Đề tài: “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA”

Đề tài:
“ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM THỜI GIAN TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA”
Đặt vấn đề
Trong các năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi tỉnh và đặc biệt là đề thi tuyển sinh đại
học thường xuyên gặp các bài tốn liên quan đến tìm thời gian trong dao động điều hịa,
khi gặp các bài tốn này học sinh thường gặp khó khăn khơng đưa ra được phương pháp
giải nhanh, cịn lúng túng vì phải nhớ nhiều cơng thức, nhiều dạng tốn, do đó tơi đưa ra
phương pháp chung để giải bài tốn tìm thời gian về dao động điều hịa vì:
- Chủ đề Dao động điều hịa là sợi chỉ xuyên suốt chương trình vật lý lớp 12 từ
chương I đến chương IV,
- Do đó việc nắm được phương pháp giải các dạng toán trong một chương kỹ và sâu
sắc là rất quan trọng để giải các bài tập tương tự trong các chương khác.
Mỗi dạng toán đều đưa ra những lời giải ngắn gọn dễ hiểu và thường “ sử dụng mối liên
hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều”. Xen kẽ những bài tập tự luận
cịn có những bài tập trắc nghiệm mà đưa ra cách giải nhanh mà khơng cần tính tốn.
Do thời gian viết cịn ngắn, đề tài của tơi cũng khơng thể nêu hết các dạng tốn
nên tơi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ và các em học sinh để đề tài
của tôi được hồn thiện hơn.

Tơi xin chân thành cảm ơn!

1


Phương pháp giải bài tốn tìm thời gian trong dao động điều hòa
Phần I. Dao động cơ điều hòa
A. Lý thuyết
1.Định nghĩa.
Dao động điều hịa là dao động có li độ là hàm cosin hay sin của thời gian.
2.Phương trình dao động điều hịa.

Trong đó : A biên độ dao động,
w: Tần số góc,
: Pha ban đầu.
: Pha dao động
3.Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa.
- Vận tốc:
- Gia tốc:
4.Chu kỳ và tần số.
- Chu kỳ của dao động điều hòa (T): Là khoảng thời gian ngắn nhất vật thực hiện dao
động toàn phần.

-Tần số ( ): của dao động điều hịa là số dao động tồn phần vật thực hiện trong 1 (s)
2


5.Hệ thức

6. Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động trịn đều.
a, Một dao động điều hịa có thể biểu diễn bằng vectơ quay.
Biểu diễn dao động điều hòa

bằng vectơ quay

theo các bước:

-Gốc tại gốc tọa độ của trục
-Có độ dài bằng biê độ dao động
-Hợp với

1 góc bằng pha ban đầu.

b, Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Một vật dao động điều hịa trên 1 đoạn thẳng ln có thể coi là hình chiếu của 1 điểm M
chuyển động trịn đều lên đường kính là 1 đoạn thẳng đó.

B.Các dạng bài tập.
Dạng 1: Xác định thời gian vật đi từ li độ
Phương pháp: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Thời gian vật đi từ li độ

bằng thời gian vật chuyển động trên đường tròn từ

điểm M đến điểm N
N

Do đó

K
3

M

O

H


-Tính góc
-

Bài tập áp dụng:
BÀI TẬP I.1: Một vật dao động điều hịa theo phươ ng trình
a) Hãy tính thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
b) Hãy tính thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
c) Hãy tính thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
d) Hãy tính thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
Bài giải
a,

b, Thời gian vật đi từ li độ
4


c,
O

A
H

M

d,

N

=>

Nhận xét: Do vật dao động có tính đối xứng nên thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ
đến li độ

bằng thời gian vật đi từ li độ

Hoặc thời gian vật đi từ

đến li độ

đến li độ

đến li độ

bằng thời gian vật đi từ li độ

.

Tương tự các trường hợp đối xứng khác. Ta có bảng sau khi

5


Dạng 2: Tìm thời gian để thỏa mãn điều kiện về năng lượng
Phương pháp:
- Ta tìm 2 vi trí

thỏa mãn điều kiện bài tốn theo cơ năng.

