Tài liệu Sang kien kinh nghiem cuc hay

Phần I: Đặt vấn đề
Học sinh ở khối lớp 10 chất lợng học tập nói chung là còn yếu, có thể do
bỡ ngỡ vì thay đổi môi trờng ở THCS lên THPT. Phải có thời gian làm quen với
trờng mới, bạn mới, thầy cô mới và cũng có thể là phơng pháp học mới. Vì vậy khi
tiếp cận với các bộ môn ở THPT các em phần lớn bớc đầu đều thể hiện khả năng
tiếp thu chậm, học trớc quên sau, đặc biệt môn Toán là môn cơ bản . Đối với ch-
ơng trình toán lớp 10 khi bớc sang phần bất đẳng thức là một phần toán đòi hỏi
học sinh phải t duy nhạy bén và có kỹ năng giải bài tập linh hoạt nên các em thờng
gặp khó khăn khi tiếp cận bài toán. Nhất là khi gặp phải các bài toán chứng minh
Bất đẳng thức, các em thờng lúng túng không biết giải quyết vấn đề nh thế nào. để
giúp các em giải quyết tốt phần bài tập này tôi nghĩ cần phải đa ra một hệ thống
bài tập và các phơng pháp giải cơ bản trong phạm vi kiến thức toán các em đã đợc
học. Do vậy tên đề tài là: '' Một số phơng pháp giải bài tập BĐT' dành cho học sinh
lớp 10.
Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phơng pháp giải bài
tập bất đẳng thức ở toán lớp 10, giúp các em có đợc một số kỹ năng, kỹ thuật khi
làm bài tập về bất đẳng thức.
Phần II: giải quyết vấn đề.
A: Nội dung
I: Cơ sở l y luận.
1/ Sử dụng định nghĩa và biến đổi t ơng đ ơng .
a) Kiến thức:
xR , x
2
0
xR , x 0

0x...xxNn,n,...,2,1i,0x
n21i
+++=

0a b a b
> >


a b
a c
b c
>

>

>



; 0
; 0
; 0
ac bc c
a b ac bc c
ac bc c
> >


> = =


< <

,a b c d a c b d
> > + > +

,a b c d a c b d
< < + < +

,a b c d a c b d> < >

,a b c d a c b d
< > <

b) Bài toán:
Bài toán 1:
Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:

( ) ( )
2 2 2 2 2
1a b c d e a b c d e
+ + + + + + +

Giải:

( )
2 2 2 2 2
1 0a b c d e ab ac ad ae
+ + + +


2 2 2 2
2 2 2 2

0
4 4 4 4
a a a a
ab b ac c ad d ae e

+ + + + + + +
ữ ữ ữ ữ



2 2 2 2
0
2 2 2 2
a a a a
b c d e

+ + +
ữ ữ ữ ữ

đúng (đpcm)

Bài toán 2:
Cho
,a b R

. Chứng minh rằng:

2
2 2
2 2

a b a b
+ +


ữ

(1)
Giải:

( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
1
4 2
2 2 2
2 0
a ab b a b
a ab b a b
a ab b
+ + +

+ + +
+


( )
2
0a b

đúng (đpcm)

Bài tập 3 :
Chứng minh rằng:

.Rz,y,x;zxyzxyzyx
222
++++
Giải:
Ta có:

( )
( )
zxyzxy2zyx2
xz2xz
yz2zy
xy2yx
222
22
22
22
++++





+
+

+

zxyzxyzyx
222
++++
. (đpcm).
Bài tập 4: Chứng minh rằng với
1a b


2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
(1)
Giải:

( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 0
1 1 1 1
0

1 1 1 1
a ab b ab
ab a ab b
a ab b ab
+
+ + + +

+
+ + + +

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2

2 2
0
1 1 1 1
0
1 1 1
0
1
1 1
1
0 2
1 1 1
a b a b a b
a ab b ab
b a
a b
ab a b
b a
a ab b ba
ab
a b
b a ab
ab a b

+
+ + + +



ữ
+ + +

+
ữ

ữ
+
+ +



+ + +
Vì a b 1 ab 1 ab 1 0 (2) đúng (đpcm)
Bài tập 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2000y3x3yxyxP
22
+++=
Giải:

( ) ( )
1998yxxy1y1xP
22
+++=

( ) ( ) ( ) ( )
19971y1yx1y1x
22

+++=

( ) ( ) ( )( )
19971y1x1y1x
22
+++=

( ) ( )
19971y
4
3
2
1y
1x
2
2
++







+=

1997P

.Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi
1yx

==
Bài tập 6:
Cho
[ ]
2;0c,b,a

và
3cba
=++
. Chứng minh rằng:

.5cba
222
++
Giải:
Đặt
[ ]




=++






+=
+=

+=
1;1,,
0
1c
1b
1a





BĐT


2
222
++

Trong 3 số

,,
luôn tồn tại 2 số cùng 0, hoặc cùng 0. Giả sử 2 số
đó là:

,
. Khi đó:

( )
.222
22

2
222222
=++=+++++

II: Sử dụng tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng
( ) ( )
0a;cbxaxxf
2
++=
. T am thức
có nghiệm khi
0ac4b
2
=
.
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

2 2 2
; , ; 1.pa qb pqc p q p q
+ > + =
Giải:
BĐT
( ) ( )
2 2 2
1 1 0; .pa p b p p c p
+ >

( )
( )
2 2 2 2 2 2
0;f p c p a b c p p p
= + + >

( )
22
2
222
cb4cba
=


( )
[ ]
( )
[ ]
2
2
2
2
cba.cba
+=

( ) ( ) ( ) ( )
0a b c a b c a b c a b c
= + + + + <

Do đó:

( ) ( )
2
0 ; 0; .c f p p f p p
> >
Bài tập 2:
Chứng minh rằng:

Rz,y,x;0xy36y24xz16z16y54x19
222
+++
Giải:
Xét:
( ) ( )
y24z16y54xy18z82x19xf
222
++=
Ta có:

( )
22'
x
z240y168y702yg
+==
.

Ta lại có:

( )
0z161424z240.702z84
22

2
'
y
==

( ) ( )
0xf0yg
'
x
=
. Vậy ta có (đpcm).

Bài tập 3:
Cho
2 2 2 2 2 2
0p q a b c d
+ >
. Chng minh rằng:

( ) ( )
( )
2
222222
bdacpqdcq.bap
Giải:
Xét:
( )
( )( )
.0dcqbapbdacpq
222222

2
'
=
Theo (gt)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0p a b q c d
+ >
ít nhất một biểu thức d-
ơng, chẳng hạn:

2 2 2
0.p a b
>
Xét:
( )
( )
( )
( )
2222222
dcqxbdacpq2xbapxf
+=


( ) ( ) ( )
222
dbxcaxqpx
=

0d
p
bq
c
p
aq
q
p
f
22

















+

=










( )
( )
xf0
q
p
f.bap
222

có nghiệm. Do đó
0
'

. Vậy:

( ) ( )
( )
2
222222
bdacpqdcq.bap
.
Bài tập 4:
Cho
( )
z,y,x
là nghiệm của hệ phơng trình:




=++
=++
4zxyzxy
8zyx

222

Chứng minh rằng:

3
8
z,y,x
3
8

Giải:
Hệ
( )



=++
=++

4zxyzxy
16zyx
2
Đặt
4t x y z t= + + =
Ta có:

( )

+=
=+




+=
=+
4txxyz
xtzy
zyx4yz
xtzy
2
Theo ĐL Viet thì
( )
z,y
là nghiệm của phơng trình:

( )
( )
04txxuxtu
22
=++
Vì
( )
z,y
luôn tồn tại nên phơng trình luôn có nghiệm

( )
( ) ( )

0t16tx2x304txx4xt
222
2
++=
Mà
2 2
8
0
8 8
3
4 16 3 2 0
8
3 3
0
3
x
t t x tx x
x



= =





Tơng tự, ta cũng có:
3
8

z,y
3
8

. Vậy ta có (đpcm).
Bài tập5:
Tìm MGT của hàm số:

4xx
1x2
y
2
++

=
Giải: