SKKN: Một số kinh nghiệm dạy khoảng cách trong hình học không

************************************************************************************

Sáng kiến kinh nghiệm

Một số kinh nghiệm dạy khoảng
cách trong hình học khơng gian

***************************************************************
GV: LÊ THỊ TH NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************

MỤC LỤC

I

Đề mục

Trang

Mục lục

1

Phần I: Mở đầu

3

- Lý do chọn đề tài

3

II – Nhiệm vụ và phạm vi đề tài.

4

III - Kế hoạch nghiên cứu

4

IV - Phương pháp nghiên cứu

4

V- Thời gian hoàn thành
Phần 2: Nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận và cơ sở pháp lí của đề tài

5
5

1. Cơ sở lí luận

5

2. Cơ sở pháp lí

6

Chương II: Thực trạng của đề tài

7

Chương III: Biện pháp thực hiện và kết quả nghiên cứu của đề tài

7

I

- Biện pháp thực hiện

7

II

- Nghiên cứu thực tế

7

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng

7

1.1 - khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

7

Ví dụ minh họa 1
1.2- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng Các ví dụ minh

họa

8
8

Ví dụ minh họa 2

9

Ví dụ minh họa 3

10

Bài tập tự luyện

11

2- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song

12

***************************************************************
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

2


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************

2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng song song
Ví dụ minh họa 4

12

Ví dụ minh họa 5

12

2.2- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

13

Ví dụ minh họa 6

13

Bài tập tự luyện

14

3- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.
Ví dụ minh họa 7
3.1- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau và vng góc với
nhau
Ví dụ minh họa 8
3.2- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau và khơng vng góc

14

14
15
16
16

Ví dụ minh họa 9

17

Ví dụ minh họa 10

17

Ví dụ minh họa 11

18

Ví dụ minh họa 12

19

4-Mở rộng bài tốn khoảng cách.

21

Ví dụ minh họa 13

21

III- Kết quả nghiên cứu

22

Phần 3: Kết luận - kiến nghị
I

12

- Kết luận

25
25

II - Kiến nghị

25

PHẦN I: MỞ ĐẦU
***************************************************************
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

3


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

I - Lí do chọn đề tài:
- Hình học khơng gian là mơn học khó đối với nhiều học sinh phổ thơng.
Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học mơn học này. Các em đó hầu

như phát biểu rằng: "Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhưng lại khơng áp dụng lí
thuyết vào để tự làm được bài tập". Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học khơng
gian, người giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng
bước cách tìm ra hướng giải cho từng loại bài tốn và để các em tự làm được chứ
không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho học sinh.
- Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài "KHOẢNG
CÁCH" rất đơn giản nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại khơng đơn giản đối
với học sinh. Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học
sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn khơng nhiều học sinh có thể làm được. Nếu
dạy hết các định nghĩa trong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp
dụng trong mục 4 thì học sinh sẽ rất lúng túng. Học sinh lúng túng khi tìm hình
chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P): nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao?
( Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V ) là khoảng
cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P)
(hoặc trên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11 - trang
113)
- Trong cấu trúc đề thi Đại học- cao đẳng cũng như tốt nghiệp hiện nay
ln có 1 câu hình học khơng gian và “khoảng cách” là vấn đề rất hay được hỏi
đến trong các đề thi này. Điều này cũng làm cho khơng ít học sinh và giáo viên lo
lắng.
- Tốn học là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học khơng
gian là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: MỘT SỐ KINH
NGHIỆM DẠY “ KHOẢNG CÁCH ” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

II - Nhiệm vụ và phạm vi đề tài:
***************************************************************
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

4

MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

- Nêu hướng giải quyết các bài tốn tìm khoảng cách trong không gian:
+ khoảng từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
+ khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
+ khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
+ khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
-Mở rộng bài toán khoảng cách.
Từ các bước cụ thể , học sinh có thể tiến hành bước đầu làm được các bài tập
trong SGK, sau đó sẽ làm được những bài tốn trong các đề thi Đại học có liên
quan đến vấn đề khoảng cách.

