Gián án phương trình mặt phẳng(cơ bản)

Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán
MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt phẳng :
1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+B
2
+C
2
≠0 là phương trình
tổng quát của mặt phẳng, trong đó
n A B C( ; ; )=
ur
là một vectơ pháp tuyến của nó.
2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận vectơ
n A B C( ; ; )=
ur
làm vectơ pháp tuyến có dạng
A(x – x
0
) + B(y – y
0

) + C(z – z
0
) = 0 .
3). Mặt phẳng (P) đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và //
1 2 3
a a a a( ; ; )=
r
và
1 2 3
b b b b( ; ; )=
r
thì mặt phẳng (P) có vectơ
pháp tuyến :

2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
n a b
b b b b b b
, ; ;
 
 

 ÷
= =
 
 ÷
 
ur r r
.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
(P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 .
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m
2
+ n
2
≠ 0)
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
0 0

0
2 2 2
0
A x By Cz D
d M
A B C
( , )
α
+ + +
=
+ +
Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và
(Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0.
Ta có :
2 2 2 2 2 2
P Q
P Q
P Q
n n
A .A ' B B C C
cos cos( n n
A B C A B C
n n
.
. ' . '
, )
. ' ' '
.
ϕ

+ +
= = =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
(0
0
≤φ≤90
0
)
0
90
P Q
n n
ϕ
= ⇔ ⊥
uur uur
⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau.
• Trong phương trình mặt phẳng không có chứa x thì mặt phẳng song song Ox, không có chứa y thì
song song Oy, không có chứa z thì song song Oz.
Một số dạng mặt phẳng thường gặp
D1: Mp (
α
) qua M và vuông góc với vectơ
a
r
. Thì mp (
α
) có:

* Điểm thuộc (α) là M
* Vtpt
n a=
r r
⇒ pt (α)
D2: Mp (
α
) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là M là trung điểm của AB với
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
1
Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán
Vtpt
n A B=
uuur
r
⇒ pt (α)
D3: MP (
α
) qua 3 điểm A, B, C. Thì mp (

α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
n A B A C,
 
=
 
uuur uuuur
r
⇒ pt (α)
D4: Mp (
α
) //
1 2 3
a a a a( ; ; )=
r
và //
1 2 3
b b b b( ; ; )=
r
và đi qua M. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là M
* Vtpt
n a b,
 
=
 

r
r r
⇒ pt (α)
D5: Mp (
α
) chứa AB và //CD. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A (hoặc B)
* Vtpt
n A B CD,
 
=
 
uuur uuur
r
⇒ pt (α)
D6: Mp (
α
) // mp (
β
) và qua M. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là M
* Vtpt
n n
β
=
r r

⇒ pt (α)
D7: Mp (
α
) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp (
β
).Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A (hoặc B)
* Vtpt
n A B n,
β
 
=
 
uuur
r r
⇒ pt (α)
D8: Mp (
α
) đi qua 2 điểm A và đồng thời vuông góc với mp (
β
) và mp (
γ
).Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
n n n,

β γ
 
=
 
r r r
⇒ pt (α)
CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT
D1: Mp (
α
) qua A và chứa Ox. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
1 0 0n OA i i, , ( ; ; )
 
= =
 
uuur
r r
r
⇒ pt (α)
D2: Mp (
α
) qua A và chứa Oy. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
0 1 0n OA j j, , ( ; ; )

 
= =
 
uuur
r r
r
2
Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán
⇒ pt (α)
D3: Mp (
α
) qua A và chứa Oz. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
0 0 1n OA k k, , ( ; ; )
 
= =
 
uuur
r r
r
⇒ pt (α)
D4: Mp (
α
) qua A và // Oxy. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A

* Vtpt
0 0 1n k ( ; ; )= =
r
r
⇒ pt (α)
D5: Mp (
α
) qua A và // Oxz. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
0 1 0n j ( ; ; )= =
r
r
⇒ pt (α)
D6: Mp (
α
) qua A và // Oyz. Thì mp (
α
) có:
* Điểm thuộc (α) là A
* Vtpt
1 0 0n i ( ; ; )= =
r
r
⇒ pt (α)
B/. BÀI TẬP:
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 2: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua M(1, 2, 3) và //
4 6 3 2 7 5a b ( , , ), ( , , )= =
r
r
b) Đi qua 3 điểm A(1,1,1), B(2,4,5), C(4,1,2)
c) Đi qua A(1, 2, 3) và nhận
3 2 1 3 0 1u v ( , , ), ( , , )= = −
r
r
làm cặp vectơ chỉ phương.
d) Đi qua 2 điểm E(4,-1,1), F(3,1,-1) và song song với trục Ox.
e) Đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0), C(0,0,c)
Bài 3 : a)Viết phương trình mp (α ) đi qua điểm M(2,4,2) và //với
3 0 3 4 1 0a b( , , ), ( , , )= − = − −
r
r
b) Hãy lập phương trình mp (β) đi qua A(1,2,3) và song song với (α )
Bài 4: Lập phương trình mp(α) đi qua 3 điểm A(1,-1,2) B(0,3,0) C(2,1,0)
Bài 5: Lập phương trình các mp đi qua I(2,6,-3) và song song với các mp tọa độ
Bài 6: Lập phương trình mp:
a) Chứa trục Ox và đi qua P(4,-1,2) b) Chứa trục Oy và đi qua Q(1,4,-3)
3
Mặt Phẳng Phan Thanh Tuấn
c) Chứa trục Oz và đi qua R(3,-4,7)
Bài 7: Cho tứ diện có các đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6)

