Nhi Thuc NewTon

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>NHỊ THỨC NIU-TƠN</b>
<b>I. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn</b>

<i><b>VD1.</b></i>Tìm hệ số của x10_{trong khai triển nhị thức}

_

₂_<i>_x</i>

_

<i>n</i>_{, biết rằng}





0 1 1 2 2 3 3

3<i>n</i> 3<i>n</i> 3<i>n</i> 3<i>n</i> ... 1 <i>n</i> <i>n</i> 2048

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i> <i>C</i>

      

<i><b>VD2.</b></i> Tìm hệ số của x5_{trong khai triển biểu thức}<i>_{P x}</i>

_

_{1 2}<i>_x</i>

_

5 <i>_x</i>2

_

_{1 3}<i>_x</i>

_

10

   

<i><b>VD3.</b></i> Tìm hệ số của số hạng chứa x26_{trong khai triển nhị thức Niu-tơn của} 7
4

1 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  , biết rằng

1 2 20

2 1 2 1 ... 2 1 2 1
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>   <i>C</i>   

<i><b>VD4.</b></i> Tìm hệ số của x8_{trong khai triển thành đa thức của biểu thức} 2

_

_

8

1 1

<i>P</i> _ <i>x</i>  <i>x</i> _

<i><b>VD5.</b></i> Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

7
3

4
1

, 0

<i>P</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

_  _ 

 

<i><b>VD6.</b></i> Tìm hệ số của số hạng chứa x8_{trong khai triển nhị thức Niu-tơn} 5
3

1 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  , biết rằng





1

4 3 7 3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i> <i>n</i>

    

<i><b>VD7.</b></i> Với n là số nguyên dương, gọi <i>a</i>3<i>n</i>3 là hệ số của
3<i>n</i> 3

<i>x</i>  _{trong khai triển thành đa thức của}



<i>_x</i>2 ₁



<i>n</i>



<i>_x</i> ₂



<i>n</i>

  . Tìm <i>n</i> để <i>a</i>3<i>n</i>3 26<i>n</i>.

<i><b>VD8.</b></i> Tìm số nguyên dương n sao cho

0 ₂ 1 ₂2 2 ₂3 3 _{... 2}<i>n</i> <i>n</i> ₂₄₃

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>   <i>C</i> 

<i><b>VD9.</b></i> Cho khai triển nhị thức

1

1 1 1

0 1

3 3

2 2 2

1
1

1 2 3 3

2 2 2 2 2 ...

2 2 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>

<i>C</i> <i>C</i>



  

 




 



       

    

       

   

   

   

 

 _ __ _  _ _

     

1. Biết rằng trong khai triển đó <i>Cn</i>3 5<i>C</i>1<i>n</i> và số hạng thứ tư bằng 20n.
2. Tìm n và x.

<i><b>VD10.</b></i> Cho đa thức <i>P x</i>

  

 1 <i>x</i>



2 1



<i>x</i>



23 1



<i>x</i>



3... 20 1



<i>x</i>



20
Tìm hệ số của số hạng chứa x15_{trong khai triển thành đa thức của P(x).}

<i><b>VD11.</b></i> Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức

_

<i>_x</i>2 ₁

_

<i>n</i>

 bằng 1024. Hãy tìm hệ số
của số hạng chứa x12_{trong khai triển trên.}

<i><b>VD12.</b></i> Gọi <i>a</i>1, <i>a</i>2, …, <i>a</i>11 là hệ số trong khai triển sau:



 

10



11 10 9

1 2 10 11

1 2 ...

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>a x</i> <i>a x</i>  <i>a x a</i>
Tìm hệ số <i>a</i>5.

<i><b>VD13.</b></i> Khai triển đa thức <i>P x</i>

  

 1 2<i>x</i>



12 thành dạng

 

0 1 2 2 ... 12 12
<i>P x</i> <i>a</i> <i>a x a x</i>  <i>a x</i>
Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số <i>a</i>0,<i> a1, a</i>2, …, <i>a</i>12.

