Luận văn thạc sĩ một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Nguyễn Vân Nhi

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG
CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT
TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Nguyễn Vân Nhi

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG
CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT
TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT

Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN TRÍ DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học
của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận
văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019
Trần Nguyễn Vân Nhi


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới TS. TRẦN TRÍ DŨNG đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn để tác giả có thể
hồn thành luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giảng viên
trong khoa Toán - Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã giảng dạy,
truyền đạt kiến thức cho tác giả trong quá trình học tập tại khoa.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn giúp
đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp q
báu của q thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cám ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2019
Trần Nguyễn Vân Nhi


Mục lục

Lời cam đoan ......................................................................................................................... 3
Lời cám ơn ............................................................................................................................. 4
Mục lục .................................................................................................................................. 5
Danh mục các ký hiệu ........................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU............................................................................................................................... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ........................................................................................... 5
1.1

Toán tử quạt (Sectorial operator) ............................................................................ 5

1.2

Khơng gian các hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) ................... 7

1.3

Natural functional calculus ..................................................................................... 9

1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy ................................................... 9
1.3.2 The natural functional calculus .......................................................................... 11
1.3.3 Luật hợp thành .................................................................................................... 12
1.4

Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh ............................................................................... 12

1.5

Tính bị chặn của H  - Calculus (The boundedness of the H  -Calculus) .......... 13

1.6

Toán tử hợp ( Multiplication Operators)............................................................... 14

1.7

Bậc phân số với phần thực dương......................................................................... 15

Chương 2. Lý thuyết tốn tử trên khơng gian Hilbert ................................................... 17
Dạng nửa song tuyến tính ..................................................................................... 17
Tốn tử liên hợp .................................................................................................... 19
Dãy trị số ............................................................................................................... 23
Tích vơ hướng tương đương và định lý Lax-Milgram .......................................... 23
Toán tử accretive................................................................................................... 25
Chương 3. Một số kết quả về tính đồng dạng cho tốn tử quạt .................................... 28
3.1

Vấn đề đồng dạng đối với toán tử biến phân ........................................................ 28

3.2

The Functional Calculus trên không gian Hilbert ................................................. 34

3.3

Bậc phân số của toán tử m- accretive và vấn đề căn bậc hai ................................ 40

3.4

Thuyết McIntosh- Yagi ......................................................................................... 43

3.5

Định lý Đồng Dạng ............................................................................................... 51

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................................... 54


TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................. 55


Danh mục các ký hiệu
A

Bao đóng của tốn tử đa trị A .

A1

Nghịch đảo của toán tử đa trị A .

Ax

Ảnh của điểm x dưới tác động của toán tử đa trị A .

D  A

Miền xác định của toán tử đa trị A .

LX 

Khơng gian các tốn tử tuyến tính bị chặn trên khơng gian Banach X

N  A

Nhân của toán tử đa trị A .

  A

Tập dải thức của toán tử đa trị A .

  A

Miền giá trị của toán tử đa trị A .

R  , A

Dải thức (ánh xạ) của toán tử đa trị A .

  A

Phổ của toán tử đa trị A .

 

Tích vơ hướng trên khơng gian Hilbert H .

 

Tích vơ hướng tương đương trên khơng gian Hilbert H .

a

A

Toán tử A liên kết với dạng a .

Ses V 

Khơng gian dạng nửa song tuyến tính trên khơng gian vecto V .

W  A

Dãy trị số của toán tử A .

BIP  X 

Khơng gian các tốn tử quạt A đơn ánh trên X sao cho  Ais  s
là nhóm C0 .

H  

Khơng gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên tập mở  

.


C0   

Không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại



trên không gian

compact địa phương  .
DR  S 

Lớp Dunford – Riesz trên góc quạt S .

DR0  S 

Khơng gian các hàm chỉnh hình trên S

DRext  S 

Lớp Dunford – Riesz mở rộng trên góc quạt S .

Sect  

Lớp các tốn tử quạt với góc



0 và tắt dần đều tại  .

trên không gian Banach X .


