de cuong boi duong HSgioi mon toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.5 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HI

Ệ

P ĐỨC

P

ĐỨC

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

----



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Năm học : 2010 - 2011

ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
LỚP 9

A) NỘI DUNG:
I) HÌNH HỌC:

Chủ yếu: Chứng minh tứ giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng và một số dạng
khác

II) SỐ HỌC:

Chủ yếu: Toán chia hết, phương trình nghiệm ngun, số chính phương và một
số dạng khác

III) ĐẠI SỐ:

Chủ yếu: Chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất . Giá
trị nhỏ nhất. Phương trình, căn thức bậc hai và một số dạng khác

B) BÀI TẬP

I) HÌNH HỌC
 Bài 1.

Cho diểm O nằm trong tam giác đều ABC cạnh a. Qua O vẽ các đường thẳng
DE // BC (D



AB;E



AC);MN//AC(M



BC;N



AB);PQ//AB(P



AC;Q



BC)
a) Chứng minh rằng tứ giác DECB là hình thang cân và tam giác OMQ là tam
giác đều.

b)Vẽ OH AB;OIBC;OKAC.Chứng minh rằng AH+BI+Ck=1,5a.

Bài 2.

Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD),M là một điểm trên đáy AB.Gọi E
và F lần lượt là trung điểm của AC và BD.Vẽ H đối xứng với M qua E và điểm K đối
xứng M qua F. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H,K,C,D thẳng hằng;

b)Khi M di động trên đáy AB thì HK có độ dài không đổi
 Bài 3.

Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý ở trong tam giác.Gọi D,E,F thứ tự là
trung điểm của BC,CA,AB. Gọi H,I,K thứ tự là điểm đối xứng của M qua D,E,F. Chứng
minh rằng:

a) Ba đường thẳng AH,BI,AB đồng quy tại điểm O;

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, BD=3AD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
AB và CD.Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE=EF=FD.

a) Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật;

b) Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vng?
 Bài 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh bên bằng a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu
vi bằng 2a và E



AB;F



AC.

a) Hỏi điểm M di động trên đường nào?

b)Từ M vẽ đường thẳng MNEF(N



EF).Chứng minh rằng MN luôn đi qua một

điểm cố định.
 Bài 5.

Cho tam giác ABC vng góc tại A, AB = 8; BC=17.Trên BC lấy một điểm
M.Vẽ hình bình hành ABMN .Tính diện tích tứ giác ANCM.

Bài 6.

Cho ngũ giác ABCDE. Vẽ AH CD.Vẽ BM//AC,EN//AD(M,N thuộc đường

thẳng CD) Cho biết AH=h,MN=a.Tính diện tích ngũ giác ABCDE.
 Bài 7.

Cho tam giác ABC,BC=a;CA=b;AB=c. Cho biết 

A=2B ,B =2C , chứng minh

rằng :

a)a2=b2 +bc

b) 

a
1

c
b

1
1



Bài 8.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB tại D,cắt
AC tại E sao cho HD=HE.Từ H vẽ một đường thẳng vng góc với DE cắt BC tại
M.Chứng minh rằng M là trung điểm của BC.

Bài 9.

Cho tam giác đều ABC,các đường phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O.Trên
cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm của nó.Vẽ DEAB cắt OB tại M; Vẽ

DFAC cắt OC tại N. Chứng minh rằng:

a)DMDN DFDE

b)OD chia đôi EF
 Bài 10.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD; AB<CD). Đường thẳng qua A vng góc
với CD cắt CD tại H, cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng tam giác ABK đồng
dạng tam giác HAD.

Bài 11.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng tam giác DMC.
b) Gọi N là trung điểm của BC. Tính độ dài MN.

Bài 12.

