SKKN: Cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (348.32 KB, 28 trang )
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Tốn học là mơn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt mơn
tốn ln là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ thi
thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều học
sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn đề
quan trọng. Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm ln có bài tốn tính tích phân. Đây
là bài tốn được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu.
Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chất ngun
hàm, thuộc các cơng thức ngun hàm các hàm số sơ cấp và các phương pháp tính
nguyên hàm.
Để tính được bài tốn tích phân học sinh khơng những phải học thuộc các kiến
thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa.
Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong q trình tính tốn, và sự khó khăn khi gặp bài
tốn tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bài tốn
tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là “CÁCH
TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI
BIẾN SỐ”
Mục đích rõ ràng của đề tài này là nhằm giúp học sinh giải tốt bài tốn tích
phân nói riêng và làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa hơn nữa là làm tăng
tỷ lệ bộ môn toán của trường trong kỳ thi tốt nghiệp hằng năm.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận của đề ti
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết
đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và
những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức ®ã gäi lµ t duy.
Nhưng để tư duy được thì cần phải nắm được những kiến thức cơ bản, những
kiến thưc nền tảng của vấn đề thì khi đó mới nói đến tuy duy hay sáng tạo.
Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH
PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản
nhất của vấn đề nhằm giúp học sinh dần dần tiếp cận với các vấn đề cao hơn trong
một mạch kiến thức.
Cụ thể hóa của vấn đề về mặt lý luận là giúp hoc sinh độc lập trong khi giải
quyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đây là bài tốn tích phân trong các kỳ thi mà đặc biệt
là các dạng mà đề tài này đã nghiên cứu và đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm dạy
học tại trường phổ thông.
2.2. Thực trạng của đề tài
2.2.1 . Tình hình thực tế của học sinh trường:
- Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn các xã lân cận, đi lại khó
khăn. Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trung
bình, thậm chí một số học sinh khả năng tính tốn rất hạn chế
- Học sinh thường ít chịu tìm tịi, khám phá và khơng thuộc bài (lười
học)
2.2.2. Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH
TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”
- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong
bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến
- Đề tài này hồn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo
viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi.
- Do đây là chương địi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều,
thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ
thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như
sau:
Điểm
0 đến 3
3.5 đến 4.5
5 đến 6.5
7 đến 8
Trên 8
Số lượng
15
8
5
7
3
- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số
học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá
ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức.
2.2.3. Khó khăn của đề tài:
- Về tâm lý: khi gặp bài tốn tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ
và cho rằng đây là bài tốn khó nên thường bỏ ln khơng làm
- Về kiến thức:
+ Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp,
cơng thức tính tích phân, các tính chất của nguyên hàm và tích phân
+ Khả năng nhận dạng dạng ngun hàm hay tích phân cịn thấp
+ Khả năng tính tốn cịn yếu
- Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu
nên về mặt lý luận cũng gặp khó khăn.
- Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn kém nên việc triển khai
đề tài có phần chậm.
2.2.4. Thuận lợi:
- Trong khi thực hiện đề tài được sự hỗ trợ của bạn đồng nghiệp trong
trường, trong tổ chuyên môn.
- Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức
mới.
- Học sinh chăm chỉ tích cực luyện tập kỹ năng giải tốn tích phân
2.3 . Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm
* Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của
Định nghĩa: Cho hµm sè f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F '(x) = f(x)
víi mäi x K .
nh lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi
hằng số C, hµm sè G(x) = F(x) + C cịng lµ mét nguyên hàm của f(x) trên K .
nh lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng sè.
f x dx F x C , C
Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K
* Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
Ví dụ :
f ( x)dx ' f ( x)
và
f '( x)dx f ( x) C.
cos xdx ' (sin x C ) ' cos x
hay (cos x ) ' dx ( sin x )dx cos x C.
Tính chất2:
kf ( x)dx k f ( x)dx
Tính chất 3:
f ( x ) g( x) dx f ( x )dx g( x )dx.
k: hằng số khác 0
Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp
0dx C
dx
1
x 1 C ( 1)
1
x
x
sin xdx cos x C
1
1
dx ln x C
x
e dx e
ax
C (a > 0, a 1)
ln a
cos xdx sin x C
dx x C
x
a x dx
cos2 x dx tanx C
1
sin2 x dx cot x C
C
TÍCH PHÂN
Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
[a; b]
Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi là tích phân từ a đến b của f(x).
