Luận văn thạc sĩ không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

VŨ THỊ KHUYÊN

KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC
XẤP XỈ TỐT NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

VŨ THỊ KHUYÊN

KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC
XẤP XỈ TỐT NHẤT

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. NGUYỄN QUANG DIỆU

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

i


Lời cảm ơn
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tơi những nhận xét q
báu để tơi có thể hồn thành luận văn.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích trường Đại học sư
phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tơi trong suốt
q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã ln động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt
q trình học tập.

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Hàm điều hoà dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Hàm đa điều hoà dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Lớp Lelong trên Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7

Hàm cực trị toàn cục VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.8

Bất đẳng thức Bernstein-Walsh . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.9

Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov . . . . . . . .

11

2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất

iii

12


2.1

Đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . .

17

Kết luận

24

Tài liệu tham khảo

25

iv


Mở đầu
Lý thuyết đa thế vị được xem như là một trong những thành tựu sâu sắc
của Toán học trong vòng 30 năm trở lại đây. Sự phát triển mạnh mẽ của lý
thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác
nhau của Toán học như: giải tích phức nhiều biến, giải tích Hyperbolic, hình
học vi phân phức,....
Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng của lý thuyết đa thế vị vào một bài toán
truyền thống của giải tích là lý thuyết xấp xỉ. Hàm chỉnh hình về địa phương
có thể viết thành một chuỗi lũy thừa. Do đó ta có thể xấp xỉ một cách địa
phương một hàm chỉnh hình bởi các đa thức. Tuy nhiên, vấn đề là không
tầm thường nếu ta muốn xấp xỉ một hàm chỉnh hình bởi các đoạn đa thức
trên các tập compact của một miền đã cho. Trong một số trường hợp đặc
biệt thì xấp xỉ là xảy ra, chẳng hạn hàm chỉnh hình trên một lân cận các
tập liên thông đa thức. Vấn đề mà người ta quan tâm là liệu các tính chất
của dãy đa thức xấp xỉ có được bảo tồn qua phép xấp xỉ đều hay khơng?
Đó là lí do chúng tơi chọn đề tài: "Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt
nhất".

Cho E là tập compact trong CN và f là hàm liên tục trên E, chỉnh hình
trên phần trong của E. Ta quan tâm tới mô tả không điểm của dãy {fn }

1


đa thức xấp xỉ đều tốt nhất với f.
Hiển nhiên khi E ⊂ C và f không triệt tiêu trên E thì {fn } cũng khơng
triệt tiêu trên E. Vậy ta chỉ quan tâm tới trường hợp f có khơng điểm trên

E.
Luận văn trình bày lại một số kết quả của Bloom và Szczepanski theo
hướng nghiên cứu này.
Về cấu trúc luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo, luận văn gồm hai chương:
Chương 1 trình bày tổng quát một số kiến thức cơ sở và kết quả bổ trợ
để trình bày các kết quả cho chương 2.
Chương 2 trình bày về khơng điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất. Trong
chương này, em sẽ nghiên cứu vấn đề cơ bản là Định lý 2.2.5. Định lý nói
rằng mỗi khơng điểm của hàm f ( hàm cần xấp xỉ ) thực tế là giới hạn của
dãy các không điểm của đa thức xấp xỉ tốt nhất. Chứng minh kết quả này
đòi hỏi những kiến thức về lý thuyết đa thế vị đã được trình bày ở chương
1.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu.
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn trân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo
hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi để em hồn thành được khoa học của mình.

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hàm chỉnh hình một biến

Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn

f (z + ∆z) − f (z)
, z, z + ∆z ∈ Ω.
∆z→0
∆z
lim

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
df
f tại z, ký hiệu là f (z) hay (z).
dz
Như vậy
f (z + ∆z) − f (z)
f (z) = lim
.
∆z→0
∆z
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C− khả
vi tại z.
Bởi vì

f (z + ∆z) − f (z)
∆z = 0
∆z→0
∆z

lim [f (z + ∆z) − f (z)] = lim

∆z→0

nên nếu f C− khả vi tại z thì

lim [f (z + ∆z) − f (z)] = 0.

∆z→0

Nói cách khác f liên tục tại z.
3


Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết

f (k) = (f (k−1) )
nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên Ω.