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học, lý thuyết tốn tử là một nhánh của giải tích hàm liên quan đến
các tốn tử tuyến tính bị chặn và các tính chất của chúng.
Một tốn tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt S với
số  R   , A  bị chặn đều bên ngồi hình quạt lớn hơn. Các tốn tử này đóng vai trị
nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic
(elliptic and parabolic partial differential equations). Vào những năm 1960 , cái gọi
là bậc phân số (fractional powers) A (với   ) của toán tử quạt A được định
nghĩa (xem [10], [3], [24], [8]) và đã được nghiên cứu sâu rộng kể từ đó. Tuy nhiên,
cho đến ngày nay vẫn chưa có sự phát triển về lý thuyết bậc phân số vào functional
calculus, thậm chí cả trong các cơng trình nghiên cứu gần đây. Mọi thứ trở nên khả
thi hơn khi natural functional calculus về các toán tử quạt được đưa ra. McIntosh đã
phát triển functional calculus này trong nghiên cứu của ông ấy (xem [15], [2]).
McIntosh nhận xét [14] rằng lý thuyết về bậc phân số có thể được sửa lại bởi
functional calculus của ông. Tuy nhiên, trọng tâm chính trong nghiên cứu của ơng là
tính bị chặn của H  calculus, với sự giúp đỡ bởi ý tưởng của Yagi (xem [24]), có
thể được chứng minh là tương đương với đánh giá bậc hai trong không gian Hilbert.
Trọng tâm này vẫn nằm trong các nỗ lực tiếp theo để khái qt hố các kết quả từ
khơng gian Hilbert đến không gian Lp và không gian Banach tổng quát.
Dựa theo những nhận xét của McIntosh, những đường dẫn mới và những sự liên hệ
còn mơ hồ trước đây dần được khám phá. Sự liên hệ của functional calculus và những
câu hỏi đồng dạng trên không gian Hilbert như: vấn đề đồng dạng cho toán tử biến
phân, bậc phân số của toán tử m  accretive, vấn đề căn bậc hai…đều là những vấn
đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới hiện nay.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về giải tích hàm, giải tích phức, đại
số Banach cùng với tình hình nghiên cứu như hiện nay, tác giả đã quyết định chọn đề
tài “Một số kết quả về tính đồng dạng cho các tốn tử quạt trong các khơng gian
Hilbert”.

2. Mục tiêu của luận văn

Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời
định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chun ngành Tốn giải tích. Về
mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu một số kết quả về tính


2

đồng dạng cho các tốn tử quạt trong khơng gian Hilbert như vấn đề đồng dạng cho
toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m  accretive, vấn đề căn bậc hai; sau đó
áp dụng để chứng minh lại một số định lý với cách tiếp cận dễ dàng hơn và không
cần sử dụng những kết quả quá phức tạp.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu,
tổng hợp một số kiến thức cơ bản về tốn tử quạt, tính bị chặn của H  calculus, bậc
phân số và một số vấn đề liên quan khác.
Cơng việc địi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích
hàm, giải tích phức, đại số Banach.

4. Nội dung luận văn
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Phần chuẩn bị trình bày về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản của tốn tử
quạt, khơng gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn của
H  - calculus, bậc phân số và các kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số
Banach có liên quan phục vụ cho các chương tiếp theo.
Chương 2: Lý thuyết toán tử trên khơng gian Hilbert.
Chương này tác giả trình bày những thơng tin về các tốn tử tuyến tính trên khơng
gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định lý LaxMilgram. Các nội dung chủ yếu như sau:
+ Dạng nửa song tuyến tính
+ Tốn tử liên hợp.

+ Tích vơ hướng tương đương và định lý Lax-Milgram..
+ Toán tử accretive.
Chương 3: Một số kết quả về tính đồng dạng cho tốn tử quạt.
Chương này tác giả sử dụng những kết quả từ lý thuyết toán tử trên không gian
Hilbert và functional calculus để đạt được định lý Đồng Dạng. Các nội dung chủ
yếu như sau:


3

+ Vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân.
+ Functional calculus trên không gian Hilbert.
+ Bậc phân số của toán tử m  accretive và vấn đề căn bậc hai.
+ Lý thuyết McIntosh-Yagi.
+ Định lý Đồng Dạng: dùng định lý McIntosh-Yagi để chứng minh hai vấn đề đồng
dạng đã đề cập ở phần 1 và 3.