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b ) F ( a )
a
TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
I)
Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục treân K; a,b K
a
1)
f x dx 0
a
b
2)
a
b
3)
a
f x dx f x dx
b
b
kf x dx k f x dx
a
a
b
4)
b
a
b
5)
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
c
a
b
f x dx f x dx f x dx c a; b
a
a
c
b
6) f x 0, x a; b f x dx 0
a
b
b
7) f x g x , x a; b f x dx g x dx
a
a
b
8) m f x M, x a; b m b a f x dx M b a
a
t
9) t biến thiên trên đoạn a; b G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t vaø G a 0
a
Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm
liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a, () = b và a (t) b với t [; ].
b
f ( x )dx f (t) (t )dt
Khi đó:
a
Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên
tục trên [a; b] và u(x) với mọi x [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u(x), g(u)
liên tục trên [; ] thì:
b
u( b )
f ( x )dx
a
g(u)du
u( a)
2.3.2. Tiếp cận nhứng bài tốn cơ bản
x2
a) TÍCH PHÂN DẠNG
x1
* Nhận xét
n
ax b
dx
n
Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là y ax b , đối với hàm số này
khơng có ngun hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức
mới lấy nguyên hàm được. Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3
thì ta áp dụng hằng đẳng thức
a b
2
a 2 2ab b 2
3
Hay a b a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
1
Ví dụ: Tính tích phân
2x 1
2
dx
0
1
Giải:
2x 1
2
1
dx
1
0
0
4x 3
13
4x 2 4x 1 dx
2x 2 x
3
3
0
1
Hoặc tính tích phân
2x 1
3
dx
0
Giải:
2
0
3
2x 1 dx
2
8x
3
12x 2 6x 1 dx 2x 4 4x 3 3x 2 x
0
2
10
0
Nhưng xem ra cách này cũng khơng khả quan lắm vì đa số học sinh không
3
nhớ được hằng đẳng thức a b a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 . Hơn nữa nếu n là số
ngun âm hay hữu tỷ thì cách này khơng giải được. Để giải quyết dạng bài tập này
tôi đưa ra cách giải khả thi như sau:
x2
* Phương pháp giải
n
ax b
dx
x1
+ Bước 1: Đặt t ax b dt adx
dt
dx
a
+ Bước 2: Đổi cận: x x1 t ax1 b; x x 2 t ax 2 b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
*Nhận xét:
Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần
thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ
dàng). Cơng việc đổi cận cũng khơng có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của
hàm số bậc nhất mà thơi.
* Các ví dụ minh họa:
Tính các tích phân sau:
1
1)
2
4
2x 1 dx
2)
0
4
3x 2 3 dx
1
Giải:
1
1)
2x 1
4
dx
0
. Đặt t 2x 1 dt 2dx dt2 dx
. Đổi cận: x = 0 t = 1; x = 1 t = 3
1
. Do đó ta có:
0
2
2)
3x 2
4
3
3
3
dt
t5
242 121
2x 1 dx t
2
10 1
10
5
1
4
4
dx
1
. Đặt t 3x 2 dt dx dt3 dx
. Đổi cận: x = 1 t = 1; x = 12 t = 4
2
. Do đó ta có:
1
4
3
4
4
3
7
3
4
t
dt
3x 2 dx t
7
3
1
23 2 1
7
1
* Phân tích ví dụ
Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình
1
a
bày ở trên). Nhận xét rằng d ax b dx nên ta đưa ra các công thức dạng tổng
quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp. Ta có bảng sau
ax b
dx
1
ax b 1 C ( 1)
1
1
1
dx ln ax b C
a
ax b
eax bdx
a
mx n
1
cos ax b dx a sin ax b C
1
sin ax b dx a cos ax b C
1
1 ax b
e
C
a
1
cos2 ax b dx a tanx ax b C
1
1
sin2 ax b dx a cot ax b C
amx n
dx
C (a > 0, a 1)
m ln a
