLC có
Â = Ĉ = 900

DA = DC (cạnh hình vng )

D1 = D 3 ( Cùng phụ với D2 )

 DAI = DLC ( g.c.g )
 DI = DL Nên DIL cân tại D

b) Ta có 2

DI + 2

DK = 2

DL + 2

DK (1)

DKL vng tại D có DC là đường cao tương ứng với cạnh huyền KL nên
2

DL + 2

DK = 2

DC (2)

Mặt khác DC không đổi ( DC là cạnh hình vng )  DC2 khơng đổi .Nên từ (1)

vaø (2)

 12

DL + 2

DK = 2

DC không đổi

 12

DI + 2

DK = 2

DC không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
Bµi 10.

Ta gọi bộ ba số nguyên dơng tơng ứng với độ dài ba cạnh của một tam giác vuông là
bộ số Pytago. Tìm bộ số Pytago trong các số dới đây.

a, ( 3; 4; 5 )
b, ( 9; 12; 15 )

c, ( 3n, 4n, 5n ) ( n nguyên dơng )
d, Cả ba bộ trên.

Bi 11. Tam giỏc vng có độ dài hai cạnh góc vng là 5cm và 7 cm. Nghịch đảo độ
dài đờng cao ứng với cạnh huyền của tam giác là :

L
K

B C

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a, 74
35

b, 74

1225
c, 74

35 d,
74
35

Bài 12 :Cho tam giác ABC có H là chân đờng cao kẻ từ A, M là trung điểm của AC. 
Tìm kết luận sai trong các kết luận sau.

a, AB2 + AC2 = BC2 suy ra tam giác ABC vuông tại B.

b, AB2 = BC.BH suy ra tam giác ABC vuông tại A.

c, AC2 = BC.CH suy ra tam giác ABC vuông tại A.

d, BM = AC

2 suy ra tam giác ABC vuông tại B.

Bi 13. Hãy khoanh tròn chữ cái đứng trớc kết quả đúng.

a, Độ dài đờng cao AH bằng :
A. 6,5 ; . 6 ; C. 5

b, Độ dài cạnh AC b»ng
A. 13; B. 13 ; .3 13

Bài 14:Tính S hình thang cân . Biết 2 cạnh đáy là 12
Cm và 18cm . gúc ỏy bng 750

Giải:

Kẻ AH ; BK  CD

Ta cã : AB = KH = 12 (cm)

 DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6
DH =

2
6

= 3 (cm)

AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196
SABCD =

2
).
(AB DC AH

196
,
11
).

18
12

( 

= 167,94 (cm)

Bài 15:  ABC có góc A = 200 ; Bˆ= 300 ; AB = 60cm . Đờng  kẻ từ C đến AB cắt

AB t¹i P ( h×nh vÏ) . H·y t×m
a) AP ? ; BP ?

b) CP ?

Giải:

Kẻ AH BC ; AHB  t¹i H

 AH = AB . SinB
= 60.Sin300 = 60.

2
1

= 30

 AHC ( Hˆ = 1v)
AH = AC. Cos400

 AC = 0

Cos
AH

= 0,766030 = 39,164

 APC cã ( Pˆ = 1v)
AP = AC.Cos 200

= 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP

C
H

B
A

4 9

B
C

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

= 60 – 36,802 = 23, 198
b)  APC ( Pˆ= 1v)

CP = AC. Sin200

= 39,164 . 0,342 = 13, 394

Kiểm tra chủ đề 4
Câu 1: Tính x , y trong mỗi hình

10 30 y

8 x 32

Câu 2: Giải tam giác vuông ABC. Biết gãc A = 900 ; AB = 5 : BC = 7 ( kÕt qu¶ gãc

làm trịn đến phút , về cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
Đáp án:

C©u1: a) x= 4,5; y= 7,5
b ) x= 18; y=40
 C©u 2 :

Ta cã : SinC =
BC

AB
7
5

 Cˆ = 45035’ ; Bˆ= 900 - Cˆ = 44025’

AC = BC. SinB = 7.Sin44025’



4,899

CHỦ ĐỀ 5: Ngµy 15/11/2009

HÀM SỐ BẬC NHẤT – ĐỒ THỊ HAØM SỐ y = ax + b ( a 0)

I. Mơc tiªu.

- Cđng cè các kiến thức về hàm số bậc nhất- Đồ thị hàm số y = ax + b ( a 0)

- Biết vận dụng các kiến thức trên để làm các bài tập, ứng dụng các kiến thức trên
vào thực tế để tính tốn.

- Rèn cho học sinh có kỹ năng tính tốn chính xác, kĩ năng vẽ đồ thị..
II/ Thời l ợng :

6 tiết
III. Tiến trình dạy - häc . 
A- K iÕn thøc cÇn nhí: :

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bỡi công thức y = ax + b, trong đó a, b

là các hệ số, a 0.

Trong trường hợp b = 0 ta được hàm số y = ax đã học ở lớp 7. Rõ ràng là
hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị thực của x.

Từ tính chất trên, thường xuất hiện dạng toán sau: Cho hàm số bậc nhất y =

ax + b mà a phụ thuộc vào tham số m( hay chữ số nào đó). Vấn đề là xác định m 
để hàm số đồng biến hay nghịch biến. Với dạng này ta chỉ cần nhớ rằng: a > 0 thì

hàm số đồng biến; a < 0 thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m-2)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến 
trên R? Nghịch biến trên R?

Giaûi

+ Hàm số đồng biến khi a > 0  m -2 > 0  m > 2

+ Hàm số nghịch biến khi a < 0  m -2 < 0  m < 2

2. Đồ thị hàm số bậc nhất.

Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm. Để vẽ đồ
thị của hàm số này, ta chỉ cần xác định hai điểm nó đi qua. Có thể sử dụng một
trong hai cách sau đây:

Cách 1: Xét y = ax + b.

Cho x = 0  y = b A(0; b)

Cho y = 0  x =

a
b

 B(

a
b
 ; 0)
Đồ thị là đường thẳng AB.

Cách 2: Cho x bằng hai giá trị tùy ý ( nhưng phải thích hợp) để tìm hai giá trị y 
tương ứng. Chú ý rằng giá trị x mà ta cho phải khôn khéo( hợp lý) để giá trị y tính
được thật nhanh, đồng thời số tính được phải là số biểu diễn dễ dàng trên đồ thị.