- Ta tìm thời gian giữa hai vị trí
BÀI TẬP I.2: Một vật dao động điều hịa theo phương trình: x = Acos(wt + )
Tìm khoảng thời gian ngắn nhất giữa nhất giữa những lần động năng bằng thế năng.
Bài giải

Ta có

, theo đề ra :

Ta tìm thời gian ngắn nhất khi vật đi từ li độ
H

O K

6

M

N


Từ hình vẽ ta suy ra

=

Nhận xét: Khi
=

Vậy cần ghi nhớ:

BÀI TẬP I.3:(Trích đề thi tuyển sinh đại học năm 2011):Một chầt điểm dao động trên
ox với biên độ 10 cm, chu kỳ 2 (s). Mốc thế năng tại vị trí cân bằng . Tốc độ trung bình
trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 thế năng
đến vị trí
A: 26,12 cm/s

Bài giải

là:
B: 7,32 cm/s

C :14,64 cm/s

7

D: 21,96 cm/s


Khi

-

-

A

-A
H

Từ hình vẽ thời gian ngắn nhất khi vật đi từ

K
N

M

BÀI TẬP I.4
Một lị xo có chiều dài tự nhiên lo= 40 cm được treo thẳng đứng đầu dưới có 1 vật có
khối lượng m thì ở vị trí cân bằng lị xo có chiều dài l=41cm. Cho g =10m/s2. Nâng vật
theo phương thẳng đứng đến vị trí mà lị xo bị nén 2 cm rồi buông tay cho vật dao động
điều hịa.
a, Viết phương trình dao động điều hịa chọn t = 0 lúc buông tay gốc tọa độ ở vị trí cân
bằng chiều dương hướng xuống.
b, Tính thời gian ngắn từ lúc thả đến khi lò xo dãn 2,5 cm lần thứ 2.
Bài giải
a, Độ biến dạng của lị xo
Tìm A: khi nâng vật đến vị trí lị xo nén 2 cm.
Khi đó vật có tọa độ x0= - 3cm.
8

O


A=
t=0

.
x=3cm

=
Vậy phương trình dao động điều hịa: x = 3cos(10
M2
b. Khi lò xo dãn 2,5 cm tọa độ vật

1,5

M0

Ứng với vật chuyển động trịn đều từ M0 đến M2

-3

O

3
M1

Dạng 3:Tìm thời gian thỏa mãn điều kiện lực
Phương pháp:
- Tìm hai vị trí x1 và x2 thỏa mãn điều kiện bài tốn theo lực.
- Tìm thời gian khi vật đó đi từ x1

x2

BÀI TẬP I.5 (TSĐH 2008) : Một con lắc lị xo treo thằng đứng, kích thích cho con lắc
lị xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt
0,4s và 8cm. Chọn trục x/x thẳng đứng theo chiều dương hướng xuống gốc tọa độ tại vị
trí cân bằng gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy g =
10m/s2,

= 10.

Tìm thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến khi lực đàn hồi có giá trị cực tiểu.
9

A.

s

B.

s

C.

s

D.

s

Bài giải:
Vật ở vị trí cân bằng: k

= mg

=

g=

g = 4cm

Biên độ dao động A>

Fmin = 0 khi lò xo không biến dạng => vật ở tọa độ x = -4cm.

Tìm thời gian ngắn nhất khi vật đi từ li độ x = 0 (điểm M 0) đến điểm có li độ x = -4 cm
(M1)
M
M
tmin = tMoM = tMoM1 + tM1M2 =
+
=
=
(s)
1

-8

O

1

-4

8

M0

Dạng 4:Tìm thời gian để thoả mãn điều kiện vận tốc
Phương pháp:
- Tìm 2 vị trí thỏa mãn điều kiện của vận tốc dựa vào công thức:
= A2 - ( ) 2
- Thời gian giữa 2 vị trí x1

x2

BÀI TẬP I.6 :Một vật dao động điều hòa với chu kì 2(s) biên độ dao động 5cm. Tính
thời gian ngắn nhất để vật tăng tốc từ 2,5 cm/s đến 5 cm/s
Bài giải:

10


=

=

v1 = 2,5

v2 = 5

, A = 5 cm

= A2 - ( )2 = 52 - 2,52

cm/s =>

cm/s

= A2 –

x1 =

= 52 - 52 = 0

Thời gian ngắn nhất khi vật đi từ li độ x1 =

x1 = 0 đến li độ x2 =

=

đến li độ x2 = 0 hoặc vật đi từ li độ

theo Bài tập I.1 là tmin =

= 1/3

Dạng 5: Tìm thời điểm khi biết số lần vật đi qua vị trí xM đã biết
Phương pháp:
- Xác định vị trí , hướng ban đầu M0 t = 0
- Xác định vị trí cần đi qua xM theo đề bài
- Phân tích:
+ Trong một chu kì vật đi qua vị trí bất kì 2 lần (trừ vị trí biên)
+ Chỉ cần tìm thời điểm vật đi qua vị trí xM lần thứ nhất kể từ thời điểm ban đầu (t1)