III- Kế hoạch nghiên cứu
Năm 2006, dạy lớp 11 thí điểm phân ban. Dạy tới bài khoảng cách tôi đã
soạn bài rất kĩ theo SGK và hướng dẫn của SGV. Học sinh của tơi trong giờ lí
thuyết rất tập trung và tôi cảm thấy các em hiểu bài. Nhưng đến giờ bài tập rất ít
học sinh làm được các bài tập trong SGK. Các em đều kêu khó. Tôi rất băn khoăn
suy nghĩ: khi giảng cách làm cho các em thì các em hiểu, nhưng cho tự làm bài
các em lại thấy khó. Vậy phải làm thế nào cho học sinh có hướng suy nghĩ cách
giải quyết cho tốn? Từ đó tơi suy nghĩ và hình thành chun đề này.

IV- Phương pháp nghiên cứu


Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh.



Nghiên cứu tài liệu



Thực nghiệm



Nhận xét

V- Thời gian hoàn thành
Sau năm học thí điểm, tơi vừa làm vừa rút kinh nghiệm thực tế khi giảng
dạy cho những lớp khác nhau. Một năm học sau tơi đã hồn thiện được đề tài.

PHẦN II: NỘI DUNG
***************************************************************
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

5


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Chương I: Cơ sở lí luận và cơ sở pháp lí của đề tài
I - Cơ sở lí luận
SGK HHNC 11 trình bày khoảng cách rất đơn giản. Sau khi đưa ra 1 loạt các khái
niệm k/c ở các mục 1, 2, 3 rồi đưa 2 ví dụ áp dụng trong mục 4.

1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng và 1 mặt phẳng:
M
M

H
H

P)

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V ) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt
phẳng (P) ( hoặc trên đường thẳng V - Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11
- trang 113)
2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và 1 mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song:
B

A

H

K

P)

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là
khoảng cách từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). ( Định nghĩa 2- SGK Hình
học nâng cao 11 - trang 113)

***************************************************************

GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

6


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************
B

A
Q)

H

K

P)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11
- trang 114)
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a
I

c

J
b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khơng gian là độ dài
đoạn vng góc chung của hai đường đó . ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng
cao 11 - trang 115)
-khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng kc giữa a và mp (P)
chứa b và song song với a.

II-

Cơ sở pháp lí

Vì phương pháp này hồn tồn dùng các định lí, các tính chất, đã được học,
được chứng minh trong SGK nên học sinh được sử dụng trong các kì thi.

***************************************************************
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

7


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Chương II: Thực trạng của đề tài
Như đã trình bày ở trên, HÌNH HỌC KHƠNG GIAN là bài tốn khó,
đặc biệt là bài tốn khoảng cách. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ
đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường
kia....Một số học sinh khá hơn thì mày mị tìm ra được cách giải bài tốn
theo kiểu thử sai, có khi được khi khơng. Một số học sinh khác gần như
khơng có “ lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này mong muốn giúp các
em từng bước giải quyết vấn đề trên.

Chương III
Biện pháp thực hiện và kết quả nghiên cứu của đề tài
I - Biện pháp thực hiện
- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ song
song, vng góc trong khơng gian.
- Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách.
- Hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong SGK theo các bước trên.
-Sau mỗi bài tốn đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học
sinh và phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy
năng lực sáng tạo.
-Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê
phương pháp mới cho các em.
-Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn.

II- Nghiên cứu thực tế
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng.
1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng.
Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta
thường xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường  ). Nếu
***************************************************************
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

8


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

tam giác MAB vng tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức

trong tam giác vuông:

1
1
1


. Nếu tam giác cân tại M? thì H là
2
2
MH
MA MB 2

trung điểm của AB. Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài
AB, từ đó suy ra độ dài MH.