* Bài toán áp dụng
1
1)
2x 1
2
1
dx
2)
0
0
ln 2
3)
1
2x
e dx
4) 32x dx
0
0
4
5) cos 2x
0
4
dx
2
1
2x 1
0
2
6) s in 2x
0
Hướng dẫn giải
1)
dx
3x 1
1
dx 2x 1
2
1
1
0
dx
2
1
1
dx
1
2)
ln 3x 1
3x 1 3
0
0
ln 2
1
3) e dx e 2x
2
0
ln 2
2x
0
1
32x
4) 3 dx
2 ln 3 0
0
1
2x
4
5) cos 2x
0
4
1
dx s in 2x
2
2
2 0
4
1
4
6) s in 2x dx cos 2x
2
2
20
0
b
b
n
n
b) TÍCH PHÂN DẠNG x k 1 ax k b dx hoặc mx 2k 1 ax k b dx
a
a
* Nhận xét
Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể
là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:
1
2
Tính tích phân: x 2x 2 b dx ta giải như sau:
0
1
x 2x
2
0
2
b dx
1
0
1
2x 6
x2
4x 4x x dx
x4
2
3
0
5
3
Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng khó thực hiện được cách giải như
trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau:
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t ax k b dt kax k 1dx
dt
x k 1dx
ka
+ Bước 2: Đổi cận: x x1 t ax k1 b; x x 2 t ax k 2 b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
b
n
**** Chú ý đối với dạng: mx 2k 1 ax k b dx cách giải cũng tương tự nhưng
a
khi đổi biến nhớ suy ra x k theo t
* Ví dụ minh họa
1
4
1) Tính tích phân: x 2x 2 1 dx
0
Giải:
+ Bước 1: Đặt t 2x 2 1 dt 4xdx
dt
xdx
4
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 1
1
4
1
+ Bước 3: x 2x 2 1 dx t 4
0
0
dt
4
1
1
dt t 5
1
+ Bước 4: t
4
20 0 20
0
4
1
3
2) Tính tích phân: x 5 x 3 2 dx
0
Giải:
dt
3
2
2
+ Bước 1: Đặt t x 2 dt 3x dx 3 x dx
x3 t 2
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 2; x 1 t 3
3
3
3
+ Bước 3: x 3 x 3 2 x 2dx
2
3
+ Bước 4:
2
* Phân tích ví dụ
t 2 t
2
3
dt
3
3
3
dt 1
1 t5 t4
4
3
t2 t
t 2t dt .....
3 3 2
3 5 2
2
3
Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài tốn dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích
phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên
ngồi 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số.
* Bài tập áp dụng:
1
1
3
1) x x 2 dx
2
3
0
0
3
0
2x 2
1
3)
2) x 5 x 3 2 dx
x
3
2
2x 5
1
dx
3
4)
0
2x
3
4
dx
1
Hướng dẫn giải:
1
3
1) x 2 x 3 2 dx Đặt t x 3 2 dt 3x 2dx
0
1
3
2) x 5 x 3 2 dx Đặt t x 3 2 dt 3x 2dx
0
2x 2
1
3)
0
x
3
2
3
dt
x 2dx
3
dt
x 2dx; x 3 t 2
3
dx ( gặp bài dạng này không có gì phải băn khoăn mà nên chú ý
rằng ở đây n = - 3 thôi.
HD: Đặt t x 3 2 dt 3x 2dx
3
Tích phân trở thành:
dt
x 2dx ,
3
2dt
3t
3
2
2x 5
1
4)
0
2x 3 1
4
dx Tương tự câu 3)
Đặt t 2x 3 1 dt 6x 2dx
dt
x 2dx; x 3 t 2
6
***** Mở rộng dạng này, nếu lũy thừa của hàm số dưới dấu tích phân thay bằng
căn thì ta cũng giải tương tự cụ thể ta xét các ví dụ sau:
1
Ví dụ 1: Tính tích phân:
x 2 1dx
x
0
Rõ ràng dấu căn đóng vai trị như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số
mũ hữu tỷ mà thơi) ta giải ví dụ này như sau:
+ Bước 1: Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 2tdt 2xdx tdt xdx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 2
1
2
2
+ Bước 3: x x 2 1dx t.tdt t 2 dt
0
1
1
2
2
t3
8 1
+ Bước 4: t dt
31
3
1
2
1
Ví dụ 2: Tính tích phân:
x
3
x 2 1dx
0
+ Bước 1: Đặt t x 2 1 t 2 x 2 1 2tdt 2xdx tdt xdx
t2 x2 1 x2 t2 1
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 2
1
2
+ Bước 3: x 2 x 2 1.xdx
0
2
2
t 1 t.tdt
1
t
4
t 2 dt
1
2
2
t5 t3
+ Bước 4: t t dt .......