5. Đóng góp của đề tài
Sự liên hệ của functional calculus và những câu hỏi đồng dạng trên không gian
Hilbert là gồm hai phần. Một được cho bởi bất đẳng thức Neumann (xem [19]) nói
rằng một phép co T trên khơng gian Hilbert H thỏa





p T   sup p  z  : z  1 .

qua biến đổi Cayley có thể kết luận là nếu A là một toán tử đơn ánh m  accretive,
H

- calculus của nó phải bị chặn. Như vậy thông tin trên dãy trị số của A (phụ

thuộc vào tích vơ hướng đặc biệt) cung cấp thơng tin trên functional calculus mà
khơng phụ thuộc vào tích vơ hướng đặc biệt.
Mặt khác, đánh giá bậc hai mà tác giả đã đề cập ở trên trong sự liên hệ với cơng
trình của McIntosh và Yagi, có thể được giải thích lại như một sự xây dựng của tích
vơ hướng tương đương (xem Mệnh đề 3.4.1, Hệ quả 3.4.6 và Định lý 3.4.7). Ví dụ,
giả sử A đơn ánh và sinh ra một nửa nhóm chỉnh hình bị chặn trên khơng gian
Hilbert H . Từ kết quả của McIntosh ta có natural functional calculus cho A là bị
chặn khi và chỉ khi tích phân suy biến
 
 A e
 0


1
2  tA


x dt 


2

1
2

xH 

xác định một chuẩn Hilbert tương đương trên H . Dễ thấy nửa nhóm  e  tA t 0 là co
(contractive) đối với chuẩn mới này.
Trong chương 3, tác giả đưa ra một tính tốn của kết quả này và sử dụng nó để suy
ra một kết quả mạnh hơn đồng dạng (xem Định lý 3.5.2, khái quát hóa một định lý


4

của Lemerdy (xem [12] và [6])). Hơn nữa, chứng minh của tác giả khơng địi hỏi
kết quả sâu của Paulsen như những chứng minh trong [12] và [6]. Một hệ quả của
định lý đồng dạng đạt đươc là sự mô tả đặc điểm của những toán tử biến phân (
variational operator) đồng dạng. Ở đây một toán tử đươc gọi là biến phân nếu nó có
chứa dạng eliptic. Tác giả chỉ ra thêm, tốn tử biến phân kia ln có tính chất căn
bậc hai đối với tích vơ hướng tương đương. Vấn đề căn bậc hai nguyên bản có lịch
sử lâu đời và chỉ được giải quyết gần đây (xem Chú ý 3.4.5 để biết thêm về vấn đề
căn bậc hai và lịch sử những đánh giá đối với những vấn đề đồng dạng khác trong
[1, chương IV phần 7] ).

6. Hướng phát triển của đề tài
Sau khi thực hiện luận văn, một câu hỏi mở đặt ra là : Có hay khơng một tốn tử m 


1









1



accretive A trên không gian Hilbert H sao cho D  A 2   D  A 2  với mỗi tích vơ


hướng tương đương

 



? Đề tài có thể mở rộng nghiên cứu trả lời vấn đề này.


5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này sẽ trình bày vắn tắt về khái niệm toán tử quạt, các mệnh đề cơ bản
của tốn tử quạt, khơng gian các hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị
chặn của H  - calculus, bậc phân số… có liên quan phục vụ cho các chương tiếp
theo. Các khái niệm, định nghĩa chủ yếu dựa vào các luận điểm trong [7].

1.1

Toán tử quạt (Sectorial operator)

Kí hiệu X là khơng gian Banach và A là toán tử trên X với 0     , đặt:

S  {z  | z  0,| arg z | }
là hình quạt mở đối xứng qua trục thực với góc mở

.

Trường hợp 𝜔 = 0, ta định nghĩa S0   0,   .
Định nghĩa 1.1.1
Toán tử A được gọi là toán tử quạt góc

   nếu nó thỏa:

(i)

 ( A)  S

(ii)

M ( A,  ')  sup{||  R(, A) ||,   S' }  ,    '   .

Kí hiệu: A  Sect () . Dưới đây là hình minh họa cho định nghĩa này.