3. Phương trình hồnh độ để xác định giao điểm.

Cho hai đường thẳng y = ax + b và y = cx + d. Hai đường thẳng này có thể
trùng nhau, song song nhau hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất.

Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, gọi M( x0; y0) là giao điểm. Khi

đó, M nằm trên đường thẳng y = ax + b nên ta phải có y0 = ax0 + b. Mặt khác, M

cũng nằm trên đường thẳng y = cx + d nên ta cũng có y0 = ax0 + d. Như vậy:

ax0 + b = cx0 + d

Nói cách khác, x0 chính là nghiệm của phương trình bậc nhất

ax + b = cx + d  (a – c)x + (b – d) = 0 (1)

Vì vậy, ta thường nói rằng (1) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai 
đường thẳng đã cho.

4. Hệ số góc của đường thẳng, đường thẳng song song, đường cắt nhau.

Cho đường thẳng y = ax + b. Khi đó, ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng
này.

Xét hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b':

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Nếu a = a'( Hệ số góc hai đường thẳng bằng nhau):
Khi b = b' thì hai đường thẳng đó trùng nhau.
Khi b  b' thì hai đường thẳng song song.

 Nếu a. a' = -1 thì hai đường thẳng vng góc nhau.
5. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b. Ta đã biết, đường thẳng đi
qua điểm nào thì tọa độ của nó thõa mãn phương trình đã cho. Nếu biết trước
rằng đồ thị đường thẳng đi qua hai điểm thì ta sẽ xác lập được hai phương trình
cho phép giải ra a và b.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1; y1) và B( x2; y2).

Giải

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng y = ax + b. Ta cần xác
định a, b khi biết rằng đường thẳng này đi qua A, B.

Vì đường thẳng đi qua A nên nta có: y1 = ax1 + b (1)

Vì đường thẳng đi qua nên nta có: y2 = ax2 + b (2)

Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được:
y2 - y1 = a(x2 – x1 )  a =

1
2
1
2
x
x
y
y


(3)

Thay a ở (3) vào (1) ta được:
y1 = 









1
2
1
2
x
x
y
y

x1 + b  b = y1 - 








1
2
1
2
x
x
y
y

x1 =

1
2
1
2
2
1
x
x
x
y
x
y



Vậy phương trình của đường thẳng là: y =

1
2
1
2
x
x
y
y


x +
1

2
1
2
2
1
x
x
x
y
x
y



B. Bµi tËp:

Bài 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và N(6; 5)
Gi¶i:

Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và N(6; 5).
Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm có dạng:
y =
1
2
1
2
x
x
y
y



x +
1
2
1
2
2
1
x
x
x
y
x
y


2
2
1
4
8
4
2
2
6
2
.
5
6

.
3
2
6
3
5










 x x x

y

Bài 2: Tìm Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường 
thẳng y = 2x + 3.

Gi¶i:

Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường thẳng 
y = 2x + 3.

Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b.
Vì nó song song với đ/t y = 2x + 3 nên a = 2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Suy ra b = -1

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x – 1

Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua N( 5; 2) và vng góc với đường 
thẳng y = 2x + 1.

Gi¶i:

Phương trình đường thẳng đi qua N( 5; 2) và vng góc với đường thẳng
 y = 2x + 1.

Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b.
Vì nó vng góc với đ/t y = 2x + 1 nên a.2 = -1  a =

2
1

Phương trình của đường thẳng trở thành: y =  21 x + b
Vì đường thẳng cần tìm qua N(5; 2) nên: 2 =  21 .5 + b
Suy ra b = 29

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y =  12 x –
2
9

Bài 4: Xác định phương trình đường thẳng cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
0



 và cắt trục tung tại điểm có tung độ  0.
Gi¶i:

Xác định phương trình đường thẳng cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ  0

và cắt trục tung tại điểm có tung độ  0.

Đây là trường hợp đặc biệt với hai điểm A( ; 0) và B( 0; )

Tương tự bài tập 1: Đáp số: y = - 




x

(Đây được xem như công thức tổng quát để viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm với hai điểm đó nằm trên hai trục tọa độ)

Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 0) và vng góc với đường 
thẳng (k) có phương trình y = 2x – 3.

Gi¶i:

Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 0) và vng góc với đường 
thẳng (k) có phương trình y = 2x – 3.

Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b.
Vì nó vng góc với đ/t y = 2x – 3 nên a.2 = -1  a =

2
1

Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 0) nên: 0 =  21 .2 + b
Suy ra b = 1

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y =  21 x + 1

Bài 6: Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + 
1 ; y = 3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2x + 15

Gi¶i:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

y = 3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2x + 15

Hoành độ giao điểm của hai đưởng thẳng y = 2x + 1 ; y = 3x – 4 là nghiệm 
của phương trình 2x + 1 = 3x – 4, hay x = 5. Suy ra tung độ giao điểm là y = 2.5
+1 = 11. vậy ta có giao điểm M(5; 11).

Đường thẳng song song với đường thẳng y = 2 x + 15 có phương trình y =
2 x + b. vì đường này đi qua M nên 11 = 5. 2 + b, suy ra b = 11 - 5. 2 . Vậy

phương trình đường thẳng cần tìm là:
y = 2x + 11 - 5 2

Bài 7: a) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng qui:
2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0.

b) Xác định m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục
hoành.

(m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0
c) Xác định điểm trên trục hồnh nói ở câu trên.

Gi¶i:

a) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng qui:

2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0.

Viết lại phương trình của hai đường thẳng 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0 
như sau: y = 2x + 3; và y = -x – 3. Giao điểm của hai đường thẳng này có hồnh
độ là nghiệm của phương trình 2x + 3 = -x -3. Từ đó, giao điểm là M(-2; -1 ). Để
ba đường thẳng đồng qui, tọa độ M phải thõa mãn phương trình đường thẳng thứ
ba, tức phải có: a(-2) +1 -1 = 0  a = 0.

b) Xác định m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục

hoành.

(m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0

Điểm nằm trên trục hồnh thì có tung độ bằng 0. Do đó, muốn hai đường
thẳng (m – 1)x + my – 5=0 và mx + (2m – 1)y + 7 = 0 có giao điểm nằm trên trục 
hồnh thì ta có:

(m – 1)x + m.0 -5 = 0 và mx +(2m – 1).0 + 7 = 0

hay: (m – 1)x – 5 = 0 vaø mx + 7 = 0.