A

M

M

M

B

H

A

A

H

B

H

B

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Tính
khoảng cách từ A đến SC.
Với ví dụ này học sinh khơng khó khăn trong việc kẻ AH vng góc với SC
( H thuộc SC) và nêu hướng tính AH:
SO.AC = AH. SC. Giáo viên thống nhất hướng tính và kết quả .
S

H
D
C
O
A

B

1.2 - Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ. Chắc chắn là nhiều học
sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào.

***************************************************************

GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

9


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Giáo viên u cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp
đều xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.Từ
đó giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này.
Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng
vng góc. Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vng
góc xuống mặt phẳng. Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 ( hai mặt phẳng vng
góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vng góc với d
thì a sẽ vng góc với mặt phẳng kia).
Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ
1 điểm M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với (P).
+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).
+ Trong (Q), kẻ MH vng góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c. Tính
khoảng cách từ B đến (ACC'A').
B

C
H

A
D

B'

A'

C'

D'

GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn).
+ Tìm mặt phẳng qua B và vng góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng
(ABCD) vì mp (ABCD) vng góc với AA' nên vng góc với (ACC'A'))
+ Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC.

*************************************************************** 10
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

+ Trong mặt (ABCD), kẻ BH vng góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH
vng góc với (ACC'A'). Vậy d(B; (ACC'A')) = BH.
+ BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vng
ABC nên:

1
1
1
ab



 BH 
2
2
2
2
BH
BA BC
a  b2

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng
a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ M đến (SCD).
Yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước
+ Mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp
(Q) chỉ cần vng góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện
nay thấy DC có liên quan nhiều đến quan hệ vng góc hơn. u cầu hs đọc
những đường vng góc với CD. Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vng góc với
CD (N là trung điểm của CD), hay (SNM) vng góc với (SCD).
+ Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN
+ Trong (SMN): kẻ MH vng góc với SN (H thuộc SN) thì MH vng góc
với (SCD). Từ đó suy ra d(M; (SCD)) =
S

H
B
C

M
N

O
A

MH.

D

+ MH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác SMN, học sinh có
thể đưa ra hướng tính: SO.MN = MH. SN
III- Thực trạng:

*************************************************************** 11
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************

Khi chưa được hướng dẫn các bước tiến hành của bài toán k/c từ 1 điểm đến
1 mặt phẳng. Học sinh lúng túng không biết dựng khoảng cách và nhiều em không
làm được bài dẫn đến chán nản và cho rằng q khó. Sau khi phân tích hướng dẫn
các em tự đưa ra các bước tiến hành dựng k/c dựa trên những kiến thức đã có của
bản thân trong các tiết học trước, h/s dần làm từng bước và kết thúc được bài tốn.
Bước làm khó nhất của bài tốn bây giờ chính là tìm mặt phẳng vng góc với mặt
phẳng đã cho. Các em có thể tự làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến
các bài tốn khó hơn.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và có độ dài lần
lượt là a, 2a, 3a. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC).

Bài tập 2: Hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 600 nhận AB làm đoạn
vng góc chung. Trên By lấy C sao cho BC =a.
a) Tính k/c từ c đến Ax
b) tính k/c từ C đến (ABD)
Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vng tại A. BC=
2a, AB= a 3 .
a) Tính k/c từ A đến (A’BC)
b) Chứng minh rằng AB vng góc với (ACC’A’) và tính k/c từ A’ đến (ABC’)
Bài tập 4: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a. SA vng góc với
(ABCD). SA=2a. (P) qua BC và cắt SA, SD theo thứ tự tại E, F.Biết AD cách (P)
một khoảng là

a 2
. Tính khoảng cách từ S đến (P) và tính diện tích của tứ giác
2

BCFE.
Bài tập 5: Hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 600. M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính k/c giữa AB và
(CMN)

*************************************************************** 12
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************

2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song.

2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng
a. Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng
cách từ A (hoặc B) đến (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách
từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng. Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vng góc với
(SCD) là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng
này nhưng hình vẽ rất rối.
Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn 1 mặt phẳng vng góc với (SCD)
(theo ví dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành
khoảng cách từ điểm nào tới (SCD)?
Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành "các bước làm để tính
khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song" như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q) vng góc với (P)
+ Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q)
thành (Q') chứa a và song song với (Q))
+ Tìm giao tuyến (  ) của (P) và (Q).
+ Trong (Q): kẻ MH   (H   ) . Khi đó MH  (P) và d(a; (P)) = d(M;(P))
= MH
Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ 4
nên đổi thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ khơng nên
đổi thành kc từ A hay B đến (SCD).
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa
AB’ và mp (A'C'D).

*************************************************************** 13
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

************************************************************************************

B

C
I

A
D
B'

C'

H

O
D'

A'

Yêu cầu mỗi hs l àm 1 bước:
+ t ìm mp vu ơng g óc v ới (A’DC’): Ta tìm mp vng góc với A’C’. Đó là mp
(BDD’B’). Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’)
Trong mp (DBB’) kẻ B’H vng góc với DO thi B’H vng góc với (DA’C’).
khoảng cách phải tìm là B’H
Để tính độ dài B’H :2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O
2.2 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai

mặt phẳng (ACB') và (A'C'D).
B

C
I

A
D
B'

C'

H
A'

O
D'

*************************************************************** 14
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

+ Tìm mặt phẳng vng góc với (A'C'D): đó là mặt phẳng (BDD'B') (vì
(BDD'B')  A'C')
+ Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO
+ Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuộc đường B'I.
+ Trong (BDD'B'), kẻ B'H  DO thì khoảng cách phải tìm là B'H.

+ B'H là đường cao của tam giác B'OD. Từ đó có hướng tính:
B ' H .OD  DD '.B ' O

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. M, N lầ lượt
là trung điểm của AB, AC. Tính khoảng cách giữa BC và (NMC’).
Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều AB =2a; BC=
CD=DA =a. SA vuông góc với mp (ABCD). SA =2a. Tính khoảng cách giữa
a) CD và (SAB)
b) giữa AB và (SCD)
c) giữa BC và (SDO) với O là trung điểm của AB.
d) Gọi (P) là mp song song và cách (SAB) một khoảng là

a 3
. Tính diện tích
4

của thiết diện tạo thành do cắt hình chóp bởi mp(P).
Bài tập 3: Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với (ABCD). Tứ giác ABCD là
hình vng cạnh a. SA =2a. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh
rằng MN // (SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS).

3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn
vng góc chung)
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a.
SA  (ABCD), SA =a. Xác định đoạn vng góc chung của SA và BC; SA và DB;
SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A.
*************************************************************** 15
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************
S

A
D
O
B
C
d

Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vng góc chung của SA và BC, đó là AB.
Của SA và BD đó là AO. Vậy muốn dựng được đoạn vng góc chung của SA và
d thì làm thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vng góc với d, nó cắt d tại H. Khi đó
đoạn AH là đoạn vng góc chung của SA và d.
Một cách tổng qt, muốn dựng được đoạn vng góc chung của hai đường
chéo nhau và vng góc với nhau thì làm thế nào?
3.1- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:

a

M
N
b
P)

u cầu hs nói cách dựng đường vng góc chung của a và b vơng góc và chéo
nhau?

+ Tồn tại mp (P) chứa b và vng góc với a
+ (P) cắt a tại M
+ Kẻ MN  b (N thuộc b), MN chính là đường vng góc chung của a và b.
*************************************************************** 16
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a.
SA  (ABCD), SA =a. Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC.
*) Khoảng cách giữa SB và AD
- Hai đường này có vng góc khơng? tại sao?
- Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi trên thì có thể tiến hành tìm được đoạn vng
góc chung của hai đường.
+ AD vng góc với SB (vì AD vng góc với (SAB) ). Từ đó suy ra có
mặt phẳng chứa SB và vng góc với SD, đó là (SAB).
S