Cho tam giác ABC vng góc tại A, đường cao AH. Vẽ HM AB; HNAC.

a) Chứng minh AM.AB=AN.AC

b) Cho biết AH=2cm, BC= 5cm. Tính diện tích tứ giác AMHN.
 Bài 13.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AH và BH . Gọi O là giao điểm của AN với CM. Chứng minh rằng:

a) ANCM

b) AH2 =4MC.MO

Bài 14.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. Từ C
vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh
rằng:

a) OA.OB=OC.OH;

b) Góc OHA có số đo khơng đổi;
c) Tổng BM. BH + CM.CA không đổi
 Bài 15

Cho tam giác ABC, ba đường cao AD,BE,CF. Gọi M,N,I,K lần lượt là hình chiếu
của D trên AB,AC,BE,CF. Chứng minh rằng 4 điểm M,N,I,K thẳng hàng.

II) SỐ HỌC:

TỐN CHIA HẾT

I>Tính chất chia hết trên tập số nguyên , bội số, ước số :
1) Định nghĩa :

Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b ( b  0 ) Nếu có số nguyên c sao

cho a = b.c

Ta nói a là bội của b, a  b ; b gọi là ước của a , ba

2) Các tính chất :
1. a  a với mọi a  0

2. a  b và b  c thì a  c

3. 0  a với mọi a  0

4. Nếu a , b là 2 số nguyên dương và a  b , b  a thì a = b

5. Nếu a  b thì ac  b

Đặc biệt : a  b  a bn

6. Nếu a  b thì (a) (b)

7. a  (1 ) với mọi a

8. Nếu a  b, a  b thì b khơng chia hết cho a

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

10. Nếu a  b và c  b thì (ma nc b )

11.Nếu S = (a+b+c+d)  m và a,b,c thì d  m

12.Nếu S = a + b + c +d và a, b ,c  m ;d khơng chia hết cho m thì S không chia hết

cho m

13.Nếu a  b , c  d thì ac bd

Đặc biệt a b thì a bnn

14.Nếu ac  b và (b,c)=1 thì a  b

15.Nếu a  b, a  c mà (b,c)=1  a  b.c

16.Cho a,b  Z ; b > 0 ln tìm được duy nhất cặp số (q ,r)

sao cho a = bq + r ( r 0; r < b)

17.Nếu a a1, 2…an  P ( P là số nguyên tố ) tồn tại ay  P

B ÀI T ẬP
 Bài1 : Chứng minh 74

1 5
n

 

Bài2:Chứng minh 17n 11 6n

  với mọi nN

Bài3 : Chứng minh : 2.7n 1

  3 với mọi n

Bài4: Chứng minh n3–n  6 với mọi n Z

Bài 5: Chứng minh n3–n+2 không chia hết cho 6 với mọi n  N

Bài 6: n2+11n+39 không chia hết cho 49 với mọi nN

Bài 7 : Chứng minh n2+3n+4 không chia hết cho 49 với mọi nN

Bài 8: n2+3n+5 không chia hết cho 121 với mọi n N

Bài 9 : n2+5n+16 không cùng chia hết cho 169

Bài 10: Tìm n (n>0;n4)sao cho 3n –8 chia hết cho n–4

Bài11:Chứng minh : m3+20m48 m chẳn , mN

Bài 12. Chứng minh 4n1+60n–4  36 với mọi n  N

Bài13. Chứng minh n3– n chia hết cho 24 với moi n lẻ nN

Bài 14. chứng minh: n( n – 1)( 2n + 1 )  6 moi n lẻ nZ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

PH Ư ƠNG TR ÌNH NGHI ÊM NGUYÊN

A.Ph ơng pháp giải.

+ Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c các số nguyên).

Muốn tìm các nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y
và ngợc lại.

+ Đa về phơng trình tích. Ta có thể biến đổi để một vế của phơng trình là tích
các biểu thức nguyên của ẩn

cịn vÕ kia lµ mét sè nguyênbằng cách phân tích số nguyên này thành các thừa sè nguyªn

tè ta cã thÓ xÐt mäi

trờng hợp xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phơng trình.

+ Phơng pháp loại trừ . Từ phơng trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt
dần những giá trị của ẩn để tìm ra nghiệm..

+ Dùng tính chia hết . Ta có thể dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa

nghiệm đa phơng trình về những phơng trình đn giản hơn.