5 3 1
1
4
2
***** Như vậy khi day học sinh ta cần chú ý cho học sinh rằng dấu hiệu
nhận biết của dạng này là số mũ của x trong dấu căn hay lũy thừa hơn số mũ
của x bên ngoài 1 đơn vị hay kém hơn k – 1 đơn vị.
* Bài tập áp dụng:
1
1
1) x
1 x dx
3
2) x x 2 3dx
2
0
0
1
1
3) x 1 x 2 dx
4) x 3 x 2 1dx
0
0
1
5)
x3 1
0
2
7)
1
6) x 3 1 x 2 dx
dx
0
1
1
x x3 1
1
9)
1
x2
0
x3 1
0
10) x x 1dx
0
3
3
11)
x
dx
1
x
dx
2x 1
x2
8)
dx
12)
2
x 1dx
x
5
1 x 2 dx
0
0
Hướng dẫn giải: Đặt t ....
b
c) TÍCH PHÂN DẠNG
dx
ku' x
u x
a
* Nhận xét
Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu
hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu.
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t u x dt u' x dx
+ Bước 2: Đổi cận: x a t u a ; x b t u b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
1
1)
2x 2
0 x 2 2x 3 dx
1
2)
x
0
2
4x 8
dx
4x 5
Giải:
1
1)
x
2
0
2x 2
dx
2x 3
+ Bước 1: Đặt t x 2 2x 3 dt 2x 2 dx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 3; x 1 t 6
1
6
2x 2
dt
0 x 2 2x 3 dx 3 t
+ Bước 3:
6
6
dt
ln
t
ln 2
3 t
3
+ Bước 4:
1
2)
x
0
2
4x 8
dx
4x 5
+ Bước 1: Đặt t x 2 4x 5 dt 2x 4 dx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 5; x 1 t 5
1
4x 8
+ Bước 3: 2
dx
0 x 4x 5
10
+ Bước 4:
5
10
5
2dt
t
10
2dt
2 ln t 2 ln 2
5
t
**** Đối với dạng bài tập này khi dạy cần chú ý cho học sinh là ta thử tính
đạo hàm của hàm số dưới mẫu rồi so sánh với hàm số trên tử.
* Bài tập áp dụng:
1
1)
x
2
0
2
2)
x
1
2
x 1
dx
2x 3
HD: Đặt t x 2 2x 3 dt 2x 2 dx
2x 3
dx
3x 5
HD: Đặt t x 2 3x 5 dt 2x 3 dx
2x 2
0
3)
x 2
1
2
2x 4
0
dx
HD:
1
x 2
1
2
0
dx
1
x
2
1
2x 4
dx
4x 5
Đặt t x 2 4x 5 dt 2x 4 dx
4x 6
4
4)
4x 6
4
x 1x 2
dx HD:
4
x 1x 2
3
dx
3
x
3
2
4x 6
dx
3x 2
Đặt t x 2 3x 2 dt 2x 3 dx
2
5)
3x 2 4x
1 x 3 2x 2 1 dx
4x x 2 2
1
6)
x
0
2
2
2
dx
HD: Đặt t x 3 2x 2 1 dt 3x 2 4x dx
1
HD:
1
0
4x x 2 2
x
2
2
2
dx
1
1
4x 3 8x
0 x 4 4x 2 5 dx
Đặt t x 4 4x 2 5 dt 4x 3 8x dx
1
7)
x
0
2x 1
dx
x 3
2
HD: Đặt t x 2 x 3 dt 2x 1 dx
4
10) cot gxdx
6
4
4
HD: cot xdx
6
6
cos x
dx
sin x
Đặt t sin x dt cos xdx
2
sin x
dx
1 3cosx
0
11)
HD: Đặt t 1 3cosx dt 3 sin xdx
4
12)
1 sin 2x
dx
2
cos
x
0
4
HD:
4
4
1 sin 2x
1
sin 2x
dx
dx
dx I1 I 2
2
2
2
cos
x
cos
x
cos
x
0
0
0
I1 : tính trực tiếp
I2 : Đặt t cos 2 x dt sin 2xdx
b
d) TÍCH PHÂN DẠNG
f ln x
x
a
dx
* Nhận xét
Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có
chứa ln x và
1
. Ta có phương pháp giải như sau:
x