Theo định nghĩa hàm số bậc nhất, ta phải có m – 1 0 và m 0.
Từ mx + 7 = 0 ta có xm7 . Thay vào phương trình (m – 1)x – 5 = 0

 mx – x – 5 = 0  m

m
7


- m7 - 5 = 0  m =

12
7

c)Xác định điểm trên trục hồnh nói ở câu trên.

Thay m = 127 vào phương trình thứ` hai ta được 7 0
12



x

Từ đó ta có x = -12. Dễ dàng kiểm tra được x = -12 cũng thõa mãn phưuơng
trình (m – 1)x + my – 5 = 0.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 8: Lập phương trình của đường thẳng (d) qua B(2; 0) và vng góc với đường 
thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1).

Gi¶i:

Lập phương trình của đường thẳng (d) qua B(2; 0) và vng góc với đường 
thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1).

Lập phương trình đường thẳng MN:
y =

1
2

x
x

y
y




x +

1
2

1
2
2
1

x
x

x
y
x
y




= 1 0 2 3

0
).
1
(
1
..
3
0

1
)

3
(
1















x
x

Tiếp theo tương tự như BT 6 ta được y = 1
2
1



 x .

Bài 9: Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – 2 = 0; 2x + y–13 = 0;

x – 2y + 6 = 0. Hãy vẽ tam giác này, xác định tọa độ của các đỉnh và chứng minh
tam giác đó vng.

Gi¶i:

Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – 2 = 0; 2x + y – 13 = 0; 
x – 2y + 6 = 0. Hãy vẽ tam giác này, xác định tọa độ của các đỉnh và chứng minh 
tam giác đó vng.

Viết lại ba phương trình đường thẳng:
1

2
1




 x

y ; y = -2x + 13 ; 3

2
1



 x

y

Hệ số góc của ba đường thẳng này khác nhau nên chúng cắt nhau từng đơi
một. Ngịai ra, rõ ràng hai đường thẳng y = -2x + 13 ; 3

2
1



 x

y có tích các hệ số 
góc bằng -1 nên chúng vng góc nhau. Tiếp tục vẽ ba đường thẳng trên cùng mp
tọa độ rồi xác định ba giao điểm.

Kiểm tra chủ đề 5

Bài 1: Xác định phưong trình đường thẵng đi qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3).
Bài 2: Cho hai đường thẳng 3x – 5y + 2 = 0; 5x – 2y + 4 = 0. Viết phương trình 
đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng trên và

a) song song với đường thẳng 2x – y + 4 = 0
b) qua thờm im M(1; 4)

Đáp ¸n:

Bài 1: Xác định phưong trình đường thẵng đi qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3).
Đáp số: y = x + 1

Bài 2 : HD: Đưa các phương trình của các đường thẳng về dạng y = ax + b.

3x – 5y + 2 = 0  y =

5
2
5
3


x

5x – 2y + 4 = 0  y = 2
2
5

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a) Đáp số: y = 2x + 1930

b) Đáp số: y = 3578x3562

Chủ đề 6: Ngày 08/12/2009

Một số bài toán về Đờng tròn
I. Mục tiêu.

- Cng cố các kiến thức đờng tròn

- Biết vận dụng các kiến thức trên để làm các bài tập, ứng dụng các kiến thức trên
vào thực tế để tính tốn.

- RÌn cho häc sinh cã kü năng tính toán chính xác, kĩ năng vẽ hình.
II/ Thêi l ỵng :

5 tiết
III. Tiến trình dạy - häc . 
A- K iÕn thøc cÇn nhí: : 
1- S

ự xác định của đ ờng tròn:

1.1Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0).

Kí hiệu (O,R) là hình gồm các điểm cách điểm O một
khoảng bằng R .

Vị trí tương đối của 1 điểm và (O,R)

- A treân (O)  OA = R . (H1)

- B trong (O)  OB < R .

- C ngoài (O)  OC > R .

1.2- Sự xác định đường tròn .

-R
O

A

O1

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

O
N

Q
K

C I

D
A

B
a/ Qua 1 điểm xác định được vơ số đường trịn .

Tâm của chúng lấy tùy ý trên mặt phẳng . (H2)
b/ Qua 2 điểm xác định được vô số đường tròn .

Tâm của chúng nằm trên trung trực nối 2 điểm .
(H3)
c/ Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định được

1 đường tròn .Tâm là giao điểm 3 đường trung trực của tam

giác đỉnh là 3 điểm đó . (H4)

d/ Khơng thể xác định được đường trịn nào qua 3 điểm

thẳng hàng . (H5)

A B C

1.3-Ph ơng pháp chung:.

*Mun chng minh cỏc điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các 
điểm ấy cách đều 1 điểm cố định . Khoảng cách đều là bán kính của đường trịn .
* Để dựng 1 đường tròn ta cần biết tâm và bán kính .Tâm của đường trịn đi qua 
2 điểm A và B cho trước nằm trên đường trung trực của AB

2. Tính chất đối xứng của đ ờng trịn:
2.1: Chú ý:

a- Tâm của đường tròn là

tâm đối xứng của đường trịn đó .
b- Bất kỳ đường kính nào cũng
là trục đối xứng của đường tròn .
c- Đường kính vng góc với
dây cung thì chia dây cung ấy
thành hai phần bằng nhau
d- Đường kính đi qua trung điểm
của một dây cung không qua tâm
thì vng góc với dây cung ấy .

e- Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi
chúng cách đều tâm .

g- Dây MN lớn hơn dây PQ khi và chỉ khi
dây MN gần tâm hơn dây PQ .

B
A

O

O'
x

y

O
A

B

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

1
2

2 O
O

R
O

MN > PQ  OH < OK

2.2. Ph ¬ng ph¸p chung:

Vaọn dúng caực tớnh chaỏt ủoỏi xửựng cuỷa ủửụứng troứn , ta coự theồ tớnh ủửụùc ủoọ daứi baựn
kớnh ủửụứng troứn , ủoọ daứi cuỷa daõy cung vaứ khoaỷng caựch tửứ taõm ủeỏn daõy cung .
3. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và đ ờng trịn:

3.1- Các vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và đ ờng tròn:

Có 3 vị trí tương đối

R d

B
O

x A

R
d
O

x y

1- Có 2 điểm chung :(cắt nhau) 2- Có 1 điểm chung :(tiếp xúc nhau)

H
d
O

x y

3- Khơng có im chung :(ngoi nhau)
3.2. Ph ơng pháp chung:

Muốn xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường trịn thì ta chú ý độ dài
của khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng so với độ dài bán kính đường trịn R .
4. TiÕp tun ca đ ờng tròn:

4.1) xy laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O)  xy OA tại A .

