Bài giảng phuong trinh matphang

α
M
0
n
ur
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa:
Nếu vectơ vuông góc với mp( ) thì được
gọi là vectơ pháp tuyến của mp( ) đó.
n ( 0)≠
ur r
α
α
M
Cho điểm M
0
( ). Điều
kiện cần và đủ để điểm M
bất kì thuộc mp( ) là
∈
α
α
gì?
0
M M n⊥
uuuuur ur
* Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định

khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ
pháp tuyến của nó.
*
* n ( ) kn ( ) (k R )⊥ α ⇒ ⊥ α ∈
ur ur
?
?
1
Qua một điểm M
0
cho trước có bao nhiêu
mặt phẳng vuông
góc với một vectơ cho
trước?
n ( 0)≠
ur r

.
n
ur
a
r
b
ur
a
b
1 2 3
a (a ;a ;a )=
r
1 2 3

b (b ;b ;b )=
ur
* Trong kg Oxyz cho mp( ) có cặp vectơ chỉ phương
. Khi đó, mp( ) nhận
vectơ
làm VTPT.
α
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
n a,b a b a b ; a b a b ; a b a b
 
= = − − −
 
ur r ur
α
α
Chú ý: * Hai vectơ ; không cùng phương và có giá song song hoặc
chứa trong mp( ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp( )
đó.
b
ur
α
a
r
α
A
B
C

10−
( 1; 2;4 )− −
AB =
uuur
VTPT : n AB,AC
 
⇒ = =
 
ur uuur uuur
5−
5−
Giải: mp(ABC) có cặp vectơ chỉ phương là
( 2 ;1; 3 )−
AC =
uuur
A(2;0; 1); B(1; 2;3); C(0;1;2)− −
Ví dụ 1: Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm không thẳng hàng
. Tìm toạ độ cặp vectơ chỉ
phương của mp( ) từ đó suy ra toạ độ VTPT của mp( )
ABC ABC
( ; ; )
1
2
−
−

II- Phương trình tổng quát của mặt phẳng
n

ur
g
α
)
x
y
M
0
z
O
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm

và có VTPT . Với điểm M(x; y; z) bất kì
n (A;B;C)=
ur
α
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
0
n.M M 0=
ur uuuuur
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 (1)⇔ − + − + − =
M ( )∈ α ⇔
?
0 0 0
(Ax By Cz )+ +
Pt (1) và (2) được gọi là phương trình mp( )
α
Ax By Cz⇔ + +

D
(2)
0 0 0
2 2 2
D (Ax By Cz )
A B C 0
= − + +


+ + ≠

0=
Trong đó:
* Định nghĩa: (SGK)
−
+
n (A;B;C)=
ur
α
Ax By Cz D 0+ + + =
* Chú ý: Nếu mp( ) có pt: thì VTPT của nó là
M




Ví dụ 2:
Viết pt mặt phẳng qua ba điểm
M(1; 2; 1); N(2;1;0); P(3; 1;2)− − −
(8; 1; 5)= − −

3 1 1 1 1 3
n MN,MP ; ;
1 3 3 2 2 1
 
 
= =
 ÷
 
 
r uuuur uuur
Giải: Ta có:
mp(MNP) có VTPT là:
MN (1;3;1) ;=
uuuur
MP (2;1;3)=
uuur
8(x 1) (y 2) 5(z 1) 0− − + − + =
mp(MNP) có phương trình tổng quát là
8x y 5z 15 0⇔ − − − =
Ví dụ 3: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm và song
song với mp(Q):
M(3;2; 1)−
n (1; 5;1)= −
r
Giải:
mp(P) có VTPT là:
(x 3) 5(y 2) (z 1) 0− − − + + =
mp(P) có phương trình tổng quát là
x 5y z 0− + =
x 5y z 8 0⇔ − + + =