Tài liệu PP CƠ BẢN CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC CƠ BẢN
1. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.
 C¸ch chøng minh:
- Hai gãc ®ã ®ỵc t¹o thµnh bëi tia ph©n gi¸c cđa mét gãc kh¸c
- Hai gãc ®ã cïng b»ng gãc thø ba
- Hai gãc ®ã b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c
- Hai gãc ®ã b»ng tỉng hc hiƯu cđa hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau
- Hai gãc ®ã cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc ®ã cïng nhän hc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hc vu«ng gãc
- Hai gãc ®ã so le trong, so le ngoµi hc ®ång vÞ t¹o bëi mét ®êng th¼ng vµ hai ®êng th¼ng
kh¸c song song
- Hai gãc ®ã ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
- Hai gãc ®ã ë ®¸y mét tam gi¸c c©n
- Hai gãc ®ã lµ hai gãc cđa mét tam gi¸c ®Ịu
- Hai gãc ®ã t¬ng øng cđa hai tam gi¸c b»ng nhau hc ®ång d¹ng
- Hai gãc ®ã néi tiÕp (hay t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung) cïng ch¾n mét cung hc ch¾n hai
cung b»ng nhau.
- Hai gãc ®èi cđa h×nh b×nh hµnh; hay hai gãc kỊ mét ®¸y cđa h×nh thang c©n……
2. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
 C¸ch chøng minh:
- Hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của tam giác cân.
- Hai đoạn thẳng đó là hai cạnh của tam giác đều.
- Hai đoạn thẳng đó là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Hai đoạn thẳng đó có cùng số đo.
- Hai đoạn thẳng đó cùng bằng đoạn thẳng thứ ba.
- Hai ®o¹n th¼ng đó cïng b»ng tỉng, hiƯu, trung b×nh nh©n,… cđa 2 ®o¹n th¼ng b»ng nhau ®«i
mét.
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai ®o¹n bÞ chia tõ mét c¹nh bëi mét ®êng trung tun cđa tam gi¸c.
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai c¹nh ®èi cđa h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng)
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai c¹nh bªn cđa h×nh thang c©n

- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai ®êng chÐo cđa h×nh thang c©n (h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng)
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai d©y cã hai cung t¬ng øng b»ng nhau trong mét ®êng trßn hc hai ®-
êng b»ng nhau.
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai d©y c¸ch ®Ịu t©m trong mét ®êng trßn.
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai tiÕp tun c¾t nhau cđa mét ®êng trßn.
- Hai ®o¹n th¼ng đó lµ hai kho¶ng c¸ch tõ mét ®iĨm trªn tia ph©n gi¸c cđa mét gãc ®Õn hai
c¹nh cđa gãc ®ã……
3. D¹ng 3: Chøng minh hai ® êng th¼ng song song
 C¸ch chøng minh:
- Hai ®êng th¼ng ®ã cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba
- Hai ®êng th¼ng ®ã cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba
- Hai ®êng th¼ng ®ã cïng t¹o víi mét c¸t tun hai gãc ë vÞ trÝ so le trong (so le ngoµi; ®ång vÞ)
b»ng nhau hc hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
- Hai ®êng th¼ng ®ã lµ hai c¹nh ®èi cđa mét h×nh b×nh hµnh (h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh
vu«ng).
- Hai ®êng th¼ng ®ã cã mét ®êng th¼ng chøa ®êng trung b×nh, ®êng th¼ng cßn l¹i chøa c¹nh
®¸y cđa tam gi¸c (hay hai ®¸y cđa h×nh thang).
- Sư dơng ®Þnh lÝ Ta-let ®¶o……
4. D¹ng 4: Chøng minh hai ® êng th¼ng vu«ng gãc
 C¸ch chøng minh:
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học
- Hai ®êng th¼ng ®ã t¹o thµnh gãc b»ng 90
0
- Hai ®êng th¼ng ®ã chøa hai c¹nh (gãc vu«ng) cđa mét tam gi¸c vu«ng.
- Hai ®êng th¼ng ®ã song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c:
NÕu
a / /bvà c / /d và a c⊥
th×

b d
⊥
- Sư dơng kiÕn thøc: NÕu
a / /bvà c a⊥
th×
c b
⊥
- Hai ®êng th¼ng ®ã chøa hai ®êng chÐo cđa mét h×nh thoi (h×nh vu«ng).
- Hai ®êng th¼ng ®ã chøa hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc kỊ bï (hay ®êng ph©n gi¸c trong vµ
ngoµi t¹i mét ®Ønh cđa mét tam gi¸c).
- Mét ®êng th¼ng lµ ®êng cao (®êng trung trùc), ®êng th¼ng cßn l¹i chøa mét c¹nh cđa mét tam
gi¸c.
- §êng kÝnh ®i qua trung ®iĨm d©y vµ d©y.
- TiÕp tun vµ b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm cđa mét ®êng trßn...
5. D¹ng 5: Chøng minh ba ® êng th¼ng ®ång quy.
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh mét ®êng th¼ng ®i qua giao ®iĨm hai ®êng th¼ng cßn l¹i.
- Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tun, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hc mét
ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cđa hai gãc kia)
6. D¹ng 6: Chøng minh ba ®iĨm A, B, C th¼ng hµng.
- Chøng minh AB + BC = AC, suy ra A, B, C th¼ng hµng.
- Chøng minh BA, BC cïng song song víi mét ®êng th¼ng.
- Chøng minh BA, BC cïng vu«ng víi mét ®êng th¼ng.
- Chøng minh
·
0
ABC 180=
.
- Chøng minh BA, BC lµ hai tia ph©n gi¸c cđa hai gãc ®èi ®Ønh.
7. D¹ng 7: Chøng minh tam gi¸c c©n, ®Ịu, vu«ng.