4.2) Nếu 2 tiếp tuyến tại A và B gặp nhau tại M thì :
* MA = MB

* MO : tia phân giác AMB .

* OM : Tia phân giác AOB .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

-O

B C

4.3- Ph ơng pháp chung: Vn dụng các tính chất của tiếp tuyến với đường trịn để

chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường trịn , hai đường vng góc với
nhau , hai đoạn thẳng bằng nhau , tia phân giác của một góc , chứng minh được
một đẳng thức về độ dài các đoạn thẳng , tính độ dài của tiếp tuyến .

Chú ý : Cách vẽ tiếp tuyến với đường trịn từ một điểm ngồi đường trịn .
Ví dụ : Vẽ tiếp tuyến MA , MB với đường tròn (O) với M ngoài (O).

1. Vẽ đường nối tâm OM .

2. Lấy OM làm đường kính của đường trịn tâm I (I là trung điểm 
OM)

3. Hai đường tròn (I) và (O) cắt nhau tại A và B .

4. MA và MB là hai tiếp tuyến vẽ từ M với đường trũn tõm (O).

B
A

M O

5. Đ ờng trong ngoại tiÕp, néi tiÕp, bµng tiÕp: 
5.1- Đường trịn ngoại tiếp tam giác

Hay tam giác nội tiếp đường tròn .

O: Là giao điểm 3 trung trực của tam giác .

5.2-Đường tròn nội tiếp tam giác hay
Tam giác ngoại tiếp đường tròn
O: Là giao điểm 3 phân giác trong .

5.3- Đường tròn bàng tiếp tam giác .
O: Là giao điểm phân giác trong góc A

-K
A

B C

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

r
d
R

O A O '

r
R
d

O O ' A

d r
R

O O '

và 2 phân giác ngồi góc B và C .
(O) đường trịn bàng tiếp trong góc A .
(Tam giác có 3 đường trịn bng tip )

5.4- Ph ơng pháp chung: Vn dụng tính chất đường trịn ngoại tiếp , đường trịn

nội tiếp , đường trịn bàng tiếp ta có thể tính độ dài các cạnh , đường cao của tam
giác , chứng minh các điểm thẳng hàng , chứng minh sự song song và chứng minh
một số hệ thức liên hệ giữa diện tích tam giác với chu vi và bán kính các đường
trịn ngoại tiếp , nội tiếp.

6.Ba vị trí tương đối của hai đường trịn

6. 1- Có hai điểm chung (Hai đường trịn giao nhau )



* A,B : Hai giao điểm

* A,B đối xứng nhau qua OO’ (đường nối
tâm)

* AB OO' và HA = HB
6.2- Có 1 điểm chung (Hai đường tròn tiếp xúc nhau )

a) Tiếp xúc ngoài



b) Tiếp xúc trong .



6.3- Khơng có điểm chung (Khơng giao nhau )
a) Ngoài nhau



R r

B
A

O O ' R-r < d < R+r

d = R + r

. d = R - r

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

r
R

O
O '

O O '

b) Trong nhau .



6.4- Đồng tâm .

6.5- Ph ơng pháp chung: So sỏnh di ng ni tâm OO’

= d với bán kính R và r để biết được vị trí tương đối của hai
đường trịn (O,R) và (O’,r)

B. Bµi tËp:

Bài 1 : Cho hình thang ABCD , đáy nhỏ AB , đáy lớn CD ,
có C = D = 600 và CD = 2AD .

Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn .
H.dẫn: * I là trung điểm CD (I cố định) .

* AIDvà BCI đều  DI ICIAIB
* A,B,C,D cách đều I  A,B,C,D(I)

Bài 2 : Cho ABCvuông tại A có AB = 6cm , AC = 8 cm .Bán kính đường trịn đi
qua 3 đỉnh tam giác đó bằng :(Hãy chọn câu trả lời đúng)

A- 9cm ; B- 10cm ; C- 5cm ; D- 5 2 cm .

H.dẫn: Vận dụng định lý Pitago để tính AB2 + AC2 = BC2 .

=> 62 + 82 = BC2.=> 100 = BC2  BC = 10cm

R= 1/2BC =10/2 = 5cm .Vậy C đúng .

Bài 3 : Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm hai đường chéo ; M,N,R,S là 
hình chiếu của O lần lượt trên AB , BC, CD và DA . Chứng minh 4 điểm M,N,R,S

thuộc một đường tròn . B

H.daãn M N

* Chứng minh 4 tam giác vng

bằng nhau . C
SDO

RDO
NBO

MBO  

 A O

(vì cạnh huyền bằng nhau

,góc nhọn bằng nhau) S R

60 60

D C

I

A B

d < R- r

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

I O
N

C D

D
* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vaäy M,N,R,S (O).

Bài 4 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm,BC= 9cm. 
a-Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường

trịn .b- Tính bán kính đường trịn đó .

H.dẫn a- Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC, BD
Ta có : OA = OB = OC = OD

(tính chất 2 đường chéo hình chữ nhật)
- Do đó A,B,C,D (O).

b- Vận dụng định lý Pitago tính AC = 15cm .

Suy ra bán kính (O) = 1/2AC = 15/2 = 7,5 cm .

Bài 5: Cho đường tròn tâm O và một dây CD .Từ O vẽ tia vng góc với CD tại M
và cắt đường tròn tại H .Cho biết CD=16cm và MH = 4cm .

Tính bán kính R của đường trịn tâm O.

Hướng dẫn :

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông OMC
Ta có : OC2 = OM2+CM2 .

Mà CM= 1/2CD =16/2 =8cm .
Vaø OH = OC = R .

Do đó R2 = (R-4)2 + 82

=> R = 10cm .

Bài 6 : Cho(O,2cm) .MN là một dây của đường trịn có

độ dài bằng 2cm .Hỏi khoảng cách từ tâm O đến MN bằng các giá trị nào sau :
A- 1; B- 3 ;

C- 23 ; D- 13 .

Hướng dẫn : Tam giác OMN đều cạnh bằng 2 cm .

Khoảng cách từ O đến MN là đường cao tam giác đều .
OH = 3 )

2
3
2
(OH 

Bài 7:Cho (0,12cm) đường kính CD .Vẽ dây MN qua
trung điểm I của OC sao cho

NID = 300 . Tính độ dài dây MN .

