SANG KIEN KINH NGHIEM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (251.3 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang

MỞ ĐẦU 1

Lý do chọn đề tài 4

Mục đích nghiên cứu 4

Đối tượng ngiên cứu 4

Giới hạn của đề tài 4

Nhiệm vụ của đề tài 4

Phương pháp nghiên cứu 4

Thời gian nghiên cứu 4

NỘI DUNG 5

Cơ sở lí luận 5

Cơ sở triết học 5

Cơ sở tâm lí học 5

Cơ sở giáo dục học 5

Thực trạng của đề tài 6

Thời gian và các bước tiến hành 6

Tìm hiểu học sinh 6

Giải quyết vấn đề 6

Phương pháp đổi biến số dạng 1 7

Phương pháp đổi biến số dạng 2 (đổi biến số theo sint và tant) 10
 Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý 14

HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 18

Kết quả thực tiễn 19

Kết quả thực nghiệm 19

KẾT LUẬN 19

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Cách đây khoảng 2.000 năm những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện
bởi Archimedes (287–212 trước Cơng ngun), khi ơng tính diện tích bề mặt và thể
tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp
tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm
số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.

Tích phân, vi phân và mơn tốn học của những phép tính giải tích, đã chính thức
được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng
chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối

liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài
toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.

J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm
lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi
từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày
nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y
học, âm nhạc và ngôn ngữ học.

Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ơng
đã cùng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào các bài tốn của tốn học
và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann
(1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng
lơ-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.

Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vơ
định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite (1822–1901) tìm thấy một
thuật tốn để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở
rộng cho các phân thức chứa lơ-ga-rít vào những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski.
Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính các
tích phân khác nhau đã khơng ngừng được phát triển và ứng dụng để lập các bảng
tra cứu tích phân và biến đổi tích phân. Một số những nhà tốn học đóng góp cho
cơng việc này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S.
Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus,
A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P.
Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

trong tích phân các hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho
mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của phương pháp là giải một phương trình vi phân khá
khó. Những phát triển tiếp nối của nhiều nhà toán học khác đã giúp giải được

phương trình vi phân này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn
thiện phương pháp của Risch. Trong những năm 1980 đã có những tiến bộ mở rộng
phương pháp này cho cả các hàm không cơ bản đặc biệt.

Từ thập niên 1990 trở lại đây, các thuật tốn để tính biểu thức tích phân vơ định
được chuyển giao sang và tối ưu hố cho tính tốn bằng máy tính điện tử. Máy tính
đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới
chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu. Một số phần mềm máy tính thương
mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là Mathematica, Maple, ...

Trong chương trình Tốn lớp 12 bài tốn tích phân là một trong những
bài tốn khó đối với đại đa số học sinh. Thực tế sau khi học sinh học xong
phương pháp tích phân đổi biến số thì các em vẫn chưa nắm được tất cả những
dạng bài tập áp dụng phương pháp này một cách có hệ thống. Nhằm giúp học
sinh học tốt hơn tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi giải bài tốn
tích phân, tơi xin trình bày một số cách biến đổi phù hợp với các hàm số dưới
dấu tích phân và cách khai thác giả thiết của bài tốn tích phân liên quan đến
cận của tích phân thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp phổ thông và thi tuyển
sinh Đại học – Cao đẳng.

2. Mục đích nghiên cứu:

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú
học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ phương pháp đổi biến số tích phân.
Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.

3. Đối tượng ngiên cứu:

Phương pháp tích phân đổi biến số.
4. Giới hạn của đề tài:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5. Nhiệm vụ của đề tài:

Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt Phương pháp tích phân đổi biến số.

Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.

6. Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên cứu tơi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).

Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…).
Phương pháp thực nghiệm.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

NỘI DUNG
I/ Cơ sở lí luận:

1. Cơ sở triết học:

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi
động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết
với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh
trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lơgíc và biện chứng
trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt

hơn.