= nT + t1, n số dao động

11


BÀI TẬP I.7: Dao động điều hịa có phương trình x = 2cos( 2

) cm.Hỏi lần thứ

2007 vật đi qua vị trí có li độ x= -1cm là thời điểm nào?
A. t= 100,25s

B. t= 0,25s

C.t= 2006,25s

D. t = (0,25+ k)s

Bài giải
Cách 1:Lập luận để loại nghiệm sai
- Loại đáp án D vì thời điểm khơng xác định
- Loại đáp án C vì thời điểm lớn hơn nhiều t >
- Loại B vì t < 1T
Vậy cịn lại chọn A

Cách 2: lúc t = 0 vật ở vị trí M0 trên đường trịn có
Thời điểm lần thứ nhất vật đi qua x= -1 cm khi vật ở điểm M1 trên đường trịn:
M1

t1 =

α
-2

Lần thứ 2007 vật đi qua vị trí x= - 1 cm là:
t = 1003T+ t1=1003.1+ 0,25= 1003,25s

12

-1

0

Mo
2


BÀI TẬP I.8: Dao động điều hịa có phương trình là x = 2cos( 100

) cm. Hỏi lần

thứ 10 mà vật dao động có li độ x= -1 cm và đang đi về vị trí cân bằng là vào thời điểm
nào sau đây:
C.

D. Đáp số khác

Bài giải
Khác với Bài I.7 trong một chu kì chỉ lập lại trạng thái x = -1 cm một lần theo một
chiều dươngm
Cách 1: Thời điểm lần thứ 10

<=> t =

Lần thứ 10 có t > 0 ứng với K = 10 => t =

s => chọn đáp án B

Cách 2: t = 0 chất điểm chuyển động trên đường tròn ở điểm M0

Lần thứ nhất vật quay sang M1 trên đường trịn có tọa độ x2 = -1 cm
t1 = tM0M1=

-2

-1

0
H

1
K

13

M

M0

2


Vậy thời gian vật đi qua x= -1cm lần thứ 10 là : t = 9T+ t1 =

s

BÀI TẬP I.9 ( Đề TSĐH 2011): Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình
kể từ t = 0 chất điểm qua vị trí x= -2 lần thứ 2011 tại
thời điểm .
A.3015 s

B.6030 s

C.3016 s

D.6031 s

Bài giải
Tương tự như bài I.7
=1005T +

Dạng 6: Tính thời gian vật đi được quãng đường s kể từ lúc bắt đầu dao
động
Phương pháp:
-

Phân tích quãng đường S = n.4A + S0
trong đó n : là số dao động ;
S0 : là quãng đường vật đi được từ M1 => M2 lần thứ nhất

-

Xác định vị trí ban đầu M1 :

-

Xác định vị trí cuối M2 :
14

-

xác định thời gian t1 vật đi từ M1 đến M Xác định vị trí ban đầu M1 :

-

Vậy thời gian vật đi được quãng đường S là:t = n.T+ t1

BÀI TẬP I.10: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình :

a, Tính số lần và thời gian vật đi qua vị trí

Sau khi đi được quãng

đường s = 15 cm. Kể từ lúc bắt đầu dao động.
b, Tính số lần vật đi qua vị trí

và thời gian vật đi được quãng đường

S = 138 cm. Kể từ lúc bắt đầu dao động.
Bài giải
a, Số dao động:
M0
-

t = 0 vật ở M0
-6

Sau khi đi được S = 15 cm vật ở M1

3

6

O

M1
Hình vẽ I.10 a
S= 5.4A + 18= 138 cm
Số lần vật đi qua

lần thứ nhất tức là vật đi hết quãng đường S 0 =

18cm Ứng với vật chuyển động trên đường trịn từ M0

M2.

Hình vẽ I.10 b ta thấy vật khơng đi qua vị trí

lần nào.
-6

15

3

3 6

M0

M2

Mỗi chu kỳ vật đi qua vị trí

hai lần

Hình vẽ I.10 b
Vậy số lần vật đi qua

Khi hết quãng đường S = 138 cm là 10 lần.