6

Định nghĩa 1.1.2
Một họ các toán tử ( A ) được gọi là tốn tử quạt đều góc 𝜔 nếu A  Sect ( ) với
'
mọi  và sup M ( A ,  )   với mọi    '   . Đặt:

A  min{0     | A  Sect ()}
là góc phổ ( hay góc quạt ) của A .
Mệnh đề 1.1.3
Cho A là một tốn tử đóng trên khơng gian Banach X .
a) Nếu  , 0     A  và M  A  M  A,    supt 0 t  t  A

1

  thì M  A   1


1 
và Sect    arctan
 .
M  A 

1
b) Nếu A đơn ánh thì A  Sect   và đồng nhất thức :

    A1   I 
1

11

 A
  


1

đúng với 0   

.


7

Đặc biệt, M  A1 ,  '   1  M  A,  '  ,    '   .
c) Cho n

và x  X . Khi đó, ta có:

x  D  A  lim t n  t  A

n

t 

xx

và x   A  lim An  t  A n x  x .
t 0

d) Ta có N  A    A  0 . Nếu   A  X thì A là đơn ánh.
e) Đồng nhất N  An   N  A đúng với mọi n
f) Cho   0, n, m 

.

và x  X Khi đó, ta có:

 A A    

1 n

x  D  Am   x  D  Am  .

g) Nếu không gian Banach X phản xạ, ta có D  A   X và X  N  A    A .
Chứng minh: Xem [7, chương 1].

1.2

Không gian các hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic
functions )

Ký hiệu () là khơng gian các hàm chỉnh hình trên tập mở   . Giả sử A là
một toán tử quạt góc  trên khơng gian Banach X . Ta định nghĩa toán tử dạng:
f ( A) 

1
f ( z ) R ( z , A) dz
2 i 

trong đó f   ( S ),     , và đường cong T “bao quanh” hình quạt S . Điều này
có nghĩa là trong trường hợp đặc biệt, nó được xem như một đường cong trên mặt
cầu Riemann và đi qua điểm  . Để phân tích có nghĩa thì hàm f phải tắt dần
nhanh tại  .
Như vậy, ta nói f tắt dần đều tại




nếu f ( z )   (| z | ) khi | z |  với   0 .



Tương tự, f tắt dần đều tại 0 nếu f ( z )   (| z | ) khi | z | 0 và   0 . Theo tính
chất quạt của A , hàm f tắt dần đều tại  đảm bảo tính khả tích tại  , ít nhất nếu
 là đường thẳng.
Ở 0, ta có hai khả năng. Nếu f là hàm chỉnh tại 0 nghĩa là nếu f hàm chỉnh hình
liên tục tại lân cận của 0, ta có thể chon đường cong  theo cách tránh điểm 0. Nếu
điều này khơng thể, ta khơng có cách chọn, địi hỏi f phải chính quy tại 0.
Một cách tự nhiên ta xét lớp Dunford-Riesz trên S được định nghĩa bởi:
DR ( S )  { f  H  ( S ) | f là tắt dần đều tại 0 và tại

 },


8

trong đó
H   S    f  O  S  f là bị chặn}.

Là đại số Banach của tất cả các hàm chỉnh hình, bị chặn trên S . Rõ ràng, DR( S )

là ideal đại số trong đại số H ( S ) . Với mỗi f ( z ) thì f ( 1 ) cũng thuộc DR( S ) .

z

Bổ đề 1.2.1
Cho 0     và f : S 

là chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương:

(i)

Hàm f thuộc DR( S ).

(ii)

s
s
Tồn tại C  0 và s > 0 sao cho | f ( z ) | C min(| z | ,| z | ) với mọi z  S

(iii)

Tồn tại C  0 và s > 0 sao cho | f ( z ) | C

(iv)

|z| s
) với mọi z  S .
Tồn tại C  0 và s > 0 sao cho | f ( z ) | C (
1 | z |2

| z |s
với mọi z  S .
1 | z |2 s

Chứng minh: Xem [7, chương 1].
Ký hiệu tập:
DR0 (S )  { f  H  (S ) | f là chỉnh hình trong 0 và tắt dần đều tại



}.

Bổ đề 1.2.2
Cho 0     và f :S 

chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương:

(i)

Hàm số f thuộc DR(S )  DR0 (S ).