a) Chøng minh tam gi¸c c©n:
- Chøng minh hai c¹nh cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
- Chøng minh hai gãc cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
- Chøng minh mét ®êng cao (trung tun, trung trùc, ph©n gi¸c) võa lµ ®êng ph©n gi¸c (trung
tun, trung trùc, ®êng cao).
b) Chøng minh tam gi¸c ®Ịu:
- Chøng minh ba c¹nh cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
- Chøng minh ba gãc cđa tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
- Chøng minh tam gi¸c ®ã c©n vµ cã mét gãc b»ng 60
0
.
c) Chøng minh tam gi¸c vu«ng:
- Chøng minh tam gi¸c ®ã cã mét gãc vu«ng.
- Chøng minh tam gi¸c ®ã cã b×nh ph¬ng mét c¹nh b»ng tỉng b×nh ph¬ng hai c¹nh cßn l¹i
(§Þnh lÝ Pytago ®¶o).
- Chøng minh tam gi¸c ®ã cã mét ®êng trung tun b»ng nưa c¹nh t¬ng øng.
- Chøng minh tam gi¸c ®ã néi tiÕp nưa ®êng trßn.
8. D¹ng 8: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau
 C¸ch chøng minh:
* Hai tam gi¸c thêng:
- Trêng hỵp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g)
- Trêng hỵp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c)
- Trêng hỵp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã c¹nh hun vµ mét gãc nhän b»ng nhau (c¹nh hun-gãc nhän).
- Cã c¹nh hun b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau (c¹nh hun-c¹nh gãc vu«ng).
9. D¹ng 9: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng
 C¸ch chøng minh:
- Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét (g.g)
- Cã cỈp gãc b»ng nhau xen gi÷a hai cỈp c¹nh t¬ng øng tû lƯ (c.g.c)

Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học
- Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lƯ (c.c.c)
10. D¹ng 10: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
 C¸ch chøng minh:
Gi¶ sư ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD:
- Ta cã thĨ chøng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB hc ∆MAD ∼ ∆MCB.
- Cã thĨ dùa vµo hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ®Ĩ suy ra ®ccm.
- Cã thĨ ¸p dơng: §Þnh lý Talet thn, ®¶o vµ hƯ qu¶ hc tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c
trong tam gi¸c
* Trêng hỵp ®Ỉc biƯt, chøng minh: MT
2
= MA.MB ta cã thĨ chøng minh ∆MTA ∼ ∆MBT
11. D¹ng 11: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
 C¸ch chøng minh:
- Tø gi¸c cã tỉng hai gãc ®èi b»ng 180
0
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cđa ®Ønh ®èi diƯn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Ịu mét ®iĨm (®iĨm ®ã lµ t©m cđa ®êng trßn).
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α.
12. D¹ng 12: Chøng minh MT lµ tiÕp tun cđa ® êng trßn (O;R)
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh OT ⊥ MT t¹i T ∈ (O;R)
- Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh R.
- Sư dơng ®Þnh lÝ ®¶o vỊ tÝnh chÊt cđa gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung: Chøng minh
·
»
sđTA
MTA

2
=
(víi TA lµ d©y cđa (O;R) vµ
»
TA
n»m bªn trong
·
MTA
)
13. D¹ng 13: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc, diƯn tÝch, thĨ tÝch.
 C¸ch tÝnh:
- Dùa vµo hƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng.
- Dùa vµo tû sè lỵng gi¸c
- Dùa vµo hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
- Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diƯn tÝch, thĨ tÝch...
13. D¹ng 13: Chøng minh c¸c lo¹i tø gi¸c ®Ỉc biƯt:
1. H×nh thang: Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song
2. H×nh thang vu«ng: H×nh thang cã mét gãc vu«ng
3. H×nh thang c©n: a) H×nh thang cã hai gãc kỊ mét ®¸y b»ng nhau
b) H×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng nhau
4. H×nh b×nh hµnh: a) Tø gi¸c cã hai cỈp c¹nh ®èi song song
b) Tø gi¸c cã hai cỈp c¹nh ®èi b»ng nhau
c) Tø gi¸c cã mét cỈp c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau
d) Tø gi¸c cã hai cỈp gãc ®èi b»ng nhau
e) Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng
5. H×nh ch÷ nhËt: a) Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng
b) H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo b»ng nhau
c) H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng
d) H×nh thang c©n cã mét gãc vu«ng
6. H×nh thoi: a) Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau

b) H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kỊ b»ng nhau
c) H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc
d) H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ ph©n gi¸c cđa mét gãc
7. H×nh vu«ng:a) H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kỊ b»ng nhau
b) H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc
c) H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ph©n gi¸c cđa mét gãc
d) H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
e) H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhau
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Hình học
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