1.2

Hàm chỉnh hình nhiều biến

Định nghĩa 1.2.1. ([2]) Hàm l : Cn → C gọi là R− tuyến tính (tương ứng

C− tuyến tính) nếu
a) l(z + z ) = l(z ) + l(z ), ∀z , z ∈ Cn .
b) l(λz) = λl(z), ∀λ ∈ R, z ∈ Cn (tương ứng ∀λ ∈ C).
Hiển nhiên hàm l : Cn → C R− tuyến tính là C− tuyến tính nếu

l(iz) = il(z), ∀z ∈ Cn .
Trong trường hợp l(λz) = λ(z) ta nói l là C− phản tuyến tính.
Ví dụ 1.2.2. ([2]) Hiển nhiên các hàm tọa độ

z → zj và z → z j
là C− tuyến tính và C− phản tuyến tính.
Mọi R− tuyến tính l : Cn → C viết duy nhất dưới dạng

l(z) = l (z) + l (z)
với

l (z) =

l(z) − il(iz)
l(z) + il(iz)
còn l (z) =
2
2

là C− tuyến tính và C− phản tuyến tính.
Bởi vì
n

2l (z) =

n

aj zj và 2l (z) =
j=1

bj z j .
j=1

4


Ta có
n

n

l(z) =

aj zj +
j=1

bj z j .
j=1

Định nghĩa 1.2.3. ([2]) Hàm f : Ω → C, Ω là mở trong Cn , gọi là R− khả
vi (tương ứng C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu

f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h),

(1.1)

ở đây l là R− tuyến tính (tương ứng C− tuyến tính) và

0(h)
→ 0 khi h → 0.
h
Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R− đạo hàm (tương ứng C− đạo
hàm của f tại z ) kí hiệu f (z) hay df (z). Bằng cách viết

zj = xj + iyj , ¯zj = xj − iyj , j = 1, n.
Ta có

dzj + dzj
2
dzj − dzj
.
dzj = dxj − iyj ⇒ dxj =
2
dzj = dxj + iyj ⇒ dxj =

Do
n

df =
j=1

∂f
∂f
dxj +
dy

∂xj
∂y j j

ta có
n

df =
j=1

∂f
∂f
dzj +
dzj ,
∂zj
∂z j

(1.2)

∂f
∂f
1 ∂f
∂f
1 ∂f
∂f
=
−i
và
=
+i
, j = 1, n.

∂zj
2 ∂xj
∂yj
∂zj
2 ∂xj
∂yj
Nếu tổng thứ 1 trong vế phải của (1.2) kí hiệu ∂f cịn tổng thứ 2 kí hiệu

ở đây

∂f thì
df = ∂f + ∂f.
5

(1.3)


Định lý 1.2.4. ([2]) Hàm R− khả vi tại z ∈ Cn − khả vi khi và chỉ khi

∂f = 0.

(1.4)

∂f
= 0, ∀ j = 1, n.
∂zj

(1.5)

Hay tương đương

Định nghĩa 1.2.5. ([2]) a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ C n nếu nó C−
khả vi trong một lân cận của z.
b) f : Ω → C m với Ω là mở trong C n gọi là chỉnh hình tại z nếu fj chỉnh
hình tại z với mọi j = 1, m, ở đây

f = (f1 , ..., fm ).
Như trường hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì

∂f
∂zj

chính

là đạo hàm riêng của z theo biến zj .

1.3

Hàm điều hoà dưới

Định nghĩa 1.3.1. ([1]) Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X →

[ − ∞, +∞) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập
Xα = {x ∈ X : u(x) < α}
là mở trong X. Hàm v : X → (−∞, +∞] gọi là nửa liên tục dưới trên X
nếu −v là nửa liên tục trên trên X.
Chúng ta có thể dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa
mang tính địa phương sau. Giả sử u : X → [−∞, +∞). Ta nói hàm u là
nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận Ux0 của x0 trong X
6

sao cho ∀x ∈ Ux0 ta có:

u(x) < u(x0 ) + ε nếu u(x0 ) = −∞
u(x) < −

1
ε

nếu u(x0 ) = −∞.

Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u là nửa liên tục trên tại mọi

x0 ∈ X. Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau. Giả sử E ⊂ X và u : E →
[ − ∞, +∞) là hàm trên E. Giả sử x0 ∈ E. Ta định nghĩa
lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }}

x→x0 x∈E

ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy
rằng hàm u : X → [ − ∞, +∞) là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu

lim sup u(x) ≤ u(x0 ).

x→x0 x∈E

Định nghĩa 1.3.2. ([1]) Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω →

[ − ∞, +∞) gọi là điều hịa dưới trên Ω, nếu nó nửa liên tục trên trên

Ω, u ≡ −∞ trên bất kì một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi w ∈ Ω tồn tại
cho với mọi 0 ≤ r ≤

> 0 sao

ta có
2π

1
u(w) ≤
2π

u(w + reit )dt.

(1.6)

0

Ta ký hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω).
Mệnh đề 1.3.3. ([1]) Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f |
là hàm điều hòa dưới trên Ω.
Chứng minh. Trường hợp f ≡ 0 trên Ω thì kết quả là rõ ràng. Giả sử f ≡ 0
trên Ω. Khi đó rõ ràng log |f | là hàm nửa liên tục trên trên Ω.
7


Giả sử w ∈ Ω. Nếu f (w) = 0 thì chọn

> 0 sao cho f = 0 trên

B(w, ) = {z ∈ Ω : |z − w| < }.
Khi đó log |f | là hàm điều hịa trên
B(w, ) = {z ∈ Ω : |z − w| < }
nên (1.3.1) được thỏa mãn với dấu đẳng thức.
Trường hợp f (w) = 0. Khi đó log |f (w)| = −∞ và do đó (1.3.1) ln
đúng.

1.4

Hàm đa điều hồ dưới

Định nghĩa 1.4.1. ([1]) Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, u : Ω → [ − ∞, +∞) là
hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phân liên
thông của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (viết u ∈ P SH(Ω) ) nếu
với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là hàm điều hịa dưới hoặc
bằng −∞ trên mọi thành phần liên thơng của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.
Định lý 1.4.2. ([1]) Giả sử u : Ω → [ − ∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên,
không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phân liên thông của Ω ∈ Cn . Khi
đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω
ta có
2π

1
u(a) ≤
2π

u(a + ei0 b)d0 = l(u, a, b).

(1.7)

0

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên suy từ Định nghĩa (1.4.1). Điều
kiện đủ. Giả sử a ∈ Ω, b ∈ Cn và xét U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Khi đó U
8


là tập mở trên C. Đặt v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U. Cần chứng minh v(λ) là
điều hòa dưới trên U. Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu λ0 ∈ U tồn tại ρ > 0
sao cho với 0 ≤ r < ρ thì
2π

1
v(λ0 ) ≤
2π

v(λ0 + rei0 )d0.
0

Từ a + λ0 b ∈ Ω nên có ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ thì a + λ0 b + λb ∈ Ω. Với

0 ≤ r < ρ ta có {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω. Do đó từ giả thiết
2π

1
u(a + λ0 b) ≤
2π

u(a + λ0 b + bei0 )d0.
0

2π

1
Vậy v(λ0 ) ≤
2π

v(λ0 + rei0 )d0, đó là điều phải chứng minh.
0

1.5

Tập đa cực

([1]) Tập E ⊂ Ω ⊂ Cn được gọi là tập đa cực trong Ω nếu với mọi a ∈ E,
tồn tại lân cận liên thông Va ⊂ Ω và hàm u ∈ P SH(Va ), u ≡ −∞ sao cho

E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞}.
1.6

Lớp Lelong trên Cn

([1]) Hàm u ∈ P SH(Ω) được gọi là có độ tăng logarit nếu tồn tại hằng
số Cu sao cho với mọi z ∈ Cn :

u(z) ≤ log z + Cu
với z =

2
n
j=1 |zj | , z

= (z1 , z2,..., zn ). Kí hiệu tập các hàm đa điều hịa

dưới trên Cn có độ tăng logarit là L(C n ) hay L. Như vậy

L = {u ∈ P SH(C n ) : sup(u(z) − log z ) < +∞}.
9


Lớp L được gọi là lớp Lelong. Ta còn xét lớp con của lớp Lelong, kí hiệu là

L+ được xác định như sau:
L+ = {u ∈ P SH(Cn ) : ∃ C1 (u), C2 (u) sao cho khi z → ∞,
C1 (u) + log z ≤ u(z) ≤ C2 (u) + log z }.
1.7

Hàm cực trị toàn cục VE

Định nghĩa 1.7.1. ([1]) Hàm cực trị toàn cục VE . Giả sử E là tập bị chặn.
Hàm VE (z) = sup{u(z) : u ∈ L, u|E ≤ 0}, x ∈ Cn gọi là hàm cực trị toàn
cục của tập E. Hàm VE đơi khi cịn được gọi là L− hàm cực trị của E hay
hàm cực trị Siciak-Zakhariuta.
Ví dụ 1.7.2. ([1]) Giả sử E = B(a, r) = {z ∈ Cn : z − a ≤ r}. Khi đó

VB(a,r) = log+
trong đó, log+

z−a
r

= max(0, log

z−a
,
r
z−a
r

z ∈ Cn ,

).

Thật vậy, vế phải thuộc L và ≤ 0 khi z ∈ E . Vậy theo định nghĩa,

VB(a,r) ≥ log+

z−a
,
r

z ∈ Cn .

Giả sử u ∈ L, u|E ≤ 0. Lấy w ∈ Cn \E và xác định hàm

1
w−a

v(t) = u(a + (w − a)) − log+
,
t
|t|r
ở đó, t ∈ ∆(0,

w−a
r

)\{0}. Hàm v là hàm điều hòa dưới theo t ∈ ∆(0,

w−a
r

)\{0}

và do u ∈ L nên v(t) ≤ c khi t → 0. Vậy v thác triển tới hàm điều hòa dưới

v˜ trên t ∈ ∆(0,

w−a
r

đại, v˜ ≤ 0 trên ∆(0,

). Khi |t| =
w−a
r

w−a

r

thì v˜(t) ≤ 0. Vậy theo nguyên lý cực

). Đặc biệt v(1) = v˜(1) = u(w) − log+

10

w−a
r

≤ 0.


Từ đó u(w) ≤ log+

log+

w−a
r

w−a
r

khi w ∈ Cn \E . Nếu w ∈ E thì u(w) ≤ 0 =

. Do đó u(w) ≤ log+

w−a
r

với mọi w ∈ Cn và đẳng thức

z−a
,
r

VB(a,r) = log+

z ∈ Cn

được chứng minh.

1.8

Bất đẳng thức Bernstein-Walsh

Giả sử P là đa thức trên Cn và B(a, r) là hình cầu tâm a bán kính r trong
Cn . Hàm u(z) =

1
deg P

log

|P (z)|
P B(a,r)
¯

∈ L và u|B¯ (a,r) ≤ 0. Vậy Ví dụ ( 1.7.2 )

cho ta

|P (z)|
z−a
1
log
≤ max(0, log
) ∀z ∈ Cn .
deg P
P B(a,r)
r
Do đó ta có bất đẳng thức sau mà được gọi là bất đẳng thức Berstein- Walsh

|P (z)| ≤ P

1.9

B(a,r)

z−a
max 1,
r

deg P

.

Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov

Cho K là tập compact chính quy trong Cn . Khi đó độ đo cân bằng

(ddc VK )n thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov.
Cho K là tập compact chính quy trong Cn và µ là độ đo Borel dương
chính quy trên K.

Giả sử ∃r0 > 0 và T > 0 sao cho

µ(B(z, r)) ≥ rT , ∀ z ∈ K, ∀r < r0 .
Khi đó µ thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov.
11


Chương 2

Không điểm của các đa thức xấp xỉ
tốt nhất
2.1

Đa thức xấp xỉ tốt nhất

Định nghĩa 2.1.1. ([3]) Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên E sao cho
cặp (E, µ) thỏa mãn điều kiện Bernstein – Markov (BM ), tức là, với ε > 0
bất kì và q, 0 < q < ∞, tồn tại A = A (ε, q) sao cho

p

E

≤ A(1 + ε)deg(p) p

µ,q

với ∀p ∈ P (CN ),

(2.1)

trong đó
1/q



p

µ,q

=

|p(z)|q dµ

.

(2.2)

E

Ta biết rằng nếu µ thỏa mãn (BM ) với một mũ q, 0 < q < ∞ thì µ cũng
thỏa mãn (BM ) với mọi q, 0 < q < ∞. Kí hiệu Lqp (E, µ), 1 ≤ q < ∞, là
tập hàm liên tục trên E mà giới hạn của các đa thức theo chuẩn .

µ,q .

Cho f là một hàm phân hình trên một lân cận của E . Ta kí hiệu pn ∈ Pn
(tương ứng fn ∈ Pn ) là đa thức xấp xỉ tốt nhất theo chuẩn đều và chuẩn

12


.

µ,q

tương ứng, tức là

f − pn
f − fn

E
µ,q

= inf { f − qn

E , qn

f − qn

= inf

∈ Pn } ,

µ,q , qn

(2.3)

∈ Pn .

(2.4)

Đa thức pn thỏa mãn (2.3) hoặc (2.4) được gọi là đa thức xâp xỉ tốt nhất.

Pn là tập các đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc n.
Những xấp xỉ tốt nhất không nhất thiết phải duy nhất.
Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak và bất đẳng thức Bernstein - Walsh

(BW )
|p(z)| ≤ p

deg p
,z
E (exp VE (z))

∈ CN , ∀p ∈ P (CN ).

(2.5)

Bổ đề 2.1.2. ([3]) Cho (E, µ) thỏa mãn điều kiện Bernstein – Markov
Cho {hn }n=1,2,... là một dãy các đa thức thuần nhất bậc n. Cho q thỏa mãn

1 ≤ q < ∞. Khi đó
lim sup T chE hn

n→∞

1/n
E

= lim sup T chE hn
n→∞

= lim sup T chµ,q hn
n→∞

= lim sup T chµ,q hn
n→∞

1/n
µ,q
1/n
E
1/n
µ,q .

Chứng minh. Từ (BM ) ta có, với mọi ε > 0

T chµ,q hn

E

≤ A(1 + ε)n T chµ,q hn

µ,q .

(2.6)

Khi T chµ,q hn là đối của T chE hn ta có

≤ T chµ,q hn

E.

(2.7)

≤ T chE hn

µ,q .

(2.8)

T chE hn

E

T chµ,q hn

µ,q

Tương tự như vậy

13

Khi đó µ(E) < +∞ ta có

T chE hn

µ,q

≤ µ(E)1/q T chE hn

E.

(2.9)

Từ (2.6) và (2.7) ta có

lim sup T chE hn
n→∞

1/n
E

≤ lim sup T chµ,q hn
n→∞

1/n
E

≤ lim sup T chµ,q hn

1/n
µ,q

≤ lim sup T chE hn

n→∞

1/n
µ,q .

Kết hợp (2.8) và (2.9) ta nhận được

lim sup T chµ,q hn
n→∞

1/n
µ,q

≤ lim sup T chE hn
n→∞

n→∞

1/n
E .

Định lý 2.1.3. ([3]) Cho E ⊂ CN là một compact chính quy và cho µ
là độ đo Borel sao cho cặp (E, µ) thỏa mãn (BM ). Cho 1 ≤ q < ∞ và

f ∈ Lpq (E, µ) ; R > 1. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
a) f thác triển giải tích lên ER .
b) lim sup f − fn

n→∞

1/n
µ,q

≤

1/n

c) lim sup T chµ,q fn
n→∞

d) lim sup T chµ,q fn
n→∞

e) lim sup
n→∞

E
1/n
µ,q

(2.10)

1
.
R
1
≤ .
R

1
≤ .
R

(2.11)
(2.12)
(2.13)

1
log fn (z) − log |z| ≤ ρE ([z]) − log R, ∀ z = 0.
n

(2.14)

Trong đó {fn } là một dãy các đa thức xấp xỉ tốt nhất trong chuẩn .

µ,q .

Chứng minh. Giả sử (2.10). Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak ta có

lim sup f − pn
n→∞

1/n
E

≤

1
,

R

(2.15)

trong đó {pn } là dãy các đa thức xấp xỉ tốt nhất tới f trên E. Khi đó ta có

f − fn

µ,q

≤ f − pn

µ,q

14

≤ (µ (E))1/q f − pn

E.

(2.16)


Ta có

lim sup f − fn
n→∞

1/n
µ,q

≤

1
,
R

(2.17)

tức là (2.11) cố định. Tiếp theo, từ định nghĩa của đa thức Tchebyshev

T chµ,q fn và bởi (2.4) ta có
T chµ,q fn

µ,q

≤ fn − fn−1

µ,q

≤ fn − f

+ f − fn−1

µ,q

≤ 2 f − fn−1

µ,q

µ,q .

