Gián án Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Tiết 30, 31, 32, 33
I . Mục tiêu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững
- Khái niệm vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (mp).
- Phương trình tổng quát (PTTQ) của mp, điều kiện để hai mp song song, vuông góc, khoảng cách từ một
điểm đến một mp.
2. Kỹ năng:
- Biết tìm toạ độ của VTPT của mp, và viết thành thạo PTTQ của mp.
- Biết chứng minh hai mp song song, hai mp vuông góc, và tính chính xác khoảng cách từ một điểm đến
một mp.
3. Tư duy và thái độ:
Biết tự hệ thống các kiến thức cần nhớ, cẩn thận chính xác trong tính toán, vẽ hình, tư duy các vấn đề toán
học logic trực quan độc lập, sáng tạo trong quá trình tiếp cận và tích lũy kinh nghiệm trong giải toán, biết quy lạ
về quen.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1. Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, phiếu học tập, hệ thống ví dụ, …
2. Học sinh: Xem lại các kiến thức về vectơ trong phẳng, và xem trước bài học theo sự hướng dẫn của
giáo viên.
III. Tiến trình bài dạy:
1. Kiểm tra bài cũ: 5 phút
?1: Công thức tích vô hướng của hai
( )
( )
3
1 2 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b
r
r
. Hai vectơ vuông góc khi nào ?
?2: Cho

( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;n ab ab ab ab ab ab= − − −
r
; và hai
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
không cùng phương có
giá song song hoặc nằm trong mp (α). Tính
.a n
r r
Áp dụng: Cho
( )
3 4 5; ;a =
r
và
( )
1 2 1; ;n = −
r
. Tính
.a n
r r
và rút ra nhận xét.
2. Bài mới:
Trong không gian ta đã biết một số cách xác định
mặt phẳng chẳng han như xác định mp bằng ba điểm
không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, …

Bây giờ ta sẽ xác định mp bằng pp tọa độ.
Hoạt động 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. 3 phút
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
?1: Nêu khái niệm VTPT của đường thẳng.
Dùng hình ảnh trực quan: bút và sách, bảng
phụ giới thiệu vectơ
n
r
là VTPT của mp (α).
?2: Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mp.
?3: Vectơ
0,kn k ≠
r
có phải là VTPT của mp
không. Vì sao ?
Phát
biểu định
nghĩa VTPT
của đường
thẳng.
0VTPT n
≠
r
r
, giá
n
r
vuông góc với mp.
Là VTPT vì
0kn ≠

r
và cùng phương vuông góc mp
với vectơ
n
r
.
Hoạt động 2: Bài toán xác định VTPT của mặt phẳng. 10 phút
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
?1: Tính
.b n
r
r
và kết luận về giá của vectơ
n
r
với giá
của hai vectơ
,a b
r
r
.
?2: So sánh vectơ
n
r
và vectơ
0
r
?3: Kết luận mối quan hệ giữa
n
r

và mp (α). Vì sao ?
Giới thiệu khái niệm “ Tích có hướng ”
?4: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r
r
.
Thực hiện hoạt động 1
?5: Từ ba điểm A, B, C. Tìm tọa độ hai vectơ không
cùng phương nằm trong mặt phẳng (ABC).
?6: Xác định tọa độ VTPT
n
r
của mp (ABC).
Trao đổi thảo luận nhóm
Theo kết quả phần trả bài cũ ta có:
0.a n =
r r

( ) ( ) ( )
2 3 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3
0.b n abb abb abb abb abb abb= − + − + − =
r
r
Do đó:
;a n b n⊥ ⊥
r
r r r

Suy ra vectơ
n
r
có giá vuông góc với giá
,a b
r
r
Vì
,a b
r
r
không cùng phương nên
0n ≠
r
r
Vậy: vectơ
n
r
là VTPT của mp (α). Vì giá
n
r
vuông
góc với hai đt cắt nhau của mp (α)
Kí hiệu:
n a b= ∧
r
r r
hoặc
[ ],n a b=
r

r r
Công thức:
2 3 3 2 3 1 2 3 1 2 2 1
[ (, ] ; ; )
− − −=
r
r
a b a b a b a b a b a ba b
Hay
2 3 3 2 1 2
2 3 3 1
1 2
; ;
 
∧ =
 ÷

=

r
r r
a a a a
a a
b b b b b b
n a b
Thảo luận giải quyết vấn đề
Ta có:
( ), ( )⊂ ⊂
uuur uuur
AB ABC AC ABC

không cùng phương
(2;1; 2); ( 12;6;0)= − = −
uuur uuur
AB AC
Vậy: VTPT
[AB,AC] = (12;24;24)=
r uuur uuur
n
Hoạt động 3: Tiếp cận PTTQ của mặt phẳng. 12 phút
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài toán 1: Định hướng chứng minh, vẽ hình
?1: Nhận xét mối quan hệ giữa
r
n
và
0
M M
uuuuuur
.
?2: Tính tọa độ vectơ
0
M M
uuuuuur
.
?3: Tính tích vô hướng của
r
n
và
0
M M

uuuuuur
.
Bài toán 2: Dạng PTTQ của mặt phẳng.
?4: Có tồn tại hay không điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
nghiệm
đúng pt
0+ + + =Ax By Cz D
.
Gọi (α) là mp đi qua M
0
và nhận
( )
; ;=
r
n A B C
làm VTPT
?5: Khi
( ) ( )
; ;M x y z
α
∈
ta có điều gì.
?6: Xác định D từ giả thiết
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
.

?7: Kết luận vấn đề.
Vẽ hình minh họa
Ta có: giá
r
n
⊥
(
α
) suy ra
r
n
⊥
0
M M
uuuuuur
Mà
( )
0 0 0 0
; ;= − − −
uuuuuur
M M x x y y z z
Khi đó:
0
. 0=
uuuuuur
r
n M M
Suy ra:
( ) ( ) ( )
0 0 0

0− + − + − =A x x B y y C z z
(đpcm)
Tiếp nhận kiến thức
Tồn tại điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
thỏa pt
0+ + + =Ax By Cz D
Ví dụ: Nếu
0A
≠
ta chọn
( )
0
0 0; ;
D
M
A
−
.

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0
α
∈ ⇔ − + − + − =M A x x B y y C z z

⇔

Ax+ By +Cz – (Ax
0
+By
0
+ Cz
0
) = 0
Mà D = - (Ax
0
+By
0
+ Cz
0
).
Vậy:
( )
0
α
∈ ⇔ + + + =M Ax By Cz D
(đpcm)
Hoạt động 4: PTTQ của mặt phẳng và vận dụng. 10 phút
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
?1: Từ 2 bài toán trên định nghĩa PTTQ của mp.
?2: Xác định một VTPT của mp có pttq là
0+ + + =A B Cx y z D
.
?3: Pt mp đi qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z

và nhận
( )
; ;=
r
n A B C
làm VTPT có dạng.
PTTQ có dạng:
( )
2 2 2
0 0+ + + + ≠= +Ax B By A CCz D
VTPT
( )
; ;=
r
n A B C
Phương trình là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0− + − + − =x y C zA zyBx
?4: Tìm một VTPT của mp
4 2 6 0− − + =x y z D
?5: Xác định thêm một số VTPT của mp.
Hướng dẫn thực hiện hoạt động 3
?6: Từ 3 điểm M, N, P. Tìm tọa độ hai vectơ không
cùng phương nằm trong mp (MNP).
?7: Xác định tọa độ VTPT
n
r
của mp (ABC).
?8: Viết PTTQ của mp (MNP).

?9: Kết luận.
Có một VTPT là
( )
4; 2; 6= − −
r
n
Các VTPT của mp là:
( ) ( )
2; 1; 3 ; 2;1;3= − − = −
r r
a c
Trao đổi thảo luận nhóm
Ta có:
( ), ( )⊂ ⊂
uuur uuuur
MP MNP MN MNP
không cùng phương
(3;2;1); (4;1;0)= =
uuuur uuur
MN MP
Khi đó: VTPT
[ , ] = (-1;4; 5)= −
r uuuur uuur
n MN MP
Pttq có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0− + − + − =x y C zA zyBx
Hay: -1(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z - 1) = 0
Vậy: (MNP) : x - 4y + 5z - 2 = 0

3. Củng cố và dặn dò: 5 phút
?1: Công thức tích có hướng của hai vectơ
( )
( )
3
1 2 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b
r
r
.
?2: Phương pháp tìm VTPT của mặt phẳng.
?3: PTTQ của mặt phẳng và ptmp khi biết mp đi qua một điểm và có VTPT.
- Làm các bài tập 1a, b SGK trang 80.
- Xem tiếp phần còn lại của bài “ Phương trình mặt phẳng ” trả lời các câu hỏi sau.
?1: Dạng của pt mp trong một số trường hợp đặc biệt.
?2: Điều kiện để hai mp song song hay vuông góc.
?3: Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mp.