H
M

A
D

N
O
C

B

+ AD cắt (SAB) tai A.
+ Kẻ AM vng góc với SB.Khi đó AM là đoạn vng góc chung của AD
và SB.
+ Hs dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vng SAB.
*) Khoảng cách giữa DB và SC.
+ Có mp chứa SC và vng góc với BD, đó là (SAC).
+ (SAC) cắt BD tại O là trung điểm của BD.
+ Kẻ OK vng góc với SC. Khi đó OK là đoạn vng góc chung của SC
và BD.
+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC = SA. OC
3.2- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà khơng vng góc với nhau:
Việc xác định đường vng góc chung khơng cần thiết cho bài tốn tính
khoảng cách này. Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P)
( trong đó (P) chứa b và vng góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao)
*************************************************************** 17
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng
a. Tính khoảng cách giữa AB đến SC.
S

H
B
C

M
N

O
A

D

Trước tiên học sinh kiểm tra xem hai đường có vng góc khơng? Giáo viên
hướng dẫn cách kiểm tra.
Yêu cầu hs đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song. Đó là k/c giữa
đường AB và (SCD)
Bài toán này đã làm trong ví dụ 3. Kiểm tra học sinh các bước thực hiện loại k/c
này.
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính k/c giữa AA’ và
DB; giữa AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)
- kiểm tra xem hai đường có vng góc khơng. Dễ thấy AA’ và BD vng
góc vì AA’ vg với (ABCD). Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước. Kết
quả k/c thứ nhất là AO bằng

a 2
2

- AC’ và BD có vng góc vì BD vg với (ACC’) tại O. Trong (ACC’) kẻ ON
vng góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD. Học sinh dựa vào
diện tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO. CC’.

a 2
.a

a 6
2

Từ đó tính được k/c cần tìm là
6
a 3

*************************************************************** 18
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************

A

D
N

B

O

C
P
I

A'
B'

M

H

D'

C'

- Hs kiểm tra hai đường AI và C’D’ khơng vng góc. Cần đổi k/c này thành
k/c giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ
đường // với AI để tạo ra mp.
- Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM). Yêu
cầu hs thực hiện các bước của bài tốn này:
+ Mp (BCC’) vng góc với BA nên (BCC’) vng góc với (BAPM)
+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM
+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vng góc với BM thì nó vng góc với
(BAPM). Khoảng cách phải tìm là C’H.
+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’:

a
.a
2 a 5
BM. C’H= BC. MC’. Từ đó suy ra k/c phải tìm là: a 5
5
2
Ví dụ 11: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC)
góc 600 . Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.

*************************************************************** 19
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN

MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

A

C
H
B

C'

A'

B'

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vng góc với đáy. AB’ có hình chiếu
trên đáy là AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 600.
K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’). Mp( ABC) vng
góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vng góc với BC thì
AH vng góc với (BCC’). K/c phải tìm là AH bằng

a
3 a
.

3 2 2

Ví dụ 12: (Áp dụng cho các lớp khá và giỏi) Hình chóp SABC có SA vg

góc với (ABC). Tam giác ABC vuông tại B. SA =AB =BC =a. Tính k/c
giữa các cạnh đối diện của tứ diện.
+ K/c giữa SA và BC: h/s có thể phát hiện ra hai đường vng góc nên
dựng được ngay đường vng góc chung, đó là đường kẻ từ A vng góc
với BC. Dựa vào t/c của tam giác vng có thể tính được ngay k/c này là

a 2
2
+ K/c giữa AB và SC: Hai đường này khơng vng góc. Vậy cần dựng
được mp chứa đường này và song song với đường kia. Ta nên dựng đường
song song với AB hay SC? Từ C kẻ đườg thẳng (d) song song với AB. Gọi
(P) là mp chứa (d) và SC. K/c phải tìm đổi thành k/c giữa AB và (P). Yêu
cầu h/s thực hiện các bước của bài toán này.
*************************************************************** 20
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Trong mp (ABC) kẻ AD vng góc với (d). Khi đó (SAD) vng góc với
(d) nên (ADS) vng góc với (P) theo giao tuyến SD. Kẻ AH vng góc với
DS, khi đó AH vng góc với (P) và k/c phải tìm là AH bằng

a 2
2

S

H

D
a
A
C

B

+ Tương tự hs dựng và tính được k/c thứ 3:
S

H
D
a
K
A

(d')