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t ln x dt
dx
x
+ Bước 2: Đổi cận: x a t ln a; x b t ln b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
e
Tính tích phân:
1 2 ln x
dx
x
1
Giải
+ Bước 1: Đặt t ln x dt
dx
x
+ Bước 2: Đổi cận: x 1 t 0; x e t 1
e
1
1 2 ln x
+ Bước 3:
dx 1 2t dt
x
1
0
1
1
2
1 2t dt t t 0 2
+ Bước 4:
0
* Bài tập áp dụng:
e
1)
1
e
2)
1
1 3 ln x ln x
dx HD: Đặt t ln x
x
1 ln x
dx
x
HD: Đặt t 1 ln x
e
sin(ln x)
dx
x
1
3)
HD: Đặt t ln x
e
e 2ln x 1
dx
x
1
4)
HD: Đặt t 2 ln x 1
e2
1 ln 2 x
5)
dx
x ln x
e
HD: Đặt t 1 ln 2 x
e
6)
1 ln 2 x
1 x dx
HD: Đặt t 1 ln 2 x
b
u x
e) TÍCH PHÂN DẠNG e .u' x dx
a
* Phương pháp giải
u x
u x
+ Bước 1: Đặt t u x dt u' x dx hay t e dt u ' x .e dx
+ Bước 2: Đổi cận: x a t u a ; x b t u b hay
x a t e
u a
; x b t e
ub
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
Tính các tích phân:
1
1
2
1) e x xdx
0
Giải
2
2) e x 1xdx
0
1
2
1) e x xdx
0
+ Bước 1: Đặt t x 2 dt 2xdx
dt
xdx
2
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t 1 hay
1
1
e
+ Bước 3:
x2
xdx e t
0
0
1
dt 1 t
+ Bước 4: e
e
2
2
0
dt
2
1
t
0
e 1
2
* Bài tập áp dụng:
2
2
1) e 2x 1xdx
HD: Đặt t 2 x 2 1
1
2
2) e x
2
2x 1
x 1 dx
HD: Đặt t x 2 2 x 1
1
4
3)
1
e
x
dx
x
HD: Đặt t x
2
4) e sinx cos xdx
HD: Đặt t sin x
0
4
5) e tanx 1 tan 2 x dx
HD: Đặt t tan x
0
2
2
HD: Đặt t sin 2 x
2
HD: Đặt t cos 2 x
6) e sin x sin 2xdx
0
2
7) ecos xsin2xdx
0
2
8) esin x cosxdx
HD: Đặt t sin x
4
2
9) e cosx sin xdx
HD: Đặt t cos x
4
1
10) e x
2
2
HD: Đặt t x 2 2
xdx
0
b
f) TÍCH PHÂN DẠNG sin n x cos m xdx
a
* Nhận xét
* Nếu n, m N và cùng lẻ thì đặt t = sinx hoặc t = cosx
* Nếu n, m N và có số chẵn, lẻ thì đặt t = HSLG có số mũ chẵn (khơng
có xem như mũ chẵn)
* Nếu n, m N và cùng chẵn thì áp dụng cơng thức hạ bậc
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t s inx dt cos xdx hay t cos x dt s inxdx
+ Bước 2: Đổi cận: x a t s ina; x b t s inb hay
x a t cos a; x b t cos b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
Tính các tích phân sau:
2
1) sin 3 xcos 3 xdx
0
Giải:
2
2) sin 3 xcos 2 xdx
0
2
1) sin 3 xcos 3 xdx
0
+ Bước 1: Đặt t s inx dt cos xdx
t 1
2
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 0; x
2
+ Bước 3:
1
sin
xcos xdx t 3 1 t 2 dt
3
3
0
0
1
1
1
t4 t6
1
+ Bước 4: t 1 t dt t t dt
4 6 0 12
0
0
3
2
3
5
2
2) sin 3 xcos 2 xdx
0
+ Bước 1: Đặt t cos x dt s inxdx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 t 1; x
2
+ Bước 3:
sin
0
t 0