Thời gian vật đi hết quãng đường S = 18 cm lần đầu là thời gian vât chuyển động
tròn đều từ M0

M2

Phần II: Vận dụng các bài tập tìm thời gian trong dao động điều
hịa vào dao động sóng cơ
BÀI TẬP II.11 :Sóng truyền với tốc độ không đổi v = 10 m/s từ điểm 0 đến điểm M
trên phương truyền sóng. Khoảng cách OM = d = 0,5 m với A không đổi.Thời gian
ngắn nhất li độ do động tại O giảm dần từ giá trị cực đại xuống còn nửa giá trị cực đại
bằng thời gian sóng truyền từ O tới M. Tìm tần số sóng.
Bài giải
-

Phân tích li độ sóng giảm từ giá trị cực đại A đến
hịa từ

-

là

Thời gian sóng truyền từ O đến M là

16

bằng thời gian khi vật dao động điều


-

Theo đề ra

= 0.3 s

Hz

BÀI TẬP II.12: Phương trình sóng tại 1 điểm trên phương truyền sóng cho bởi
(
tăng thì sau đó
A. 1,6 cm

) (cm). Vào lúc nào đó li độ sóng tại 1 điểm là 3 cm và li độ đang
và cũng tại 1 điểm nói trên li độ sóng là:
B. – 1,6 cm

C. 5,8 cm

Bài giải

Cách 1:
Lập luận để loại nghiệm sai
-

Sau

-

Thời gian li độ sóng tăng từ 3 cm đến 6 cm là
loại A,B,D

Đáp án là C.

Cách2:
- Ở thời điểm t li độ sóng u = 6cos(
=> cos(

) = 0,5 và li độ sóng đang tăng

Ta có u’ =

=> sin(

)=3

sin(

)<0

)=

17

D. – 5,8 cm


- ở t1= t + 1/8 =>u1= 6cos[
u1= 6[cos(

] = 6cos[

)cos

)+ ]

] = 5,8 cm.

Phần III. Vận dụng các bài tốn tìm thời gian trong dao động
điều hịa vào dao động điện xoay chiều .
BÀI TẬP III.13: Cường độ dòng điện trong mạch cho bởi phương trình :
A
a) Tìm thời gian ngắn nhất để cường độ dịng điện bằng khơng kể từ thời điểm ban
đầu.
b) Tìm khoảng thời thời gian ngắn nhất cường độ dòng điện đạt giá trị cực đại kể từ
t= 0.
Bài giải
a)

, i’ < 0

Phân tích : Tức là cường độ dòng điện tức thời giảm từ i1 =

đến i2 = 0

Tương tự trong dao động đều hòa bằng thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ x 1= A/2
theo đến x2 = 0 là

=> Vậy thời gian ngắn nhất thỏa mãn điều kiện bài toán :
M0

b

s
b) t = 0 => i1 =

n

-I0

, i’ < 0

đến i2 = I0 vật chuyển động từ M0 đến M

18

0

I0/2

I0 M

b


Tương tự trong dao động đều hòa bằng thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ x 1= A/2 theo
chiều âm đến x2 = A là

.

Vậy thời gian ngắn nhất thỏa mãn điều kiện bài toán

s

BÀI TẬP III.14: Một bóng đèn mắc vào mạng điện xoay chiều có tần số f = 50H Z điện
áp hiệu dụng u =220V. Biết rằng đèn chỉ sáng khi điện áp giữa hai cực bóng đèn đạt giá
trị

55 v.

a) Trong 1s mấy lần đèn sáng mấy lần đèn tắt.
b) Thời gian đèn sáng trong một chu kì và trong 1 s
c) Tỉ số thời gian đèn sáng và đèn tắt.
Bài giải
a, Giả sử điện áp đặt vào giữa hai đầu bóng đèn :

Để đèn sáng thì

1
cos100 t � =>
2

�
cos100 t �1
�
2
�
1
cos100 t �

�
2
�

1/2

-1/ 2

-1

0

Hình vẽ III.14
Từ hình vẽ III.14 phần gạch chéo trên đường tròn là thời gian đèn sáng
Còn lại là thời gian đèn tắt
Trong một chu kì đèn sáng 2 lần đèn tắt 2 lần, sô chu kỳ trong 1 s là:

19

1

Trong 1 s co 100 lần đèn sáng và 100 lần đèn tắt
b, Thời gian đèn sáng trong nửa chu kì

=
Vậy trong một chu kì thời gian gian đèn sáng trong một chu kì
=

=

=

=

Thời gian đèn sáng, tắt trong 1s

c, Tỉ số thời gian đèn sáng và đèn tắt là:

= 2: 1

BÀI TẬP III.15: Cường độ dòng điện trong mạch :

cos(100

) A. vào lúc

nào đó cường độ tức thời là 0,7A thì sau đó 0,03s cường độ dịng điện tức thời là:
A. 0,7A

B.- 0,7A

C1,2A

D. -1,5A

Bài giải
ở thời t :

cos(100

ở thời điểm t’= t + 0.03 => i’=

) = 0,7A
cos[100
20

]