Hướng dẫn: Vẽ OH MN

Xét tam giác vuông HOI có HIO = 300

nên là nửa tam giác đều .

Do đó OH = 3

2
6
2



OI

Xét tam giác vuông HON có
HN2= ON2- OH2 = 62 – 32

1 2
A

C
D

B
O

H
M
4

R
C

2
2
2

O
M

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Suy ra HN= 3 3 cm .
Mà MN = 2HN (t/c đường kính

và dây cung )
Vậy MN = 6 3cm

Bài 8 : Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn theo bảng sau
:

R d Vị trí tương đối

4cm 3cm (cắt nhau vì d<R )

5cm 5cm (Tiếp xúc nhau vì d = R )

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

A B

1 H

2 O

1 H

C
O
M

Bài 9 : Cho tam giác ABC có B > C ; AB = x ,AC = y và chiều cao AH = h .Hỏi
bán kính đường trịn tâm A có những giá trị nào để (A,R) cắt BC theo các thợp sau

1- Hai giao điểm nằm giữa B và C .
2- B và C nằm giữa hai giao điểm .
Hướng dẫn :

* Giả thiết B > C vaø AH BC .

Do đó y > x > h .

x y

N
A

B C

1- h < R < x . 2- R > y > x
.

Bài 10 : Cho tam giác cân OAB có OA = OB = 5cm , AB = 6cm . Hỏi bán kính R 
của đường trịn (O,R) phải có giá trị nào để đường trịn tiếp xúc với AB?

Hướng dẫn :

- Vẽ đường cao OH AB

=> HA = 6/2 = 3cm

- Suy ra OH = R = 4cm .

Bài 11 : Cho (O) , dây cung CD . Qua O vẽ đường OH CD

tại H , cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn ở điểm M.Chứng minh MD là
tiếp tuyến của đường trịn .

Hướng dẫn :

- Nối OD .Xét tam giác cân OCD có OH CD .

Suy ra HC = HD (Đường kính vng góc với dây qua trung điểm )
- OH là phân giác nên O1 = O2

- ( ) 900










OCM OMD c g c C D

Vây MD là tiếp tuyến với (O) tại D .

Bài 12 : Cho (O) và điểm M ngoài (O) . Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A,B là 2 tiếp
điểm) .Gọi H là giao điểm của OM với AB . Chứng minh :

a) OMAB .
b) HA = HB .

Hướng dẫn :

-R h y

N
A

M H

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

x
C

A B

D
I

MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến )
=> MABcân tại M

M1 = M2 (tính chất 2 tieáp tuyeán )

=> OM AB

HA = HB (Phân giác cũng là đường cao của tam giác cân)

Bài 13 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , vẽ Ax  AB ở cùng phía nửa

đường tròn .Gọi I là 1 điểm trên đường tròn .Tiếp tuyến tại I gặp Ax tại C và gặp
By tại D .Chứng minh rằng :

a) CD = AC + BD .

b) COD = 900

Hướng dẫn :

a) Ta coù CI = CA (1) .

DI = DB (2) (tính chất 2 tieáp
tuyeán ) .

Cộng (1) và (2) được

CI + DI = AC + BD 
Hay CD = AC + BD .
b) Ta có AOC = COI

(tính chất 2 tiếp tuyến )

vàBOD = IOD

=> AOC +BOD = COI + IOD = 1800/2 =900

Bài 1 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong(O,R) .Tính : 
a) Cạnh tam giác ABC theo R .

b) Chieàu cao AH theo R .

Gợi ý : Vận dụng tính chất tam giác vng có góc nhọn 600 hay 300 là nửa tam giác
đều để tính BH => BC = 2BH .

Hướng dẫn :

Goùc B1 = 300 => OH = ½ OB = R/2

BH2 = OB2 – OH2 = R2 –(R/2)2 => BH = R

2
3

Vậy BC = 2BH = 3R

Và AH = AO = + OH = R + R/2 = 3R/2

Bài 15 : Cho tam giác ABC (A = 1v) có AC = b ; AC = c . Gọi R là bán kính 
đường trịn ngoại tiếp và r là bán kính đường trịn nội tiếp .

Chứng minh b+c =2(R +r)

Gợi ý : Vận dụng tính chất 2 tiếp tuyến vẽ từ 1 điểm đến đường tròn .

B 1

R
O

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

O '
r

B C

I
K
H

O ' O

C
D

I
A

O O '

Hướng dẫn :
Ta có O’I BC

O’H AB (tính chất tiếp tuyến )

O’K AC

Do đó : AHO’K là hình vng
Suy ra AH = AK = r

Vaø CK = CI

BH = BI (tính chất 2 tiếp tuyến )

Ta có : AB + AC = AH + AK +BH +BI +CK +CI
= 2r + 2R = 2(R + r) .

Vaäy b + c = 2(R+r)

Bài 16 : Nêu rõ vị trí tương đối của (O,R) và (O’,r) theo bảng sau

TT R r d Vị trí tương đối

1 8cm 7cm 9cm

2 15cm 6cm 9cm

3 5cm 3cm 10cm

4 12cm 4cm 6cm

5 10cm 8cm 18cm

Gợi ý : 1- Vì R-r < d < R+r <=> (O) và (O’) giao nhau
2- Vì d = R - r <=> (O) và (O’) tiếp xúc trong

3- Vì d > R + r <=> (O) và (O’) ngồi nhau.
4- Vì d < R – r <=> (O) đựng (O’)

5- Vì d = R + r <=> (O) và (O’) tiếp xúc ngoài

Bài 17 : Cho (O) > (O’) cắt nhau tại A và B . vẽ các đường kính AOC và AO’D . 
Chứng minh 3 điểm B,C,D thẳng hàng .

Gợi ý : Nối B với C và B với D

Ta có : HA = HB và AO = OC

Suy ra HO là đường trung bình của tam giác ABC
. Do đó BC // HO (1)

Tương tự BD//HO (2)

Từ B ngoài OO’ chỉ vẽ được một đường thẳng song

song với OO’ (Tiên đề Oclit) .Vậy 3 điểm B,C,D thẳng hàng .

Bài 18 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Vẽ cát tuyến chung 
MAN sao cho MA = AN .Đường vng góc với MN tại A cắt OO’ tại I .

Chứng minh rằng I là trung điểm của OO’ .

Gợi ý : * Vẽ OH AM ; OK AN .

* Chứng minh hình thang HKOO’ có A
là trung điểm

Caïnh HK .

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

-M
A

O O '

C
M '

* Từ đó có AI là đường trung bình .
Nên I là trung điểm của cạnh OO’

Bài 19 : Cho hai đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi nhau tại A .Gọi M là giao 
điểm một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC và tiếp tuyến chung trong .Chứng
minh BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính OO’ tại M .

Gợi ý :

* Gọi M’ là trung điểm OO’ .

Chứng minh được OMO’ vng tại M

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

D-BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho ABC , các đường cao BH và CK .Chứng minh
a) 4 điểm B.K.C,H cùng thuộc 1 đường tròn .

b) So sánh KH với BC .

Bài 2 : Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vng góc nhau . Gọi 
M,N,R,S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và DA .Chứng minh rằng
4 điểm M,N,R,S cùng nằm trên một đường tròn .

Tiết 14 : TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Ngày soạn: 23/11/2008

Ngày dạy: 03/12/2008
C-BÀI TẬP .

C-BÀI TẬP TỰ LUYỆN .

Bài 1: Cho(O) , cung BC = 600 .Từ B vẽ dây BD vng góc với đường kính AC và

từ D vẽ dây DF song song với AC .Tính độ lớn các cung DC , AB , FD .

Bài 2: Một dây cung AB chia đường tròn (O,R) thành hai cung AmB = 2AnB .
a- Tính AmB và AnB .

b- Tính các góc tam giác AOB .

c- Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB theo bán kính R .

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Tiết 15 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG &ĐƯỜNG TRÒN

Ngày soạn: 30/11/2008

Ngày dạy: 10/12/2008
C- BAỉI TAP :

D- BAỉI TP T LUYỆN :

Bài 1 : Cho đường tròn (O) và 1 điểm A ở bên trong đường trịn đó .Chứng tỏ rằng
mọi đường thẳng đi qua điểm A đều cắt đường tròn (O) ở hai điểm .

Hướng dẫn : Dựa vào d < R .

Bài 2 : Cho đường tròn (O) và 2 đường thẳng d1 và d2 .Đường thẳng d1 khơng cắt

(O) cịn đường thẳng d2 cắt (O) tại 2 điểm A và B .

b) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2 .

c) Giả sử d1 cắt d2 và gọi l1 và l2 là khoảng cách từ tâm O của (O) đến d1

vaød2 .So sánh l1 và l2 .

Hướng dẫn :

a) d1 cắt d2 hoặc d1 // d2 .

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Tiết 16 : TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Ngày soạn: 07/12/2008

Ngày d¹y: 17/12/2008
C- BÀI TẬP :

D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 1 : Cho đường trịn (O,5cm) .Từ điểm M ngồi đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến 
MA,MB (A;B là 2 tiếp điểm) sao cho MA  MB tại M .

a) Tính MA , MB

b) Qua trung điểm I của cung nhỏ AB vẽ 1 tiếp tuyến (I là tiếp điểm ) cắt
OA , OB lần lượt tại C và D .Tính CD .

Bài2 : Cho đường trịn (O) đường kính AB , vẽ dây cung AC bất kỳ .Kéo dài AC 
một đoạn CD = AC .

a) Chuùng minh ABDcân .

b) Xác định vị trí của C để BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O rồi tính

góc DAB.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Tiết 17 : ĐƯỜNG TRÒN

NGOẠI TIẾP - NỘI TIẾP – BAØNG TIẾP

Ngày soạn: 14/12/2008

Ngày dạy: 22/12/2008
C-BÀI TẬP .

D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN .

Bài 1 : Cho tam giác ABC ; D là 1 diểm trên cạnh BC .Gọi O là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD . Chứng
minh 3 điểm B,H,O thẳng hàng .

Gợi ý : Chứng minh 3 điểm B,H,O cùng thuộc đường phân giác góc B

Bài 2 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O,r) có AB = c ; AC = b ; BC = a .
Chứng minh : Diện tích tam giác ABC = a b c r

2
)
(  

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

---Tiết 18: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN

Ngày soạn: 21/12/2008

Ngày dạy: 29/12/2008
 C/BAỉI TAP

D/ BAỉI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2) bằng nhau và tiếp xúc ngoài nhau tại

M .Đường tròn (O1) và (O2) cùng tiếp xúc trong với đường tròn

Lớn (O,R) lần lượt tại E và F .Cho biết chu vi tam
giác OO1O2 là 20cm .Tính bán kính R.

Trả lời : R = 10cm

Bài 2 : Cho hai đường tròn đồng tâm .Trong đường tròn lớn vẽ hai dây cung AB= 
CD và cùng tiếp xúc với đường tròn nhỏ (M,N là hai tiếp điểm ) sao cho AB CD

tại I .Tính bán kính đường trịn nhỏ , biết IA = 3cm ; IB = 9cm

Trả lời : Bán kính đường trịn nhỏ 3cm

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9

MƠN: TỐN

TÊN CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI
LOẠI CHỦ ĐỀ: NÂNG CAO

THỜI LƯỢNG: 8 TIẾT

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3 tiết)
1. Căn bậc hai.

 Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x2 = a. Khi đó ta kí

hiệu: x = a

Ví dụ 1: - 9 = 3, vì 32 = 9;

25
4
5
2
.
5
2
5
2
25



 vì ; …

 Số a > 0 có hai căn bậc hai là a 0và - a0 . Ta nói a là căn bậc

hai số học của số không âm a.

Ví dụ 2: Trong các số sau thì số nào là căn bậc hai số học của 9:

2
2
2

2; 3 ; ( 3) ; 3
)

(    .

Giải

Căn bậc hai số học của 9 là: (3)2; 32

 Số a < 0 không có căn bậc hai.

Số a = 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.

Nếu 0abthì a b, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Đảo lại, nếu a  bthì0ab.

Ví dụ 3: So sánh 7 và 47

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Ta có 7 49 47,dovậy7 47

2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A.

Ta ln có A2 A, điều này đúng với mọi số thực A, cũng đúng với mọi

biểu thức A, miễn là biểu thức đó có nghĩa. Như vậy :

0 
A
 
nếu
A

và
0 
A

nếu 2







A A

A2 .

Ví dụ 4: (1 3)2 1 3 (1 3) 31

Ví dụ 5: Tìm x để căn thức sau có nghĩa:

a)  3 x 4; b)

x

 2

1 ; c) 2 2

x
a 

Giải

d) Ta phải có: -3x + 4  0 hay x

3
4

e) Căn thức  21xcó nghĩa khi 0 2 0 2
2










 x x x .

f) Căn thức a 2 x2 ln có nghĩa vì biểu thức dưới dấu căn ln khơng

âm.