a) Lập phương trình mp (ACD) b) Lập phương trình mp (α) đi qua AB và song song CD
Bài 8: Lập phương trình của mp:
a) MP (α) đi qua M(2,1,-1) và vng góc với đường thẳng AB, biết A(-1,0,4) B(0,-2,-1).
b) MP (β) là mặt trung trực của đoạn thẳng CD, với C(1,3,-4) D(-1,2,2)
c) MP (P) nhận điểm N(2,-1,-2) là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ lên mình
Bài 9: Lập phương trình mp (α) đi qua hai điểm A(2,-1,4) B(3,2,-1) và vng góc với đường thẳng (β) : x + y
+ 2z – 3 = 0
Bài 10: Lập phương trình mp (α) đi qua M(3,-1,-5) và đồng thời vng góc với 2 mp
(P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (Q): 5x – 4y + 3z + 1 =0.
Bài 11: Trong khơng gian cho hai mp: (P): x + y + 5z – 1 = 0, (Q): 2x + 3y – z + 2 = 0 và điểm M(3,2,1). Lập
phương trình mp(α) đi qua M và qua giao tuyến của 2 mp trên
Bài 12: Trong khơng gian cho hai mp: (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, (Q): x – y – 2z + 7 =0. Lập phưong trình
mp(α) đi qua giao tuyến của (P) và (Q) và song song với trục Oy
Bài 13: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc nhau.
b) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC.
c) Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 14: Trong khơng gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P).
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)
Bài 15: Cho A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6) và mặt phẳng
( )
α
: x - 2y + z -10 = 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc BC.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp(ABC).
c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song
( )
α

.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C, D và vuông góc
( )
α
.
f) Viết phương trình mặt phẳng qua D, vuông góc hai mặt phẳng (ABC) và
( )
α
.
g) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC),
( )
α
và:
Bài 16: Cho A(1;1;3); B(-1;3;2); C(-1;2;3).
a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba
điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P).
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.
Bài 17: Cho hai điểm A(-3;2;1); B(9;4;3). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bµi 18: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
1 0 1 5
2 2
A B; ; , ; ;
   
− −
 ÷  ÷
   

c,
2 1 1
1 3 1
3 2 3
A B; ; , ; ;
   
−
 ÷  ÷
   
Bµi 19: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
( )
α
®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng
( )
β
biÕt:
a,
( ) ( ) ( )
2 1 5M Oxy; ; ,
β
=
b,
( ) ( )
1 1 0 2 10 0M x y z; ; , :
β
− − + − =
4
Mt Phng Phan Thanh Tuaỏn
c,
( ) ( )

1 2 1 2 3 0M x y; ; , :

+ =
d,
( ) ( )
3 6 5 1 0M x z; ; , :

+ =
Bài 20 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và //
2 1 2 3 2 1a v b( ; ; ); ( ; ; )
r r

Bài 21 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 22: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 23 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
ur
vuông góc với hai véc tơ
6 1 3 3 2 1a b( ; ; ); ( ; ; )
r r
.
Bài 24 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) //
2 7 2 3 2 4a b( , , ); ( , , )
r r
Bài 25 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ
độ.

B ài 26 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 27 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng
với trục với 0x.
Bài 28: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.
Bài 29: Viết phơng trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 30: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
Bài toán 2. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:
a) (P
1
): y z + 4 = 0, và
( )
2
3 0P x y z: + =

b) (P
1
): 2x+4y-8z+9=0
( )
2

2 4 1 0P x y z: + + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
2 2 2 8 0P x y z: + =
Bi 2: Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m,n cỏc cp mp sau song song nhau:
a) 2x + ny + 3z 5 = 0 v mx 6y 6z = 0 b) 3x 5y + mz 3 = 0 v 2x + ny 3z + 1 = 0
c) mx + 3y 2z 1 = 0 v 2x 5y nz = 0
Bi 3: Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m cỏc cp mp sau vuụng gúc nhau:
a) 3x 5y + mz 3 = 0 v x + 3y + 2z + 5 = 0 b) 5x +y 3z 2 = 0 v 2x + my 3z + 1 = 0
c) 7x + 2y 9 = 0 v mx + y 3z 1 = 0
Bi 4: Tớnh gúc gia hai mp sau:
a) 2x y 2z 9 = 0 v x y 6 = 0 b) 8x 4y 8z + 1 = 0 v
2 2 7 0x y + =

Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
có phơng trình : (P
1
): x - y + z - 4 = 0 và (P
2
) 3x y + z 1 = 0
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1

): y + 2z 4 = 0 và (P
2
) : x + y z 3 = 0 và song
song với mặt phẳng (Q):
2 0x y z -+ + =
.
Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
):
3 2 0x y z - -+ =
và (P
2
):
4 5 0x y -+ =
và vuông góc với mặt phẳng :
2 7 0x z-
+ =
.
5