+Tách phần nguyên. Ta có thể tách phân nguyên riêng ra và đặc điều kiện cho

phân thức còn lại cũng là một số ngun từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình.

+Dùng vai trị bình đẳng của ẩn. Nếu phơng trình nguyên mà các ẩn x,y,z có vai

trị bình đẳng, ta có thể đặt điều kiện để giả sử xyz mà bài tốn khơng mất tín
tổng quát từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn và tìm đợc nghiệm của phơng trình.

+Chøng minh nghiƯm duy nhất . Với một số phơng trình có nghiệm nguyªn ta

có thể thấy ngay đợc một hoặc vài nghiệm , bằng cách chứng minh phơng trình chỉ
nhận những nghiệm đó ta kết luận đợc về nghiệm của phơng trình đã cho.

B.Bµi tËp

1/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2 6 13 2 100.

xy y

x

2/ T×m nghiƯm nguyên dơng của phơng trình: 3 2 5 2 345


 y

x .

3/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 6 2 5 2 74.


 y

x

4/Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 5x-3y = 2xy-11.
5/ T×m nghiệm nguyên của phơng trình sau:

a/ 2 25 ( 6)



 y y

x . b/ x2 91 y2


 .

c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z.

6/ Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau .
a/ 2 2 1987


 y

x . b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y2.

7/ Giải phơng trình nghiệm nguyên.

a/ 3 2 3 2 5 0






 x y x y

x . b/ 4 4 8 2 3 2 4 15 0







 x y y y

x .

8/ Tìm các số nguyªn x , y , z , t sao cho : x y  y z  z t  t x 2003.

9/ Tìm các cặp số nguyên không âm x,y tho¶ m·n: y2(x 1) 1576 x2




 ; (p2).

10/ Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x , y sao cho : x-y= x2 xy y2




BÀI TẬP ĐẠI SỐ
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) A= 2 2 2 3 3 4







 xy y x y

x ;

b) B= (12 2 12 3 2) 10(2 ) 8







 xy y x y

x

2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) A= (a b)3 (b c)3 (c a)3






</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b) B=(a b 2c)3 (b c 2a)3 (c a 2b)3










3.a) Chứng minh rằng:

A=(x+y+z)3–x3–y3–z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

b) Phân tích đa thức thành nhân tử:

B= (a+b+c)3+(a–b–c)3+(b–c–a)3+(c–a–b)3

4.Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) A= (x2 –2x)(x2 –2x–1)–6

b) B= (x2 +4x–3)2 –5x(x2+4x-3)+6x2

c) C= (x2+x+4)2+8x(x2+x+4)+15x2

5.Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa thức bậc ba
với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bật ba là 1:

A= 3x4 +11x3–7x2 –2x+1

6. Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên:
B= x4 –6x3+11x2 –6x+1

7.Phân tích đa thức C thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên và các hệ

số cao nhất đều mang dấu dương:

C= x4 –x3+2x2 –11x–5

8. Cho biểu thức M=

ca
b
a
c
bc
a
c
b
ab
c
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2










Chứng minh rằng:

a) Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì M>1

b) Nếu M= 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn
lại bằng –1.

9. Cho biểu thức: P= 
















2
1
12
3
3
8
4
8
:
6
5
3

1 2 3 2 2 2

x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để P=0; P=1;

c) Tìm các giá trị của x để P > 0

10. Cho biểu thức : Q= 





 













x
x
x
x
x
x
x
x

x

x 2 1

8
4
2
2
8
2
2
2
2
3
2
2
2

a) Rút gọn Q;

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) 4( )
5
1
...
5
7
5
6
5
5

N
x
x
x
x
x
x
x
x














b) 141

56
15
1
...
12

7
1
6
5
1
2
3
1
2
2
2
2 












 x x x x x x

x

c) ( )

16
31
)
2
(
1
1
...
5
.
3
1
1
4
.
2
1
1
3
.
1
1

1 x N

x

x   






























12. Giải và biện luận các phương trình :

ax

b
bx
a


 1

1 (1) ( với a,b là tham số, a0 , b0).
13. Giải và biện luận các phương trình :

b
a
x
b
a

x    

1
1

(1) ( với a,b là tham số )
14. Giải các phương trình:

0
1
1

10
100
9
1
9
1
9
1
9
1
























x
Giải:

Lần lượt chuyển vế rồi nhân hai vế của phương trình với cùng một số, sau 4 lần ta được
x=–9000.
0
1
1
10
100
9
1
9
1
9
1
9
1

























x  100 10 1 1

9
1
9
1
9
1
9
1
























x

 100 10 90

9
1
9
1
9
1
10
100

9
1
9
1
9
1








































 x
x

 100 900

9
1











x  x = -9000

15. Giải các phương trình:














 3 3

1
4
1
12
1
4
3
15

2 x x x

x
x

16. Giải các phương trình:
*)
(
15
16
)
1
2
(
...
5
3
1
2
...
6
4
2
N
x
x
x













17. Giải các phương trình:
a)2 4 9 3 14 2 9 2 0






 x x x

x ;(1)

b) ( 3)4 ( 5)4 16




 x

x (2)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1
1
...
4
1
3
1
2
1
2
2
2

2    n  với n



N; n 2

19.Chứng minh rằng:
a) a b a b



1 4

với a,b>0

b) 















 a p b p c a b c

p
1
1
1
2
1
1
1

với a,b,c là 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi
của tam giác đó.

CĂN THỨC
Bài 1: Rút gọn biểu thức với -1 < x < 1, x0

2
2

1
2
1
)
1
1
1
1
1
1
1
1

( x x

x
x
x
x
x
x

M   















KQ: M 1 x2



 Với -1 < x < 1 và x0
Bài 2:







1
2
1
1
2
1
1
2
1



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
M

a. Tìm x để M có nghĩa
b. Rút gọn M

KQ: a) M có nghĩa khi x 1;x 0; x

4
1



b. M x x





1
1

Với x0; x 0; x

4
1



Bài 3: Tính biểu thức M = 6 2 2 12 18 128
M = 6 2 2 12 16 2.4. 22

KQ: M = 31

Bài 4:

Cho M = x 2 2 x 3 x1 4 x 3 với 3x4

Hãy rút gọn M

KQ: M = -1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

chứng minh a
a
a
x
x
1
.
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2









với x( 1+ a) = 2 a

Bài 6: Rút gọn biểu thức
M =









1
.
1
2
3
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
2 


















 x x x

KQ: M= 2



1 2



3
x
x


Bài 7: Tính

3
2
1
1
1
3
2
1

1
3
2
1
1
1
3
2
1
1








M

KQ: M = 1

Bài 8: Cho a > 0, b > 0

Rút gọn biểu thức b

ab
b
a
ab

b
a
M 2
2
3
2
9







KQ: 2






 

 a b

M

Bài 8: cho 0 x1
Tính M =

1
1
1
1
2
2











x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

KQ: M = 0

Bài 9: cho m

c
z
b
y
a
x



 ( m > 0 )

Chứng minh 22 22 22

c
b
a
z
y
x
m






Bài 10: chứng minh

2
6
48
13
5
3
2






A là một số nguyên

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 1992  x 1993

Bài 2: Tìm giá trị x;y để biểu thức A = 2x2 + 9y2-6xy -6x -12y +2022

Đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2-2xy + 6y2- 12x +2y +45

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -5x2 -2xy -2y2+ 14x -10y +1

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2-2xy + 5y2+ 52y

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5x2 +8xy + 5y2 -2x + 5

Hình học 
Bài 10.

Cho diểm O nằm trong tam giác đều ABC cạnh a. Qua O vẽ các đường thẳng DE // BC
(D



AB;E



AC);MN//AC(M



BC;N



AB);PQ//AB(P



AC;Q



BC)

a) Chứng minh rằng tứ giác DECB là hình thang cân và tam giác OMQ là tam giác đều.
b)Vẽ OH AB;OIBC;OKAC.Chứng minh rằng AH+BI+Ck=1,5a.

Giải:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Chứng minh tương tự ta được PQBA,MNAC là hình thang cân; ODN, OPE là

tam giác đều.

Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau; đường cao của tam giác đều cũng là
đường trung tuyến, do đó ta có :

AN= CM; HN=HD; BQ=AP;IQ=IM;CE=BD;KE=KP
Cộng từng vế 6 đẳng thức trên ta được:

AN+HN+BQ+IQ+CE+KE=CM+HD+AP+IM+BD+KP.
Suy ra AH+BI+CK=AK+CI+BH=a2aa =1,5a.

Bài 38.

Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD),M là một điểm trên đáy AB.Gọi E và F
lần lượt là trung điểm của AC và BD.Vẽ H đối xứng với M qua E và điểm K đối xứng
M qua F. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H,K,C,D thẳng hằng;

b)Khi M di động trên đáy AB thì HK có độ dài khơng đổi
Giải:

a) C đối xứng A qua E; H đối xứng với M qua E do đó hai đoạn thẳng CH và AM đối
xứng với nhau qua E suy ra CH =AM và CH//AM hay CH //AB.(1)

Chứng minh tương tự được DK=BM và DK//MB hay DK //AB.(2)

Mặt khác CD//AB(3) nên từ (1),(2),(3) theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra H,K,C,D thẳng hang
b) HK=CD–(CH+DK)=CD–(AM+BM)=CD–AB ( không đổi).;’;

Bài 39.

Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý ở trong tam giác.Gọi D,E,F thứ tự là trung
điểm của BC,CA,AB. Gọi H,I,K thứ tự là điểm đối xứng của M qua D,E,F. Chứng minh
rằng:

a) Ba đường thẳng AH,BI,AB đồng quy tại điểm O;

b)Khi M di động trong tam giác ABC thì đường cao OM ln đi qua một điểm cố định.
Giải:

a) AK và BM đối xứng nhau qua F nên AK = BM và AK//BM.(1)
BM và CH đối xứng nhau qua D nên BM=CH và BM//CH(2)
Từ (1) và (2)  AK=CH và AK//CH AKHC là hình bình hành.
Chứng minh tương tự, ta được ABHI là hình bình hành.

Hai hình bình hành AKHC và ABHI có chung đường chéo Ah nên AH,BI,CK đồng quy
tại trung điển O của mỗi đường.

b) XétAMH có AD và MO là hai đường trung tuyến. Gọi G là giao điểm của chúng

suy ra GA=32 AD nên G là trọng tâm của ABC. Vậy đường thẳng OM luôn đi qua

một điểm cố định là trọng tâm G của ABC.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Cho hình bình hành ABCD, BD=3AD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và
CD.Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE=EF=FD.

a) Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật;

b) Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vng?
Giải:

a) BEM=DFN(c.g.c) ME=NF và góc E1 = góc F1  góc E2 = góc F2 

ME//NF MÈN là hình bình hành.
Ta có BD=3AD BD=3MN

Mặt khác BD=3EF nên MN=EF

 hình bình hành MENF là hình chữ nhật.
b) Hình chữ nhật MENF là hình vng

 EFMN BDMN BDAD( vì MN//AD).

Bài 61.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh bên bằng a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi
bằng 2a và E



AB;F



AC.

a) Hỏi điểm M di động trên đường nào?

b)Từ M vẽ đường thẳng MNEF(N



EF).Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm

cố định.

Giải:
a)ME+MF=a; AF+FC=a  MF=FC

 góc FCM = 45 độ  M



BC.
Vậy M di động trên cạnh huyền BC,

b) Vẽ hình vng ABDC, D là một điểm cố định. MNEF góc M1=góc E1( cặp

góc có cạnh tương ứng vng góc).

Gọi H là giao điểm của FM với BD.HMD=MEF(c.g.c)

 góc M2 = góc E1 do đó góc M2 = góc M1, dẫn tới M,N,D thẳng hàng. Vậy đường

thẳng MN đi qua một điểm cố định là điểm D.
Bài 85.

Cho tam giác ABC vng góc tại A, AB = 8; BC=17.Trên BC lấy một điểm M.Vẽ hình
bình hành ABMN .Tính diện tích tứ giác ANCM.

Giải:
ABMN là hình bình hành MN=AB=8;
MN//AB nên MNAC.

Áp dụng định lí Py-ta-go ta tính được AC=15. Vậy 60
2

8
.
15




ANCM

S (đvdt)

Bài 88.

Cho ngũ giác ABCDE. Vẽ AH CD.Vẽ BM//AC,EN//AD(M,N thuộc đường thẳng

CD) Cho biết AH=h,MN=a.Tính diện tích ngũ giác ABCDE.
Giải:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

EN//AD SAED SAND;
ADE
ACD

ABC

ABCDE S S S

S    =SAMC SACD SAND SAMN a.h

2
1







Bài 133.

Cho tam giác ABC,BC=a;CA=b;AB=c. Cho biết 

A=2B ,B =2C , chứng minh rằng :

a)a2 =b2+bc

b) 

a
1

c
b

1
1



Giải:

a) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB  góc A1=2 góc B2
Mặt khác góc A1=2 góc B1 nên góc A1= góc DBC

BAC đồng dạng DBC(g.g)

BC
AC
DC
BC

 ;

BC2=AC.CD hay a2=b(b+c)=b2 +bc.(1)

b) Từ góc B= 2góc C, chứng minh tương tự ta được b2 =c2+ca(2)

Thay b2 =c2 +ca vào (1) ta được:

a2=c2 +ca+bc=c(a+b+c)

b
a
c

b
b

c
b
a

a
a

c
b
a
c

1
1
)
(
1

2  









 .

Bài 134.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB tại D,cắt AC tại
E sao cho HD=HE.Từ H vẽ một đường thẳng vng góc với DE cắt BC tại M.Chứng
minh rằng M là trung điểm của BC.

Giải:

Ta có góc A2 =góc B2; góc AHE=góc M2 ( hai góc có cạnh tương ứng vng góc)
 AHE đồng dạng BMH(g.g)



HM
HE
BM

AH

 (1)

Tương tự, AHD đồng dạng CMH (g.g)



HM

DH
CM

AH

 (2)

Vì HD = HE nên từ (1) và (2) 

CM
AH
BM

AH

  BM=CM

Bài 135. Cho tam giác đều ABC,các đường phân giác góc B và góc C cắt nhau tại 
O.Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm của nó.Vẽ DEAB cắt OB tại

M; Vẽ DFAC cắt OC tại N. Chứng minh rằng:

a)DMDN DFDE

b)OD chia đôi EF

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) MBD đồng dạng NCD(g.g) DMDN DCDB .(1)

EBD đồng dạng FCD(g.g)

DC
DB
DF
DE

 .(2)

Từ (1) và (2) 

DN
DM
DF

DE

 (3)

b) Từ (3) 

DF
DN
DE

DM

  MN//EF.

Tứ giác OMDN là hình bình hành , đường chéo OD chia đôi MN.

Ba đường thẳng DE, DF DO đồng quy tại D cắt hai đường thẳng song song MN và EF

thành những cặp đoạn tỷ lệ. OD chia đôi MN nên OD chia đôi EF.

Bài 139.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD; AB<CD). Đường thẳng qua A vng góc với
CD cắt CD tại H, cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng
tam giác HAD.

Giải:
AB//HC

AD
BK
BC
BK
AH
AK




ABK và HAD có A =H =90 và

AD
BK
Ah
AK

 nên ABK đồng dạng HAD

Bài 140.

Hình thang ABCD vng góc tại A và D, AD = 15; CD=9. Gọi M là một điểm trên cạnh
AD, biết rằng MB = 5;MC=15.

a) Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng tam giác DMC.
b) Gọi N là trung điểm của BC. Tính độ dài MN.

Giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go ta tính được MD=12cm AM=3cm.

ABM đồng dạng DMC( cạnh huyền cạnh góc vng)

 góc M1= góc C1.

b) Ta có góc M1+góc M2 =góc C1+góc M2= 90 độ
 góc BMC= 90 độ

Bài 142.