(2.18)

Do đó, từ (2.11) và (2.13) ta có
1/n

lim sup T chµ,q fn

µ,q

n→∞

≤ lim sup f − fn
n→∞

1/n
µ,q

≤

1
.
R

Khi cặp (E, µ) thỏa mãn (BM ), từ Bổ đề 2.1.2, điều kiện (2.12) và (2.13)
tương đương. Giả sử (2.13) được thỏa mãn. Từ định nghĩa của đa thức
Tchebyshev T chµ,q fn+1 , ta có

f − fn

µ,q

≤ f − (fn+1 − T chµ,q fn+1 )
≤ f − fn+1

Khi f − fn

µ,q

≥ f − fn+1

µ,q

µ,q

+ T chµ,q fn+1

và lim f − fn
n→∞

lim sup f − fn
n→∞

1/n
µ,q

≤

µ,q

1
,
R

(2.19)

µ,q

µ,q

.

= 0, từ (2.13) ta có
(2.20)

tức là (2.11) cố định. Tiếp theo, giả sử (2.11) cố định. Cố định r, 1 < r < R,
và khi đó cố định ε > 0 và ρ sao cho

(1 + ε)r < ρ < R.
Từ (2.11), tồn tại no = no (ρ) sao cho

f − fn

µ,q

≤
15

1

, n ≥ n0 .
ρn

(2.21)


Từ (BW )

fn+1 − fn

Er

≤ rn+1 fn+1 − fn

E.

(2.22)

Tiếp theo, từ bất đẳng thức (BM ), tồn tại Aε > 0 sao cho

fn+1 − fn

E

≤ Aε (1 + ε)n+1 fn+1 − fn

µ,q , ∀n.

(2.23)

Khi đó

fn+1 − fn

µ,q

≤ fn+1 − f

µ,q

+ fn − f

µ,q

≤ 2 f − fn

µ,q .

(2.24)

Ta được

fn+1 − fn

Er

(1 + ε)r
≤ 2Aε ρ
ρ

n+1

với n ≥ n0 .

Do đó, với mọi M, n ≥ n0 , ta có
M

fk+1 − fk
k=n

Er

(1 + ε)r
≤C
ρ

n+1

,

(2.25)

trong đó C = 2Aε ρ2 (ρ − (1 + ε)r)−1 . Khi đó (1 + ε)r < ρ, chuỗi fo +
∞

fk+1 − fk hội tụ đều trên E r . Khi đó r < R được chọn tùy ý, ta kết luận
k=0

rằng f thác triển giải tích lên ER . Tức là, (2.10) được chứng minh.
Giả sử (2.12) cố định. Cố định r sao cho 1 < r < R. Khi đó n ≥ n1 (r),

1/n

ta có T chµ,q fn

E

≤

1
r

log r +

hoặc

1
log T chµ,q fn (z) ≤ 0, ∀z ∈ E.
n

(2.26)

Do đó từ định nghĩa của hàm cực trị tồn cục VE , ta có

log r +

1
log T chµ,q fn (z) ≤ VE (z), ∀z ∈ CN .
n

(2.27)

Lấy hàm Robin của cả 2 vế của (2.27) cho

log r +

1
log fn (z) − log |z| ≤ ρE ([z]) , ∀z ∈ CN \ {0} .
n

Khi đó nó cố định với ∀n > n1 (r) và ∀r < R ta có (2.14).
16

(2.28)


Bổ đề 2.1.4. ([3]) Cho E ⊂ C N là một compact chính quy và µ là một độ
đo Borel sao cho (E, µ) thỏa mãn (BM ). Cho hn là một dãy của các đa thức
thuần nhất thỏa mãn deg hn = n hoặc hn (z) ≡ 0, với mọi n ∈ No , R > 1 và

1 ≤ q < ∞.
Giả sử

lim sup
n→∞

1
log |hn (z)| − log |z| ≤ ρE ([z]) − log R, ∀z ∈ CN \ {0} .
n

(2.29)

Khi đó ta có

lim sup T chµ,q hn
n→∞

Nhớ lại (2.7) rằng nếu hn (z) ≡ 0 ta đặt

1
n

1/n
µ,q

≤

1
.
R

(2.30)

log |hn (z)| − log |z| = −∞.

Chứng minh. Từ ( 2.29) ta có

lim sup T chE hn
n→∞

1/n

E

≤

1
.
R

Từ đánh giá trên và Bổ đề 2.1.2 ta suy ra điều phải chứng minh. Đặt hn ≡ fn
trong Bổ đề trên cho (2.14) =>(2.13) . Điều này hồn thành chứng minh
của Định lý 2.1.3.

2.2

Khơng điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất

Bổ đề 2.2.1. ([3]) Hàm f thác triển đến một hàm chỉnh hình lên ER nếu
và chỉ nếu int(Z) ⊃ ER .
Chứng minh. Giả sử ER ⊂ int(Z). Cho 1 < r < R. Khi đó E r ⊂ int(Z).
Do lim sup n1 log |pn (z)| ≤ 0 trên E r .
n→∞

Ta có bổ đề Hartogs, cho ε> 0, tồn tại no (ε)

1
log |pn (z)| ≤ ε, n ≥ n0 (ε), z ∈ E r
n
17

(2.31)

và

1
log |pn (z)| ≤ ε + VE r (z), z ∈ CN , n ≥ no .
n

(2.32)

Lấy hàm Robin của cả 2 vế của bất đẳng thức trên cho

1
log |pn (z)| − log |z| ≤ ε + ρEr ([z]) , n ≥ no .
n

(2.33)

Nhắc lại rằng khi E là chính quy,

VEr (z) = max {VE (z) − log r, 0}

(2.34)

ρEr ([z]) = ρE ([z]) − log r, ∀z = 0.

(2.35)

và

Sử dụng (2.33) và (2.35 ) ta được

1
log |pn (z)| − log |z| ≤ ε + ρE ([z]) − log r, n ≥ n0 .
n

(2.36)

Do đó, với mọi ε > 0, ta có

lim sup
n→∞

1
log |pn (z)| − log |z| ≤ ε + ρE ([z]) − log r.
n

(2.37)

1
log |pn (z)| − log |z| ≤ ρE ([z]) − log r.
n

(2.38)

Điều này kéo theo

lim sup
n→∞

Khi đó, f thác triển giải tích lên Er . Khi đó (2.38) đúng với bất kì r < R,
hàm f thác triển giải tích lên ER .
Tuy nhiên, nếu f thác triển giải tích lên ER , dãy {pn } là bị chặn đều trên

E r , với ∀r < R.
Do đó, v ≤ 0 trên E r và khi

E r ⊂ ER , ta có v ≤ 0 trên ER . Vậy
r
ER ⊂ int(Z), khi đó ER là mở.
18


Cho E ⊂ CN là một compact chính quy và cho µ là độ đo Borel hữu
hạn sao cho (E, µ) thỏa mãn (BM ). Cho q thỏa mãn 1 ≤ q < ∞. Cho

{fn } là một dãy các đa thức xấp xỉ tốt nhất trên chuẩn .

µ,q

tới một hàm

f ∈ Lpq (E, µ). Ta đặt
1
vµ (z) := lim sup log |fn (z)|
n→∞ n

∗

.

(2.39)

Dãy {fn (z)} là bị chặn đều trên Lq (E, µ). Sử dụng (BM ) ta kết luận rằng

lim sup fn
n→∞

1/n
E

≤ 1. Vậy vµ ∈ L.

Kí hiệu Zµ = z ∈ CN : vµ (z) ≤ 0 . Cho int(Zµ ) kí hiệu là phần trong
của tập Zµ .
Bổ đề 2.2.2. ([3]) Cho f ∈ Lqp (E, µ). Cho R > 1. Hàm f thác triển giải
tích lên ER nếu và chỉ nếu int(Zµ ) ⊃ ER .
Chứng minh bổ đề trên tương tự với chứng minh của Bổ đề 2.2.1. Cụ thể
hơn, để chứng minh rằng ER ⊂ int(Zµ ), nghĩa là f thác triển giải tích lên

ER , ta sẽ lặp lại từ (2.31) đến (2.38), dùng dãy {fn } thay cho {pn } và sử
dụng Định lý 2.1.2 trong (2.38).
Bổ đề 2.2.3. ([3])
i) Z ⊃ E và Zµ ⊃ E.
ii) Cho f ∈ W(E) khơng giải tích trên E. Khi đó ∂Z ∩ E = φ. Tương
tự với f ∈ Lqp (E, µ) và f khơng giải tích trên E , khi đó ∂Zµ ∩ E = φ.
iii) Cho f ∈ W(E) có một thác triển giải tích lên ER (với một số

R > 1) nhưng không lên Es với s > R bất kì. Khi đó ∂ER ∩ ∂(int(Z)) = φ

và ∂ER ∩ ∂(int(Zµ )) = φ.

19