Ví dụ 6: Giải phương trình (2x1)2 3

Môït HS tiến hành giải như sau: Ta có: ( 2 1)2 2 1 3







 x x suy ra x = -1.

Lời giải trên đã sót đi một nghiệm, lời giải đúng như sau:
Ta có:





















2
1
x

khi
x

khix
x

x
x

1
2

2
1
1

2
1
2
)

1
2

( 2

Với x 21, ta có -2x + 1 = 3, suy ra x = -1
Với x > 21 , ta có 2x – 1 = 3, suy ra x = 2.
3. Các tính chất.

 Tính chất1: Nếu a 0 và b  0 thì a. b  a.b.

Chứng minh:

Đặt M = a. b;N  a.b , ta coù:

N2 = a.b. a.b a.b

Neân suy ra M2 = N2. Mà M và N là các số không âm nên ta có M = N, suy ra

điều phải chứng minh.

Ví dụ 7: Tính: 20. 50; 3a. 27a; 36.100.0,25; 81a2

Giaûi

.
10
10
10
.
100
50

.
20
50

20   

.
9
81
27

.
3
27

3a a a a a2 a




</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

.
9
.
81
81
.
30
5
,
0

.
10
.
6
25
,
0
.
100
.
36
25
,
0
.
100
.
36
2

2 a a

a  






 Tính chất 2: ba  ba; a  0, b > 0.

Chứng minh: Tương tự như trên.

Ví du 8ï: 49

81
16
81
16
;
25
11
225
121
225
121
;
3
5
9
25
9

25 a2 a2 a







 .
Chú ý:

c) Nói chung ta không có: ab  a b; a b  a b.

Ví dụ: 49 13,nhöng 4 9 235

16 9  7.nhöng 16  9 4 31.

d) Trong tính chất hai nói trên, có thể giả sử a  0 và b < 0. Lúc đó ta viết:

b
a
b
a


 .

 Tính chất 3: ( Đưa thừa số ra ngồi dấu căn )

B
A
B
A2. .

 ( B  0)

Ví dụ 9: 28a4b2 28(a2b)2 ba2 28


 .

 Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào trong dấu căn).
A B A2B

 (A  0, B  0 )

A B A2B


 ( A < 0, B  0)

Ví dụ 10: - 0,05 28800 (0,05)2.28800 0,05.5.288 72 6 2









 Tính chất 5: ( Trục căn thức ở mẫu)

B
AB
B

AB



2 (A  0, B > 0)

B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A






1 ( B > 0)

Chú ý: A B( A B)được gọi là lương liên hiệp của A B( A B),
vì ta có ( A B)( A B) A B

Tổng quát: X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức,
nếu XY khơng cịn dấu căn.

Thông thường, việc nhân chia tử và mẫu của một phân thức cho lượng liên

hiệp khiến cho biểu thức gọn gàng hơn. Chính vì vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng,
khi gặp bài tốn địi hỏi phải đơn giản hoặc tính một biểu thức chứa căn thức ở 
mẫu, việc đầu tiên, ta nghĩ đến các lượng liên hiệp.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Chú ý: Trong thực hành tính tốn, đôi khi ta cần rút gọn một biểu thức chứa
căn thức phức tạp, hoặc cần phải chứng minh một đẳng thức bằng những biến đổi.
Khi đó ta cần biết khơn kh vận dụng tổnghợp 5 tính chất trên để biến đổi. Điều
này có được bằng kinh nghiệm và kỷ năng tính tốn, khi ta quen dần các bài tóan
từ đơn giản đến phức tạp hơn.

Ví dụ 12: Tính M = 10a2 - 4 10a + 4 với a =

2
5
5
2

Giaûi

M = ( 10a-2)2 . Thay giá trị của a vào biểu thứcnày.

M = 2 ( 4 25 2) 25

2
50
5
20
2
2
5

5
2
10 2
2
2



































Ví dụ 13: Cho bểu thức 10

5
5
5
5
5
5
5
5








B . Rút gọn rồi chứng minh B <

Giải
Ta có:
10
3
20
)
10
3
(
20
20
10
20
60
5
25
10
).
5
25
(
5
10
5
25
5
10
5
25
)

5
5
)(
5
5
(
10
).
5
5
)(
5
5
(
)
5
5
(
)
5
5
(
10
5
5
5
5
5
5
5

5 2 2

































B

Vì 3 < 10 nên 3 - 10< 0. Vậy B < 0

Ví dụ 14: Tính . 31 5

3
3
15
2
3
3
1
3
2














A .
Giải

Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta có:

2
1
3
5
1
).
5
3
(
2
1
3
5
1
.
2
3
5
2
15
6
3
3

1
3
3
5
1
.
6
)
3
3
(
15
1
)
2
3
(
3
2
)
1
3
(
2
5
3
1
.
)
3

3
)(
3
3
(
)
3
3
(
15
)
2
3
)(
2
3
(
)
2
3
(
3
)
1
3
)(
1
3
(
)

1
3
(
2




























 



























A

4. Căn bậc ba.

Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x3 = a, ký hiệu x = 3 a.Ta thừa

nhận kết quả: Mọi số thực đều có một căn bậc ba tương ứng.
Ví dụ: 3 27 3;3  27 3

Ta công nhận các tính chất sau:
4.1 Nếu a a 3 b.

4.2 Với mọi a, b ta có: 3 a.3 b 3 a.b

 .

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Ví dụ 15: Chứng minh: 
)
.
)(
(
)
.
)(
(
3
3
3 2
3
3
3

3
3 2
3
3
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a











Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức A3 – B3 = (A –B)( A2 + AB +B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 – AB + B2)

Và tính chất 2, ở đây A = 3 a và B = 3 b .

Ví dụ 16: Theo chú ý ở trên, X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y 
có chứa căn thức, nếu XY khơng cịn dấu căn. Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên
nhiệp của 3 x  3 alà (3 x2 3 ax 3a2)



 .

Ví dụ 17: Trục căn thức ở mẫu cho biểu thức 3 21
2



x
x

với x -1

Giải

Ta có: 3 21
2



x
x
=
1
)
1
)(
2

( 2 3 2 3





x
x
x
x .