<i><b>VD14.</b></i> Xét khai triển





9 2 9

0 1 2 9

3<i>x</i>2 <i>a</i> <i>a x a x</i> ...<i>a x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>VD15.</b></i> Cho khai triển:



1 2



0 1 ...

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>
<i>x</i> <i>a</i> <i>a x</i> <i>a x</i>

     , trong đó <i>n</i> 

  và các hệ số <i>a a</i>0, ,...,1 <i>an</i>
thỏa mãn hệ thức 1

0 ... 4096

2 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>     . Tìm số lớn nhất trong các số <i>a a</i>0, ,...,1 <i>an</i>.

<i><b>VD16.</b></i> Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn:





18
5

1

2<i>x</i> <i>x</i> 0

<i>x</i>

 

 

 

  .

<b>II. Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơn</b>

<i><b>VD1. </b></i>Cho <i>n</i> là số nguyên dương. Tính tổng

2 3

0 2 1 1 2 1 2 _... 2 1

2 3 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>   <i>C</i>   <i>C</i>    <i>C</i>

<i><b>VD2.</b></i> Tìm số nguyên dương <i>n</i> sao cho





1 2 2 3 3 3 2 2

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 ... 2 1 2 2 1 2005
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _  <i>C</i> _  <i>C</i> _  <i>C</i> _   <i>n</i> <i>C</i> _ 

<i><b>VD3.</b></i>Cho <i>n</i> là số nguyên dương, chứng minh

2

1 3 5 2 1

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1

...

2 4 6 2 2 1

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

    



<i><b>VD4.</b></i> Cho <i>n</i> là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1.

1

1 3

1 1 1 2 1

1 ...

2 3 1 1

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>





    

 

2. ₂ 0 ₂21 1 ₂31 2 _...



1



₂ 1 1 ₁

_

₁

_

2 3 1 1

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>





 

      

 

 

<i><b>VD5.</b></i>

1. Tính tích phân





1

2

0

1 <i>n</i>

<i>I</i> 

_

<i>x</i>  <i>x</i> <i>dx</i>

2. Chứng minh rằng 1 0 1 1 1 2 1 3 _...



1



1

2 4 6 8 2 2 2 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>



     

 

<i><b>VD6.</b></i>

1. Tính tích phân





1

2 3

0

1 <i>n</i>

<i>I</i> 

_

<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i>

2. Chứng minh rằng

1

0 1 2

1 1 1 1 2 1

...

3 6 9 3 3 3 3

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>





    

 

<i><b>VD7.</b></i> Với <i>n</i> là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1. 1 ₂ 2 ₃ 3 _...



₁



<i>n</i> 1 <i>n</i> _.2<i>n</i>1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>n</i> <i>C</i>  <i>nC</i> <i>n</i> 

      

2. _2.1. 2 _3.2. 3 _...



₁



<i>n</i> _.



_{1 .2}



<i>n</i> 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>n</i> <i>nC</i> <i>n n</i> 

     

3. 2 ₂ 3 ₃ 4 _...



₁



<i>n</i>



_{2 2}



<i>n</i> 1 ₁

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>n</i> <i>C</i> <i>n</i> 

       

<i><b>VD8.</b></i> Chứng minh rằng với mọi <i>n</i> nguyên dương, ta có:

0 2 4 2 1 3 2 1

2 2 2 ... 2 2 2 ... 2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> 

       

<i><b>VD9.</b></i>

1. Tìm hệ số của số hạng chứa x10_{trong khai triển}_{(1 x) (x}₊ 10 ₊₁₎10_.
2. Từ đó suy ra giá trị của tổng <i>S</i> 

_

<i>C</i>₁₀0

_

2 

_

<i>C</i>₁₀1

_

2 ...

_

<i>C</i>₁₀10

_

2

<i><b>VD10.</b></i>

1. Rút gọn tổng <i>S</i> C C_{10 20}0 10 C C1_{10 20}9 C C_{10 20}2 8 ... C C _{10 20}9 1 C C_{10 20}10 0

</div>

<!--links-->