(ii)

Hàm số f là bị chặn và thỏa hai tính chất sau:


(1) f ( z )  (| z | ) ( z  ) với   0 và


(2) f ( z)  c  (| z | ) ( z  0) với   0 và c  .
Chứng minh:
Chiều thuận là hiển nhiên.

Ta chứng minh chiều ngược lại, lấy   0 và c  sao cho f ( z)  c  (| z | ) với

z  0 . Không hạn chế, ta có thể giả sử   1 . Khi đó:


9

f ( z) 

c
f (z)  c
z


f ( z )  DR0  DR  DR .
1 z
1 z
1 z

Lưu ý hàm hằng 1 không thuộc trong đại số DR(S )  DR(S ). Thêm không gian
các hàm hằng, ta thu được đại số:

DRext ( S )  DR( S )  DR0 ( S )  1
gọi là lớp Dunford-Riesz mở rộng.
Bổ đề 1.2.3
Cho 0     và f :S 

chỉnh hình. Các khẳng định sau là tương đương:

(i)

Hàm số f thuộc DRext (S ).

(ii)

Tồi tại h  DR(S ) và g , g  DR0 (S ) sao cho:

(iii)

Hàm f

f ( z )  h( z )  g ( z )  g ( z 1 ).
bị chặn và thỏa các tính chất sau:


(1) f ( z)  d  (| z | ) ( z  ) với   0 và d  .


(2) f ( z )  c  (| z | ) ( z  0) với   0 và c  .
Chứng minh: Xem [7, chương 1].

1.3

Natural functional calculus

1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy
Cho 0     và   0 . Ta gọi T  S là biên của hình quạt S định hướng theo
chiều dương, nghĩa là:
T  



e i 



e  i .

Bên cạnh đó, ta kí hiêu T  ( S  B (0)) là biên định hướng dương của

S  B (0) nghĩa là:
T  ( , )ei  ( , )e  i   ei (  

Với      , f  D( S ) và g  D0 ( S ) ta định nghĩa:


10

f ( A) 

1
f ( z ) R( z, A)dz và
2 i r '

(3.4)

g ( A) 

1
g ( z ) R( z, A)dz,
2 i r',

(3.5)

trong đó    '   và   0 được chọn sao cho g chỉnh hình liên tục đến lân cận
của B (0) .
Sau đây là hình minh họa cho định nghĩa của f  A  .

Tương tự ta có ảnh g  A  .


11

1.3.2 The natural functional calculus
Ta giữ nguyên các giả thiết trên toán tử A . Sự mở rộng functional calculus cơ bản
được mô tả ở trên càng trực quan càng tốt. Bởi vì nó khơng đúng với tích phân loại
Cauchy nữa, nên ta phải sử dụng một thủ thuật nhỏ. Ta định nghĩa:

A( S )   f : S 


và A[ S ] 



| n 

:


f ( z)
 DR( S )  DR0 ( S ) 

n
(1  z )


A( S ) . Nếu  đã xác định, ta viết đơn giản A thay cho A[S ] .

Với f  A( S ), ta định nghĩa:
 f ( z) 
f ( A)  (1  A)n 
( A)
n 
 (1  z ) 
n
trong đó n là số thỏa f ( z )(1  z )  DR ( S )  DR0 ( S ) .

Định nghĩa này không phụ thuộc giá trị riêng của n . Ta gọi ánh xạ:

( f  f ( A)) : A[S ]  { các tốn tử đóng trên X }
là natural functional calculus của A trên S .


12

1.3.3 Luật hợp thành
Mệnh đề
Cho 0       , 0   '   '   , và g  A( S ) sao cho g (S )  S ' . Giả sử
A  Sect ( ), g ( A)  Sect ( ')

và g ( A) đơn ánh. Khi đó, mỗi f  A( S ' ) với

f g  A( S ) thỏa mãn luật hợp thành:
(f

g )(A)  f ( g (A)) .

Chứng minh: Xem [7, chương 1].

1.4

Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh

Định nghĩa 1.4.1
Cho   DR  S  và định nghĩa  t  z     tz  với z  S và t  0 . Hơn nữa ta định
nghĩa:
 a ,b  z      tz 
b

a


dt
dt
.
,  0  a  b    và      t 
0
t
t

Cuối cùng, ta định nghĩa với t  0 hàm số
  tz    DR  S  .

t  z

Chọn một lần và cho tất cả các hằng số C , s  0 sao cho:
  z  C

z

s

1 z

2s

zS .


Mệnh đề 1.4.2

Cho  ,  , C , s như trên. Cho f  H ( S ) và A  Sect ( ) với    . Khi đó các khẳng

định sau là đúng.
(a) Ánh xạ (t  ( f  t )( A)) : (0, )  L(X) liên tục.
(b)  a ,b ( A)    (tA) dt với mọi [a, b]  (0, ) .
b
a

t



(c) lim a ,b  a ,b ( A) x    (tA) x dt   x với mọi x  D( A)  (A).
0
t


13

(d) supt 0 || ( f  t )( A) |||| f || CM ( A,  ')c(s,  '), trong đó    '   tùy ý và
1
c( s,  ') :
2



 '

z

s

1 z

dz
2s

z

.

(e) supt 0  ||  (tA) ( rA) || dr   trong đó   DR[S ] tùy ý.
0


r

Chứng minh: Xem [7, chương 1].

1.5

Tính bị chặn của H  - Calculus (The boundedness of the H  Calculus)

Định nghĩa 1.5.1
Cho A  Sect ( ) là một tốn tử quạt trên khơng gian Banach X và    . Giả sử có

một đại số con F  H ( S ) sao cho f ( A) được định nghĩa bởi NFCSO với mỗi

. (This is a restrictiononly if A is not injective). Ta nói rằng F  calculus với
A bị chặn nếu f ( A)  L( X ) với mọi f  F và
f F

|| f ( A) || C || f ||

( f  F)

Mệnh đề 1.5.2
Cho A  Sect ( ) với tập xác định và tập giá trị trù mật. Cho      và C  0 . Các
khẳng định sau là tương đương:
(i)

The natural DR( S )  calculus với A là bị chặn với biên C .

(ii)


The natural H ( S )  calculus với A là bị chặn với biên C .

(iii)

The natural H  (S )  C0 (S )  calculus với A là bị chặn với biên C .

(iv)


The natural R0 ( S )  calculus với A là bị chặn với biên C .

(v)


The natural R ( S )  calculus với A là bị chặn với biên C .

Chứng minh: Xem [7, chương 1].
Bổ đề 1.5.3 (Kalton-Weis)
Cho      và f  DR( S ) . Khi đó tồn tại hằng số D  0 thỏa điều sau đây. Nếu
A  Sect ( )

sao cho natural DR( S )  calculus với A là bị chặn với biên C , khi đó:


14

 a f  t 2 A

 CD a

k

k

k

Với mỗi t  0 và dãy con hữu hạn a   a k 



,

.

Chứng minh:
Vì f  DR( S ) nên tồn tại C '  0 và s  0 sao cho f  z   C '

z

s

1 z

, z  S

2s

(Xem bổ đề 1.2.1).
Đặt a   a k là một dãy hữu hạn của số phức sao cho a   1 . Lấy t  0 , ta có:

 a f  t 2 A
k

k

k



   ak f  t 2k z    A   C sup  ak f  t 2k z 
zS k
 k

 C sup  f  2 z   CC 'sup 

2k z

k

zS

zS

k

2 t 
 CC 'sup 
1 2 t 
s

k

t 0

2 t 
Đặt D : C ' sup 
1 2 t 

k

1  2k z

2s

2 t 
 CC ' sup 
1 2 t 
s

k

2s

1 t  2 k

k

2s

.

s

k

1 t  2 k

k

k

s

k

2s

, ta đã chứng minh xong bổ đề.

Định lý 1.5.4 ( McIntosh – Yagi)
Cho 0     và A  Sect   là toán tử quạt đơn ánh trên không gian Hilbert H .
is
is
Giả sử A  L  H  với mọi s thuộc đoạn  0,   đủ nhỏ và sup A   . Khi đó
0  s 

natural H ( S )  calculus bị chặn với mọi      .


Chứng minh: Xem [7, Định lý 3.31].