5. Kiến thức mở rộng.
5.1 Căn bậc n.

A được gọi là căn bậc n của B nếu An = B.

Một số A 0 có hai căn bậc 2n, kí hiệu 2n A và -2n A.

Một số A bất kỳ có một căn bậc hai bậc 2n + 1, ký hiệu 2 n 1 A.

Như vậy, đối với số thực, căn bậc hai lẻ luôn tồn tại, trường hợp căn bậc ba
đã học chính là đặt biệt của một căn bậc lẻ. Còn đối với căn bậc chẵn ( còn căn
bậc hai là trường hợp đặt biệt) chỉ tồn tại cho số không âm. Đối với số A 0, ta
cũng gọi 2n A là căn bậc 2n số học của A.

5.2 Tính chất căn thức: Trong các công thức sau đây, ta qui ước rằng biểu 
thức dưới dấu căn làm cho căn thức có nghĩa.

A
A
B
A
B
A
B
A
B

A n n n

n
n
n
n
n


 . ; ;( )

. ( các tính chất này đúng cho mọi số

nguyên n 2 miễn A, B thích hợp để căn thức có nghĩa),
A

A
m m

 ( m chaün).

Qui tắc khai căn một căn thức: k n A nk A.

Qui tắc nâng một căn thức lên một lũy thừa: (n A k n Ak



) (Hai công thức trên

đúng cho mọi n2 và k 1).

Ví dụ 18: 5 4 x 20x ; (3 a)4 3 a4

Ví dụ 19: Tính giá trị của biểu thức:
8
2
4
2
2
8
2
4

2
2
2
2








x
x
x
x
x
x

C Khi x =3

Giải

Ta có: 2 ( 2 2)2

2
2
)
2
2

(
2
2






x
x
x
x
C

Với x =3 > 2 2 , các căn thức bậc hai đều có nghĩa và các mẫu thức đều

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

2
2
1
2
2
1




x
x
C

Thay x = 3 ta được:

2
)
1
2
)(
1
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
1
2
1
1
2
1
)
1
2
(
1

)
1
2
(
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2

2   


















C

Ví dụ 20: Với a 1 . a4(a b)2.
b
a
A 


Giải

Với a < b < 0, ta có:

  2

2
2

2
4

4( ) 1 . . ( ) . ( )

.
1
a

b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
a

A   














Ví dụ 21: Chứng minh rằng: 40 2 57  40 257 là số ngun.

Giải

Ta có: 40 2 57 ( vì 3200 < 3249) nên:

A= 40 2 57  40 257= 57 40 2  40 257

100
)
2
40
57
)(
2
40
57
(
2
2
40
57
2
40
57

2








A

Vaäy A = 10 hay A = -10. Nhưng kết quả là A = -10. Vì 57 - 40 25740 2.

II. BÀI TẬP ( 5 tiết)

Bài 1: Tính: 4.25.0,36 ; 49a2 ;

16
9

; 805 ; ( 0)
3
75

a
a
a

; 4121a2
Baøi 2: Tìm hai số a, b sao cho: ab  a b; a b  a b

Bài 3: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 là bình phương của một số tự nhiên
( Những số như thế được gọi là số chính phương ). Em hãy tính thật nhanh các số

15876
;

3249
;

4225 mà không dùng máy tính.

Bài 4: Tính: ( 2 1)2

1
.
1
2
5
1
2
5
1













A .

Bài 5: Tính: 72 10  7 2 10

Bài 6: Tính: A = (1 2 3)(1 2 3);

b
a
b
b
b
a
B


 :

Bài 7: Chứng minh với a > 0, a 1, ta có:

1
1
1
1
1 2























a
a
a
a
a
a

Bài 8: Cho biểu thức 













2
2
2
3
.
1
yx
xy
y
y
x
x
x
y
x
N

Với x > 0; y 0và x y. Rút gọn biểu thức N.

Bài 9: Thực hiện phép tính:





















3
2
1
:
1
1
2
2

2
3
3
2
3

Bài 10: Tính giá trị của biểu thức sau với x = 8:
)
16
8
.(
16
4
4 2
2
2






 x x

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Bài 11: Cho biểu thức 
























 1
3
2
2
:
9
3
3
3
3
2
x

x
x
x
x
x
x
x

P . Với x 0 và x

 9.

d) Rút gọn P.
e) Tính x để P < 31

f) Tìm giá trị bé nhất của P.
Bài 12: So sánh: 53 6 và 63 5.

Bài 13: Trục căn thức ở mẫu:
a) 3 33

13
11

27
34



 b)

3 5 6

14


Bài 14: Nếu (-2 +x2 )5 = 1 thì x bằng bao nhiêu?

Bài 15: Cho biểu thức: 


















 1
1

3
:
1
1
3
2
x
x
x

Q với -1 < x < 1

a) Rút gọn Q.

b) Tính giá trị cuûa Q khi x = 4 2-5.

Bài 16: Cho biểu thức: P = xx xx xx xx








1
2
2
1
2

3
9
3

, với x 0 và x 1

a) Rút gọn P.

b) Tìm gía trị nguyên của x sao cho P có giá trị nguyeân.

Bài 17: Cho biểu thức: ( 1): 1 2 1 3

2
2
2
2
2





















x
x
x
x
x
x

A , với x 0.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.

Bài 18: Cho: 






 

















2
1
:
1
1
1
1
2 x
x
x
x
x
x
x
x
A

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Chứng minh rằng A > 0 với mọi điều kiện của x để A có nghĩa.
Bài 19: Cho biểu thức: 152 113 31 2  2 33








x
x
x
x
x
x
x
Q

a) Rút gọn Q.

b) Tìm gía trị của x để Q = 0,5.

c) Tìm x để Q nhận giá trị lớn nhất. Tìm gía trị lớn nhất đó.
Bài 20: Chứng minh rằng:

a) 2 2 1 12 1 21













a
a
a
a
a
a
a
a

, với a > 0, a 1.

b) 1

3
2
4
2
3

2
3
2
4
2
3
2









c) x

x
x
x
x
x
x
























 1
1
1
1

1 , với x > 0, x 0.

d) 17

2
3
1
1

1
2
2
2
2
2
2






z
z
y
y
x

x , Với x, y, x > 0 và x + y + z 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

a) A 5 3 2912 5.

2
6

48
13

5
3
2






B

III. HƯỚNG DẪN GIẢI BAØI TẬP. ( Xem trong tài liệu )

</div>

tu chon toan 9 hay



















































<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về