=> i’=

cos[(100
cos(100

]=
) = - 0,7 A

 Chọn đáp án B

Phần IV. Vận dụng các bài tốn tìm thời gian trong dao động

điều hòa vào dao động điện điện từ
Bài tập IV.16: Hãy so sánh sự biến đổi các đại lượng trong dao động điều hòa con lắc lò
xo và dao động điện từ ?
Bài giải
a) So sánh các đại lượng của phương trình dao động điện từ tự do trong mạch dao
động và dao động con lắc lò xo

Thời gian

Dao động điện từ
Điện tích q

Dao động c
Dịng điện

21

Li độ


t=0

xm = A
q

0

q=0

t

q

i= q’

x
im = - I 0

x= 0

i= q’

i=0

b) So sánh dao động điện từ và dao động điều hòa con lắc lò xo về mặt năng lượng .
Thời gian

Dao động điện từ
Năng lượng điện
trường( Wđt)

t=0

Wđt max

Dao động con lắc lò xo

Năng lượng từ
trường (Wtt)

Wtt = 0

Thế năng

Wt max

Động năng
Wđ = 0

0

t

0

Wttmax

22

0

Wđmax


0

Wđt max

0

Wt max

Nhận xét:
Li độ x tương ứng với q
Thế năng của con lắc lò xo tương ứng với năng lượng điện trường trong mạch dao động
Động năng của con lắc lò xo tương ứng với năng lượng từ trường trong mạch dao động
BÀI TẬP IV.17(TSĐH 2010): Dao động điện từ trong mạch có chu kì T thì thời gian
giữa hai lần liên tiếp để năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường là:
A.T

B.

C.

D.

Bài giải
W = Wđ + W t = 2 W đ

=>

=>

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp năng lượng điện trường bằng năng lượng từ
trường là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điện tích của tụ đạt giá trị từ
đến

- q0

q0

M
tmin =
 Chọn đáp án B
Nhận xét:
23

N


Khoảng thời gian ngắn nhất giữa những lần động năng bằng thế năng bằng khoảng thời
ngắn nhất giữa những lần năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường là:
BÀI TẬP IV.18 (TSĐH 2007): Một tụ điện có điện dung C = 10µ được tích điện đến
hiệu điện thế xác định sau đó nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm
có độ tự cảm L = 1H. Bỏ qua điện trở của các dây nối .Lấy π 2 = 10m/s2. Sau khoảng thời
gian ngắn nhất là bao nhiêu ( kể từ lúc nối) điện tích của tụ điện bằng nửa giá trị ban
đầu ?
A.

B.

C.

Bài giải
Phân tích : Ban đầu bắt đầu nối điện tích của tụ cực đại q 0 sau khi nối nó giảm từ giá trị
cực đại q0 đến q =
=

tương đương trong dao động điều hòa vật đi từ li độ x1 = A đến x2

là

Vậy tmin =

=

s

Vậy chọn đáp án C
BÀI TẬP IV.19 (TSĐH2010): Một mạch dao động lí tưởng đang dao động điện từ tự do
tại thời điểm t = 0 điện tích của tụ điện đạt giá trị cực đại sau khoảng thời gian ngắn nhất
thì điện tích trên bản tụ điện bằng nửa giá trị cực đại.
A. 4

C.

D.

Bài giải

24


Phân tích : điện tích ban đầu của tụ đạt giá trị cực đại q 0 sau đó giảm bằng nửa giá trị
cực đại q =

Vậy

=> thời gian ngắn nhất là

=> T =

Vậy chọn đáp án C
BÀI TẬP IV.20 (TSĐH 2010): Xét hai mạch dao động điện từ lí tưởng. Chu kì dao động
riêng của mạch thứ nhất là T1, của mạch thứ hai là T2 = 2T1. Ban đầu điện tích trên mỗi
bản tụ điện có độ lớn cực đại q 0. Sau đó mỗi tụ điện phóng điện qua cuộn cảm của mạch.
Khi điện tích trên mỗi bản tụ của hai mạch đều có độ lớn bằng q (0 < q < q 0) thì tỉ số độ
lớn cường độ dòng điện trong mạch thứ nhất và độ lớn cường độ dòng điện trong mạch
thứ hai là
A. 2.

B. 4.

C.

1
.
2

D.

1
.
4

Bài giải
Từ hệ thức trong dao động điều hòa
Tương tự trong dao động điện từ:

(1)

Theo đề ra hai mạch dao động có cùng q0 ban đầu sau đó điện tích trên tụ hai mạch đều
giảm đến giá trị q
Mạch 1: từ hệ thức (1) Ta có
Mạch 2: từ hệ thức (1) Ta có

25