Cho tam giác ABC vng góc tại A, đường cao AH. Vẽ HM AB; HNAC.

a) Chứng minh AM.AB=AN.AC

b) Cho biết AH=2cm, BC= 5cm. Tính diện tích tứ giác AMHN.
Giải:

a) AMN đồng dạng ACB(g.g)



AB
AN
AC

AM

  AM.AB=AN.AC.

b)SABC AH.BC
2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Vì AMN đồng dạng ACB nên

25
4
2
2


















BC
AH
BC

MN
S

S

ABC
AMN

 SAMN= .5

25
4

= ( )

4 cm2  ( )

5
8 cm2

SAMHN 

Bài 145.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AH và BH . Gọi O là giao điểm của AN với CM. Chứng minh rằng:

a) ANCM

b) AH2=4MC.MO

Giải:
a)ABH đồng dạngCAH(g.g)



AM
BN
AH

BH
CA
AB

2
2



 hay

AM
BN
CA
AB

 (1)

Ta có góc B1= góc A1(2)

Từ (1) và (2)  ABM đồng dạngCAM(c.g.c)

Suy ra góc A2= góc C2

Xét tam giác CAO có góc CAO + góc C2 = góc CAO + góc A2 = 90 độ
 góc O= 90 độ . Vậy ANCM.

b) AOM đồng dạngCHM(g.g)

MH
MO
CM

AM



 AM.MH=MC.MO AH AH MC.MO
2

2  hay AH 4MC.MO



Bài 147.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. Từ C vẽ
đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng:
a) OA.OB=OC.OH;

b) Góc OHA có số đo khơng đổi;
c) Tổng BM. BH + CM.CA không đổi

Giải:
a)BOH đồng dạngCOA(g.g)

OA
OH
OC
OB

  OA.OB=OC.OH

b)OCOB OHOA 

OB
OH
OC
OA

 (1)

OHA vàOBC có góc O chung(2)

Từ (1) và (2)  OHA đồng dạngOBC(c.g.c) góc OHA = góc OBC( khơng đổi)

c)Vẽ MKBC

 BKM đồng dạngBHC(g.g)

BH
BK
BC
BM

  BM.BH=BC.BK(3)
CKM đồng dạngCAB(g.g)

CA
CK
CB
CM

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cộng từng vế của (3) và (4) được

BM.BH+CM.CA=BC.BK+BC.CK=BC(BK+CK)=BC2 ( không đổi).

Bài 150

Cho tam giác ABC, ba đường cao AD,BE,CF. Gọi M,N,I,K lần lượt là hình chiếu của D
trên AB,AC,BE,CF. Chứng minh rằng 4 điểm M,N,I,K thẳng hàng.

Giải:

Vì DM//CF và DI//CA nên BMBF BCBDBEBI  MI//EF(1)

Vì DN//BE và DK//AB nên

CF
CK
CB
CD
CE
CN



  NK//EF.(2)

AMD đồng dạng ADB

AB

AD
AD

AM

 (3)

AND đồng dạng ADC

AC
AD
AD
AN

 (4)

Chia từng vế của (3) cho (4) ta đượcAMAN ACAB

ACF đồng dạng ABE  AEAF ACAB do đó

AE
AF
AN

AM

 suy ra MN//FE(5)

Từ (1);(2);(5) suy ra 4 điểm M,N,I,K thẳng hàng.

Bài 10 Bài 38 Bài 39. Bài 60. Bài 61. Bài 85. Bài 88. Bài 133. 
Bài 134. Bài 135. Bài 139. Bài 140. Bài 142. Bài 145. Bài 147.

Bài 150 Soạn theo sách : BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8 
TÁC GIẢ BÙI VĂN TUYÊN

</div>

de cuong boi duong HSgioi mon toan

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HI

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HI

Ệ

Ệ

P ĐỨC

P

ĐỨC

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

<b> ----</b>



<b></b>

<b> Năm học : 2010 - 2011</b>



































<sub></sub>

<sub></sub>



















<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về