1.6

Toán tử hợp ( Multiplication Operators)

Định nghĩa 1.6.1
Một không gian độ đo Randon là một cặp  ,   với  là không gian Hausdorff
compact địa phương và  là một hàm dương trên CC    . Áp dụng định lý Riesz


15

Representation (Xem [20], định lý 2.14) ta có thể đồng nhất  với một độ đo Borel
chính quy  trên  . Nếu độ đo  có tính chất
  CC    , 0    0    d   0 ,

Khi đó khơng gian độ đo Randon được gọi là không gian độ đo chuẩn tắc.
2
Cho f  C    liên tục trên  . Toán tử hợp M f trên L  ,   định nghĩa như

sau:





D  M f  : g  L2  ,   gf  L2  ,   và M fg : fg

 f  D  M  .
f

Mệnh đề 1.6.2
Cho f  C    với  ,   là không gian độ đo chuẩn tắc. Những khẳng định sau
đây là tương đương:
a)

Toán tử  M f , D  M f   đóng.

b)

Khơng gian CC    là một core của M f .

c)

M 

d)

Toán tử M f là đơn ánh khi và chỉ khi   f  0 K   0 với mỗi K  

*

f

 Mf .

compact, tức là   null địa phương.
e)

  M f   f    . Hơn nữa R   , M f   M   f ,     M f



f)

Nếu M f  0 thì f  0 .

g)

Cũng cho g  C    . Khi đó M f M g  M f g . Đẳng thức xảy ra nếu g bị chặn

1

.

hoặc M f khả nghịch.
Chứng minh: Xem [7, phụ lục C].

1.7

Bậc phân số với phần thực dương

Định nghĩa 1.7.1
Với mọi  


sao cho Re  0 , hàm f  z   z thuộc lớp   S  , 0     . Ta có

z 1  z   DR nếu n  Re . Do đó ta định nghĩa:
n


16

 z 
n
A :  z   A   1  A  
  A
 1  z n 



Ta gọi A là bậc phân số với số mũ

 0  Re   n 

 của A .

Mệnh đề 1.7.2
Cho A  Sect   , giả sử 0     và      . Nếu f  DR  S  thì hàm f  z  


thuộc DR  S  và f  A    f  z    A .
Chứng minh: Xem [7, chương 2].




17

Chương 2. Lý thuyết tốn tử trên khơng gian Hilbert
Trong chương này tác giả trình bày những thơng tin về các tốn tử tuyến tính trên
khơng gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, và định
lý Lax-Milgram. Tác giả công nhận những lý thuyết cơ bản của khơng gian Hilbert
có thể được tìm thấy trong [20, chương IV]. Trong chương này, H là ký hiệu cho
khơng gian Hilbert phức. Tích vơ hướng trên H được ký hiệu là   .

Dạng nửa song tuyến tính
Định nghĩa 2.1.1
Cho V là khơng gian vectơ trên trường số phức. Ta ký hiệu
Ses V  : a a : V V  là nửa song tuyến tính



là khơng gian của các dạng nửa song tuyến tính trên V . Cho a  Ses V  , dạng
liên hợp (adjoint form) a là:
a  u, v  : a  v, u   u , v  V  .
Phần thực và phần ảo của dạng a  Ses V  được định nghĩa như sau
Re a :









1
1
aa ,
a  a và Im a :
2i
2

Do đó, a   Re a   i  Im a  , a  Ses V  . Ta sử dụng ký hiệu tắt
a  u  : a  u , u 

Với a  Ses V  và u V , ta có

 Re a  u   Re  a  u    u  V  .
Dạng a được gọi là thực (real) nếu a  u   , u  V . Dạng a được gọi là đối xứng
(symmetric) nếu

a  a.

Như vậy dễ thấy rằng Re a và Im a đều là dạng đối xứng.

Dạng nửa song tuyến tính a  Ses V  được gọi là dương nếu Re a  u   0, u  V .
Mệnh đề 2.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho a, b  Ses V  là đối xứng, và giả sử tồn tại c  0 sao cho
a  u   cb  u 

u V  .

(Chú ý như vậy nghĩa là b dương). Khi đó
a  u, v   c b  u  b  v 

Chứng minh:
Xem [20], chương XII, bổ đề 3.1.

, u, v V .