2. Cơ sở tâm lí học:

Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần
phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã
biết với tri thức của nhân loại.

Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí
thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và
hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có
khả năng và ham thích Tốn học, các mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú
văn chương và các mơn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngồi ra cịn có những
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…

Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về Phương pháp tích phân
đổi biến số các em thường có tâm lí khó hiểu.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển
cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối
tượng học sinh.

II/ Thực trạng của đề tài:

1. Thời gian và các bước tiến hành:

Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2009 - 2010
2. Tìm hiểu học sinh

Thông qua các tiết dạy và học của thầy và trị tơi nhận thấy học sinh cịn yếu.
Việc lĩnh hội kiến thức về tích phân và kĩ năng giải tốn tích phân ở học sinh địi
hỏi nhiều cơng sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: Kiến
thức cơ bản nắm chưa chắc.

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp
rèn luyện tích cực, phân hố nội tại thích hợp.

Tuy nhiên ngồi việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết
học, học sinh khá không nhàm chán.

III/ Giải quyết vấn đề:

Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “Cái dễ đến cái
khó”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

CƠ SỞ KHOA HỌC (Phương pháp đổi biến số)
Định lí:

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục sao cho
hàm số hợp f(u(x)) xác định trên K ; hai số a và b thuộc K thì

( )
( )

[ ( )]. '( ) ( )

u b
b

a u a

f u x u x dx f u du



1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 : 
Sử dụng cho những tích phân có dạng



b
a

dx
x
u
x
u

f[ ( )]. '( )

*Phương pháp:

+ Chọn biến t = u(x)  dt = u’(x)dx

+ Đổi cận: Khi x = a t = u(a), khi x = b  t= u(b)
 + Chuyển về tích phân theo biến mới

Khi đó



b
a

dx
x
u
x
u

f[ ( )]. '( ) =



)
(

b
u

a
u

dt
t

f

* Khi đặt t = u(x) cần chú ý các vấn đề sau:

. Hàm số t = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn



a b;



. Hàm số hợp f(u(x)) xác định trên đoạn



a b;



Khi đó ta có:



b
a

dx
x
u
x
u

f[ ( )]. '( ) =



)
(

b

u

a
u

dt
t
f

Ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài tốn:

+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn.
+ Phát hiện và đặt t = u(x) cho thích hợp bài tốn.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 1: Tính các tích phân sau :
a)
1
3
0
(2 1)

I 



x dx

Giải
Đặt t = 2x + 1  dt = 2dx x

dt
d

 

Khi x = 0  t =1; x = 1  t =3 
1

3
0

(2 1)

I 



x dx =

3 4
3 3
1
1
1
10
2 8
t

t dt 



b)
2
.ln
e
e

dx
J
x x




Giải
Đặt t = lnx dt dx

x

   dx = x.dt ; Khi x = e  t =1; x = e2  t = 2

2
.ln
e
e
dx
J
x x




=
2
2
1
1

ln ln 2 ln1 ln 2

dt
t

t    



Bài 2: Tính tích phân:






e
1
dx
x
ln
2
1
x
x
ln
2
3
I
Giải
Đặt t = 12lnx t2 = 1 + 2lnx  tdt =

x
1

dx và 3  2lnx = 2 t2

với x = 1 thì t = 1; với x = e thì t = 2

 




e
1
2
t
tdt
)
t
2
(

I =





e
1

2)dt

t
2

( = 2 3 12

3









 t

t =

3
5
2

4 

Bài 3: Tính tích phân

4
0

2x 1

I dx

1 2x 1



 



Giải

Đặt t 2x 1  t2 2x 1  2tdt 2dx  dx tdt
Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1

4 3 2 3

0 1 1

2x 1 t 1

I dx dt t 1 dt

1 t t 1

1 2x 1

  
      
 
   



      
 
 
3
2
1
t

I t ln t 1 2 ln2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 4: Tính tích phân I 073x 2dx

x 1






Giải:
Đặt t 3x 1 x t3 1 dx 3t dt2

      

 x 2 t  31.Đổi cận t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2.

