Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tư Nghĩa có đáp án

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHỊNG GD&ĐT TƯ NGHĨA </b>
<b>ĐỀ THI CHÍNH THỨC </b>

<b>KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN </b>
<b>Năm học: 2016 - 2017 </b>

Mơn thi: Tốn

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
<b>Bài 1: (3,0 điểm) </b>

Cho biểu thức 2₃ 2 1.( 1 1 )

1 2 1 2 1 2



  

    

<i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

<b>Bài 2: (6,0 điểm) </b>

a) Giải phương trình: 2

2015 2014 2 2017 2016

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> .

b) Chứng minh rằng: 1 1 2
<i>x</i>  <i>y</i> biết

3 3 ₃₍ 2 2₎₍₄ ₄₎ ₀

x  y  x y  x  y   và x.y > 0.
c)Cho<i>x y z</i>, , thỏa mãn 1 1 1 : 1 1

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

   

   

        .

Tính giá trị của biểu thức<i>_B</i>_



<i>_x</i>

21

_

<i>_y</i>

21



<i>_y</i>

11

_

<i>_z</i>

11



<i>_z</i>

2017

_

<i>_x</i>

2017



_.
<b>Bài 3: (4,0 điểm) </b>

a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng:



20n_ 16 – 3 – 1 323n n





b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2017 2

(<i>y</i>2)<i>x</i> <i>y</i> 2<i>y</i> 1 0
<b>Bài 4: (4,0 điểm) </b>

Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường trịn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
b) Chứng minhHD HE HF 1

AD BE CF

<b>Bài 5: (3,0 điểm) </b>

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đường trịn đó
sao cho góc 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐÁP ÁN </b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 9 </b>

<b>Bài </b> <b>Nội dung </b> <b>Điể_m</b>

1a
(1,0đ)

a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa : 3
2 0
2
1 0

1
2 1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 


  
 _{  }

 _{ }
 1,0đ
1b
(1,0đ)

b) Rút gọn biểu thức A
2

3 2

2

2 2

2 2

2 1 1 1 ( 2) 1 2

.( ) .

1 2 1 2 1 2 ( 1)( 1) 2 1 ( 2)

( 2) 1 ( 2) ( 1)

( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)

( 1) 1

( 1)( 1) 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

    
         
    
  
      
  
 
    
1,0đ
1c
(1,0đ)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có ₂

2
1 1
1 3
1
( )
2 4
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
 
 
  _ _

Ta có A nhỏ nhất khi 1 2 3

( )

2 4

<i>x</i>  đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 4

3

 _khi 1
2

<i>x</i> = 0 1
2
<i>x</i>

1,0đ

2a
(2,0đ)

a) Gia i phương tr nh: 2

2015 2014 2 2017 2016

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>

Điều kiện 2016
2017

<i>x</i>

Phương trình đã cho tương đương với
2

2 1 2017 2016 2 2017 2016 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  





₂





2

1 2017 2016 1 0

<i>x</i> <i>x</i>

     

1 0

2017 2016 1 0

<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  

1,0đ
1

2017 2016 1

<i>x</i>
<i>x</i>


  _ _

1
<i>x</i>

  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy <i>x</i>1 là nghiệm của phương trình đã cho.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2b
(2,0đ)

b) Chứng minh: 1 1 2

<i>x</i>  <i>y</i> biết x

3_{+ y}3 _{+ 3(x}2_+y2_{) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y >}
0.

Ta có: x3_{+ y}3 _{+ 3(x}2_+y2_{) + 4(x+ y) + 4 = 0}

(x + y)( x2 _{– xy + y}2_{) + 2(x}2 _{– xy + y}2_{) + (x}2 _{+ 2xy + y}2_{) + 4(x+y) + 4 = 0}

( x2 _{– xy + y}2_{)( x + y + 2) + ( x + y + 2)}2 _{= 0}

( x + y + 2)( x2 _{– xy + y}2_{+ x + y + 2) = 0}

 1

2.( x + y + 2)( 2x

2 _{– 2xy + 2y}2_{+ 2x + 2y + 4) = 0}

 1

2.( x + y + 2).

2 2 2

(<i>x</i> <i>y</i>) (<i>x</i> 1) (<i>y</i> 1) 2

       

 = 0

 x + y + 2 = 0

 x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0

1,0đ

Áp dụng BĐT CauChy ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1

2 2 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>     

     

Do đó xy 1 suy ra 1 1

<i>xy</i> hay
2
<i>xy</i>


 -2 Mà <i>M</i> 1 1 <i>x</i> <i>y</i> 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>xy</i>

 

   

Vậy <i>M</i> 1 1 2
<i>x</i> <i>y</i>

    (đpcm)

1,0đ

2c
(2,0đ)

Cho<i>x y z</i>, , thỏa mãn 1 1 1 : 1 1

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

   

   

        .

Tính giá trị của biểu thức<i>_B</i>_



<i>_x</i>

21

_

<i>_y</i>

21



<i>_y</i>

11

_

<i>_z</i>

11



<i>_z</i>

2017

_

<i>_x</i>

2017



Ta có: 1 1 1 : 1 1 1 1 1



<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>



1

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

     

  

     

           
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz

xyz + zy2 _{+ yz}2 _{+ zx}2 _{+ xyz + xz}2 _{+ yx}2_{+ xy}2_{+ xyz = xyz}

(xyz + zx2 _{+ xy}2_{+ yx}2_{)+ (zy}2 _{+ yz}2 _{+ xz}2 _{+ xyz) = 0}

1,0đ

x(yz + zx+ y2_{+ yx)+ z(y}2 _{+ yz}_{+ xz}_{+ xy) = 0}

(yz + zx+ y2_{+ yx)( x+ z) = 0}_{ }₍<i>_x</i> <i>_{y y}</i>₎₍ _<i>_{z x}</i>₎₍ _{ }<i>_z</i>₎ ₀

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>z</i>

<i>z</i> <i>x</i>

 


_  

  


Thay vào B tính được B = 0

1,0đ

3a
(2,0đ)

Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n_{+ 16}n_{– 3}n _{– 1 323}
Ta có: 323 = 17.19

 20n_{+ 16}n_{– 3}n_{– 1= (20}n_{– 1) + (16}n_{– 3}n₎
20n_{– 1 19}

16n_{– 3}n _{19 (n chẵn)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 20n_{+ 16}n_{– 3}n_{– 1= (20}n_{– 3}n_{) + (16}n_–1)
20n_{– 3}n ₁₇

16n_–1n _{17 (n chẵn)}

Do đó 20n_{+ 16}n_{– 3}n_{– 1 17 (2)}

Mà (17; 19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n_{+ 16}n_{– 3}n_{– 1 323}
1,0đ

3b
(2,0đ)

b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2017 2

(<i>y</i>2)<i>x</i> <i>y</i> 2<i>y</i> 1 0

Nếu y + 2 = 0   <i>y</i> 2 lúc đó phương trình có dạng 2017

0<i>x</i>  1 0(vơ

nghiệm).

Nếu<i>y</i> 2 thì ta có

2

2017 2 1 1

2 2

<i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>y</i>

 

  

 

1,0đ

Vì x,y nguyên nên 1

2

<i>y</i> nguyên<i>y</i> 2 Ư(1)  

 

1;1 .

Với 2017

2 1 3 4

<i>y</i>      <i>y</i> <i>x</i>   (loại)

Với 2017

2 1 1 0 0

<i>y</i>     <i>y</i> <i>x</i>   <i>x</i>

Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là: x = 0,y = -1

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

G
H

M
F

A

E

O

C

K
D

B

4
(4,0đ)

a) Chứng minh SAHG = 2SAGO

 Tam giác ACK nội tiếp đường trịn (O) đường kính AK
Nên KC vng góc với AC

Mà BE vng góc với AC (gt)
Suy ra KC // BE hay KC // BH

Chứng minh tương tự ta có KB // CH
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành

Gọi M giao điểm của BC và HK nên

 M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2

3

AM

 M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của tam giác
AHK.

Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2

3AM nên G là trọng tâm của tam giác

AHK

Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của tam giác
AHK

Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO

 Tam giác AHG và tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và
HG = 2GO

Do đó SAHG = 2SAGO

b) Chứng minh HD HE HF 1

AD BE CF

Ta có:

1 1 1

HD.BC HE.AC HF.AB

HD HE HF ₂ ₂ ₂

1 1 1

AD BE CF

AD.BC BE.A C CF.AB

2 2 2

S_HBC S_HAC S
HAB

S S S

ABC ABC ABC

S S S

HBC HAC HAB

S
ABC

= SABC
S

ABC

= 1
Tính diện tích tam giác ABM theo R

1,0đ

1,0đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

A

N
C

M

D

B
H

O
5

(3,0đ)

Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB
Chứng minh góc 0

AHM 90 ; mà góc CAB 450(gt) nên tam giác AHM

vng cân
MH = AH

MH + HB = AH + HB = 2R (1)

1,0đ

* Tam giác MHBvuông tại H

 HB = MB.cos MBH MB = HB = HB ₀ = 2HB
cos MBH cos 60



 MH = MB.sinMBH MH 0 MB. 3

MB.sin 60 HB. 3

2 HB =

MH 3.MH

3

3 (2)

Từ (1) và (2) ta có MH + 3.MH 2R MH 6R (3 3).R

3 3 3

Vậy: AB.MH 1 2

S .2R.(3 3) R (3 3) R

2 2

2,0đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Website <b>HOC247</b> cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến</b>sinh động, nhiều <b>tiện ích thơng minh</b>,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh </b>

<b>nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm</b>đến từcác trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng.

<b>I.</b>

<b>Luy</b>

<b>ệ</b>

<b>n Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b>Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên
khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b>

<b>Khoá H</b>

<b>ọ</b>

<b>c Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần </i>

<i>Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i>cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b>

<b>Kênh h</b>

<b>ọ</b>

<b>c t</b>

<b>ậ</b>

<b>p mi</b>

<b>ễ</b>

<b>n phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo <b>chương trình SGK</b> từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->