E

C

B

*************************************************************** 21
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

4-Mở rộng bài tốn khoảng cách:
- Trong bài tốn k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ
A đến mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ
dựng, dễ tính k/c từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P).
- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên
quan giữa hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc
biệt sau:
A

A

B
M

K

M

H

P) H

P)

K

B

Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB. H/s có thể suy ra được hai

k/c bằng nhau (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau)
Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét có
thể suy ra k/c từ A đến (P) bằng 3 lần k/c từ B đến (P).
Vậy từ đây ta có thể tính được k/c từ B đến (P) nếu biết k/c từ A đến (P).
Ví dụ 13: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với (ABC). Tam giác
ABC đều cạnh a. SA =2a. Tính k/c từ A, Trọng tâm I của tam giác SAB đến
mp ( SBC).
-Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hồn tồn có thể tính được. Kết quả là độ

a 3
2a 3
2

19
3a 2
2
4a 
4
2a.

dài của đoạn AH bằng

*************************************************************** 22
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************
S

H
N
I
A
G

K

C

M
B

Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trơng hình vẽ rất rối. Kiểm tra thử
xem nó có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại
N là trung điểm của SB. Giả sử IE vng góc với mp(SBC). Theo định lí
talét ta suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3. Vậy k/c từ I đến (SBC ) là

2a 3
3 19

III- Kết quả nghiên cứu:
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tơi thấy có hiệu quả
đáng kể.Cụ thể qua 1 số kết quả thu hoạch khi khảo sát tình hình giải bài tốn tính
khoảng cách trong hình khơng gian ở hai lớp 11A1, 11A2 như sau:
BT1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này
Lớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng

Phần trăm

Không giải được

35

70%

Giải đúng

15

30%

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

40

80%

Giải đúng

10

20 %

Lớp 11A2- sĩ số 50

*************************************************************** 23
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
************************************************************************************

Sau khi hướng dẫn các bước xác định cụ thể.
Lớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng

Phần trăm

Không giải được

5

10%

Giải đúng

45

90%

Số lượng

Phần trăm

Không giải được

10

20%

Giải đúng

40

80%

Lớp 11A2- sĩ số 50

BT2: Khoảng cách giữa đường và mặt song song
Trước khi dạy các bước xác định loại khoảng cách này
Lớp 11A1- sĩ số 50
Số lượng

Phần trăm

Không giải được

38

76%

Giải đúng

12

24%

Lớp 11A2- sĩ số 50
Số lượng

Phần trăm

Không giải được

43

86 %

Giải đúng

7

14 %

Sau khi hướng dẫn các bước xác định loại khoảng cách này.
Lớp 11A1- sĩ số 50:
Số lượng

Phần trăm

Không giải được

10

20%

Giải được

40

80%

*************************************************************** 24
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN


MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.
************************************************************************************

Lớp 11A2- sĩ số 52
Số lượng

Phần trăm

Khơng giải được

10

20%

Giải được

40

80%

Như vậy ta thấy rất rõ sự chênh lệch của số lượng học sinh trước khi hướng dẫn và
sau khi hướng dẫn các em từng bước xác định các loại khoảng cách. Tất nhiên,
vừa học xong “ lí thuyết” áp dụng ngay vào bài tập thì bao giờ học sinh cũng hiểu,
chưa quên và do vậy nhiều em sẽ áp dụng được hơn. Nhưng không bởi vậy mà ta
phủ nhận việc giúp học sinh, cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho
những loại bài tốn khó. Các em học sinh sẽ khơng cảm thấy sợ hình khơng gian
như trước vì trước đây học sinh nhiều khi có cảm giác khơng có lối đi cho bài
tốn. Nhưng với phương pháp này ta có cảm giác đã tìm ra được lối đi cho bài
toán khoảng cách.

*************************************************************** 25
GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN