Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Thạch Hà có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn thi: Toán 9

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1:

a)

Tính giá trị của đa thức

f x( ) ( x43x1)2016

tại

  

 

1 1

9 5 9 5

4 4

x

b)

So sánh

20172 1 201621

và

  

2 2

2.2016

2017 1 2016 1

c)

Tính giá trị biểu thức:

 

2 2

sin cos

sin .cos

1 cot 1 tan

x x

với

 

0 0

0 x 90

d)

Biết

là số vơ tỉ, hãy tìm các số ngun a, b thỏa mãn:



  





2

3 9 20 5

5 a b

Câu 2:

Giải các phương trình sau:

a)

3

2

1

3

1

2

3 





x

b)

x



5x 8

 

2 x



2 Câu 3:

a)

Cho đa thức

P x

 

 ax3 bx2 cx  d

với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng

minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia

hết cho 5

b)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2– – 4 0xy  y2 

c)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n

+ 4

là hợp số.

Câu 4:

a)

Chứng minh rằng

   

4 4

3 3 2 2

a b

ab a b a b

b)

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện

1 + 1 + 1 = 2
a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).

Câu 5:

Cho

ABC

nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường

vng góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F

a)

Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

b)

Giả sử HD =

AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c)

Gọi M, N lần lượt là chân đường vng góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4

điểm E, M, N, F thẳng hàng.

---

HẾT

---

Họ và tên thí sinh:………SBD:…………

(Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm, học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SƠ LƢỢC GIẢI

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 
MƠN: TỐN 9 (Thời gian làm bài 150 phút)

Câu Ý Đáp án

Câu 1 a) 2 2

2 2

5 2 5 2

x      

     

2 2

5 2 5 2

  

  =

 

2
2 5 4 2 5 4

9 9 8 1

5 2

  

   



( ) (1) 1

f x  f 

b)

Ta có

2 2 2 2

2 2

( 2017 1 2016 1)( 2017 1 2016 1)
2015 1 2014 1

2017 1 2016 1

     

   

  

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016)

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1

     

  

        

2 2 2 2

2017 2016 2.2016

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1



 

     

Vậy 2 2

2017  1 2016 1 >

2 2

2.2016

2017  1 2016 1

c) 
 
 
2 2
sin cos
sin .cos
cos sin
1 1
sinx cos
x x
x x
x x
x
  

3 3

sin cos
sin .cos

1 cos 1+sinx

x x
x x
x









 




   
 
2 2

3 3 sinx cos sin sinx.cos cos

sin cos

sin .cos sin .cos

sinx cos sinx cos

x x x x

x x

x x x x

x x

sin .cosx x 1 sin .cosx x1
d) ĐK: a b 5 (*)

   

 

        

2 3 9 20 5

5 5

2( 5) 3( 5) (9 20 5)( 5)( 5)

a b a b

a b a b a b a b

9a245b2 a 5( 20 a2100b25 )b
(*)

Ta thấy (*) có dạng AB 5 trong đó A, B Q, nếu B 0 thi 5 A I
B

   vơ lí vậy B
= 0 => A= 0.

Do đó (*)    

   



2 2

9 45 0

20 100 5 0

a b a

a b b

2 2 2 2

2 2

9a 45b a 0 9a 45b a 0

9 9

9a 45b b 0 a b

4 4
       
 
 

    
 
 
2
9

a b a 9 a 0

hoac
4

b 4 b 0

b 4b 0

     

  
 
 
  


(không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3 2 1 3

3 1 2 3

 

  

 

x x

x x (2)

3 3

( 3)( 1) 6

 

 

 

x x

+ Trường hợp: x + 3 = 0   x 3(TMĐK (**)

+ Trường hợp: x + 3 0   x 3

Ta có (x-3)(x-1) = 6 x24x 3 0

2 2

4 4 7 ( 2) 7

x  x   x 

2 7 2 7

x hoac x

     (TMĐK (*))

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; 2 7; 2 7}

b) ĐK: x  2 (***)
2

x



6x 9 x 1 2 x

   

 

2

0 



x 3

x

2 2 x

2 1 0





  

  





2





x 3

x

2 1

0 





 



x 3

0 x

2 1 0

 



 

  



 

x

3

(thỏa mãn ĐK(***))

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

Câu 3 
a)