Vậy









3 2 5 2

2 2 4

1 1

t 1 3t t t 231

Nhờ các kết quả:



 
 
2 2
4
2
2
1
1
1

víi x 0

1
1

x x

x

; (x 1
x

 )’ = 1 12

x

 và (x 1
x

 )2 = 2

2
1
2
x
x
 

Đặt     

 

2 2

1 1 1

dt = 1 - ; t = x + + 2

x x

t x dx

x ;
 
  
5
2;
2
t
5 5
2 2
2
2 2

1 (t+ 2) ( 2)

. .

2 2 2 ( 2).( 2)

dt t

I dt

t t t

 
 
  



5
2
2

1 2 1 (5 2 2).(2 2)

ln / = .ln

2 2 2 2 2 6 2

t
t

  



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 7: Tính tích phânI 6 tan x4 dx

cos2x
0





Giải

4
6 tan x

I dx

cos2x
0



  = 6 tan x(1 tan x)4 2 2 dx

1 tan x
0








. Đặt t = tanx  dt 



1 tan x dx2



Đổi cận : x = 0, t = 0; x6 t 33

3 4

2
0

I dt

1 t






3 3

2 3

0
0

1 1 1 t 1

t 1 dt t t ln

3 2 t 1

t 1

  

 

         




   







3 3 1 3 3 10 3 1

ln ln 2 3

27 3 2 3 3 27 2

   

       

  

 

Bài 8: Tính tích phân 3 2
0

sin .

I x tgxdx







Giải:

 









/ 3 / 3

2 2

0 0

sin x
I sin xtgxdx sin x. dx

cosx 





2
/ 3

1 cos x sin x

I dx

cosx

 





Đặt u cosx  du sin xdx . Đổi cận u 1,u 0

 

3 2


 

 

 
 









1/ 2
1

1 u du
I

 





1 2

1/ 2 1/ 2

1 u du ln u u ln2 3

u 2 8

 

 

     

 

   



2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 
* Giả sử cần tính tích phân: ( ).

b
a

f x dx



Bước 1: Chọn x = u(t) thích hợp với bài tốn
Bước 2: Lấy vi phân dx = u’(t)dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cận

 

;

 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bước 4: Tính tích phân I= g t dt( )







thay cho việc tính tích phân trên.

Như vậy vấn đề ở đây là bài tốn dạng nào thì vận dụng được phương pháp
đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? Ta phải tìm hiểu bài
tốn đã cho để phát hiện ra điều đó. Việc đặt ẩn phụ rất đa dạng tuỳ thuộc vào hàm
số đã cho dưới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ thuộc vào cận a và b nữa.

Dưới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn phụ khi dạy học sinh giải
bài tập tính tích phân.

* Khi đặt x = u(t) cần chú ý các vấn đề sau:

+ x = u(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn



a b;



+ Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn



a b;



+ u a

 

;u b

 



Khi đó ta có: ( ). ( ( )). '( ).
b

a

f x dx f u t u t dt









* Ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:

+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn

+ Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phương pháp giải bài
tốn tính tích phân.

Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cường khả năng phát hiện lời
giải dựa trên một số gợi ý:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

G I Ý V CÁCH CH N BI N S C A M T S HÀM SỢ Ề Ọ Ế Ố Ủ Ộ Ố Ố

Hàm số dưới dấu tích
phân

Cách chọn Biểu thức cần tính
* a2 x2

 * a sin ; ;

2 2

x t t   

 

2 2 cos

a  x a t
* 2 2 2

a  b x * asin ; ;

2 2

x t t

b

 

 

   

 

2 2 2

cos

a  b x a t
* a2 x2

 * atan ; ;

2 2

x t t  

 

2 2

cos

a

a x

t

 



2 2 2



; 1, 2,...

n n

a b x  *

tan ; ;
2 2

x t t

b

 
 

   

 



2 2 2







1 1

1 tan

n n n

a b x a  t

Bài 1: Tính tích phân I =

2
0

1 x dx



(đổi biến số theo sint)

Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đổi biến số như thế nào? tại sao lại
nghĩ đến việc đổi biến số?