2
0
3
1
xcos xdx 1 t t dt 1 t 2 t 2 dt
2
2
2
1
1
0
1
1
t 3 t5
2
+ Bước 4: 1 t t dt t t dt
3 5 0 15
0
0
2
2
2
4
* Bài tập áp dụng:
2
1) sin 2 xcos 3 xdx
HD: Đặt t = sinx
3
4
2) tan xdx
0
HD: Đặt t = cosx
2
3) cos3 x sin 2 xdx
HD: Đặt t = sinx
0
2
4) cos5 xdx
HD: Đặt t = sinx
0
2
5) sin 2x (1 sin 2 x )3dx
HD: Đặt t 1 sin 2 x
0
2
6)
sin
4
HD: Đặt t = sinx
x 1 cos xdx
0
g) TÍCH PHÂN DẠNG
a x 2dx
Đây là loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với các
cách đổi biến đã trình bày ở trên. Cụ thể ta xét ví dụ:
1
Tính tích phân :
1 x 2dx
0
Giải: + Đặt : x sin t dx cos tdt
+ Đổi cận : x 0 t 0; x 1 t
2
1
+
0
1 x 2dx
1 sin 2 t cos tdt
0
2
+
0
2
2
1 sin 2 t cos tdt
cos t cos tdt
0
2
2
1
1
cos 2 tdt x sin 2x
2
2
4
0
0
Như vậy ngoài cách đổi biến số thơng thường ta cịn có một cách khác để
giải quyết bài tóan tích phân bằng phương pháp đổi biến số như trên.
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt x f t dx f ' t dt
+ Bước 2: Đổi cận: x f t ; x f t hay
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
Những dạng thường gặp:
+ Gặp biểu thức a 2 x 2
Đặt : x a sin t
hay x a cos t
+ Gặp biểu thức a 2 x 2
Đặt : x a tan t
hay x a cot t
+ Gặp biểu thức x 2 a 2
Đặt : x
a
hay x
cos t
Ví dụ:
1
Tính tích phân
dx
1 x
2
0
Giải:
+ Bước 1: Đặt : x tan t dx
dt
1 tan 2 t dt
cos 2 t
+ Bước 2: Đổi cận :
x 0 0 tan t t 0
x 1 1 tan t t
1
dx
+ Bước 3:
2
1
x
0
4
+ Bước 4:
4
1 tan t dx
0
2
1 tan 2 t
1 tan t dx
0
Bài tập tương tự:
2
1 tan 2 t
4
dx 4
0
4
a
s int
3
1)
dx
1x
HD: đặt x tan t
2
1
3
3
2)
1
dx
1 9x 2
1
3
HD: đặt x tan t
3
3 3
2
3)
3
dx
9 4x 2
3
2
HD: đặt x tan t
2
3 3
2
4)
1
dx
4x 12x 10
HD: đặt 2x 3 tan t
2
2.4 Hiệu quả của SKKN
Với tinh thần thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên trong năm qua đạt
được những kết quả như sau:
Với học sinh, cụ thể là lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011
Tỷ lệ chung cuối năm
Tổng số
Giỏi
Tỷ lệ
Khá
Tỷ lệ
Trung Bình
Tỷ lệ
38
7
24,5%
21
50,1%
10
24,5%
Năm học 2011 – 2012: kết quả kiểm tra chương tích phân ( chỉ kiểm tra bài 1
và 2) như sau:
Điểm
0 đến 3
3.5 đến 4.5
5 đến 6.5
7 đến 8
Trên 8
12A4
2
5
23
7
3
12A8
2
2
9
20
9
Với tổ chuyên môn:
Với cách phân dạng và nêu phương pháp, rút kinh nghiệm và chỉ rõ nội dung
trọng tâm như trên, các giáo viên trong tổ đã thực hiện và đạt kết quả khả quan trong
các kỳ thi, góp phần nâng cao chất lượng tổ bộ môn của trường
2.5. Nguyên nhân thành công:
