Tài liệu hinh hoc hay 2

Chương 8: MẶT PHẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Phương trình mặt phẳng.
1. Định nghĩa: Hai vectơ
, 0a b ≠
r
r
r
được gọi là 1 cặp vectơ chỉ phương của
( )
mp
α
nếu
a
r
không cùng
phương với
b
r
và giá của chúng song song hoặc nằm trên
( )
mp
α
.
2. Định nghĩa:
0n ≠
r
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của
( )
mp

α
nếu giá của nó vuông góc với
( )
mp
α
.
Nhận xét: nếu
,a b
r
r
là cặp vectơ chỉ phương của
( )
mp
α
thì
n a b= ∧
r
r
r
là pháp vectơ của
( )
mp
α
.
3. Định lí: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
( )
2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠
.
Trong đó

( )
; ;n A B C=
r
là pháp vectơ của mặt phẳng.
Hệ quả 1: Phương trình mặt phẳng đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có pháp vectơ
( )
; ;n A B C=
r
là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
.
Hệ quả 2: Phương trình mặt phẳng đi qua
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
là:
( )
1 0
x y z
abc
a b c
+ + = ≠
.
4. Định lí: Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau:
0Ax By Cz D+ + + =

và
0A x B y C z D
′ ′ ′ ′
+ + + =
là:
( ) ( )
0m Ax By Cz D n A x B y C z D
′ ′ ′ ′
+ + + + + + + =
với
2 2
0m n+ >
.
B. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Khoảng cách từ
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến
( )
: 0mp Ax By Cz D
α
+ + + =
được tính bởi công thức:
( )
( )
0 0 0
2 2 2
;
Ax By Cz D

d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
C. Góc giữa hai mặt phẳng.
Cho:
( )
1 1 1 1
: 0A x B y C z D
α
+ + + =
có PVT
( )
( )
1 1 1
; ;n A B C
α
=
r

( )
2 2 2 2
: 0A x B y C z D
β
+ + + =
có PVT
( )
( )

2 2 2
; ;n A B C
β
=
r
Gọi
( ) ( )
( )
( )
0
; 0 90
ϕ α β ϕ
= ≤ ≤
thì:
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
.
.
n n
A A B B C C
n n
A B C A B C
α β
α β
ϕ

+ +
= =
+ + + +
r r
r r
.
D. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho:
( )
1 1 1 1
: 0A x B y C z D
α
+ + + =
có PVT
( )
( )
1 1 1
; ;n A B C
α
=
r

( )
2 2 2 2
: 0A x B y C z D
β
+ + + =
có PVT
( )
( )

2 2 2
; ;n A B C
β
=
r
a) Nếu
( )
n
α
r
và
( )
n
β
r
không cùng phương thì
( )
α
cắt
( )
β
.
b) Nếu
( )
n
α
r
và
( )
n

β
r
cùng phương và
*
( ) ( )
,
α β
không có điểm chung thì
( ) ( )
//
α β
.
*
( ) ( )
,
α β
có điểm chung thì
( ) ( )
α β
≡
.
Ghi chú: Nếu
2 2 2 2
, , , 0A B C D ≠
thì:
*
( )
α
cắt
( )

β

1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
⇔ ≠ ≠
( chỉ cần một dấu
≠
).
*
( ) ( )
//
α β

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠
.
1
*
( ) ( )
α β
≡

1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D

A B C D
⇔ = = =
.
E. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cho trước.
( ) ( )
//
α β
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
; ;d d M M
α β β α
= ∀ ∈
.

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
; ;d d N N
α β α β
= ∀ ∈
.
.
BÀI TẬP
Bài 1. Lập phương trình tổng quát của

( )
mp
α
đi qua
( )
2;1; 1A −
và vuông góc với đường thẳng xác định bởi
2 điểm
( ) ( )
1;0; 4 , 0; 2; 1B C− − − −
.
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của
( )
mp
α
đi qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;4 , 3;2; 1A B− −
và vuông góc với
( )
: 2 3 0mp x y z
β
+ + − =
.
Bài 3.
a) Lập phương trình tổng quát của
( )
mp
α
đi qua

( )
1;0;5A
và song song với
( )
: 2 17 0mp x y z
γ
− + − =
.
b) Lập phương trình
( )
mp
β
đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
1; 2;1 , 1;0;0 , 0;1;0B C D−
và tính góc nhọn
ϕ
tạo bởi 2
( )
mp
α
và
( )
β
.
Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
( )
2 0
:
3 2 3 0

x z
x y z
− =

∆

− + − =

và vuông góc với
( )
: 2 5 0mp P x y z− + + =
.
Bài 5. Viết phương trình
( )
mp P
chứa
Ox
và tạo với
( )
: 2 5 0mp x y z
α
+ − =
một góc
0
60
.
Bài 6. Trong không gian
Oxyz
.
a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua

( ) ( )
0;0;1 , 3;0;0M N
và tạo với
( )
mp Oxy
một góc
3
π
.
b) Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
với
, , 0a b c >
thay đổi luôn luôn thỏa:
2 2 2
3a b c+ + =
.
Xác định
, ,a b c
sao cho khoảng cách từ O đến
( )
mp ABC
đạt GTLN.
Bài 7. Viết phương trình
( )
mp
α
chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 2
( )

: 7 0mp P x y z− + − =
và
( )
:3 2 12 5 0Q x y z+ − + =
.
Bài 8. Cho
( ) ( ) ( )
5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4A B C
.
a) Viết phương trình
( )
mp ABC
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
( )
mp ABC
.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua
,O A
và song song với BC.
c) Viết phương trình mặt phẳng qua
,C A
và vuông góc với
( )
: 2 3 1 0mp x y z
α
− + + =
.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với
( )
mp

α
và
( )
mp ABC
.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2
( )
mp
α
,
( )
ABC
và qua
( )
1;2;3I −
.
Bài 9. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng
5 4 0x ny z m+ + + =
thuộc chùm mặt phẳng có phương trình:
( ) ( )
3 7 3 9 3 5 0x y z x y z
α β
− + − + − − + =
.
Bài 10. Trong không gian Oxyz cho
( ) ( )
: 2 1 1 0
m
mp P x y z m x y z+ + + + + + + =
với m là tham số.

a) Chứng minh rằng với mọi m,
( )
m
mp P
luôn đi qua đường thẳng
( )
d
cố định,
b) Tìm m để
( )
m
mp P
vuông góc với
( )
0
: 2 1 0P x y z+ + + =
.
2
c) Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng
( )
d
.
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho 2
( ) ( )
: 2 3 1 0, : 5 0mp x y z x y z
α β
− + + = + − + =
và điểm
( )
1;0;5M

.
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
( )
mp
α
.
b) Viết phương trình
( )
mp P
đi qua giao tuyến
( )
d
của
( )
α
và
( )
β
đồng thời vuông góc với
( )
:3 1 0mp Q x y− + =
.
Bài 12. Cho
( ) ( ) ( )
1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3A B C− −
.
a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình
( )
mp P
chứa 3 điểm này. Tính

khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
( )
mp P
.
b) Tính
ABC
S
∆
và tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 13. Cho
( ) ( ) ( )
2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;3A B C
. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm OA và BC; P, Q là 2 điểm
trên OC và AB sao cho
2
3
OP
OC
=
và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình
( )
mp MNPQ
và tìm
tỉ số
AQ
AB
.
Bài 14. Trong không gian Oxyz cho
( ) ( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A a B a C a a D d

với
0, 0a d> >
. Gọi là hình
chiếu vuông góc của O xuống hai đường thẳng DA, DB.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA, OB. Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc
CD.
b) Tính d theo a để số đo
·
0
45AOB =
.
Bài 15. Tìm trên trục tung các điểm cách đều 2
( ) ( )
: 1 0, : 5 0mp x y z x y z
α β
+ − + = − + − =
.
Bài 16.
a) Tính góc của 2
( )
mp P
và
( )
Q
cùng đi qua điểm
( )
2;1; 3I −
,
( )
P

chứa trục Oy,
( )
Q
chứa trục Ox.
b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2
( )
mp P
,
( )
Q
nói trên.
Bài 17. Trong không gian Oxyz. Xét
AOB∆
đều, nằm trong
( )
mp Oxy
có cạnh a, đường thẳng AB song song
trục tung. Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong
( )
mp Oxy
. Cho
0;0;
3
a
S
 
 ÷
 
.
a) Xác định A, B và trung điểm E của OA, viết phương trình

( )
mp P
chứa SE và song song với trục
hoành.
b) Tính
( )
( )
;d O P
. Suy ra
( )
;d Ox SE
.
Bài 18. Trong không gian Oxyz cho các điểm
( ) ( ) ( )
1;4;5 , 0;3;1 , 2; 1;0A B C −
và
( )
:3 3 2 15 0mp P x y z− − − =
. Gọi G là trọng tâm của
ABC∆
. Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm M
nằm trên
( )
mp P
3