Giáo viên dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm của các hàm số dưới dấu tích phân cụ
thể đối với hàm số y= 2

1 

x

có tập xác định



1;1



ta liên tưởng đến tập giá trị
của hàm số lượng giác sinx hoặc cosx. Chẳng hạn cách đặt ẩn phụ và dẫn đến việc
đổi biến số tính tích phân như sau: Đặt x = sint với ;

2 2

t   

   dx = costdt.
Giải

Đặt x = sint với ;
2 2

t   

   dx = costdt.
Đổi cận: Khi x = 0  t = 0; x = 1  t =

2


 I= 2 2

cos dt t







2
0

1 cos 2
2

t
dt







= 02

1 1

sin 2

2 t 2 t



 



 

  =4

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 2: Tính tích phân I =

2 2

4 3

x  x dx



(đổi biến số theo sint)
Giải

Đặt 2 sin
3

x t, với ;
2 2

t   
  

2
cos .
3

dx t dt ; 4 3x2 2 cost

 

Đổi cận: Khi x = 0  t = 0; x = 1 
3

t

 I= 3 2 3





0 0

4 2

sin 2 d 1 cos 4 d

3 3 3 3

I t t t t

 











Bài 3: Tính tích phân J =

1
2
01

dx
x





(đổi biến số theo tant)

Với bài tốn này hàm số dưới dấu tích phân ta liên hệ với các công thức:
 2 

1
1 tan

cos

x

x và





 2

tan '

cos

x

Nhờ các dấu hiệu trên ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số như sau:
Đặt x = tant với ;

2 2

t   

   dx = 2
1

dt

cos t = (1 + tan

2t)dt

Giải
Đặt x = tant với ;

2 2

t   

   dx = 2
1

dt

cos t = (1 + tan

2t)dt

Đổi cận : Khi x = 0  t = 0; x = 1  t =
4



1

2
01

dx
x









4 4

0 0

1 tan

1 tan t t dt dt t

|

  



    





Bài 4: Tính tích phân

1
2

0 1

dx
K

x x



 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta có

2 1 1 3

2 4

x   x x  
 

Đặt 1 3 tan

2 4

x  t với ;

2 2

t    

 





2
2

3 1 3

. 1 tan

2 2

dx dt t dt

cos t

   

Đổi cận : Khi x = 0  t =
6


; x = 1
3

t 


1

0 1

dx

x  x









2 2 cos cos

dt

x t t dx x x

t t

 

 

        

 

0 0 0

3 4 3

4 4 4

tan 1 sin

cos cos cos

t t dt

J dt dt

t t t

  

  



 















1 1

3
4

1 1

1 2 2

3cos t  J 3 J


    



 









 



2
0 0
sin

1 2 2 2 2

1 1

2 2

1 1

1
4

1 1 1 1

t u du u u

J du

u u u u


 
  
  
   













 



0 0 0

2 2

1 1 1

2 2 2

. 2

4 1 1 1 1

du du du

u u
u u
  
 
 
 
   
 
 
 











0 0
2
2 2
2 2

1 1 1 1 1 1

2ln 2ln

4 1 1 1 4 1 1

1 2 1 1

2 2ln 2 4ln 2 1 .