Ta có: P(0) = d 5

P(1) = a + b + c + d 5 => a + b + c 5 (1)
P(-1) = -a + b – c + d 5 => -a + b – c 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2b 5 => b 5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c 5
P(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 => 8a + 2c 5 => a 5 => c 5

b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16



( 2x – y )2 + 3y2 = 16



( 2x – y )2 = 16 – 3y2

Vì ( 2x – y )2  0 nên 16 – 3y2  0









{ 0; 1; 4 }
- Nếu y2 = 0 thì x2 = 4



x =



- Nếu y2 = 1 thì ( 2x – y )2 = 13 khơng là số chính phương nên loại y2 = 1
- Nếu y2 = 4



y =



+ Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2
+ Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2

Vậy phương trình có 6 nghiệm ngun là (x, y) = ( - 2; 0 ); ( 2; 0 ); ( 0; 2 ); ( 2; 2 ); ( 0;
- 2 ); ( - 2; -2 )

c) - Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
- Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0
n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2

= (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k
= (n – 2k)2 + 4k > 4
Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số

Vậy n4

+ 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1

Câu 4

a) Giả sử ta có 2

4
4

b

a  3 3 2 2

b
a
b
a

ab  



4 4 3 3 2 2

2 2 2

a b ab a b a b

    

4 4 3 3 2 2

2 2 2 0

a b ab a b a b

     

4 3 2 2 4 3 2 2

2 2 0

a a b a b b ab a b

      



2

 

2 2



2
0

a ab b ab

     luôn đúng với mọi a, b
Vậy

2
4
4

b

a  3 3 2 2

b
a
b
a

ab  

 với mọi a, b

b) Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z là các số thực dương

Ta có 1 + 1 + 1 =2
x + 1 y + 1 z + 1

1 1 1 1 1

2 1 1

x + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1

y z

         

1
2

x + 1 y + 1 z + 1

y z

  

(Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số dương

y + 1

y

và

z + 1
z

)
Chứng minh tương tự ta có 1 2

y + 1 x + 1 z + 1

x z

  và 1 2

z + 1 y + 1 x + 1

y x

 

Suy ra 1 1 1 2 2 2

x + 1 y + 1 z + 1 y + 1 z + 1 x + 1 z + 1 x + 1 y + 1

y z x z x y

       







1 1 1

x + 1 y + 1 z + 1 1 1 1

xyz

x y z

   

  

1
8
xyz

  .

Dấu “ = ” xẩy ra khi

x + 1 y + 1 y + 1 2

1
4

x y z

a b c

     

   

Vậy giá trị lớn nhất của tích ( a + b )( b + c )( c + a) là 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 5

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng tac có: AE.AB = AD2 ;
AF.AC = AD2

Suy ra: AE.AB = AF.AC

b)

Biểu thị được : tanB =

BD

; tanC =

CD

; tanB.tanC =

BD.CD

Biểu thị được:

tanB =

tan DHC

CD

HD



; tanC =

tan DHB

BD

HD



; tanB.tanC =

BD.CD

2

HD

Suy ra: (tanB.tanC)2 =
2
2

HD

=> tanB.tanC =

HD

= 3

c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK

Chứng minh được:

BM

BD

BE

ME / /IK

M

EF

MI



DC



EK



 

Tương tự chứng minh được

N



EF

và suy ra 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng

Tổng 
Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng vẫn cho điểm tối đa.

N
 H

M
E

F
K

I

D

C
B

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

I.

Luy

ệ

n Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá H

ọ

c Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần 
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh h

ọ

c t

ậ

p mi

ễ

n phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học và Tiếng Anh.

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Thạch Hà có đáp án

<b>PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ </b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN </b>

<b>NĂM HỌC 2016 – 2017 </b>

<b>Môn thi: Toán 9 </b>

<i>Thời gian làm bài 150 phút </i>

<b>Câu 1:</b>

<b>a)</b>

Tính giá trị của đa thức

tại

<b>b)</b>

So sánh

và

<b>c)</b>

Tính giá trị biểu thức:

với

<b>d)</b>

Biết

là số vơ tỉ, hãy tìm các số ngun a, b thỏa mãn:



  





2

3

<sub>9 20 5</sub>

5

5

<i>a b</i>

<i>a b</i>

<b>Câu 2:</b>

Giải các phương trình sau:

<b>a) </b>

3

2

1

3

3

1

2

3















<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<b> b)</b>

x



5x 8

 

2 x



2

<b>Câu 3:</b>

<b>a)</b>

Cho đa thức

 

với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng

minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia

hết cho 5

<b>b)</b>

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

<b>c)</b>

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n

+ 4

là hợp số.

<b>Câu 4:</b>

<b>a)</b>

Chứng minh rằng

<b>b)</b>

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).

<b>Câu 5:</b>