4 2 1 4

u u u

u u u  u u 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

3. Một số trường hợp thường gặp cho ta dấu hiệu để đổi biến hợp lý
Loại 1: Dùng ẩn phụ t tan x

2 cho hàm số có dạng: m x h x p
x
b
x
a
x
f




cos
sin
cos
sin
)

(

Ví dụ: Tính tích phân





 

2
2
dx
I

sinx 2cosx 3 (đổi biến số theo tan
x
2)
Giải:

Đặt t tan x

2 ; x 2 2;
 
 
  
 





 
       

 
2 2
2

dx 1 x 1

dt 1 tan dx 1 t dx

x 2 2 2

2cos
2
x  t1; x t 1

2 2
I =





  
  
      
 
 
 
   
  
2

1 1 1

2 2

1 2 1 1 2

2 2

2dt

dt dt

1 t 2 2

t 2t 5

2t 2 1 t 3 t 1 2

1 t 1 t

Đặt t + 1 = 2tanu  dt 22 du 2 tan u 1 du



2 



cos u .

t 1 u 0
t 1 u

4
  


 
  




 I= 2









   

 



4 4

0 2 0

2 tan u 1 du

du
4
4 tan u 1

Loại 2: Dựa vào cận tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân.
Ta xét một số bài toán cụ thể thường gặp sau đây:

Bài toán 1:

Nếu f(x) là hàm số liên tục trên



a a;



(a > 0) khi đó:
+ Nếu f(x) là hàm số chẵn trên



a a;



thì

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx







+ Nếu f(x) là hàm lẻ trên



a a;



thì

 

a a

f x dx f x dx f x dx

 

  



Thật vậy đổi biến t = - x ta chứng minh được

 

0
a
a

f x dx f x dx





</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ: Tính tích phân





2
1

ln 1

I x x dx







 









 

1 0 1

2 2 2

1 1 0

ln 1 ln 1 ln 1 1

I x x dx x x dx x x dx K H

 





  



  



   

Tính tích phân K bằng cách đổi biến t = -x ta có:

















 

0 1 1 1

2 2 2 2

1 0 0 0

ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 2

K x x dx t t dt t t dt x x dt







  



   



  



 
Từ (1) và (2) suy ra





2
1

ln 1 0

I x x dx







  

Bài toán 2:

Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

0
( )
( )
1
a a
x
a
f x

dx f x dx

b








(1b>0,
a >0)

Thật vậy, xét tích phân ( )

 

1
1
a
x
a
f x
I dx
b







với phép đổi biến t = - x ta có:

 

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

a a a t a x

x t t x

a a a a

f x f t b f t b f x

I dx dt dt dx

b b b b

   



   

   



Cộng (1) và (2) theo vế ta có : 2 ( ) ( )

 

1 1

a a x a

x x

a a a

f x b f x

I dx dx f x dx

b b
  
  
 



 

0
1
2
a a

a

I f x dx f x dx



 







Ví dụ: Tính

1 4
11 2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1 4 0 4 1 4

1 1 0

(1)
1 2x 1 2x 1 2x

x x x

I dx dx dx

 

  

  



Xét tích phân

0 4
1

11 2
x
x
I dx






với phép đổi biến t = - x ta có:

 

0 4 0 1 4 1 4

1 1 0 0

.2 .2

1 2 1 2 1 2 1 2

t x

x t t x

t

x t x

I dx  dt dt dx



   

   



(2)

thay (2) vào (1) ta có :





1 1

0 0

. 1 2 1

1 2 5

x
x

x

I   dx x dx





Bài toán 3:

Nếu y = f(x) liên tục trên 0;
2

 
 

  thì







2
0
2
0
)
(cos

)
(sin


dx
x
f
x
f

Thật vậy: Đổi biến t =
2


- x ta có :

/ 2 / 2 / 2

0 0 0

(sin ) (cos ) (cos ) .

f x dx f t dt f x dx

  

 



Ví dụ: Tính tích phân: I=





3
0

7 sin 5cos
sin cos
x x
dx
x x






Giải









2 2
1 2
3 3
0 0
sin cos

7 5 7 5

sin cos sin cos

xdx xdx

I I I

x x x x

 

   

 



Đổi biến: ; 0 ; 0

2 2 2

t  x  dt dx x  t  x  t 

















2 2 2 2

1 3 3 3 3 2

0 0 0 0

sin

sin 2 cos cos

sin cos sin cos sin cos sin cos

t dt

xdx tdt xdx

I I

x x t t t t x x

     

 
 
    
   



chứng minh được I1=I2 suy ra:





2 2

1 2 2

0 0

tan 2 1

2 4

sin cos 2cos 0

dx dx

I I x

x x x

 



 
       
   
 
 
 



Vậy ta có: I1= I2 =2

1 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn



0;1



thì . (sin ) (sin )
2

x f x dx f x dx

   
 

 




Thật vậy đổi biến x   t dxdt ta có . (sin ) (sin )
2

x f x dx f x dx

   
 

 




Ví dụ: Tính tích phân 2
0

.sin
4 cos
x x
I dx
x






Giải





2 2

0 0 0

.sin .sin

sin

4 cos 3 sin

x x x x

I dx xf x dx

x x

  

  

 



đổi biến : x   t dxdt ; x = 0 thì t = ; x =  thì t = 0









2 2 2 2

0 0 0 0

. cos cos

.sin .sin 1 cos 2 ln 3

. ln

4 cos 4 cos 4 cos 2 cos 4 2 4 cos 2 4

d t d t

t t t t

I dt dt I I

t t t t t


   
    
       
    



Bài toán 5:

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn



a b;





a b;



thì ( ) ( )

b a

a b

I 



f x dx



f a b x dx 

Thật vậy đổi biến: x a b t    dx dt x a;   t b x b ;   t a

Ví dụ: Tính tích phân I = 4





ln 1 tan x dx



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Giải

Đổi biến: 0

4 4

t a b x      x  x dt dx

x = 0 thì t = /4 ; x = /4 thì t = 0
4

I ln 1 tan t dt
4



  

     

 

 



4
0

1 tan t

ln 1 dt

1 tan t





 



 



 



4
0

2
ln dt

1 tan t











4 4

0 0

ln 2dt ln 1 tan t dt

 

 







I ln 2 .t I

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Kết quả từ thực tiễn:

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích
phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích
một bài tốn tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn

phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra các bước tính tích phân này rồi từ
đó hướng các em đi đến lời giải đúng.

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi
tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp của các năm trước
thì các em đã thận trọng hơn trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một
lượng lớn bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

2. Kết quả thực nghiệm:

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2009 - 2010.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

xếp loại
đối tượng

Giỏi Khá Tb Yếu

12A1 20% 40% 30% 10%

12A5 5% 20% 25% 50%

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt
là khi giải bài tốn tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất
của vấn đề chứ khơng tính rập khn một cách máy móc như trước, đó là việc thể
hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.

V. KẾT LUẬN

Tích phân là một chủ đề rộng lớn của giải tích lớp 12 nên quanh nó có rất nhiều

vấn đề cần bàn tới. Riêng việc tính tích phân cũng có rất nhiều phương pháp tính
mà phương pháp đổi biến chỉ là một trong số đó. Qua các bài toán trên cho thấy
nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh dễ tìm được lời giải bởi vì trong giả thiết
chứa các gợi ý cho lời giải. Vấn đề tìm ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài
tốn cịn trình bày lời giải là điều kiện đủ. Như vậy khai thác triệt để giả thiết của
một bài toán là một trong các giải biện sư phạm cho việc tăng cường khả năng giải
quyết vấn đề cho học sinh phổ thông. Đề tài của tôi không tránh khỏi những hạn
chế, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, xin chân thành cảm
ơn!

Người thực hiện

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nguyễn Huy Đoan Chủ biên – NXB GD –
2008)

2. Dùng ẩn phụ để giải tốn (Nguyễn Thái Hịe – NXB Giáo dục)

3. Kiến thức cơ bản giải tích 12 (Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn
Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002)
4. Phương pháp giải tốn Tích phân và Giải tích tổ hợp (Nguyễn Cam – NXB
Trẻ )

5. Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung –
NXB Giáo Dục)

6. Phương pháp giải tốn Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà
Nội – 2005)

</div>


<a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' />

SANG KIEN KINH NGHIEM





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>















<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

 









<sub></sub>





 

 











 

 



















1



<i>x</i>

